2019屆高考數(shù)學(xué)(浙江版)一輪配套講義：4.4三角函數(shù)的最值與綜合應(yīng)用

1、 4.4 三角函數(shù)的最值與綜合應(yīng)用考綱解讀分析解讀1.三角函數(shù)的最值問題是三角函數(shù)性質(zhì)和三角恒等變換的綜合應(yīng)用，是數(shù)形結(jié)合的較好體現(xiàn)是高考的熱點(diǎn)2. 三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用，在高考命題中，單擺、彈簧振子、圓上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，以及音樂、波浪、潮汐、四季變化等周期現(xiàn)象是新的命題背景，借此突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用性質(zhì)，也是高考命題的關(guān)注點(diǎn).3. 預(yù)計(jì) 2019 年高考試題中，本節(jié)內(nèi)容是高考命題的熱點(diǎn)，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起高度重視.五年高考考點(diǎn) 三角函數(shù)的最值與綜合應(yīng)用1.(2017 課標(biāo)全國(guó)川文，6,5 分)函數(shù) f(x)= sin +cos 的最大值為()6

2、H 1A. B.1 C. D.答案 A2.(2016 課標(biāo)全國(guó) I ,12,5 分)已知函數(shù) f(x)=sin( w x+ $ )：一亠d,x=- 為 f(x)的零點(diǎn),x= 為 y=f(x)fTTSir、圖象的對(duì)稱軸，且 f(x)在：上單調(diào)，則 w的最大值為()A.11B.9 C.7 D.5答案 B3.(2017 課標(biāo)全國(guó) n 文,13,5 分)函數(shù) f(x)=2cosx+sinx的最大值為_答案4.(2017 課標(biāo)全國(guó) n 理答案 13,14,5 分)函數(shù) f(x)=sin2x+cosx-罔碣)的最大值是5.(2017 北京文,16,13分)已知函數(shù) f(x)= cos，-2sinxcosx

3、.(1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 求證:當(dāng) x M 可時(shí),f(x) -2.解析本題考查三角恒等變換，三角函數(shù)的性質(zhì)(1)f(x)=/33cos2x+ sin 2x-s in2x=sin 2x+cos2x=sin；.所以 f(x)的最小正周期 T= = n .ITIT證明：因?yàn)? x sin，=- .IT IT所以當(dāng) x 還劉時(shí),f(x)n(2)將函數(shù) y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的 2 倍(縱坐標(biāo)不變),再將得到的圖象向左平移個(gè)單fitSir位，得到函數(shù) y=g(x)的圖象，求 g(x)在.上的最小值解析本題考查了 y=Asin( 3 x+ $ )的圖象和性質(zhì)及最值fi

4、troTT ir由題設(shè)知 r =0,所以 -=k n ,k 乙故 3 =6k+2,k 乙又 0 3 3,所以 3 =2.IT3nlnr nr 2irlHl,所以 x-遼 PE,K ITITJ當(dāng) x-：=-,即 x=-時(shí),g(x)取得最小值-.7.(2014 重慶,17,13 分)已知函數(shù) f(x)= sin( 3 x+ $ )：uW 的圖象關(guān)于直線 x=對(duì)稱，且圖象上 相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為n.(1)求 3 和$的值；若 f：；=,求 cos 的值.2TT解析(1)因?yàn)?f(x)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為n ,所以 f(x)的最小正周期 T=n ,從而 3 =2.又因?yàn)?f(x)的圖象關(guān)于

5、直線 x=對(duì)稱,所以 2 +$ =k n + ,k=0, 1, 2,.6.(2017 山東理,16,12 分)設(shè)函數(shù) f(x)=sin(1)求 3；+sin,其中 OS 3.已知 f =0.(1)因?yàn)?f(x)=sin因?yàn)?x +sin所以f(x)=sin 3 x-cos 3 x-cos 3 x=.sin(2)由(1)得 f(x)=所以 g(x)= . sin卜易.TTTT由-v $ 得 k=0,所以，函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k 乙TT 2ir IT所以 0 =L- . =-.(2)由得 f 隹)*sin P 餐)=愛所以 sin =.ITn ir由 ya 得 0 a -: ,教師用書

6、專用(8 11)22(日8.(2015 天津，15,13 分)已知函數(shù) f(x)=sin x-sin ,x R.(1)求 f(x)的最小正周期；1irnl求 f(x)在區(qū)間燈可上的最大值和最小值所以,f(x)的最小正周期 T= = n .(2)因?yàn)?f(x)在區(qū)間ITTT1fIT上是減函數(shù)，在區(qū)間召可上是增函數(shù)，f (3=-可,=f=- ,r=：.所以,f(x)在IT7T區(qū)間-.上的最大值為：,最小值為.9.(2014 四川,16,12 分)已知函數(shù) f(x)=sin(1)求 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間a 的值.解析(1)因?yàn)楹瘮?shù) y=sinx 的單調(diào)遞增區(qū)間為專+2kn 舟+2&水ZTT

