電子科技大學(xué)隨機(jī)過程第2章

1、電子科技大學(xué)2.1 正正 態(tài)態(tài) 過過 程程 根據(jù)中心極限定理，根據(jù)中心極限定理，在現(xiàn)實(shí)問題中在現(xiàn)實(shí)問題中, ,滿足一滿足一定條件的隨機(jī)變量之和的極限服從正態(tài)分布定條件的隨機(jī)變量之和的極限服從正態(tài)分布. .正態(tài)分布在現(xiàn)實(shí)當(dāng)中大量存在，是隨機(jī)正態(tài)分布在現(xiàn)實(shí)當(dāng)中大量存在，是隨機(jī)現(xiàn)象中最為常見的一種分布現(xiàn)象中最為常見的一種分布如電子運(yùn)動(dòng)中的熱噪聲，人的身高，考如電子運(yùn)動(dòng)中的熱噪聲，人的身高，考試成績?cè)嚦煽? ,測量誤差等都服從正態(tài)分布測量誤差等都服從正態(tài)分布正態(tài)分布具有一系列良好的性質(zhì)，便于正態(tài)分布具有一系列良好的性質(zhì)，便于計(jì)算和應(yīng)用計(jì)算和應(yīng)用電子科技大學(xué) 即對(duì)任意的正整數(shù)即對(duì)任意的正整數(shù) n 和和t

2、1, t2 , , tnT, , n 維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量 (Xt1,Xtn) 都都服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布. .為研究正態(tài)過程的有限維分布為研究正態(tài)過程的有限維分布, , 應(yīng)首先應(yīng)首先研究多維正態(tài)分布隨機(jī)變量研究多維正態(tài)分布隨機(jī)變量. . 定義定義2.1.1 隨機(jī)過程隨機(jī)過程Xt , tT稱為正態(tài)過稱為正態(tài)過程程, ,如果它的如果它的任意有限維分布都是任意有限維分布都是聯(lián)合聯(lián)合正態(tài)正態(tài)分布分布. .電子科技大學(xué)一、多維正態(tài)隨機(jī)變量一、多維正態(tài)隨機(jī)變量1.概率密度與特征函數(shù)概率密度與特征函數(shù) 若若(X,Y) );,;,(222211N則則(X,Y)的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為 221121

3、),( yx 2222221121212)(2)()1 ( 21exp yyxx,21 記記 22212121 C yxX其中其中10,20,| |2時(shí)，不能寫出時(shí)，不能寫出n維聯(lián)合正態(tài)維聯(lián)合正態(tài)概率密度概率密度. 一般地一般地, 若若X=(X1, X2)是非退化二維正態(tài)隨是非退化二維正態(tài)隨機(jī)向量機(jī)向量, 其線性變換其線性變換 Y= KX, 有有 1) 每一分量服從正態(tài)分布每一分量服從正態(tài)分布; 2) 不能構(gòu)成二維以上的非退化聯(lián)合正態(tài)不能構(gòu)成二維以上的非退化聯(lián)合正態(tài)分布分布; 退化退化, 寫不寫不出概率密度出概率密度電子科技大學(xué)分析分析2) 設(shè)設(shè)X=(X1, X2)的協(xié)方差矩陣為的協(xié)方差矩陣為

4、2)(,22212121 CRC 線性變換矩陣線性變換矩陣2)(,2221212111 KRccccccKmmT則線性變換則線性變換 Y=KX的協(xié)方差矩陣為的協(xié)方差矩陣為2)(),(min()(, KRCRRKCKYTY 即二維以上的線性變換向量即二維以上的線性變換向量Y= KX都是退都是退化化(奇異奇異)聯(lián)合正態(tài)分布聯(lián)合正態(tài)分布. 電子科技大學(xué)問題結(jié)論：問題結(jié)論：1)不能保證不能保證Y=KX 服從非退化正態(tài)分布服從非退化正態(tài)分布. 2) 當(dāng)當(dāng)|KCKT|0時(shí)時(shí), 隨機(jī)向量隨機(jī)向量Y 服從非退化服從非退化正態(tài)分布正態(tài)分布. 推論推論 非退化正態(tài)分布隨機(jī)向量非退化正態(tài)分布隨機(jī)向量X的的滿秩線滿秩

5、線性變換性變換仍服從非退化正態(tài)分布仍服從非退化正態(tài)分布.可證明可證明K為行滿秩矩陣為行滿秩矩陣電子科技大學(xué) 定理定理2.1.5 若隨機(jī)向量若隨機(jī)向量X 服從服從N(,C), ,且且C正定正定, , 則存在一個(gè)正交變換則存在一個(gè)正交變換U, ,使得使得Y=UX 是一個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)向量是一個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)向量. .證證 C為為實(shí)對(duì)稱正定矩陣實(shí)對(duì)稱正定矩陣, 則則存在正交陣存在正交陣U, 使使 nTdddC21DUUdi 是是C 的的特征值特征值U是以特征向量為列構(gòu)成的正交陣是以特征向量為列構(gòu)成的正交陣令令Y=UX ，則，則Y 服正態(tài)分布服正態(tài)分布N(U, D).Y的協(xié)方差矩陣為對(duì)角陣，故

