2020年人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)5.4-三角函數(shù)的性質(zhì)(解析版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上5.4 三角函數(shù)性質(zhì)思維導(dǎo)圖躬行實(shí)踐運(yùn)用一 五點(diǎn)畫圖【例1】（1）在0,2內(nèi)用五點(diǎn)法作出ysinx1的簡圖.（2）畫出函數(shù)y1cos x，x0,2的圖象【答案】見解析【解析】（1）按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表x02322y12101描點(diǎn)并用光滑曲線連接可得其圖像，如圖所示.（2）列表如下：x0cos x101011cos x21012描點(diǎn)：連線：用光滑的曲線依次連接各點(diǎn)，即得所求的圖象【思路總結(jié)】五點(diǎn)法畫圖作形如yasin xb(或yacos xb)，x0,2的圖象時(shí)，可用“五點(diǎn)法”作圖，其步驟是：列表，取x0、2；描點(diǎn)；用光滑曲線連成圖【觸類旁通】1用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y2cos

2、 x3(0x2)的簡圖【答案】見解析【解析】由條件列表如下：描點(diǎn)、連線得出函數(shù)y2cos x3(0x2)的圖象如圖所示2.畫出函數(shù)y32cos x的簡圖【答案】見解析【解析】(1)列表，如下表所示x02ycos x10101y32cos x53135(2)描點(diǎn)，連線，如圖所示：3.y|sin x|，x0,4【解析】首先用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)ysin x，x0,4的簡圖，再將該簡圖在x軸下方的部分翻折到x軸的上方，即得到y(tǒng)|sin x|，x0,4的簡圖，如圖所示運(yùn)用二 周期【例2-1】求下列函數(shù)的周期(1)y2sin 2x；(2)ycos.【答案】（1） （2）4【解析】(1)方法一因?yàn)?sin(

3、2x2)2sin 2x，即2sin 2(x)2sin 2x.由周期函數(shù)的定義，可知原函數(shù)的周期為.方法二T.(2)方法一因?yàn)閏oscos，即coscos.由周期函數(shù)的定義，可知原函數(shù)的周期為4.方法二T4【例2-2】下列函數(shù)中，不是周期函數(shù)的是()A.y|cos x| Bycos|x|Cy|sin x| Dysin|x|【答案】D【解析】畫出ysin|x|的圖象，易知ysin|x|不是周期函數(shù)【觸類旁通】1（2019·平羅中學(xué)高一期中（文）函數(shù)的最小正周期是（ ）ABCD【答案】C【解析】因?yàn)?，所以其最小正周期?故選C.2（2019·云南高二期末）函數(shù) 的最小正周期為_【

4、答案】【解析】由題得函數(shù)的最小正周期.故答案為：運(yùn)用三 正余弦函數(shù)曲線的運(yùn)用【例3】根據(jù)正弦曲線求滿足sin x在0,2上的x的取值范圍【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)ysin x與y的圖象，如圖所示觀察在一個(gè)閉區(qū)間0,2內(nèi)的情形，滿足sin x的x，所以滿足sin x在0,2上的x的范圍是x0x或x2.或【觸類旁通】1不等式sin x>0，x0,2的解集為()A0， B(0，) C. D.【答案】B【解析】由ysin x在0,2的圖象可得2直線y與函數(shù)ysin x，x0,2的交點(diǎn)坐標(biāo)是_【答案】，【解析】令sin x，則x2k或x2k，又x0,2，故x或.3根據(jù)ycos x的圖象解不等式

5、：cos x，x0,2【答案】見解析【解析】函數(shù)ycos x，x0,2的圖象如圖所示：根據(jù)圖象可得不等式的解集為運(yùn)用四 奇偶性【例4】（1）下列函數(shù)不是奇函數(shù)的是Aysin x Bysin 2xCysin x2 Dysin x（2）（2019·陜西高一期末）若函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱,則=（ ）ABCD【答案】（1）C（2）B【解析】當(dāng)x時(shí)，ysin23，當(dāng)x時(shí)，ysin()21，函數(shù)ysin x2是非奇非偶函數(shù)（2）函數(shù)f（x）cos（）sin （0，2）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，由題知 ，故選：B【觸類旁通】1. 判斷函數(shù)的奇偶性(1)f(x)|sin x|cos x；(2)f(x).【答

