高三數(shù)學(xué)基本不等式知識(shí)點(diǎn)分析人教新課標(biāo)B版

1、word基本不等式目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、了解基本不等式的證明和幾何解釋，在熟練掌握基本不等式的基礎(chǔ)上，會(huì)用基本不等式解決簡單的最值問題，會(huì)用基本不等式證明不等式.2、通過實(shí)例探索抽象基本不等式，應(yīng)用基本不等式建立數(shù)學(xué)模型. 培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。重點(diǎn)：弄清基本不等式的結(jié)構(gòu)特征，熟悉利用基本不等式求最值和證明不等式難點(diǎn)：創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式求最值的環(huán)境及在應(yīng)用問題中能夠準(zhǔn)確把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求最值的數(shù)學(xué)問題。知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：基本不等式、如果那么當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)）.、如果那么（ 當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)）.、如果那么（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)）

2、.、如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)）、如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)）6、若a1,a2,anR+,則（當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an時(shí)取=號(hào)）。知識(shí)點(diǎn)二：基本不等式的應(yīng)用1、基本不等式的功能在于“和積互化”。（1）、若所證不等式可整理成一邊是和，另一邊是積的形式，則考慮使用平均不等式；（2）、若對(duì)于所給的“和式”中的各項(xiàng)的“積”為定值，則“和”有最小值，對(duì)于給出的“積式”中的各項(xiàng)的“和”為定值則“積”有最大值。2、利用兩個(gè)數(shù)的基本不等式求函數(shù)的最值必須具備三個(gè)條件：（1）、各項(xiàng)都是正數(shù)；（2）、和（或積）為定值；（3）、各項(xiàng)能取得相等的值。3、基本不等式在解決實(shí)際問題中有廣泛的應(yīng)用，在應(yīng)用時(shí)一般

3、按以下步驟進(jìn)行：（1）、先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求把最大值或最小值的變量定為函數(shù)，（2）、建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題.（3）、在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大或最小值（4）、寫出正確答案.規(guī)律方法指導(dǎo)1不等式的應(yīng)用主要圍繞著以下幾個(gè)方面進(jìn)行：會(huì)應(yīng)用不等式的證明技巧解有關(guān)不等式的應(yīng)用題；利用不等式求函數(shù)的定義域、值域；求函數(shù)的最值。2. 二元基本不等式有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)（式）的大小或證明不等式，解決問題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇好利用基本不等式的切入點(diǎn)。3利用基本不等式求最值，要注意

4、使用的條件“一正、二定、三相等”，三個(gè)條件缺一不可，解題時(shí)，有時(shí)為了達(dá)到使用基本不等式的三個(gè)條件，需要通過配湊、裂項(xiàng)、轉(zhuǎn)化、分離常數(shù)等變形手段，創(chuàng)設(shè)一個(gè)應(yīng)用基本不等式的情境。經(jīng)典例題透析類型一：基本不等式的應(yīng)用條件1. 給出下面四個(gè)推導(dǎo)過程： ； ；。其中正確的推導(dǎo)為（ ）A. B. C. D.思路點(diǎn)撥: 利用基本不等式求最值，要注意使用的條件“一正、二定、三相等”，三個(gè)條件缺一不可解析：符合基本不等式的條件，故推導(dǎo)正確.雖然，但當(dāng)或時(shí)，是負(fù)數(shù)，的推導(dǎo)是錯(cuò)誤的.由不符合基本不等式的條件，是錯(cuò)誤的.由得均為負(fù)數(shù)，但在推導(dǎo)過程中，將整體提出負(fù)號(hào)后，均變?yōu)檎龜?shù)，符合基本不等式的條件，故正確.選D.總

5、結(jié)升華：利用基本不等式求最大（?。┲祮栴}時(shí)，要注意使用的條件“一正、二定、三相等”， 只有三者都滿足了，才可以用基本不等式求函數(shù)的最值。正：中，,即各項(xiàng)均為正數(shù)；定：只有（定值）時(shí)，才有最大值；只有（定值）時(shí)，才有最小值；等：只有時(shí)，中的等號(hào)才成立。舉一反三：【變式1】下列命題正確的是（ ）A.函數(shù)的最小值為2. B.函數(shù)的最小值為2C.函數(shù)最大值為 D.函數(shù) 的最小值為2【答案】當(dāng)時(shí)由基本不等式，當(dāng)時(shí)選項(xiàng)A錯(cuò)誤.的最小值為2時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，這是不可能的（ ），選項(xiàng)B錯(cuò)誤.，故選項(xiàng)C正確.【變式2】下列結(jié)論正確的是（ ）A當(dāng)x0,且x1時(shí)， B當(dāng)時(shí)，C. 當(dāng)時(shí)，的最小值為2 D當(dāng)時(shí)，無最大值【答

