第六章變量之間的關(guān)系

1、第六章 變量之間的關(guān)系一、主要內(nèi)容 本套教科書從七年級(jí)下冊(cè)開始引入變量和變量之間關(guān)系的內(nèi)容，非形式化地開始對(duì)函數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí).本套教科書對(duì)函數(shù)內(nèi)容的處理是分層次的，是遵照循序漸進(jìn)、螺旋上升的原則進(jìn)行設(shè)計(jì)的，而不是一蹴而就的.本章主要通過豐富的生活實(shí)例（如小車下滑的時(shí)間、變化中的三角形、溫度的變化、速度的變化等）內(nèi)容使學(xué)生感受現(xiàn)實(shí)世界中變量和變量之間存在的各種各樣的關(guān)系及其規(guī)律，了解表示這些關(guān)系的基本方法，將為以后學(xué)習(xí)函數(shù)打下基礎(chǔ).二、教學(xué)目標(biāo)1、經(jīng)歷探索具體情境中兩個(gè)變量之間關(guān)系的過程，進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)感和抽象思維；2、能發(fā)現(xiàn)實(shí)際情景中的變量及其相互關(guān)系，并確定其中的自變量或因變量；3、能從表格、

2、圖象中分析出某些變量之間的關(guān)系，并能用自己的語言進(jìn)行表達(dá)；4、能根據(jù)具體問題，選取用表格或代數(shù)式來表示某些變量之間的關(guān)系；5、結(jié)合對(duì)變量之間關(guān)系的分析，嘗試對(duì)變化趨勢(shì)進(jìn)行初步的預(yù)測(cè).三、設(shè)計(jì)思路 變化是永恒的，我們周圍的一切都在發(fā)生著變化，如溫度的變化、速度的變化、物價(jià)的變化、股市的變化、月相的變化、季節(jié)的變化、身高體重的變化、興趣愛好的變化等.總之，我們生活在一個(gè)變化的世界之中. 事物的變化有一定的規(guī)律嗎？它們的變化是如何互相影響的？如何從數(shù)學(xué)的角度對(duì)變量和變量之間的關(guān)系進(jìn)行描述？這些問題的提出，就使得研究變化的數(shù)學(xué)內(nèi)容變量和變量之間的關(guān)系，成為與現(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系最密切的內(nèi)容之一. 國際上對(duì)數(shù)學(xué)

3、課程的研究，以及數(shù)學(xué)課程發(fā)展的趨勢(shì)表明，兒童早期對(duì)函數(shù)的豐富經(jīng)歷是十分重要的，因此對(duì)變量的學(xué)習(xí)、對(duì)變化規(guī)律的探索和描述應(yīng)從低年級(jí)開始.當(dāng)然鑒于學(xué)生的認(rèn)知水平和數(shù)學(xué)準(zhǔn)備，這種對(duì)變量和變量之間關(guān)系的研究應(yīng)該是從一種非形式化的研究開始，即引導(dǎo)學(xué)生注意周圍的變化的事物、分析變量之間的關(guān)系，初步地對(duì)變量之間的關(guān)系進(jìn)行描述和用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行表示、初步地體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的思想. 變量和變量之間關(guān)系的引入，還使得學(xué)生從常量的世界進(jìn)入變量的世界，使他們的知識(shí)結(jié)構(gòu)與變化著的周圍環(huán)境更加和諧，使他們可以根據(jù)事物前面發(fā)生變化的情況，預(yù)測(cè)出后面將要發(fā)生的變化，也就是說，在一定意義下可以把握變化. 變量和變量之間關(guān)系的引入，

4、幫助學(xué)生從看起來復(fù)雜無章的數(shù)據(jù)中，發(fā)現(xiàn)規(guī)律和秩序，從而對(duì)事物的本質(zhì)有更深刻的認(rèn)識(shí). 對(duì)變量和變量之間關(guān)系的學(xué)習(xí)，將使學(xué)生的思維層次得到提高，使他們面對(duì)變化的世界充滿信心. 通過大量豐富的現(xiàn)實(shí)背景，通過學(xué)生感興趣的、廣泛聯(lián)系多學(xué)科的問題（如嬰兒體重的增長、駱駝的體溫、潮汐的升落、地球內(nèi)部的溫度等），使學(xué)生體會(huì)變量和變量之間相互依賴的關(guān)系，也使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的廣泛聯(lián)系和應(yīng)用價(jià)值. 本章還通過讓學(xué)生分析用表格、代數(shù)式和圖象所表示的關(guān)系，使學(xué)生逐步理解變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表示方法，并初步學(xué)習(xí)用表格和代數(shù)式表示簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系.本章還特別對(duì)變量之間關(guān)系的圖象表示的內(nèi)容進(jìn)行了更多的安排，這是因?yàn)殛P(guān)系的圖象表示以

