高考數學一輪復習(理)人教通用版9.3圓的方程名師精編學案

1、名校名師推薦§9.3圓的方程取新考象考情考向分析掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標準方程與一般方程.以考查圓的方程為主，與圓有美的軌跡問題、最值問題也是考查的熱點，屬中檔題.題型主要以選擇、填空題為主，要求相對較低，但內容很重要，有時也會在解答題中出現.基礎知識自主學習一回扣其礎知識訓練基址題目一r知識梳理圓的定義與方程定義平面內到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓方程標準式(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圓心為(a,b)半徑為r一>式x2+y2+Dx+Ey+F=0充要條件：D2+E24F>0圓心坐標：(一D,"!)半徑r=»D2+E24

2、F【概念方法微思考】1.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件是什么？A=C0,提示,!b=0,匕2+E2-4AF>0.2,已知。C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,則“E=F=0且D<0”是“OC與y軸相切于原點”的什么條件？提示由題意可知，OC與y軸相切于原點時，圓心坐標為2，0而D可以大于0,所以"E=F=0且D<0”是C與y軸相切于原點”的充分不必要條件.3 .如何確定圓的方程？其步驟是怎樣的？提示確定圓的方程的主要方法是待定系數法，大致步驟：(1)根據題意，選擇標準方程或一般方程.(2)根據條件列出關于a,b,r或D,巳F的方程

3、組.(3)解出a,b,r或D,E,F代入標準方程或一般方程.4 .點與圓的位置關系有幾種？如何判斷？提示點和圓的位置關系有三種.已知圓的標準方程(xa)2+(yb)2=r2,點M(x°,y。)(1)點在圓上：(xoa)2+(y。-b)2=r2；(2)點在圓外：(xo-a)2+(y。一b)2>r2;(3)點在圓內：(xoa)2+(y。一b)2<r2(基礎自測題組一思考辨析1 .判斷下列結論是否正確(請在括號中打或"x”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(V)(2)已知點A(x1,y1)，B(x2,y*則以AB為直徑的圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y

4、1)(y-y2)=0.(V)(3)方程*2+22*+/=0一定表示圓.(X)(4)若點M(xo,yo)在圓*2+丫2+口*+£丫+5=0外，則x2+y2+Dx0+Eyo+F>0.(V)(5)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(teR)表示圓心為(a,b),半徑為t的圓.(x)題組二教材改編2 .圓心為(1,1)且過原點的圓的方程是()A.(x-1)2+(y1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x1)2+(y1)2=2答案D解析因為圓心為(1,1)且過原點，所以該圓的半徑r=。12+12=取,則該圓的方程為(x-1)2+(y-1)2

5、=2.3 .以點(3,1)為圓心，并且與直線3x+4y=0相切的圓的方程是()A. (x-3)2+(y+1)2=1B. (x-3)2+(y-1)2=1C. (x+3)2+(y-1)2=1D. (x+3)2+(y+1)2=1答案A4 .圓C的圓心在x軸上，并且過點A(1,1)和B(1,3),則圓C的方程為.答案(x-2)2+y2=10解析設圓心坐標為C(a,0), 點A(1,1)和B(1,3)在圓C上, .|CA|=|CB|,即Ja+12+1=#a-1f+9,解得a=2, 圓心為C(2,0),w=1十21十3 圓C的方程為(x-2)2+y2=10.題組三易錯自糾5,若方程x2+y2+mx2y+3

6、=0表示圓，則m的取值范圍是()A.(巴*)U(恒+oo)B.(巴2啦)"2業(yè)+8)C.(-oo,>/3)U(a/3,+8)D.(巴2V3)U(2V3,+8)答案B解析將x2+y2+mx-2y+3=0化為圓的標準方程得,+修，+(y1)2=/2.2由其表不圓可得，一2>0,解得m<2也或m>22.6.若點(1,1)在圓(xa)2+(y+a)2=4的內部，則實數a的取值范圍是()A.-1<a<1B,0<a<1C.a>1或a<1D.a=±4答案A解析二點(1,1)在圓內，.(1-a)2+(a+1)2<4,即1&l

