《數(shù)理金融》習(xí)題參考答案

1、1 1 / / 2323數(shù)理金融分析-基礎(chǔ)原理與方法習(xí)題參考答案第一章（P52）題 1-11-1 希德勞斯基模型的金融學(xué)含義是什么？解：參考方程（.13 ）式后面的一個(gè)自然段。題 1-21-2 歐拉方程的經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融學(xué)的含義是什么？解：參考方程（.9 ）式和方程（.10 ）式后面的一個(gè)自然段。題 1-31-3 如果你借款 10001000 美元，并以年利率 8%8%按每季度計(jì)息一次的復(fù)利形式支付利息,借期為一年。那么一年后你欠了多少錢(qián)？不僅要考慮原有的本金，而且還要加上累計(jì)到該時(shí)刻的利息。因此，一個(gè)季度后你的欠款為：1000（1+0.02）兩

2、個(gè)季度后你的欠款為：21000(1+0.02)(1+0.02) 1000(1+0.02)三個(gè)季度后你的欠款為：231000(1+0.02) (1 0.02) 1000(1+0.02)四個(gè)季度后你的欠款為：1000(1+0.02)3(1 0.02)1000(1+0.02)41082.40題 1-41-4 許多信用卡公司均是按每月計(jì)息一次的18%18%的年復(fù)合利率索要利息的。如果在一年的年初支付金額為P，而在這一年中并沒(méi)有發(fā)生支付，那么在這一年的年末欠款將是多 少？解：這樣的復(fù)合利率相當(dāng)于每個(gè)月以月利率1812% 1.5%支付利息，而累計(jì)的利息將加到下一個(gè)月所欠的本金中。因此，一年后你的欠款為：1

3、2P（1+0.015） 1.1956P題 1-51-5 如果一家銀行所提供的利息是以名義利率5%5%連續(xù)地計(jì)算利息，那么每年的有 效利率應(yīng)該是多少?解：有效利率應(yīng)為:解：每季度計(jì)息一次的8%8%的年復(fù)合利率，等價(jià)于每個(gè)季度以2%2%的單利利率支付一次利息，而每個(gè)2 2 / / 2323即有效利率是每年5.127%。題 1-61-6 一家公司在未來(lái)的 5 5 年中需要一種特定型號(hào)的機(jī)器。這家公司當(dāng)前有一臺(tái)這種機(jī)器，價(jià)值 60006000 美元，未來(lái) 3 3 年內(nèi)每年折舊 20002000 美元，在第三年年末報(bào)廢。該機(jī)器開(kāi)始使用后，第一年運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用在該年年初值為90009000 美元，之后在此基礎(chǔ)上

4、每年增加20002000 美元。在每年的年初可以按固定價(jià)格2200022000 美元購(gòu)買(mǎi) 1 1 臺(tái)新機(jī)器。1 1 臺(tái)新機(jī)器的壽命是 6 6 年，在最初使用的兩年中每年折舊 30003000 美元，這之后每年折舊 40004000 美元。新機(jī)器在第一年的運(yùn)轉(zhuǎn)成本 是 6006000 0美元，在隨后的每年中將增加10001000 美元。如果利率為 10%10%，公司應(yīng)在何時(shí)購(gòu)買(mǎi)新機(jī)器？解：這家公司可以在第 1 1、2 2、3 3、4 4 年的年初購(gòu)買(mǎi)新機(jī)器， 其對(duì)應(yīng)的 6 6 年現(xiàn)金流如下（以10001000 美元為單位）：在第一年的年初購(gòu)買(mǎi)新機(jī)器：2222，7 7，8 8，9 9，1010，-

5、4-4；在第二年的年初購(gòu)買(mǎi)新機(jī)器：9 9，2424，乙8 8，9 9，-8-8；在第三年的年初購(gòu)買(mǎi)新機(jī)器：9 9，1111，2626，7 7，8 8，-12-12；在第四年的年初購(gòu)買(mǎi)新機(jī)器：9 9，1111，1313，2828，乙-16-16。為了驗(yàn)證上面所列現(xiàn)金流的正確性，假設(shè)公司將在第三年的年初購(gòu)買(mǎi)新機(jī)器，則公司在第一年的成本為舊機(jī)器 90009000 美元的運(yùn)轉(zhuǎn)成本；在第二年的成本為舊機(jī)器1100011000 美元的運(yùn)轉(zhuǎn)成本；在第三年的成本為新機(jī)器2200022000 美元的購(gòu)買(mǎi)成本，加上 60006000 美元的運(yùn)轉(zhuǎn)成本，再減去從替換機(jī)器中得到的20002000 美元；在第四年的成本是