5、其直觀性有著別的表示方式所不能替代的作用，圖象是將關(guān)系式和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為幾何形式，因此，圖象是“看見”相應(yīng)的關(guān)系和變化情況的途經(jīng).而且，在許多情況下，無法用數(shù)學(xué)式表示的變量之間的關(guān)系，卻可以用圖形來表示.如等壓線、等溫線、一些物體運(yùn)動(dòng)的軌跡等.1、 小車下滑的時(shí)間一、教材分析：通過使學(xué)生經(jīng)歷分析小車下滑時(shí)間的活動(dòng)，引入變量、變量之間的關(guān)系，及變量之間關(guān)系的第一種表示方法表格. 還借助人口統(tǒng)計(jì)表、土豆氮肥施用量表等，使學(xué)生學(xué)習(xí)如何從表格獲得信息，及發(fā)展進(jìn)行數(shù)據(jù)分析、進(jìn)行預(yù)測(cè)和解決問題的能力.二、教學(xué)目標(biāo)：1、經(jīng)歷探索具體情境中兩個(gè)變量之間的過程，獲得探索變量之間關(guān)系的體驗(yàn)，進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)感.2、在具

6、體情境中理解什么是變量，自變量、因變量，并能舉出反映變量之間關(guān)系的例子.3、能從表格中獲得變量之間關(guān)系的信息，能用表格表示變量之間的關(guān)系，并根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)嘗試對(duì)變化趨勢(shì)進(jìn)行初步的預(yù)測(cè).三、教學(xué)建議：1、本課課例提供了探討小車下滑時(shí)間與支撐物高度關(guān)系的活動(dòng)，使學(xué)生初步體會(huì)變量之間的相依關(guān)系.提議有條件的學(xué)校讓學(xué)生自己動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)（小組合作），記錄并列表格，使他們獲得變量之間關(guān)系的直觀體驗(yàn).嘗試從表格中分析變量之間的關(guān)系.教師在學(xué)生活動(dòng)過程中應(yīng)進(jìn)行督促和及時(shí)總結(jié)，關(guān)注學(xué)生是否積極參與，是否能從小組列的表格中獲取盡可能多的信息.在回答書上問題的過程中，（1）、（2）、（3）較容易，對(duì)于（4）學(xué)生可能

7、有些茫然，要求學(xué)生合情推理支撐物高度與小車下滑時(shí)間的變化趨勢(shì)，答案可以是1.35到1.29秒中的任意一值，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生思考的過程和對(duì)理由的表述.2、書本“議一議”提供了對(duì)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表的討論活動(dòng)，目的是使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)變量之間的關(guān)系，學(xué)習(xí)如何從表格中獲取信息，發(fā)展他們通過數(shù)據(jù)分析進(jìn)行預(yù)測(cè)的能力.問題（2）中教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生對(duì)時(shí)間和人口變化過程的大致刻畫.3、對(duì)概念的描述性定義注意結(jié)合實(shí)際情境對(duì)概念進(jìn)行理解，不進(jìn)行形式化的定義；強(qiáng)調(diào)字母表示變量，進(jìn)一步理解字母表示的意義、體會(huì)符號(hào)的作用.這里不提出“函數(shù)”的概念.4、習(xí)題2中第（3）對(duì)“氮肥的施用量是多少時(shí)比較適宜”？的回答，學(xué)生可能會(huì)答336，

8、因?yàn)榇藭r(shí)土豆的產(chǎn)量最高.也可能有同學(xué)會(huì)有異議，認(rèn)為是259，因?yàn)橄鄬?duì)前一同學(xué)的回答，氮肥多用了很多，產(chǎn)量提高的幅度卻不明顯，從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度考慮，不合算.可以肯定這樣回答的學(xué)生是很有經(jīng)濟(jì)頭腦的，教師應(yīng)給予鼓勵(lì).此時(shí)應(yīng)注重對(duì)學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng).四、評(píng)價(jià)建議： 對(duì)本節(jié)課的評(píng)價(jià)，可以關(guān)注以下幾個(gè)方向： 學(xué)生是否積極地參與活動(dòng)，并在活動(dòng)中獨(dú)立思考；能否從具體情境抽象出的表格中意識(shí)到變量之間的相依關(guān)系；能否運(yùn)用自己的語言描述變化的過程.學(xué)生的回答只要合理都應(yīng)鼓勵(lì).2、變化中的三角形一、教材分析：在學(xué)生已會(huì)計(jì)算面積、體積的基礎(chǔ)上，使邊長（或半徑、高）發(fā)生變化，從而引起面積或體積的變化，從變化的角度看待邊長（

