拉格朗日中值定理在高考題中的妙用

1、拉格朗日中值定理在高考題中的妙用【摘要】近幾年，以高等數(shù)學為背景的高考命題成為熱點.許多省市一些高考題可以用拉格朗日中值定理來解答.本文歸納了可用拉格朗日中值定理解決的四類題型，再通過一些具體的高考試題，體現(xiàn)高觀點解題的好處.【關鍵詞】拉格朗日中值定理 高考題 高觀點 引言新課程中，高中數(shù)學新增加了許多近、現(xiàn)代數(shù)學思想，這為中學數(shù)學傳統(tǒng)的內(nèi)容注入了新的活力，也為解決一些初等數(shù)學問題的方法提供了更多的選擇尤其在近幾年在近幾年的數(shù)學高考試題中，經(jīng)常遇到一些題目，雖然可以利用中學的數(shù)學知識解決，但是在高等數(shù)學中往往能找出相關的“影子”，也即所謂的“高觀點”試題這樣的試題或以高等數(shù)學知識為背景，或體現(xiàn)

2、高等數(shù)學中常用的思想方法這類試題常受到命題者的青睞，成為高考中一道亮麗的風景，其中不乏以拉格朗日中值定理為背景的高考試題拉格朗日中值定理是利用導數(shù)的局部性研究函數(shù)整體性的重要工具，它是溝通函數(shù)與其導數(shù)之間的橋梁，建立了函數(shù)值與導數(shù)值之間的定量聯(lián)系，因而可以用它來研究函數(shù)的性態(tài) 拉格朗日中值定理是高考試題設置高等數(shù)學背景的一個熱點素材.一拉格朗日中值定理1拉格朗日中值定理：若函數(shù)滿足如下條件：（i）在閉區(qū)間上連續(xù)；（ii）在開區(qū)間內(nèi)可導；則在內(nèi)至少存在一點，使得 .幾何意義： 在滿足定理條件的曲線上至少存在一點，該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端的連線（如圖）二求割線斜率大小-幾何意義的利用由拉

3、格朗日中值幾何意義可知:曲線上兩點的割線斜率,可以轉化為曲線上切線的斜率.即連續(xù)函數(shù)上任意兩點的連線總與某條切線平行.下面通過下題具體分析.例1：（2011年福建省質(zhì)檢理19題）已知函數(shù)（）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（）設問是否存在實數(shù)，使得函數(shù)上任意不同兩點連線的斜率都不小于？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.解（）略（）當時，假設存在實數(shù)，使得的圖象上任意不同兩點連線的斜率都不小于，即對任意，都有即求任意兩點割線斜率的大小，由中值定理知存在，有轉為求切線斜率的大小.即在上恒成立.（以下同參考答案）評析：該題若用初等方法解決，構造函數(shù)同是本題的難點和突破口將轉化為轉而考查函數(shù)，學生不是很容易

4、想到， 但若利用拉格朗日中值定理，則只需求二次導函數(shù)在所給區(qū)間的最小值即可，學生易接受二 利用拉格朗日中值定理證最值（1）證或-即證與的大小關系例2：（2009年遼寧卷理21題）已知函數(shù)（）討論函數(shù)的單調(diào)性；（）證明：若，則對任意，有.（）略；（）要證成立，即證. 令，則.由于，所以.從而在恒成立.也即.又，故.則，即，也即. 評注：這道題（）小題用初等方法做考慮函數(shù).為什么考慮函數(shù)很多考生一下子不易想到.而且的放縮也不易想到.（2）、證明或成立（其中，） -即證或例3：（2007年高考全國卷I第20題）設函數(shù).2（）證明：的導數(shù)；（）證明：若對所有，都有 ，則的取值范圍是.（）略.（）證明：

5、（i）當時，對任意的，都有(ii)當時，問題即轉化為對所有恒成立.令，由拉格朗日中值定理知內(nèi)至少存在一點（從而），使得，即，由于，故在上是增函數(shù)，讓 得，所以的取值范圍是.評注：用的是初等數(shù)學的方法.即令，再分和 兩種情況討論.其中，又要去解方程.但這有兩個缺點：首先，為什么的取值范圍要以為分界展開.其次，方程求解較為麻煩.但用拉格朗日中值定理求解就可以避開討論，省去麻煩.例4：（2008年全國卷22題）設函數(shù).（）求的單調(diào)區(qū)間；（）如果對任何，都有，求的取值范圍.證明（）略； （）證明：當時，顯然對任何，都有；當時，由拉格朗日中值定理，知存在，使得.由（）知，從而.令得，；令得，.所以在上，