6、 70007000 美元的運(yùn)轉(zhuǎn)成本；在第五年的成本是 80008000 美元的運(yùn)轉(zhuǎn)成本；在第六年的成本是-12000-12000 美元，它是已經(jīng)使用了 3 3 年的機(jī)器價(jià)值的負(fù)值。其他的 3 3 個(gè)現(xiàn)金流序列可以通過(guò)相似的方法推得。對(duì)于年利率r=0.10，第一個(gè)現(xiàn)金流序列的現(xiàn)值為22+Z_4_1.1 (1.1)2(1.1)3(1.1)4(1.1)5其他現(xiàn)金流的現(xiàn)值可用同樣的方法計(jì)算出。這四個(gè)現(xiàn)金流的現(xiàn)值分別是0.05Pe P0.05e 10.0512746.0833 3 / / 232346.08346.083，43.79443.794，43.76043.760，45.62745.627因此，

7、公司應(yīng)在兩年后購(gòu)買(mǎi)新機(jī)器。4 4 / / 2323題 1-71-7 一個(gè)打算在 2020 年后退休的人，決定今后240240 個(gè)月每月月初在銀行存款A(yù)，使得他可以在隨后的 360360 個(gè)月的每月月初提款 10001000 美元。假設(shè)每月計(jì)息一次的名義年利率為 6%6%，那么A的值應(yīng)該為多少？1解：r= 0.0612=0.005是月利率。令 彳二，他所有存款的現(xiàn)值為240A A A2L A239A11類(lèi)似地，如果W是在隨后的 360360 個(gè)月中每月的提款額，那么所有的提款額的現(xiàn)值為這樣，如果滿(mǎn)足以下等式，他就可以實(shí)現(xiàn)所有的提款（同時(shí)他的賬戶(hù)中也不再有任何錢(qián)）對(duì)于W 1000，11.005，可

8、以得到A 360.99這就是說(shuō)，在 240240 個(gè)月中每月存款 361361 美元，就可以使得他在隨后的360360 個(gè)月中每月提取10001000 美兀。注 在這個(gè)例子中，我們使用了以下的代數(shù)恒等式為了證明這個(gè)等式，我們令x=1+b+b2L bn由于注意到x-1=b+b2L bnn-1b(1+b L b )b(x bn)因此，(1-b)x1 bn 1W240W241LW599360240I2402401136021+b+b Lbn5 5 / / 2323這就證明了該等式。利用相同的方法，或者令n趨向于無(wú)窮，可以證明當(dāng)b 1時(shí)有1+b+b2L 1 b題 1-81-8 終身年金給其持有者在未來(lái)

9、每一年年末領(lǐng)取數(shù)額C款項(xiàng)的權(quán)利。這就是說(shuō)，對(duì)于每一個(gè)i=i,2, L，在第i年的年末要向持有者支付c，如果利率為r，每年計(jì)息一次，那 么這個(gè)現(xiàn)金流序列的現(xiàn)值是多少？解：該現(xiàn)金流可以被復(fù)制為初始時(shí)刻在銀行存入本金cr，并在每一年的年末提取所得的利息（保留本金不動(dòng)），但是在初始階段存入任何少于c r的金額都無(wú)法復(fù)制這個(gè)現(xiàn)金流，因此這個(gè)無(wú)限期現(xiàn)金流的現(xiàn)值為cr。這個(gè)結(jié)論可以由下式推得:c 1Fr111 r題 1-91-9 假設(shè)你向銀行借款 100000100000 美元買(mǎi)房，負(fù)責(zé)貸款的經(jīng)理告訴你可以以0.6%0.6%的月利率貸款 1515 年，每月分期償還。如果銀行要收取貸款初始費(fèi)用600600 美