7、IT K由-+2k nW 3x+ W +2kn ,k 乙 得ir 2knTT 2kir-+ W xW+ ,k Z.=sin a =sin因此COS1311-cos2x= : sin2x- cos2x= sinl-cos2xf(x)=是第二象限角,f:= coscos2 a ,求 cos a -sin所以 COS =品1H)=M)皆=cos sin2x-sincos2x=sin (1)f(x)的最小正周期為 T= =n , 即函數(shù) f(x)的最小正周期為 n .IT 0W xw ,IT IT Sir - w 2x-w.由正弦函數(shù)的性質(zhì)，IT ITTV當(dāng) 2x-:=,即 x=時(shí),f(x)取得最大值

8、 1.n IT1當(dāng) 2x-:=-:,即 x=0 時(shí),f(0)=-,IT 5IT當(dāng) 2x- = n ,即 x=時(shí)，所以 sinacos +cosasinCDSKCOS?-siuasinS J:1(cosa-sina).4即 sina+cosa= (cosa-sina)(Sina+cosa).UTT當(dāng) sina+cosa=0 時(shí)，由a是第二象限角，知 a = +2k n ,k 乙此時(shí),COS a -sin a =- .5當(dāng) sin a +cos a豐0 時(shí)，有(cos a -sin a )2=:.由 a是第二象限角，知 cos a -sin a 0,此時(shí) COS a -sin a =- 綜上所述,

9、cos a -sin a =- 或-.COSX.-T萬(wàn)10.(2013 陜西,16,12 分)已知向量 a=,b=(sinx,cos2x),xR,設(shè)函數(shù) f(x)=a b.(1)求 f(x)的最小正周期；求 f(x)在上的最大值和最小值.=.cosxsinx-cos2xsin 2x- cos2xA.1-B.1 +C. D.2 f(x)的最小值為-.因此,f(x)11.(2014I. .上的最大值是 1,最小值是-匚.天的溫度(單位：C)隨時(shí)間 t(單位:h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：在湖北,17,11 分)某實(shí)驗(yàn)室.cos t-sin t,t 0,24).f(t)=10-(1) 求實(shí)驗(yàn)室這一天的

10、最大溫差；(2) 若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于11 C ,則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫解析(1)因?yàn)?f(t)=10-2二：J：*=10-2si n,TT IT IT 7n( IT , 7T又 0 t24,所以 w幣 t+ ,-1 11時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫.由(1)得 f(t)=10-2sin故有10-2sin7711111 1糾又 0 t24,因此. t+ ，,即 10t18.在 10 時(shí)至 18 時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫.三年模擬A 組 20162018 年模擬基礎(chǔ)題組考點(diǎn) 三角函數(shù)的最值與綜合應(yīng)用1.(2018 浙江“七彩陽(yáng)光”1 cABC=a：則的最大聯(lián)盟期初聯(lián)考,8)已知 a,b,c 分別為 ABC 的

11、內(nèi)角 A,B,C 所對(duì)的邊，其面積滿足 S2.(2017 浙江“七彩陽(yáng)光” 新高考研究聯(lián)盟測(cè)試，5)函數(shù) f(x)=2cosxsin的最大值為()答案 A3.(2016 浙江名校不可能是(STTA.B. n7irC. D.2 n(柯橋中學(xué))交流卷四,4)已知函數(shù) y=2sinx 的定義域?yàn)閍,b,值域?yàn)?2,1,則 b-a 的值答案 D點(diǎn)個(gè)數(shù)為_答案 1+12k,k N;85.(2017 浙江高考模擬訓(xùn)練沖刺卷四,11)若函數(shù) f(x)=asinx+bcosx(abb則=_,f(0)的值為_.答案 ;-26.(2018 浙江“七彩陽(yáng)光”聯(lián)盟期中,18)已知函數(shù) f(x)=2sin cosx.(

12、1)求函數(shù) f(x)的最大值和最小正周期；1設(shè)厶 ABC 的內(nèi)角 A,B,C 的對(duì)邊分別為 a,b,c,且 c=2 ,f(C)=.若 sin B=2s in A,求 a,b 的值.解析(1)f(x)sinxcosx-cosin2=sin，(4 分) f(x)的最大值為，最小正周期為 n .(6 分)由(1)知,f(C)=sin-=,則 sin =1.TT IT 1 In/ 0Cn , 02C2n , - y2C , 2C-二， C= .(9 分)/ sinB=2sinA, b=2a.(11 分) 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcos ,即 a +b-ab=12,(13 分)由解得 a=