6、案】B【變式3】下列命題中正確的個(gè)數(shù)是（ ）函數(shù)的最小值是1；的最小值是4；若，則有最大值1。 A0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【答案】C；正確【變式4】某班的同學(xué)在做下題時(shí)給出了以下三種方法，請(qǐng)判斷這三種方法的正誤。已知：且求的最小值.解法一：由得，； +有解法二：由得 故的最小值是解法三：由得 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)時(shí)，的最小值為【答案】：解法一中，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)顯然不滿足，解法一錯(cuò)誤.解法二中，兩者右端均不是“常數(shù)”不滿足基本不等式的最值條件，即以上兩式等號(hào)不能同時(shí)成立，解法二錯(cuò)誤.解法三正確.類型二：求最值2.函數(shù)（1）若，則當(dāng)x=_時(shí)，函數(shù)有最小值_；（2）若，則當(dāng)x=_

7、 時(shí)，函數(shù)有最小值_；（3）若，則當(dāng)x=_時(shí)，函數(shù)有最小值_；（4）若，則當(dāng)x=_時(shí)，函數(shù)有最大值_.解析：（1），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為4；（2） ， 時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為；（3） ，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為；（4），（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)） （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）， 故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為.總結(jié)升華：使用基本不等式，求兩個(gè)數(shù)（式子）的最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，只有三者都滿足了，才可以用基本不等式求函數(shù)的最值；若不能滿足“一正二定三相等”這三個(gè)條件中的任何一個(gè)，不能用基本不等式求函數(shù)的最值，但可以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值。舉一反三：【

8、變式1】求下列函數(shù)的最大（或最?。┲怠＃?）； （2）（3）；【答案】（1）由于為正數(shù)，且為定值 （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)） 當(dāng)時(shí)，。（2）且為常數(shù)（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）當(dāng)時(shí)，。（3）且（當(dāng)且僅時(shí)取等號(hào)），最小值為?！咀兪?】已知?jiǎng)t有（ ）A.最大值 B.最小值 C.最大值1 D.最小值1【答案】解法一：， （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）故選D.解法二：令，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）故選D.【變式3】已知函數(shù)，則函數(shù)的最大值是（ ）A2 B.3 C.4 D.6【答案】 ， （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）【變式4】已知，（1）當(dāng)時(shí),有最小值_；（2）當(dāng)時(shí),有最大值_.【答案】（1）當(dāng)時(shí),，有，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）， 所以有最

9、小值為7；（2）當(dāng)時(shí), ,，有（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以有最大值.3. 已知且，求的最小值.思路點(diǎn)撥:要求的最小值，根據(jù)基本不等式，應(yīng)構(gòu)建某個(gè)積為定值，這需要對(duì)條件進(jìn)行必要的變形，下面給出三種解法，請(qǐng)認(rèn)真體會(huì).解析：解法一：且，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，的最小值是16. 解法二：由，得 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)的最小值是16.解法三：由得， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又時(shí)，的最小值是16.總結(jié)升華：本題給出了三種解法，均用到了基本不等式，且都對(duì)式子進(jìn)行了變形配湊出基本不等式滿足的條件，這是經(jīng)常需要使用的方法，要學(xué)會(huì)觀察學(xué)會(huì)變形.注意解法2通過消元，化二元問題為一元問題，變量的X圍是不可忽視的.舉一反三：

10、【變式1】已知且，求的最小值.【答案】解法一： 由得（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)） 兩邊平方得， 故當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，的最小值為8.解法二：且（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)）， 故當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，的最小值為8.解法三：由且，得，且， 令，則，（當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)） 故當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，的最小值為8.【變式2】若正數(shù)滿足則的取值X圍是.【答案】解法一：由于為正數(shù)， ，即，故（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號(hào)）， 的取值X圍是解法二：由，得 由b0,得a1 當(dāng)且僅當(dāng)即a=3時(shí)取等號(hào)，此時(shí)b=3, 的取值X圍是.【變式3】若實(shí)數(shù)滿足則的最小值是.【答案】，即的最小值是6.4.(1)已知求函數(shù)的最大值. (2)求函數(shù)的最小值.思路點(diǎn)撥