6、案】（1）偶函數(shù)（2）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽，又f(x)|sin(x)|cos(x)|sin x|cos xf(x)，所以f(x)是偶函數(shù)(2)由1cos x0且cos x10，得cos x1，從而x2k，kZ，此時(shí)f(x)0，故該函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)2函數(shù)f(x)sin是()A奇函數(shù) B偶函數(shù)C非奇非偶函數(shù) D既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【答案】B【解析】f(x)sinsinsincos 2 010x，f(x)定義域?yàn)镽，且f(x)cos(2 010x)cos 2 010xf(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)答案：B3下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是的函數(shù)是()Ayc

7、os|2x| By|sin x|Cysin Dycos【答案】D【解析】ycos|2x|是偶函數(shù)；y|sin x|是偶函數(shù)；ysincos 2x是偶函數(shù)；ycossin 2x是奇函數(shù)，且其最小正周期T.4（2019·榆林市第二中學(xué)高一期末）已知，若函數(shù)為奇函數(shù)，則_【答案】【解析】若函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，解得，又因?yàn)?，所以運(yùn)用五 單調(diào)性【例5】(1)函數(shù)f(x)sin的一個(gè)遞減區(qū)間是()A.B，0C.D.(2)求函數(shù)y2sin的單調(diào)遞增區(qū)間【答案】見解析【解析】(1)由x，可得x.所以是函數(shù)的一個(gè)減區(qū)間(2)由y2sin，得y2sin.要求函數(shù)y2sin的單調(diào)遞增區(qū)間，只需求出函數(shù)y

8、2sin的單調(diào)遞減區(qū)間令2k2x2k，kZ，解之得kxk，kZ.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)【觸類旁通】1.函數(shù)ycos的單調(diào)遞增區(qū)間是_【答案】(kZ)【解析】因?yàn)?k2x 2k，kZ.所以kxk，kZ.2（2019·內(nèi)蒙古高一月考）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_【答案】【解析】正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，由，得，記，則，故答案為：.運(yùn)用六 對(duì)稱性【例6】（1）函數(shù)ysin的一個(gè)對(duì)稱中心是()ABCD（2）（2019·天水市第一中學(xué)高一期末（理）函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心和一條對(duì)稱軸可以是（）A，B，C，D，（3）（2019·上海市控江中學(xué)高一期末）已知是常數(shù)，如果函數(shù)的圖像

9、關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么的最小值為（ ）ABCD【答案】（1）B（2）B（3）C【解析】（1）ysin=cos2x，可令2x=，可得x=，,可得函數(shù)的對(duì)稱中心（，0），結(jié)合選項(xiàng)可得，當(dāng)k=0時(shí)，選項(xiàng)B正確，故選B.（2）由題意，函數(shù)的性質(zhì)，令，解得，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)的一條對(duì)稱軸的方程為，令，解得，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為，故選：B（3）由于函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則，則，因此，當(dāng)時(shí)，取得最小值，故選：C.【觸類旁通】1（2019·西藏高一期末）函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為（）ABCD1【答案】C【解析】對(duì)稱軸為：當(dāng)時(shí)，有最小值為 故答案選C2“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱”的（

10、 ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)， ，若時(shí) ，故： 是對(duì)稱軸，排除：B,D函數(shù)對(duì)稱軸若是，則，故排除：C，答案選A3（2019·湖南高一期末）函數(shù)f(x)=3cos4x+56圖像的一個(gè)對(duì)稱中心是（ ）A.12,0B.6,0C.3,0D.56,0【答案】B【解析】由題得4x+56=k+2，kZ,所以x=k4-12(kZ)，所以f(x)=3cos4x+56圖像的對(duì)稱中心是k4-12,0(kZ)當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱中心為6,0.故選：B運(yùn)用七 最值（值域）【例7】求下列函數(shù)的值域：(1)ycos，x；(2)y2sin2x2sin