6、的最大值在 上，的最大值.從而函數(shù)在上的最大值是.知，當時，的最大值為.所以，的最大值.為了使恒成立，應有.所以的取值范圍是.評注：這道題的參考答案的解法是令,再去證明函數(shù)的最小值.這與上述的思路是一樣的.但首先參考答案的解法中有個參數(shù),要對參數(shù)進行分類討論;其次為了判斷的單調(diào)性,還要求和的解,這個求解涉及到反余弦,較為復雜.而用拉格朗日中值定理就可以避開麻煩，省去討論.再次體現(xiàn)了高觀點解題的優(yōu)越性.三利用拉格朗日中值定理證不等式在近幾年的數(shù)學高考中，出現(xiàn)了不少含有拉格朗日中值定理的試題常以不等式恒成立問題為基本切入點，具有一定的深度，既符合高考命題“能力立意”的宗旨，又突出了數(shù)學的學科特點，

7、較好地甄別了學生的數(shù)學能力 下面以近幾年全國各地的數(shù)學高考試題為例，說明拉格朗日中值定理的不同形式在高考中不等式的應用，更好地體會用“高觀點”解題的優(yōu)勢（1）用于證明與的大小關系例5：(2006年四川卷理第22題) 3已知函數(shù)的導函數(shù)是，對任意兩個不相等的正，證明：（）當時，.證明： 由得，令則由拉格朗日中值定理得：下面只要證明：當時，任意,都有，則有，即證時，恒成立.這等價于證明的最小值大于.由，當且僅當時取到最小值，又，故時，恒成立.所以由拉格朗日定理得：.評注：這道題用初等數(shù)學的方法證明較為冗長，而且技巧性較強.因而思路較為突兀，大多數(shù)考生往往難以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理證明，

8、思路較為自然、流暢.體現(xiàn)了高觀點解題的優(yōu)越性，說明了學習高等數(shù)學的重要性.（2）證明，三者大小的關系例6：（2004年四川卷第22題）3已知函數(shù).（）求函數(shù)的最大值；（）設，證明：.證明（）略； （）證明：依題意，有， 由拉格朗日中值定理得，存在，使得 評注：對于不等式中含有的形式，我們往往可以把和，分別對和兩次運用拉格朗日中值定理.例7：(2006年四川卷理第22題)已知函數(shù)的導函數(shù)是，對任意兩個不相等的正數(shù)，證明：（）當時，證明：（）不妨設，即證由拉格朗日中值定理知，存在，則且，又， .當時，.所以是一個單調(diào)遞減函數(shù)，故從而成立，因此命題獲證四：利用拉格朗日定理證明根的存在4證明方程根的存

9、在性,所給根的范圍就是區(qū)間把所給方程設為函數(shù)就可用拉格朗日中值定理證明方程根的存在性,一般用反證法.例1設在可導,且,又對于內(nèi)所有的點有證明方程在內(nèi)有唯一的實根.分析:要證明方程有唯一的實根,分兩步證明,先證明有根,再證明根是唯一的證明:先證方程有根,令,又因為,則,得到g(0)·g(1)< 0.所以,函數(shù)g(x)在(0,1)內(nèi)至少有一個實根.再證唯一性；假設方程在(0,1)內(nèi)有兩個實根不妨設為,則有,對函數(shù))在上運用拉格朗日中值定理有.因此這和已知條件矛盾.所以方程在(0,1)內(nèi)有唯一的實根.結束語拉格朗日中值定理是數(shù)學分析的一個重要定理，是解決函數(shù)在某一點的導數(shù)的重要具.，

10、不少高考壓軸題以導數(shù)命題，往往可以用拉格朗日中值定理求解.固然，這些壓軸題用初等數(shù)學的方法也可以求解.但求解時一般都需要學生巧妙的構造新函數(shù)，成為難點且往往計算量較大.這時用拉格朗日中值定理交易解決.充分體現(xiàn)了高等數(shù)學的優(yōu)越性，有力反駁了“高數(shù)無用論”的錯誤的想法.從而使學生感受到高等數(shù)學與初等數(shù)學的聯(lián)系，增加學習的興趣.參考文獻1陳紀修,於崇華,金路數(shù)學分析（上冊）M北京：高等教育出版社，2010，123-124 .2吳旻玲. 高考中的拉格朗日中值定理J中學教研( 數(shù)學),2012,：44.3 王一棋.高觀點下的中學數(shù)學拉格朗日中值定理在中學數(shù)學中的應用J數(shù)學教學通訊,63.4 李惟峰. 拉

11、格朗日中值定理在中學數(shù)學中的應用J教學參考,2008,：40.英文摘要Application of Lagrange's mean value theorem in the college entrance examination 【Abstract】In recent years, the college entrance examination proposition is set in higher mathematics become a hot spot. Some college entrance examination questions of many provinces and cities can use the Lagrange's mean value theorem to solve. This paper summarizes the four types of questions. Through some specifi