函數(shù)的求導(dǎo)法則

1、§2. 2函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)目的要求：1. 掌握導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，并能靈活應(yīng)用。.2. 熟記基本求導(dǎo)公式。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則難點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則教學(xué)過程：一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理1如果函數(shù)u=u(x)及v=v(x)在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù),那么它們的和、差、積、商(除分母為零的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù), 并且 u(x) ±v(x)¢=u¢(x) ±v¢(x) ; u(x)×v(x)¢=u¢(x)v(x)+u(x)v¢(x);.證明 (1)=u¢(x)±v&

2、#162;(x). 法則(1)可簡單地表示為 (u±v)¢=u¢±v¢.(2)=u¢(x)v(x)+u(x)v¢(x),其中v(x+h)=v(x)是由于v¢(x)存在,故v(x)在點(diǎn)x連續(xù). 法則(2)可簡單地表示為 (uv)¢=u¢v+uv¢.(3) .法則(3)可簡單地表示為. (u±v)¢=u¢±v¢, (uv)¢=u¢v+uv¢,.定理1中的法則(1)、(2)可推廣到任意有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形. 例如

3、, 設(shè)u=u(x)、v=v(x)、w=w(x)均可導(dǎo), 則有(u+v-w)¢=u¢+v¢-w¢.(uvw)¢=(uv)w¢=(uv)¢w+(uv)w¢ =(u¢v+uv¢)w+uvw¢=u¢vw+uv¢w+uvw¢.即 (uvw)¢ =u¢vw+uv¢w+uvw¢.在法則(2)中, 如果v=C(C為常數(shù)),則有 (Cu)¢=Cu¢.例1y=2x 3-5x 2+3x-7,求y¢解: y&#

4、162;=(2x 3-5x 2+3x-7)¢= (2x 3)¢-(5x 2)¢+(3x)¢-(7)¢= 2 (x 3)¢- 5( x 2)¢+ 3( x)¢=2×3x 2-5×2x+3=6x 2-10x+3.例2.,求f ¢(x)及.解:,.例3y=e x (sin x+cos x),求y¢.解: y¢=(e x )¢(sin x+cos x)+ e x (sin x+cos x)¢= e x (sin x+cos x)+ e x (cos x

5、-sin x)=2e x cos x.例4y=tan x ,求y¢.解: .即 (tan x)¢=sec2x .例5y=sec x,求y¢.解:=sec x tan x .即 (sec x)¢=sec x tan x .用類似方法,還可求得余切函數(shù)及余割函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: (cot x)¢=-csc2x , (csc x)¢=-csc x cot x .二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理2 如果函數(shù)x=f(y)在某區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f¢(y)¹0, 那么它的反函數(shù)y=f-1(x)在對應(yīng)區(qū)間Ix=x|x=f(y),y

6、6;Iy內(nèi)也可導(dǎo), 并且.或.簡要證明: 由于x=f(y)在Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)(從而連續(xù)), 所以x=f(y)的反函數(shù)y=f-1(x)存在,且f-1(x)在Ix內(nèi)也單調(diào)、連續(xù). 任取xÎIx, 給x以增量Dx(Dx¹0,x+DxÎIx), 由y=f-1(x)的單調(diào)性可知Dy=f-1(x+Dx)-f-1(x)¹0,于是.因?yàn)閥=f-1(x)連續(xù), 故從而. 上述結(jié)論可簡單地說成: 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).例6設(shè)x=sin y,為直接函數(shù), 則y=arcsin x是它的反函數(shù). 函數(shù)x=sin y在開區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 且(sin y)¢