9、或半徑、高）與面積或體積的關(guān)系，并由此引出變量之間關(guān)系的第二種表示方法代數(shù)式.二、教學(xué)目標(biāo)：1、經(jīng)歷探索某些圖形中變量之間關(guān)系的過程，進(jìn)一步體驗(yàn)一個(gè)變量的變化對(duì)另一個(gè)變量的影響，發(fā)展符號(hào)感.2、能根據(jù)具體情況，用關(guān)系式表示某些變量之間的關(guān)系.3、能根據(jù)關(guān)系式求值，初步體會(huì)自變量和因變量的數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系.三、教學(xué)建議：BCACCC1、對(duì)于例題的說明：在學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)計(jì)算三角形面積的基礎(chǔ)上討論由底邊長的變化引起的三角形面積的變化，目的是使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)變量之間的關(guān)系，是對(duì)用關(guān)系式表示變量關(guān)系的初步經(jīng)歷.教學(xué)中不應(yīng)忽視對(duì)此問題的討論.應(yīng)先讓學(xué)生獨(dú)立想象整個(gè)的變化的過程，如有可能，可以制作教具演示一下變化

10、的過程，或多媒體演示，進(jìn)而幫助學(xué)生借助直觀體驗(yàn)得到數(shù)量關(guān)系的表達(dá)式.2、對(duì)于本題，應(yīng)明確不只是單純地求面積，而是在高固定的情況下，一個(gè)量（面積）隨另一個(gè)量（邊長）變化的關(guān)系式，使學(xué)生感受變化的過程，從靜態(tài)的數(shù)學(xué)到動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué).3、例中的（3）求值反映了在高固定的情況下，三角形的邊長和面積的數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系，滲透對(duì)應(yīng)思想.4、機(jī)器圖（在七上中已有數(shù)值轉(zhuǎn)換機(jī)）直觀地表示了自變量和因變量的數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系，即給出一個(gè)x的值就可以得到唯一的一個(gè)y值，隱含了函數(shù)的對(duì)應(yīng)的思想.5、“做一做”通過立體圖形中，高和體積的關(guān)系及半徑和體積的關(guān)系，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.對(duì)于感興趣的同學(xué)，教師可以引導(dǎo)他們觀察當(dāng)

11、自變量同時(shí)從1cm變化到10cm時(shí)，由于關(guān)系式的不同，因變量的值的變化程度不一樣（實(shí)質(zhì)上第一個(gè)是二次函數(shù)，第二個(gè)是一次函數(shù)）6、面積變化與體積變化的兩個(gè)例題中，若學(xué)生指出其他的自變量，如角之類，只要合理，教師應(yīng)予以肯定.3、溫度的變化一、教材分析：通過學(xué)生所熟悉的氣溫變化圖，引入變量之間的第三種表示法圖象.圖象表示是現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用最廣泛的一種形式.本節(jié)課在學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，將學(xué)生在圖象方面的知識(shí)進(jìn)行梳理和提高.為幫助學(xué)生對(duì)圖象表示的理解，每一問題都有實(shí)際背景為依托，并用問題串的形式引導(dǎo)討論和學(xué)習(xí)的步步深入.二、 教學(xué)目標(biāo)：1、經(jīng)歷從圖象中分析變量之間關(guān)系的過程，進(jìn)一步體會(huì)變量之間的關(guān)系.2