13、2,b=4.(15 分)7.(2017 浙江五校聯(lián)考(5 月)已知函數(shù) f(x)=(sinx+- cosx) (cosx- . sinx).(1)求函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； 若 f(x0)= ,x0II,求 cos2x0的值.解析(1)f(x)=(sinx+cosx) (cosx- sinx)=2sinIT 2TT717nTT令 2k n - W 2x+ W 2k n + (k Z),得 k n - x0)的一段圖象如圖所示， ABC 頂點(diǎn) A 與坐標(biāo)原 點(diǎn) O 重合,B是f(x)的圖象上一個(gè)最低點(diǎn),C在x軸上，若內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c,且厶ABC的面積 S滿足12S=b

14、2+c2-a2,將 f(x)的圖象右移一個(gè)單位得到 g(x)的圖象，則 g(x)的表達(dá)式為()1 1A.g(x)=cos x B.g(x)=-cos xC.g(x)=si nD.g(x)=si n (鶉答案 D2.(2017 浙江杭州質(zhì)檢,9)在厶 ABC 中，角 A,B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c,且 b=5,+=0,則a+c=()A.6 B.7 C.8 D.9答案 B二、填空題3.(2017 浙江金華十校調(diào)研,17)若函數(shù) f(x)=|asinx+bcosx-1|+|bsinx-acosx|(a,b2 2a +b =_.答案 50 R)的最大值為 11,則2TT4.(2016 浙江鎮(zhèn)海

15、中學(xué)測(cè)試(五),15)要在一塊圓心角為，半徑為 1 的扇形紙片中截出一塊矩形，則該矩形面積的最大值是_ .答案三、解答題出溟25.(2018 浙江浙東北聯(lián)盟期中,18)已知函數(shù) f(x)= - sin2x-cos x-m.(1)求函數(shù) f(x)的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間；Sir2T當(dāng) x1時(shí)，函數(shù) f(x)的最大值為 0,求實(shí)數(shù) m 的值.解析(1)f(x)= sin 2x-cos 分)2x-msin2x-m=sinm，則函數(shù) f(x)的最小正周期 T=n .(4/ cos2x0=COS又 Xocos j,由-+2k n W 2x- +2kn ,k乙得-=+k n W x W +k n ,k乙

16、故函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為皆 k 呼叫 k 乙(7 分)Sir Mit因?yàn)?x- .|,所以 2x- 囲，（9 分）則當(dāng) 2x-=,即 x=時(shí),函數(shù)取得最大值0,（12 分）1 1即 1-m- =0,解得 m= .（14 分）6. （2018 浙江名校協(xié)作體期初,18）已知函數(shù) f（x）=sin（1）求 3 的值；將函數(shù) y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的1（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù) y=g（x）的圖象，求函數(shù)C 組 20162018 年模擬方法題組方法 1 關(guān)于三角函數(shù)值域或最值的解題策略1.（2017 浙江臺(tái)州調(diào)研,18）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知點(diǎn) xy=g（x）在

17、區(qū)間上的最值.sin+ .（4 分）解析（1）f（x）=2nT= ：=n ,故 3 =1.(6 分)根據(jù)題意知 g(x)=f(2x)=R3TT TT+ ,(8 分)-0當(dāng) x 列時(shí),4x+耳可可,(10 分)2;g(x)max=g(0)=1.(14 分)所以 g(x)min=g7.(2017 浙江溫州 2 月模擬,18)已知函數(shù) f(x)= . sinxcosx+cos2x.(1)求函數(shù) f(x)的最小正周期；TE5若-a 0,f( a )=,求 Sin2 a 的值.解析（1）f（x）=sin 2x+函數(shù) f（x）的最小正周期是Qf(a )=sincos2x+1=sin、n .(6 分)+ =

18、 , sin，= ,(8 分)in+ .(4 分)TTSnK Kfya 0, -0,+ , cos、： = ,(10 分)f t、s；cos：2a + = I 00)的最小正周期為 n .,將向量繞原點(diǎn) O 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)弧度得到向量 .(1)若 x=,求點(diǎn) Q 的坐標(biāo);已知函數(shù) f(x)=.,令 g(x)=f(x)71IT IT解析 (1)由已知得XQ=COS：1=cos cos -sinfir, TTn n IT n卓+ 肩yQ=sin=sinCOS+COSsin =,f nX l+cos2x迴于是，g(x)=cosx COS=- sin2x=因?yàn)?1 w sin 1,所以 g(x)的值域?yàn)橄笙蜃笃揭苽€(gè)單位后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)(1)求 f(x)的解析式；在銳角 ABC 中，角 A,B,C 所對(duì)的邊分別為 a,b,c,且滿足(2c-a)cosB=bcosA,求 f(A)的取值范圍解析TfJ=-f(x), f(x+ n )=-f=f(x),IT T=n , o =2,設(shè) f(x)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x),