10、元，房屋檢驗(yàn)費(fèi) 400400美元，以及貸款額的一個(gè)百分點(diǎn)，那么銀行提供的貸款的實(shí)際年利率是多少？解：首先我們考慮這個(gè)貸款的每月抵押支付，記之為A。由于 100000100000 美元的貸款需要在未來(lái)的 180180 個(gè)月中以月利率 0.6%0.6%償還，所以A2L180100000其中=11.006。因此，PV=c1+rc(1 r)2c(1 r)36 6 / / 2323因此如果你實(shí)際得到了100000100000 美元，在 180180 個(gè)月中每月償還 910.05910.05 美元，那么實(shí)際月利率應(yīng)該是 0.6%0.6%。但是考慮到銀行收取的初始貸款費(fèi)用、房屋檢驗(yàn)費(fèi)以及一個(gè)百分點(diǎn)的貸款額（

11、這意味著收到貸款時(shí)， 銀行將收取名義貸款額100000100000 美元的 1%1%），你實(shí)際只得到了 9800098000美元。因此有效月利率應(yīng)該滿(mǎn)足下式的r的值:A +2L180 98000其中(1 r)1。因此，1或者，由r得18011 r利用實(shí)驗(yàn)誤差法求上面方程的數(shù)值解（由于r 0.006，很容易計(jì)算）得出：r 0.0062712因?yàn)椋? 0.00627）1.0779，所以 0.6%0.6%的名義月利率對(duì)應(yīng)的有效年利率約為7.8%7.8%。題 1-101-10 假設(shè)一個(gè)人抵押貸款的金額為L(zhǎng)，需要在今后n個(gè)月的每月月末償還等額A。貸款的月利率是r,每月計(jì)息一次。a）已知L，n，r，那么A

12、的值是多少？b）在第j月的月末支付已經(jīng)完成后，還剩下多少貸款的本金？c）在第j月的支付中，多少是利息的支付，多少是本金的扣除（這很重要，因?yàn)橛行┖贤试S貸款提前償還，償還的利息部分是可減免稅的）？100000(1+ )(1180)910.05(11180)107.69107.697 7 / / 2323解：n個(gè)月支付的現(xiàn)值為：8 8 / / 2323令Rj表示在第j(j 0,L ,n)月月末支付完當(dāng)月償還額后還欠的本金余額，為了確定這幾個(gè)量，應(yīng)該注意到，如果在第j月的月末欠款為Rj，那么在第j 1月月末未發(fā)生支付前的欠款應(yīng)該是(1 r)Rj。由于每個(gè)月末的支付額為A，所以有Rj1(1 r)Rj

13、A aRjA從R。L開(kāi)始，我們得到：R aL A；R2aR1Aa(aL A) Aa2L (1 a) A；R3aR2A因?yàn)檫@必須等于貸款額其中,匚L2n(1 r)(1 r)L,我們可以看出,A 1L(an1丄A 1 r1-1 (1 r1)anna 1例如，貸款 100000100000 美元，需要以每月計(jì)息一次的名義年利率r 0.09/120.0075,每月支付(以美元計(jì))為r)n(1-1(1-1)0.090.09 在 360360 個(gè)月中償還，那么360AQRCI 804.62(1.0075)36019 9 / / 2323a(a2L (1 a)A) A32a L (1 a a )A。1010

14、 / / 2323般地，對(duì)于j 0,L ,n，有RjajL A(1 a Laj 1)ajLajL空 衛(wèi)（由等式（1-11-1）a 1L(anaj)an1令I(lǐng)j和Pj分別表示在第j月月末支付的利息和本金的扣除額。由于Rj 1是到上一個(gè)月月末的欠款額，因此有L(a 1)(anaj1)1L(a 1)aj 1可以用下面的式子驗(yàn)證上面的結(jié)果:nPjLj 1ajIjrRj 1PjA Ijan11)ann(aaj1)我們發(fā)現(xiàn)，相鄰月間返還的本金額以倍數(shù)1 r增長(zhǎng)。例如，在一個(gè)期限為3030 年、利率是每月計(jì)息一次的 9%9%的年名義利率、本金為10000100000 0美元的804.62804.62 美元中