12、、結(jié)合具體情境理解圖象上的點(diǎn)所表示的意義.3、能從圖象中獲取變量之間關(guān)系的信息，并能用語言進(jìn)行描述.三、教學(xué)建議：1、對(duì)于例題的說明：從學(xué)生熟悉的情境出發(fā)，通過圖象直觀地表示變量之間的關(guān)系.教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題反映的是哪兩個(gè)變量之間的關(guān)系；自己從圖象中獲取時(shí)間和溫度之間的信息，并與同伴進(jìn)行交流.2、教師在教學(xué)過程中應(yīng)明確：本節(jié)課沒有提出“函數(shù)”，卻在真真實(shí)實(shí)地感受“函數(shù)”.對(duì)于（1）是屬于函數(shù)的最大值和最小值問題；（2）、（5）體現(xiàn)了函數(shù)的 一種對(duì)應(yīng)關(guān)系；（3）求的就是值域，（4）討論的即是函數(shù)的增減性；（6）是對(duì)函數(shù)周期性的一種感受.這些教師在課堂上都應(yīng)重點(diǎn)突破.3、本節(jié)

13、課的圖象由格紙給出，不討論直角坐標(biāo)系和點(diǎn)的坐標(biāo)等內(nèi)容，只要求學(xué)生能結(jié)合具體情境根據(jù)圖象大致分析變量之間的關(guān)系.有關(guān)直角坐標(biāo)系、點(diǎn)的坐標(biāo)以及對(duì)圖象的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)等內(nèi)容，將在以后的學(xué)習(xí)中出現(xiàn).4、“議一議”中的圖象體現(xiàn)了駱駝的體溫隨時(shí)間的變化而變化的過程，通過對(duì)這一有趣問題的討論，學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)了根據(jù)圖象大致分析變量之間的關(guān)系.對(duì)于問題（6）教師不能忽視，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生查找有關(guān)資料，綜合分析，進(jìn)行交流，進(jìn)而更深一步地體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系.5、此外，本節(jié)課還安排了“隨堂練習(xí)”，自然現(xiàn)象潮汐的升落，讓學(xué)生體會(huì)兩變量之間的關(guān)系以及用圖象表示關(guān)系具有直觀性的特點(diǎn)，并感受數(shù)學(xué)的廣泛聯(lián)系和應(yīng)用價(jià)值.6、本節(jié)課評(píng)

14、價(jià)建議：觀察學(xué)生能否用語言描述圖象所表示的變化過程和變量之間的關(guān)系；學(xué)生對(duì)圖象表示的理解，學(xué)生從圖象中獲得信息的能力；能否有條理地進(jìn)行語言表達(dá)的能力. 4、速度的變化一、教材分析：圖象表示以其直觀性有著其他表示方式所不能替代的作用.因此，本節(jié)課特別又對(duì)圖象所表示的變量之間的關(guān)系進(jìn)行了討論，讓學(xué)生用語言描述圖象所表示的變化過程，加強(qiáng)他們對(duì)圖象表示的理解，發(fā)展從圖象中獲得信息的能力及有條理地進(jìn)行語言表達(dá)的能力.本節(jié)進(jìn)一步學(xué)習(xí)變量關(guān)系的圖象表示.著名數(shù)學(xué)家I.M.Gelfand在他的著作函數(shù)與圖形一書中這樣闡述到：作出函數(shù)的圖象是將公式和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為幾何形式的過程.因此，作圖是“看見”相應(yīng)的公式和函數(shù)

15、、觀察該函數(shù)變化的途經(jīng)之一.當(dāng)有必要說明一個(gè)函數(shù)的整體情況及其特性時(shí)，函數(shù)的圖象以其直觀性有著別的工具不能替代的作用.正是因?yàn)槿绱耍こ處熁蚩茖W(xué)家一旦遇到他們感興趣的函數(shù)時(shí)，他們總要作出函數(shù)的圖象，看它們是如何變化的？是什么形狀？二、 教學(xué)目標(biāo)：通過速度隨時(shí)間變化的實(shí)際情境，進(jìn)一步經(jīng)歷從圖中分析變量之間關(guān)系的過程，加深對(duì)圖象表示的理解，進(jìn)一步發(fā)展從圖象中獲得信息的能力及有條理地進(jìn)行語言表達(dá)的能力.三、教學(xué)建議：1、對(duì)速度表的說明：汽車的速度是由速度表反映出來的，有條件可以引導(dǎo)學(xué)生觀察汽車速度表并讀表.2、例題反映了速度隨時(shí)間變化的情況，教師可以從一些簡(jiǎn)單的圖開始討論，應(yīng)注意糾正學(xué)生把圖象認(rèn)為是汽車運(yùn)動(dòng)路線的錯(cuò)誤理解，可把速度時(shí)間圖象與離出發(fā)點(diǎn)的距離時(shí)間圖象對(duì)比，以免混淆. s t v t3、在回答（3）時(shí)，學(xué)生可能有多種想法，只要合理，