6、其分量相互獨(dú)立的協(xié)方差矩陣為對(duì)角陣，故其分量相互獨(dú)立. .電子科技大學(xué)二、正態(tài)隨機(jī)過程二、正態(tài)隨機(jī)過程 定義定義2.1.1 隨機(jī)過程隨機(jī)過程Xt , tT稱為正態(tài)過稱為正態(tài)過程程, ,如果它的如果它的任意有限維分布都是聯(lián)合正態(tài)任意有限維分布都是聯(lián)合正態(tài)分布分布. . 即對(duì)任意的正整數(shù)即對(duì)任意的正整數(shù) n 和和t1, t2 , , tnT, , n 維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量 (Xt1,Xtn) 都都服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布. .注注 1)上述幾個(gè)定理均可應(yīng)用于正態(tài)過程上述幾個(gè)定理均可應(yīng)用于正態(tài)過程. .電子科技大學(xué) 2）若存在某個(gè)若存在某個(gè)n, ,對(duì)對(duì)t1,t2, ,tnT, ,n維隨機(jī)變維隨機(jī)變量

7、量(Xt1,Xtn)服從退化正態(tài)分布服從退化正態(tài)分布, ,稱稱Xt, tT為為退化正態(tài)過程退化正態(tài)過程. . 3) 正態(tài)過程的正態(tài)過程的n 維分布由其二階矩完全確定維分布由其二階矩完全確定. . 前面的例前面的例2.1.1 就是一個(gè)退化的正態(tài)過程就是一個(gè)退化的正態(tài)過程, 其三維以上的有限維分布都是退化正態(tài)分布其三維以上的有限維分布都是退化正態(tài)分布.有有 對(duì)任意的對(duì)任意的n1, t1, t2 , ,tnT, , (Xt1, , Xtn)TN(, C ) 電子科技大學(xué),)()()(21 ntmtmtm ),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111nnnnnnttC

8、ttCttCttCttCttCttCttCttCC)()(),(jjtiitjitmXtmXEttC . ),1(nji 電子科技大學(xué)Ex.2.1.2 隨機(jī)振幅電信號(hào)隨機(jī)振幅電信號(hào) 與與相互獨(dú)立同服從正態(tài)分布相互獨(dú)立同服從正態(tài)分布,RtttXt ,sincos 設(shè)設(shè)為為常常數(shù)數(shù),)() (0,)() (222 EEEE2）寫出一維概率密度和二維概率密度）寫出一維概率密度和二維概率密度.1) 試求試求Xt 的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)；的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)；解解 1)0sin)(cos)( tEtEXEt，故故因因0)( E電子科技大學(xué))sincos)(sincos(),(ssttEtsR stEstE

9、 sinsin)(coscos)(22 )( , )(cos)(cos22tsts .cos0),()(22 ttRXDt2) X t 的一維密度為的一維密度為 Rxexfxt ,21)(222 電子科技大學(xué) Xt 是相互獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合是相互獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合, ,故故( (Xs, Xt) 服從二維正態(tài)分布服從二維正態(tài)分布, ,其相關(guān)系數(shù)為其相關(guān)系數(shù)為 coscos),(),()()(),(22 ttRssRtmsmtsR得過程得過程Xt 的二維密度為的二維密度為 ),(21,xxfts,)cos1 (2cos2cos1212222212122 xxxx.),(221Rxx

10、 僅與僅與=st 有關(guān)有關(guān)電子科技大學(xué)RtYXZttt ,證明證明 Zt 是正態(tài)過程。是正態(tài)過程。證證 對(duì)任意正整數(shù)對(duì)任意正整數(shù) n 及及 Rtttn ,21 Ex.2.1.3 設(shè)隨機(jī)過程設(shè)隨機(jī)過程Xt, tT 和和Yt, tT 相互獨(dú)立，都是正態(tài)隨機(jī)過程，設(shè)相互獨(dú)立，都是正態(tài)隨機(jī)過程，設(shè)TntttXXXX),(21 TntttYYYY),(21 思考題思考題: : 此過程是否是正態(tài)過程此過程是否是正態(tài)過程? 可否寫出任意可否寫出任意n維維概率密度概率密度?電子科技大學(xué)都是都是n維聯(lián)合正態(tài)隨機(jī)向量，并相互獨(dú)立。維聯(lián)合正態(tài)隨機(jī)向量，并相互獨(dú)立。 TntttZZZZ),(21 的的n維特征函數(shù)為維

11、特征函數(shù)為),(21,21nZZZuuunttt11ntntZuZujeE 1111ntntntntYuYujXuXujeeEE 21exp21expuCuujuCuujYYXX 21)(expuCuuCuujYXXY )()(111ntntnttYXuYXujeE 電子科技大學(xué))(21)(expuCCuujYXXY 由特征函數(shù)和分布函數(shù)的惟一性定理知由特征函數(shù)和分布函數(shù)的惟一性定理知TntttZZZ),(21是正態(tài)隨機(jī)向量是正態(tài)隨機(jī)向量. 且且TntttZZZ),(21YX 的均值向量為的均值向量為YXCC 協(xié)方差矩陣為協(xié)方差矩陣為 .問題問題：能否保證是非退化正態(tài)過程？：能否保證是非退化正態(tài)過程？電子科技大學(xué)實(shí)際應(yīng)用實(shí)際應(yīng)用怎樣驗(yàn)證隨機(jī)過程怎樣驗(yàn)證隨機(jī)過程Xt , tT是正態(tài)隨機(jī)過程是正態(tài)隨機(jī)過程? ? 任取任取n1 , , 及及 t1, t2 , ,tn T，記，記X=(Xt1,Xtn)，1) 計(jì)算計(jì)算X的的n維協(xié)方差矩陣維協(xié)方差矩陣C；2) 驗(yàn)證驗(yàn)證C的正定性；的正定性；算法步驟如下：算法步驟如下：電子科技大學(xué)3) 求正交矩陣求正交矩陣U, ,使使UCUT ndddD214) 令令Y=UX, ,Y的協(xié)方差矩陣為的協(xié)方差矩陣為D；稱將稱將X去相關(guān)去相關(guān)5) 檢