15、只有 54.6254.62 美元是貸款本金的扣除額;而其余的都是利息。在接下來(lái)的每一個(gè)月，用于償還本金的支付額以倍數(shù)1.00751.0075 增長(zhǎng)。題 1-111-11 已知1111 / / 2323因此，現(xiàn)值函數(shù)為P（t）exp Dtexplog(1 t)r1 r2)exp創(chuàng)(1t)ri第二章（P109）題 2-12-1 在金融學(xué)中，資產(chǎn)和資產(chǎn)結(jié)構(gòu)是如何定義的?解：參考定義 .4 和定義 .5。題 2-22-2 不確定性與風(fēng)險(xiǎn)二者是什么關(guān)系？風(fēng)險(xiǎn)與協(xié)方差的基本關(guān)系是什么？解：本題第一問(wèn)可參考 2.42.4 節(jié)第一個(gè)自然段，第二問(wèn)答案就是本章（

16、.15 ）式。題 2-32-3 什么是公司的資本結(jié)構(gòu)和企業(yè)（或公司）價(jià)值？解：第一問(wèn)即 .1 第一自然段中：公司的資本結(jié)構(gòu)是指其債務(wù)、 權(quán)益和其它融資工具 的相互組合及其組合中的比例關(guān)系。 公司理財(cái)決策的目的是確定最佳資本結(jié)構(gòu)，使之公司和投資人的財(cái)富價(jià)值實(shí)現(xiàn)最大化。第二問(wèn)企業(yè)（或公司）價(jià)值即： 企業(yè)債券和股票的收益率是對(duì)投資人而言的，但對(duì)于企 業(yè)來(lái)說(shuō)，它們則是成本。一般把企業(yè)債券和股票的市場(chǎng)價(jià)值總和稱(chēng)為企業(yè)的價(jià)值。r（S）R汽2求出收益曲線(xiàn)和現(xiàn)值函數(shù)。解：改寫(xiě)r（s）為則可以給出以下的收益曲線(xiàn)r ( s)r1r2S0r(Sr2.1s廠(t)1tr2r1r2dst01 s1log

17、(1t)t1212 / / 2323習(xí)題 2-42-4 M-MM-M 定理的基本含義是什么?解：即( .6 )式后面的的自然段：企業(yè)的債務(wù)與股票的總價(jià)值等于在各種狀態(tài)下企 業(yè)收益的現(xiàn)值， 這個(gè)現(xiàn)值是按照相關(guān)自然狀態(tài)下一美元的要求權(quán)價(jià)格計(jì)算的， 因此，總價(jià)值E+ +B與債務(wù)對(duì)股票的比例無(wú)關(guān)。這就是著名的莫迪利亞尼- -米勒定理的結(jié)論。題 2-52-5 在金融學(xué)中， 完備市場(chǎng)的條件是什么?市場(chǎng)有效性的基本條件是什么? 解： 第一問(wèn)可見(jiàn) .4完備市場(chǎng)的具體假設(shè)條件這部分。第二問(wèn)參考 (2.7.10)(2.7.10) 式，即：各種資產(chǎn)的預(yù)期收益率相等。就是完備市場(chǎng)有效性

18、的基 本條件。題 2-62-6 考慮將 100100 的資本投資到兩種證券，它們回報(bào)率的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：r10.15，v10.20；r20.18，v20.25i1得：EW 100 0.15y 0.18(100 y) 118 0.03y。又由于c(1,2)v1v20.02，由式nn(2-22-2)Var (W )wi2vi2wiwjc(i, j)i1 i1 j i得：Var (W ) y2(0.04) (100 y)2(0.0625) 2 y(100 y)(0.02)20.1425 y216.5y 625所以我們應(yīng)該選擇y，使下式的值達(dá)到最大：若兩個(gè)回報(bào)率的相關(guān)系數(shù)求這兩個(gè)證券的最優(yōu)組合。解

19、：設(shè)w1y，w2(2-12-1)0.4，投資者的效用函數(shù)為：0.005 xU(x) 1 e100 y，由式nEWwwiri1313 / / 2323118 0.03y 0.005(0.1425 y216.5y 625)/2或等價(jià)的，最大化0.01125 y 0.0007125y2/2簡(jiǎn)單計(jì)算后得知y取下值時(shí)，上式達(dá)到最大：0.01125, ccy15.7890.0007125即，當(dāng)投資 15.78915.789 于證券 1 1,投資 84.21184.211 于證券 2 2 時(shí)，期末財(cái)富的期望效用達(dá)到最大。將y 15.789代入前面等式，得EW 117.526，Var(W) 400.006，最