11、x，x.【答案】（1）（2）【解析】(1)由ycos，x0，可得x，函數(shù)ycos x在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的值域?yàn)?(2)令tsin x，y2t22t221.x，sin x1，即t1，1y，函數(shù)f(x)的值域?yàn)?【觸類旁通】1函數(shù)y2sin x的最大值及取最大值時(shí)x的值為()Aymax3，x Bymax1，x2k(kZ)Cymax3，x2k(kZ) Dymax3，x2k(kZ)【答案】C【解析】x2k(kZ)時(shí)，ysin x有最小值1，函數(shù)y2sin x有最大值3.2函數(shù)f(x)sin在區(qū)間上的最小值為_【答案】【解析】當(dāng)0x時(shí)，2x，因?yàn)楹瘮?shù)ysin x在上的函數(shù)值恒為正數(shù)，在上的函數(shù)值

12、恒為負(fù)數(shù)，且在上為增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的最小值為f(0).3（2019·榆林市第二中學(xué)高一期末）函數(shù)的值域?yàn)椋?）ABCD【答案】C【解析】，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故選C運(yùn)用八 比較函數(shù)值的大小【例8】不求值，比較下列各組中兩個(gè)三角函數(shù)值的大?。海?）sin 14°與sin 156°；（2）cos 515°與cos 530°【答案】（1）sin14°<sin156°（2）cos515°>cos530°【解析】利用三角函數(shù)單調(diào)性比較（1）sin15

13、6°sin(180°24°)sin24°90°<14°<24°<90°，ysinx在90°，90°上是增函數(shù)，sin14°<sin24°，即sin14°<sin156°（2） cos 515°cos(515°360°)cos155°，cos 530°cos(530°360°)cos170°，90°<155°<170&

14、#176;<180°而ycosx在90°，180°上是減函數(shù)cos155°>cos170°即cos515°>cos530°【觸類旁通】不求值，比較下列各組中兩個(gè)三角函數(shù)值的大小(1)sin與sin；(2)cos 870°與sin 980°.【答案】見解析【解析】(1)sinsinsin，sinsinsin，因?yàn)閥sin x在上是增函數(shù)，所以sin<sin，即sin<sin.(2)cos 870°cos(720°150°)cos 150°

15、，sin 980°sin(720°260°)sin 260°sin(90°170°)cos 170°，因?yàn)?°<150°<170°<180°，所以cos 150°>cos 170°，即cos 870°>sin 980°.運(yùn)用九 正切函數(shù)性質(zhì)【例9】(1)求函數(shù)ylg(tan x)的定義域 。（2）函數(shù)ytan的單調(diào)區(qū)間 。（3）函數(shù)f(x)tan的最小正周期為 ?！敬鸢浮浚?）（2）(，)(kZ)（3）【解析】（1）

16、要使ylg(tan x)有意義，需使，所以函數(shù)的定義域是.（2）ytantan.由k<3x<k(kZ)，得<x<(kZ)所以函數(shù)ytan的單調(diào)遞減區(qū)間為(，)(kZ)（3）方法一函數(shù)f(x)tan(x)的周期是T，直接利用公式，可得T.方法二由誘導(dǎo)公式可得tantantan，所以ff(x)，所以周期T.【觸類旁通】1下列關(guān)于函數(shù)ytan的說法正確的是()A在區(qū)間上單調(diào)遞增 B最小正周期是C圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱 D圖象關(guān)于直線x成軸對(duì)稱【答案】B【解析】令k<x<k，解得k<x<k，kZ，顯然不滿足上述關(guān)系式，故A錯(cuò)誤；易知該函數(shù)的最小正周期為，故

17、B正確；令x，解得x，kZ，任取k值不能得到x，故C錯(cuò)誤；正切函數(shù)曲線沒有對(duì)稱軸，因此函數(shù)ytan的圖象也沒有對(duì)稱軸，故D錯(cuò)誤故選B.2畫出函數(shù)y|tan x|的圖象，并根據(jù)圖象判斷其單調(diào)區(qū)間和奇偶性【答案】見解析【解析】由函數(shù)y|tan x|得y根據(jù)正切函數(shù)圖象的特點(diǎn)作出函數(shù)的圖象，圖象如圖由圖象可知，函數(shù)y|tan x|是偶函數(shù)函數(shù)y|tan x|的單調(diào)增區(qū)間為，kZ，單調(diào)減區(qū)間為，kZ.3（2019·永昌縣第四中學(xué)高一期末）函數(shù)的最小正周期是（ ）ABCD【答案】D【解析】由題意可知，函數(shù)的最小正周期，故選：D.4（2019·湖南長郡中學(xué)高二期末（理）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)

