函數(shù)的和差積商的導數(shù)

1、函數(shù)的和差積商的導數(shù)教案教學目的1使學生學會根據(jù)函數(shù)的導數(shù)的定義推導出函數(shù)導數(shù)的四則運算法則；2使學生掌握函數(shù)導數(shù)的四則運算法則，并能熟練地運用這些法則去求由基本初等函數(shù)的和、差、積、商構成的較復雜的函數(shù)的導數(shù)教學重點和難點本節(jié)課的重點是求函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)的運算法則難點是求函數(shù)的積和商的導數(shù)的運算公式及其推導方法教學過程一、復習提問1求導數(shù)的三個步驟是什么？(先讓全體學生回憶，再請一名學生單獨回答若答錯或不完善則請另外學生糾正或補充)(1)求函數(shù)的增量：y=f(xx)f(x)；2試用導數(shù)的定義求函數(shù)yxx2的導數(shù)(要求全體學生在課堂練習本上做，同時找一至兩名學生板演)解：設y=f(x

2、)xx2，則y=f(xx)f(x)(xx)(xx)2(xx2)x(12xx)，二、引入新課讓學生觀察復習提問2的結果：y=12x從這個結果可以得到以下兩點啟示：1函數(shù)yxx2是兩個函數(shù)(yx和yx2)的和，它的導數(shù)可以用導數(shù)的定義直接求得；2函數(shù)yxx2的導數(shù)y=12x，恰好是函數(shù)yx和yx2導數(shù)的和那么，任意兩個函數(shù)的和的導數(shù)是否都是這兩個函數(shù)導數(shù)的和呢？結論是肯定的三、講解新課1和(差)的導數(shù)法則1 兩個函數(shù)的和(差)的導數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(差)即其中u和v都是x的可導函數(shù)證明：(可讓學生自己完成)設y=f(x)u(x)v(x)，則y=u(xx)±v(xx)u(x)&#

3、177;v(x)=u(xx)u(x)±v(xx)v(x)=u±v，即y'=(u±v)'=u'±v'追問：條件“u和v都是可導函數(shù)”有沒有必要？它在證明法則的過程中用于何處？說明：這個法則可以推廣到任意有限個函數(shù)，即例1 求函數(shù)yx3sinx的導數(shù)解：y'(x3)'(sinx)'3x2cosx設問(繼續(xù)引入新課)：既然有(u±v)'u'±v'，那么是否也有呢？就上述“設問”給出兩個反例，以防止極限運算中，積和商的法則在此處的負遷移：把函數(shù)yx3看作函數(shù)u(x

4、)=x和函數(shù)v(x)=x2的乘積，即y=x·x2按(1)求導有：y'(x·x2)'(x)'·(x2)'=2x顯然與y'(x3)'3x2的正確結果不符可見該(1)為謬那么，正確的法則是什么呢？我們可以由導數(shù)的定義直接推導出來2積的導數(shù)法則2 兩個函數(shù)的積的導數(shù)，等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘以第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導數(shù)即其中u和v都是x的可導函數(shù)證明：設yf(x)u(x)·v(x)，則y=u(xx)·v(xx)u(x)·v(x)u(xx)·v(xx)u(x)·

5、;v(xx)u(x)·v(xx)u(x)·v(x)，因為v(x)在點x處可導，所以它在點x處連續(xù)，于是當x0時，v(xx)v(x)，從而即 y'=(uv)'=u'vuv'若c為常數(shù)，則從法則2立即可以推出：(cu)'=c'ucu'=0cu'=cu'就是說，常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)，等于常數(shù)積以函數(shù)的導數(shù)即例2 求函數(shù)y(2x23)(3x2)的導數(shù)4x(3x2)(2x23)·318x28x93商的導數(shù)法則3 兩個函數(shù)的商的導數(shù)，等于分子的導數(shù)與分母的積，減去分母的導數(shù)與分子的積，再除以分母的平方即因

6、為v(x)在點x處可導，所以它在點x處連續(xù)，于是當x0時，v(xx)v(x)，從而即解：例4 求證當n是負整數(shù)時，公式(xn)'=nxn-1仍然成立證明：設 n=m(m為正整數(shù))說明：當n0時，(xn)'nxn-1也成立，所以對于一切整數(shù)n，公式(xn)'nxn-1成立四、小結1通過用導數(shù)的定義求導數(shù)的方法，可直接推導得函數(shù)和(或差)、積、商的導數(shù)公式：(1)(u±v)'=u'±v'；(2)(uv)'u'vuv'；(cu)'cu'(c為常數(shù))；其中u和v是x的可導函數(shù)2公式(2)對于u和v是對稱的，而公式(3)對于u和v卻不是對稱的，這一點要特別注意3和(或差)的導數(shù)法則可以推廣到任意有限個函數(shù)的情況那么，對于任意有限個函數(shù)的積的導數(shù)又怎樣呢？(此問題要求學生在課后思考，下一節(jié)課將給予回答)五、布置作業(yè)1閱讀課本中“函數(shù)的和、差、積、商的導數(shù)”這一節(jié)的課文；2求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)y5x53x3x25；(