7、=cos y>0.因此, 由反函數(shù)的求導(dǎo)法則, 在對應(yīng)區(qū)間Ix=(-1,1)內(nèi)有.類似地有:.例7設(shè)x=tan y,為直接函數(shù), 則y=arctan x是它的反函數(shù). 函數(shù)x=tan y在區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 且(tan y)¢=sec2y¹0.因此, 由反函數(shù)的求導(dǎo)法則, 在對應(yīng)區(qū)間Ix=(-¥,+¥)內(nèi)有 .類似地有:.例8設(shè)x=ay(a>0,a¹1)為直接函數(shù), 則y=logax是它的反函數(shù). 函數(shù)x=ay在區(qū)間Iy=(-¥,+¥)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 且(ay)¢=ayln a¹0.因此, 由

8、反函數(shù)的求導(dǎo)法則, 在對應(yīng)區(qū)間Ix=(0,+¥)內(nèi)有 .到目前為止, 所基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)我們都求出來了, 那么由基本初等函數(shù)構(gòu)成的較復(fù)雜的初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如可求呢？如函數(shù)lntan x 、的導(dǎo)數(shù)怎樣求？三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理3 如果u=g(x)在點(diǎn)x可導(dǎo), 函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)u=g(x)可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)在點(diǎn)x可導(dǎo), 且其導(dǎo)數(shù)為或.證明: 當(dāng)u=g(x)在x的某鄰域內(nèi)為常數(shù)時(shí),y=fj(x)也是常數(shù), 此時(shí)導(dǎo)數(shù)為零, 結(jié)論自然成立.當(dāng)u=g(x)在x的某鄰域內(nèi)不等于常數(shù)時(shí),Du¹0, 此時(shí)有,= f ¢(u)×g¢(x).簡

9、要證明:.例9 , 求. 解 函數(shù)可看作是由y=eu,u=x3復(fù)合而成的, 因此. 例10 , 求. 解 函數(shù)是由y=sin u,復(fù)合而成的,因此.對復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較熟練后, 就不必再寫出中間變量,例11lnsin x, 求.解:.例12, 求.解:.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多個(gè)中間變量的情形. 例如, 設(shè)y=f(u),u=j(v),v=y(x), 則. 例13y=lncos(e x), 求. 解:. 例14, 求. 解:.例15設(shè)x>0, 證明冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 (xm)¢=mxm-1.解 因?yàn)閤m=(e ln x)m=em ln x, 所以 (xm)¢=(em

10、 ln x)¢= em ln x×(m ln x)¢= em ln x×mx-1=mxm-1.四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)(C)¢=0,(2)(xm)¢=mxm-1,(3)(sin x)¢=cos x,(4)(cos x)¢=-sin x,(5)(tan x)¢=sec2x,(6)(cot x)¢=-csc2x,(7)(sec x)¢=sec x×tan x,(8)(csc x)¢=-csc x×cot x,(9)(ax)

11、2;=ax ln a,(10)(ex)¢=ex,(11)(12),(13)(14) (15),(16). 2函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 設(shè)u=u(x),v=v(x)都可導(dǎo), 則(1)(u±v)¢=u¢±v¢,(2)(Cu)¢=Cu¢,(3)(uv)¢=u¢×v+u×v¢,(4). 3反函數(shù)的求導(dǎo)法則設(shè)x=f(y)在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f¢(y)¹0, 則它的反函數(shù)y=f-1(x)在Ix=f(Iy)內(nèi)也可導(dǎo), 并且 .或.4復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

12、 設(shè)y=f(x),而u=g(x)且f(u)及g(x)都可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)的導(dǎo)數(shù)為或y¢(x)=f¢(u)×g¢(x).例16.求雙曲正弦sh x的導(dǎo)數(shù).解: 因?yàn)? 所以,即 (sh x)¢=ch x.類似地, 有(ch x)¢=sh x.例17.求雙曲正切th x的導(dǎo)數(shù). 解: 因?yàn)? 所以.例18.求反雙曲正弦arsh x的導(dǎo)數(shù). 解: 因?yàn)? 所以.由, 可得.由, 可得.類似地可得,.例19y=sin nx×sinn x (n為常數(shù)), 求y¢.解:y¢=(sin nx)¢ sin