18、間為（ ）ABCD【答案】C【解析】因?yàn)?，解得：，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，故選C.融會(huì)貫通1（2019·沙雅縣第二中學(xué)高二期末）已知函數(shù)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是( )A函數(shù)的最小正周期為B函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)C函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱D函數(shù)是奇函數(shù)【答案】D【解析】,所以函數(shù)的最小正周期為,函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù), 函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱, 函數(shù)是偶函數(shù).2（2019·天水市第一中學(xué)高一期末（文）函數(shù)圖像的一條對(duì)稱軸方程為（）ABCD【答案】B【解析】依題意有解得 故選B3（2019·遼寧高一期末）已知直線是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，則的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）ABCD【答案】

19、B【解析】因?yàn)?，若取到最大值，則，即，此時(shí)處最接近的單調(diào)減區(qū)間是：即，故B符合；若取到最小值，則，即，此時(shí)處最接近的單調(diào)減區(qū)間是：即，此時(shí)無符合答案；故選：B.4（2019·內(nèi)蒙古高一期末（文）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）ABCD【答案】B【解析】，要求其單調(diào)遞增區(qū)間則：，解得：當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間為：；當(dāng)時(shí)，遞增區(qū)間為：因?yàn)?，所以遞增區(qū)間為：，故選：B5（2019·江西省奉新縣第一中學(xué)高三月考（理）函數(shù)在其定義域上是( )A奇函數(shù)B偶函數(shù)C既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)D不能確定【答案】B【解析】函數(shù)，此時(shí)函數(shù)為偶函數(shù)，故選：B。6（2019·河北高三月考）若曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則（

20、 ）A或B或C或D或【答案】A【解析】因?yàn)榍€關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，又，所以時(shí)，時(shí).7（2019·安徽馬鞍山二中高二開學(xué)考試）若函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)可能是（）ABCD【答案】D因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，排除A，C；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，故排除B，故選：D.8（2019·河南高一期末）已知奇函數(shù)滿足，則的取值不可能是（ ）A2B4C6D10【答案】B【解析】由是奇函數(shù)得又因?yàn)榈藐P(guān)于對(duì)稱，所以，解得所以當(dāng)時(shí)，得A答案；當(dāng)時(shí)，得C答案；當(dāng)時(shí)，得D答案；故選B.9（2019·河北高三月考）若曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則（ ）A或B或C或D或【答案】A【解析】因?yàn)榍€關(guān)于

21、點(diǎn)對(duì)稱，所以，又，所以時(shí)，時(shí).10函數(shù)：；中，奇函數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）ABCD【答案】C【解析】先判斷各函數(shù)的定義域，的定義域都滿足關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但是不滿足，排除，再利用關(guān)系式為奇函數(shù)，可知：是奇函數(shù).故選C.11若函數(shù)f(x)=cos2+2x，xR，則f(x)是（ ）A.最小正周期為為奇函數(shù)B.最小正周期為為偶函數(shù)C.最小正周期為2為奇函數(shù)D.最小正周期為2為偶函數(shù)【答案】A【解析】由題意，函數(shù)f(x)=cos2+2x=-sin2x，又由f(-x)=-sin(-2x)=sin2x=-fx可得fx是奇函數(shù)，且最小正周期T=22=，故選：A12（2019·內(nèi)蒙古集寧一中高一期末（文）下列四個(gè)函數(shù)中，既是0，2上的增函數(shù)，又是以為周期的偶函數(shù)的是（ ）A.y=sinxB.y=cosxC.y=sinxD.y=cosx【答案】C【解析】A項(xiàng)：函數(shù)y=sinx周期為2，在0，2上是增函數(shù),奇函數(shù)；B項(xiàng)：函數(shù)y=cosx周期為2，在0，2上是減函數(shù)，偶函數(shù)；C項(xiàng)：函數(shù)y=