7、t;a<1.7.若圓C的半徑為1,圓心在第一象限，且與直線4x3y=0和x軸都相切，則該圓的標準方程是()A. (x-2)2+(y-1)2=1B. (x-2)2+(y+1)2=1C. (x+2)2+(y-1)2=1D. (x-3)2+(y-1)2=1答案A解析由于圓心在第一象限且與x軸相切，可設圓心為(a,1)(a>0),又圓與直線4x3y=0相切，Ra司=1,解得a=2或a=一舍去).52圓的標準方程為(X2)2+(y1)2=1.故選A.題型分類深度剖析真題典題深度剖析重點堆點多維探究題型一圓的方程-師生共研例1已知圓E經過三點A(0,1),B(2,0),0(0,-1),且圓心在

8、x軸的正半軸上，則圓E的標準方程為()誓+y2=在4； y 16答案C解析方法一(待定系數法)根據題意，設圓E的圓心坐標為(a,0)(a>0),半徑為r,則圓E的標準方程為(x-a)2+y2=r2(a>0).由題意得i(2-a)=r2,解得|222I2=25出+(1)=r,J16'所以圓E的標準方程為(x-+y2=|.方法二(待定系數法)設圓E的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),p+E+F=0,D=-|,則由題意得彳4+2D+F=0,解得匚nE=0,ll-E+F=0,F=-1所以圓E的一般方程為x2+y2-1x-1=0,BnI2.?22

9、5.即k4八y16方法三(幾何法)因為圓E經過點A(0,1),B(2,0),所以圓E的圓心在線段AB的垂直平分線y：=2(x1)上.4名校名師推薦又圓E的圓心在x軸的正半軸上,所以圓E的圓心坐標為130：4則圓E的半徑為|EB| =-4)+。-“=4,16所以圓E的標準方程為X-4)+y2=2|.(2)(2018鞍山卞II擬)已知圓C的圓心在直線x+y=0上，圓C與直線xy=0相切，且在直線xy3=0上截得的弦長為乖,則圓C的方程為.答案(x-l)2+(y+l)2=2解析方法一所求圓的圓心在直線x+y=0上，設所求圓的圓心為(a,a).又.所求圓與直線x-y=0相切，半徑=瑞=也同：又所求圓在

10、直線xy3=0上截得的弦長為乖,圓心(a,a)到直線xy3=0的距離=今|電，d2+2 日口 (2a3 2 3° 2=r ,即一2'+5=2a ,解得a=1,.圓C的方程為(x-1)2+(y+1)2=2.方法二設所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),則圓心(a,b)到直線xy3=0的距離d=b31,2.r2=.(a_b-3-1+3，即2r2=(ab3)2+3.由于所求圓與直線x-y=0相切，(a-b)2=2r2.又二,圓心在直線x+y=0上，a+b=0.'a=1,聯立，解得ib=-1,=也故圓C的方程為(x-1)2+(y+1)2=2.方法三設

11、所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則圓心為FD,半徑=1加2+£24F,丁圓心在直線x+y=0上，-|-|=0,即D+E=0,又圓C與直線xy=0相切,_D E 2 2 21/D2+ E2-4F ,即(DE)2=2(D2+E2-4F),D2+E2+2DE8F=0.又知圓心-2, E別直線xy3=0的距離d =-DM-32由已知得d2 +_2(D-E+6)2+12=2(D2+E2-4F),D=-2,聯立，解得iE=2,2=0,故所求圓的方程為x2+y2-2x+2y=0,即(x1)2+(y+1)2=2.思維升華(1)直接法：直接求出圓心坐標和半徑，寫出方程.(2)待定系數法若

12、已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，求出a,b,r的值；選擇圓的一般方程，依據已知條件列出關于D,E,F的方程組，進而求出D,E,F的值.跟蹤訓練1一個圓與y軸相切，圓心在直線x-3y=0上，且在直線y=x上截得的弦長為2巾,則該圓的方程為.答案x2+y26x2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0解析方法一二.所求圓的圓心在直線x-3y=0上，.設所求圓的圓心為(3a,a),又所求圓與y軸相切，.半徑r=3|a|,又所求圓在直線y=x上截得的弦長為2巾，圓心(3a,a)到直線y=x的距離d =|2a|2，d2+(W)2=r2,即2a2+7=9a2,.a="故