20、大期望效用等于:1 exp 0.005(117.5260.005(400.006) /2)0.4416這可以和下述投資組合的效用比較一下：將100100 全部投資到證券1 1 時(shí)，期望效用為0.39040.3904 ;當(dāng) 100100 全部投資到證券 2 2 時(shí)，期望效用為 0.44130.4413。題 2-72-7 設(shè)當(dāng)前無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為 6%6%，市場(chǎng)回報(bào)率的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.100.10, 0.200.20。如果給定股票的回報(bào)率與市場(chǎng)回報(bào)率的協(xié)方差為0.050.05，求該股票回報(bào)率的期望值。解：由于.521.25(0.20)所以(假定CAPM模型有效)ri0.06 1.25(0.100.

21、06)0.11即股票的期望回報(bào)率為 11%11%。第三章(P148)題 3-13-1 均值- -方差模型的最根本意義是哪兩條？解：可參考(.3 )式前面的自然段：金融研究和金融數(shù)學(xué)的任務(wù)之一是要解決收益和風(fēng)險(xiǎn)的分析，通過(guò)對(duì)資產(chǎn)收益和風(fēng)險(xiǎn)的分析來(lái)解決金融資產(chǎn)在市場(chǎng)上的價(jià)值評(píng)估和組合中的效率衡量這兩個(gè)基本問(wèn)題。在這里，通過(guò)均值來(lái)分析金融資產(chǎn)的收益，顯然，均值越大，資產(chǎn)組合的收益越好。用方差2和協(xié)方差ik來(lái)分析資產(chǎn)選擇的風(fēng)險(xiǎn)，顯然，方差21414 / / 2323和協(xié)方差ik越大，風(fēng)險(xiǎn)就越大。于是，我們就可以用均值和方差來(lái)描述個(gè)人的效用與利益, 即較大的均值和較低的方差是與個(gè)人的效用

22、水平正相關(guān)的。 至此，我們就基本完成了兩個(gè)根 本任務(wù)：(1 1)把不同資產(chǎn)的組合選擇轉(zhuǎn)化為均值 - -方差組合選擇；(2 2)把傳統(tǒng)的效率標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn) 化為均值- -方差效率，即當(dāng)均值給定時(shí)方差越小越好，或者方差限定時(shí)均值越大越好。題 3-23-2 CAMPCAMP 模型的基本含義是什么？解：(335335 )式和(337337 )式就是消費(fèi)- -資本資產(chǎn)定價(jià)模型的基本形式。它們非常深刻地揭示了資產(chǎn)價(jià)格與個(gè)人消費(fèi)之間的關(guān)系，一般均衡與資產(chǎn)定價(jià)之間的關(guān)系。它們表明：(1) 資產(chǎn)的預(yù)期收益(價(jià)格)與消費(fèi)的邊際效用之間的協(xié)方差負(fù)相關(guān)。換句話(huà)說(shuō)，其等價(jià)的命題是，消費(fèi)的預(yù)期效用應(yīng)該和資產(chǎn)的預(yù)期收益是一致的。(

23、2) 在實(shí)際經(jīng)濟(jì)中，個(gè)人首先承受著與消費(fèi)有關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)，既應(yīng)該首先有o0cov(u (ci), Rj)cov(RZ, Rj)然后才是與其它資產(chǎn)之間的風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系，即cov(Rz,j)var(RZ)題 3-33-3 (股票定價(jià))企業(yè)I在時(shí)期 t=1t=1 將發(fā)行 100100 股股票，企業(yè)在時(shí)期 t=2t=2 的價(jià)值為隨機(jī)變量(2)。企業(yè)的資金都是通過(guò)發(fā)行這些股票而籌措的，以致于股票持有者有資格獲得完全的收益流。最后給出的有關(guān)數(shù)據(jù)是：Ic 110001000 $ $之概率 P P V V1丿21 L800800 $ $之概率 P P - -2COV(X1,XM)0.045,xvar(XM)0.30r 0.10,E(XM)0.20試用資本資產(chǎn)基本定價(jià)方程求出該股票的合理價(jià)值。解：應(yīng)用證券市場(chǎng)線(xiàn)性方程(.1 ),E(XM) rE(XJ r嚴(yán)COV(XXM)(XM)1515 / / 23230.100.20 0.