11、:（1）為積的形式，根據(jù)基本不等式，通過函數(shù)變形，設(shè)法將和轉(zhuǎn)化為常數(shù)，即可求得最大值；（2）函數(shù)為和的形式，根據(jù)基本不等式，設(shè)法將積轉(zhuǎn)化為常數(shù)，即可求得最小值.解析：（1）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式的等號(hào)成立，取得最大值.（2）函數(shù)（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立）.總結(jié)升華：使用基本不等式求三個(gè)數(shù)的最值時(shí)，為了湊“常數(shù)”，一般有兩種方法：第一種求“積”的形式的最大值時(shí)，常用拆方湊系數(shù)法；對(duì)于“和”式求最小值時(shí)，一般常用“平均裂項(xiàng)”的辦法.舉一反三：【變式1】設(shè)，求函數(shù)的最大值?！敬鸢浮浚覟槌?shù)當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，上式的等號(hào)成立，故時(shí)，.【變式2】設(shè)，求的最大值。【答案】由，函數(shù)式兩邊平方：； 類型三：應(yīng)用5. 已知

12、，且，求證：思路點(diǎn)撥:注意到，能否考慮到三個(gè)式子相乘中每個(gè)式子中均可構(gòu)成一個(gè)“2”而得到的結(jié)果，于是可對(duì)每一個(gè)式子進(jìn)行分析，由可找到解決問題的途徑。解析：，且（1）同理可得：（2）（3）（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上列三式子取等號(hào)）三式相乘可得：即原命題成立?？偨Y(jié)升華：1.如何合理利用是解決問題的關(guān)鍵，在證明含有條件的不等式時(shí)，注意巧妙使用所給條件是不容忽視的。2. 在利用基本不等式進(jìn)行綜合法證明時(shí)，把多個(gè)均值不等式疊加得到復(fù)雜不等式的方法很常用。舉一反三：【變式1】已知a, b, c是不全相等的正數(shù)， 求證：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc【答案】 b2

13、+ c2 2bc , a 0 , a(b2 + c2) 2abc 同理：b(c2 + a2) 2abc , c(a2 + b2) 2abc a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc 當(dāng)且僅當(dāng)b=c,c=a,a=b時(shí)取等號(hào)，而a, b, c是不全相等的正數(shù) a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc6已知定點(diǎn)M(6,4)和射線: y=4x(x0)，試在射線上求一點(diǎn)N，使射線, 直線MN及x軸圍成的三角形面積S最小，并求此最小面積。 解析：設(shè)N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a(a0)，則N(a, 4a).于是MN所在直線的方程為：(a

14、-6)(y-4)=(4a-4)(x-6)令y=0, 則x=, x0, a1.設(shè)直線MN與x軸的交點(diǎn)為Q(),當(dāng)且僅當(dāng) 即a=2時(shí)，(SOQN)min=40.因此，在射線上取點(diǎn)N(2,8)時(shí)，所圍的三角形面積最小，最小面積為40?？偨Y(jié)升華：對(duì)于應(yīng)用題要通過閱讀、理解所給定的材料尋找量與量之間的內(nèi)在聯(lián)系，抽象出事物系統(tǒng)的主要特征與關(guān)系，建立起相應(yīng)的能反映其本質(zhì)屬性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，從而建立起數(shù)學(xué)模型，然后利用不等式的知識(shí)解決題目所提出的問題?！咀兪健咳鐖D，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜

15、質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a,b的乘積成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，當(dāng)a,b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小（A、B孔的面積忽略不計(jì)）?！敬鸢浮拷夥ㄒ唬涸O(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則依題意，即所求的a,b的值使y值最小。據(jù)題意，有 4b+2ab+2a=60 (a0, b0)得（0a30）于是：當(dāng)時(shí)取等號(hào)，y達(dá)到最小值，這時(shí)，a=6, a=-10 (舍去)，將a=6代入 式得 b=3.答：當(dāng)a為6米，b為3米時(shí)，給沉淀后流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小。解法二：令u=ab=，a2+(u-30)a+2u=0=(u-30)2-8u0u2-68u+9000，u18或u50(舍).當(dāng)u=18時(shí)，a=6, b=3，當(dāng)a=6，b=3時(shí)，umax=18，此時(shí)，ymin=.解法三：2ab+2a+4b=60，直接利用不等式a+2b2，得ab+2-300，將其看成是關(guān)于的二次不等式，這樣可求得的最大值，這時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)等成立由ab+a+2b=3