13、所求圓的方程為(x-3)2+(y1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9,即x2+y26x2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.方法二設所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則圓心(a,b)到直線y=x的距離為旨記，_.2.產=(+7,即2r2=(ab)2+14.由于所求圓與y軸相切，.r2=a2,又.所求圓的圓心在直線x-3y=0上，.1.a-3b=0,a=- 3或彳b = 1 r2= 9.彳-a=3,聯立，解得ib=1,r2=9故所求圓的方程為(x-3)2+(y1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9,即x2+y26x2y+1=0或x2D _ E2，2戶+y2+6x+

14、2y+1=0.方法三設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則圓心坐標為半徑r=1yD2+E2_4F.在圓的方程中，令x=0,得y2+Ey+F=0.由于所求圓與y軸相切，A=0,則E2=4F.圓心-|, -| :副直線y=x的距離為由已知得d2+(、)2=r2,即(DE)2+56=2(D2+E24F).又圓心-D, - 2 ”直線 x-3y= 0 ±,D-3E=0.D= 6聯立，解得iE=-2'D = 6或E=2.F=1.故所求圓的方程為x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.題型二與圓有關的軌跡問題一一師生共研例2已知RtAABC的斜邊為AB

15、,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角頂點C的軌跡方程;(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程.解(1)方法一設C(x,v),因為A,B,C三點不共線，所以yw0.因為ACBC,且BC,AC斜率均存在，所以kAcRbc=1,又kAC=%'*產六'所以力之二-1'化簡得x2+y2-2x-3=0.因此，直角頂點C的軌跡方程為x2+y22x3=0(yw0).1萬法二設AB的中點為D,由中點坐標公式得D(1,0),由直角二角形的性質知|CD|=2|AB|=2.由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A,B,C三點不共線，所以應除去與x軸的交點)

16、.所以直角頂點C的軌跡方程為(x1)2+y2=4(yw0).xo+3(2)設M(x,y),C(xo,yo),因為B(3,0),M是線段BC的中點，由中點坐標公式得x=,yo+Oy=2'所以x0=2x-3,y0=2y.由(1)知，點C的軌跡方程為(x-1)2+y2=4(ywO),將xo=2x-3,yo=2y代入得(2x4)2+(2y)2=4,即(x2)2+y2=1.因此動點M的軌跡方程為(x2)2+y2=1(ywO).思維升華求與圓有關的軌跡問題時，根據題設條件的不同常采用以下方法:直接法：直接根據題目提供的條件列出方程.定義法：根據圓、直線等定義列方程.幾何法：利用圓的幾何性質列方程.

17、相關點代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式.跟蹤訓練2設定點M(-3,4),動點N在圓x2+ y2= 4上運動，以OM , ON為兩邊作平行四邊形MONP ,求點P的軌跡方程.解如圖，設P(x,y), N(xo, yo)則線段OP的中點坐標為2；,線段MN的中點坐標為yo+4'2.因為平行四邊形的對角線互相平分,xo整理得V。=x+3,=y4,又點N（xo,yo）在圓x2+y2=4上，所以（x+3）2+（y4）2=4.所以點P的軌跡是以（一3,4）為圓心，2為半徑的圓，直線OM與軌跡相交于兩點5,12師21,28；,不符合題意，舍去，所以點P的軌跡為（x+3）2+（

18、y-4）2=4,除去兩點55,152:和（一21,28；題型三與圓有關的最值問題一師生共研例3已知點（x,y）在圓（x2）2+（y+3）2=1上，求x+y的最大值和最小值.即直線與解設1=*+丫，則y=x+t,t可視為直線y=x+t在y軸上的截距，x+y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值,圓相切時在y軸上的截距.由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即12±%_臼=1,解得t=21或t=并1.x+y的最大值為y21,最小值為421.引申探究1 .在本例的條件下，求y的最大值和最小值.x解y可視為點（x,y）與原點連線的斜率，y的最大值和最小值就是與該

19、圓有公共點的過原點的xx直線斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時的斜率.設過原點的直線的方程為y=kx,由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即喳=52+11,解得k=2+2¥或k=2233,，y的最大值為2+233，最小值為一2233.2 .在本例的條彳下，求心2+y2+2x4y+5的最大值和最小值.解Mx2+y2+2x4y+5=,（x+12+（y-22,求它的最值可視為求點（x,y）到定點（1,2）的距離的最值，可轉化為求圓心（2,3）到定點（1,2）的距離與半徑的和或差.又圓心到定點（一1,2）的距離為加,M2+y2+2x4y+5的最大值為啊+1,最小值為34-1.思維升

20、華與圓有關的最值問題的常見類型及解題策略（1）與圓有關的長度或距離的最值問題的解法.一般根據長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質數形結合求解.(2)與圓上點(x,y)有關代數式的最值的常見類型及解法.形如u=匕b型的最值問題，可轉化為過點(a,b)和點(x,y)的直線的斜率的最值問題；xa形如t=ax+by型的最值問題，可轉化為動直線的截距的最值問題；形如(x-a)2+(y-b)2型的最值問題，可轉化為動點到定點(a,b)的距離的平方的最值問題.跟蹤訓練3已知實數x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求：(1)y的最大值和最小值；(2)yx的最大值和最小值；(3)x2+y2的最大值和最小值

21、.解原方程可化為(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)為圓心，43為半徑的圓.(1產的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，x所以設,k，即片kx.當直線y=kx與圓相切時(如圖),斜率k取最大值和最小值，此時12k二 0|52 + 1解得 k= R3.所以x的最大彳1為®最小值為4(2)yx可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，如圖所示，當直線y=x+b與圓相切時，縱截距b取得最大值和最小值，此時，0/=<3,解得b=2旬6.所以yx的最大值為2+46,最小值為-2<6.(3)如圖所示，x2+y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩

22、個交點處取得最大值和最小值.又圓心到原點的距離為叱2-02+(0-02=2,所以x2+y2的最大值是(2+y3)2=7+443,x2+y2的最小值是(2回=74/3.課時作業(yè)“基礎保分練一一.3一、一CCO1 .若aC,2,0,1,4，則萬程x2+y2+ax+2ay+2a2+a1=0表木的圓的個數為()A.0B.1C.2D.3答案B解析方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a1=0表示圓的條件為a2+4a2-4(2a2+a-1)>0,即,rr3a2+4a4<0,解得2<a<2.又aL2,0,1,4，僅當a=0時，方程x2+y2+ax+2ay3+2a2+a1=0表小圓，故

23、選B.2,已知圓C：x2+y2-2x+4y+1=0,那么與圓C有相同的圓心，且經過點(一2,2)的圓的方程是()A.(x-1)2+(y+2)2=5B.(x-1)2+(y+2)2=25C.(x+1)2+(y2)2=5D.(x+1)2+(y2)2=25答案B解析圓C的標準方程為(x1)2+(y+2)2=4,圓心C(1,2),故排除C,D,代入(一2,2)點，只有B項經過此點.也可以設出要求白圓的方程為(x1)2+(y+2)2=r2,再代入點(一2,2),可以求得圓的半徑為5.故選B.3.已知圓M與直線3x4y=0及3x4y+10=0都相切，圓心在直線y=-x-4上，則圓M的方程為()A.(x+3)

24、2+(y1)2=1B.(x-3)2+(y+1)2=1C.(x+3)2+(y+1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1答案C解析到直線3x4y=0及3x4y+10=0的距離都相等的直線方程為3x-4y+5=0,聯立3x-4y+5=0,x=-3,方程組解得f又兩平行線之間的距離為2,所以所求圓的半徑為N=x4,y=1,1,從而圓m的方程為(x+3)2+(y+1)2=1.故選c.4. (2018錦州調研)圓心在y軸上，且過點(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是()A,x?+y?+10y=0B.x+10y=0C,x2+y2+10x=0D.x2+y210x=0答案B解析根據題意，設圓心坐標為(0

25、,r),半徑為r,則32+(r-1)2=r2,解得r=5,可得圓的方程為x2+y2-10y=0.5.圓(x2)2+y2=4關于直線y=3x對稱的圓白方程是()a.(x-V3)2+(y-i)2=4B. (x-啦)2+(y-W)2=4C. x2+(y2)2=4D. (x-1)2+(y-3)2=4答案D解析設圓(x2)2+y2=4的圓心(2,0)關于直線y=33x對稱的點的坐標為(a,b),則有=-1b=V3a±2L232，解得a=1,b=次,從而所求圓的方程為(x1)2+(y43)2=4.故選D.6.如果圓自一42+32)2=8上總存在到原點的距離為<2的點，則實數a的取值范圍是(

26、)A.(3,-1)U(1,3)B.(3,3)C.-1,1D.3,1U1,3答案D解析圓(xa)2+(ya)2=8的圓心(a,a)到原點的距離為|V2a|,半徑r=2$2,由圓(xa)2+(y-a)2=8上總存在點到原點的距離為小,得2#W&N2aF2yf2+-1<|a|<3,解得1WaW3或3Waw1.實數a的取值范圍是3,-1U1,3.故選D.7 .已知aCR,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表不'圓，則圓心坐標是,半徑是.答案(一2,-4)5解析由已知方程表示圓，則a2=a+2,解得a=2或a=-1.當a=2時，方程不滿足表示圓的條件，故舍去.

27、當a=1時，原方程為x2+y2+4x+8y-5=0,化為標準方程為(x+2)2+(y+4)2=25,表示以(2,4)為圓心，5為半徑的圓.8 .當方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圓的面積取最大值時，直線y=(k1)x+2的傾斜角a=.答案?4解析由題意知，圓的半徑=丸2+44k2=244二<1,當半徑r取最大值時，圓的面積最大，此時k=0,r=1,所以直線方程為y=x+2,則有tana=一1,又氐0,力，故3兀"=7.9 .若圓C經過坐標原點與點(4,0),且與直線y=1相切，則圓C的方程是.答案(x-2)2+!y+2)=25解析因為圓的弦的垂直平分線必過圓心且圓經

28、過點(0,0)和(4,0),所以設圓心為(2,m).又因為圓與直線y=1相切，所以422+m2=|1m|,解得m=-2.所以圓C的方程為(x-2)2+iy+3)=25.10 .點P(4,2)與圓x2+y2=4上任一點連線的中點的軌跡方程是答案(x-2)2+(y+1)2=1解析設圓上任一點坐標為(xo,y°),x0+y2=4,連線中點坐標為(x,y),2x= xo+ 4Py=yo-2解得xo = 2x 4,yo=2y+2,代入x2+y0=4中，得(x2)2+(y+1)2=1.11 .已知點P(x,y)在圓C：x2+y26x6y+14=0上,(1)求y的最大值和最小值;x(2)求x+y的

29、最大值和最小值.解方程x2+y26x6y+14=0可變形為(x-3)2+(y-3)2=4,則圓C的半徑為2.(1)(轉化為斜率的最值問題求解)y表示圓上的點P與原點連線的斜率，顯然當PO(。為原點)與圓C相切時，斜率最大或最小,x如圖所示.設切線方程為y=kx,即kx-y=0,由圓心C(3,3)到切線的距離等于圓C的半徑，可得喀¥=2,解得k=9呼4k2+15所以y的最大值為9+乎,最小值為92折x55(2)(轉化為截距的最值問題求解)設x+ y=b,則b表示動直線y=-x+b在y軸上的截距，顯然當動直線y=-x+ b與圓C相切時，b取得最大值或最小值，如圖所示.由圓心C(3,3)到

30、切線x+y=b的距離等于圓C的半徑，可得 單3注 =2, 弋12 + 12即 |b 6|=2*,解得 b= 6±2*,所以x+y的最大值為6 + 22,最小值為625.12.已知點 A(-3,0), B(3,0),動點 P 滿足 |PA|=2|PB|.若點P的軌跡為曲線 C,求此曲線的方程；(2)若點Q在直線li：x+y+3=0上，直線12經過點Q且與曲線C只有一個公共點 的最小值.解(1)設點P的坐標為(x, y),則叱x+3 j+y2 = 2(x- 3 2+y2.化簡可得(x-5)2+y2=16,此方程即為所求.(2)曲線C是以點(5,0)為圓心，4為半徑的圓，如圖所示.M,求|QM|由題意知直線12是此圓的切線,連接CQ,則|QM|=|CQ|2|CM|2=|CQ2-16,當|QM|最小日|CQ|最小，此時CQXli,|5+3|一42|cq|=24y2，則|QM|的最小值為.3216=4.y技能提升練13,已知圓C:(x3)2+(y4)2=1,設點P是圓C上的動點.記d=|PB|2+|PA|2,其中A(0,1),B(0,1),則d的最大值為.答案74解析設P(xo,yO),d=|PB|