高中數(shù)學(xué)2.1對數(shù)與對數(shù)運算第1課時示范教案新必修1

1、研卷知古今；藏書教子孫。2.2對數(shù)函數(shù)2.2.1對數(shù)與對數(shù)運算整體設(shè)計教學(xué)分析我們在前面的學(xué)習(xí)過程中 ，已了解了指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì) ，它是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，從本節(jié)開 始我們學(xué)習(xí)對數(shù)及其運算 .使學(xué)生認識引進對數(shù)的必要性 ，理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì) ，了 解對數(shù)換底公式及其簡單應(yīng)用 ，能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化為常用對數(shù)或自然對數(shù)，通過閱讀材料，了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史及其對簡化運算的作用 .教材注重從現(xiàn)實生活的事例中引出對數(shù)概念，所舉例子比較全面，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思想素質(zhì)和激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和欲望.教學(xué)中要充分發(fā)揮課本的這些材料的作用，并盡可能聯(lián)系一些熟悉的事例，以豐富教學(xué)的情景創(chuàng)設(shè).教師要盡量發(fā)揮電腦

2、繪圖的教學(xué)功能，教材安排了“閱讀與思考”的內(nèi)容 ，有利于加強數(shù)學(xué)文化的教育，應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生認真研讀.根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點，教學(xué)中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量，使學(xué)生進一步體會到信息技術(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用盡量利用計算器和計算機創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持.三維目標(biāo)1 .理解對數(shù)的概念，了解對數(shù)與指數(shù)的關(guān)系 ；理解和掌握對數(shù)的性質(zhì)；掌握對數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系；通過實例推導(dǎo)對數(shù)的運算性質(zhì)，準(zhǔn)確地運用對數(shù)運算性質(zhì)進行運算，并掌握化簡求值的技能；運用對數(shù)運算性質(zhì)解決有關(guān)問題.培養(yǎng)學(xué)生分析、綜合解決問題的能力；培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識和科學(xué)分析問題的精神和態(tài)度.2 .通過與指數(shù)式的比較，引出對數(shù)的定

3、義與性質(zhì)；讓學(xué)生經(jīng)歷并推理出對數(shù)的運算性質(zhì)；讓學(xué)生歸納整理本節(jié)所學(xué)的知識 .3 .學(xué)會對數(shù)式與指數(shù)式的互化，從而培養(yǎng)學(xué)生的類比、分析、歸納能力；通過對數(shù)的運算法則的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的嚴謹?shù)乃季S品質(zhì)；在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生探究的意識；讓學(xué)生感受對數(shù)運 算性質(zhì)的重要性，增加學(xué)生的成功感，增強學(xué)習(xí)的積極性.重點難點教學(xué)重點：對數(shù)式與指數(shù)式的互化及對數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)運算的性質(zhì)與數(shù)知識的應(yīng)用.教學(xué)難點：對數(shù)概念的理解，對數(shù)運算性質(zhì)的推導(dǎo)及應(yīng)用.課時安排3課時教學(xué)過程第1課時對數(shù)與對數(shù)運算（1）導(dǎo)入新課思路1. 1.莊子：一尺之梗,日取其半，萬世不竭.（1）取4次,還有多長？ （ 2）取多少次，還有 0.125

4、 尺？2.假設(shè)2002年我國國民生產(chǎn)總值為a億元，如果每年平均增長 8%,那么經(jīng)過多少年國民生產(chǎn)總值是2002年的2倍？抽象出：1.（ 1）4=? （l）x=0.125x=?222.（1+8%） x=2 x=?都是已知底數(shù)和哥的值，求指數(shù).你能看得出來嗎？怎樣求呢？像上面的式子，已知底數(shù)和哥的值，求指數(shù)，這就是我們這節(jié)課所要學(xué)習(xí)的對數(shù)引出對數(shù)的概念，教師板書課題：對數(shù)與對數(shù)運算（1）.思路2.我們前面學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)，同時也會利用性質(zhì)解決問題，但僅僅有指數(shù)函數(shù)還不夠，為了解決某些實際問題，還要學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)，為此我們先學(xué)習(xí)對數(shù)引出對數(shù)的概念，教師板書課題：對數(shù)與對數(shù)運算(1).推進新課新知

5、探究提出問題(對于課本P572.1.2的例8)利用計算機作出函數(shù)y=13X 1.01 x的圖象.從圖象上看，哪一年的人口數(shù)要達到18億、20億、30億？如果不利用圖象該如何解決，說出你的見解？即18 =1.01 x,a=1.01 x, 30 =1.01 x,在這幾個式子中,x分別等于多少？131313你能否給出一個一般性的結(jié)論 ？活動：學(xué)生討論并作圖，教師適時提示、點撥.對問題，回憶計算機作函數(shù)圖象的方法，抓住關(guān)鍵點.對問題，圖象類似于人的照片，從照片上能看出人的特點，當(dāng)然從函數(shù)圖象上就能看出函數(shù)的某些點的坐標(biāo).對問題，定義一種新的運算.對問題，借助,類比到一般的情形.討論結(jié)果：如圖2-2-1

6、-1.k= 13 x LOI/圖 2-2-1-1在所作的圖象上，取點P,測出點P的坐標(biāo)，移動點P,使其縱坐標(biāo)分別接近 18,20,30,觀察這 時的橫坐標(biāo)，大約分別為32.72,43.29,84.04, 這就是說，如果保持年增長率為1個百分點,那么 大約經(jīng)過33年,43年,84年，我國人口分別約為 18億,20億,30億.18=1.01x,型=1.01 x, 30=1.01 x,在這幾個式子中，要求x分別等于多少，目前我們沒學(xué)這種131313運算，可以定義一種新運算，即若18=1.01 x,則x稱作以1.01為底的18的對數(shù).其他的可類似 1313得到，這種運算叫做對數(shù)運算.一般性的結(jié)論就是對

7、數(shù)的定義：一般地，如果a(a>0,a W1)的x次哥等于 N,就是ax=N,那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù) (logarithm), 記作x=log aN,其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).有了對數(shù)的定義，前面問題的x就可表示了 ：x=log 1.01 ,x=log 1.01 ，x=log 1.01 .131313由此得到對數(shù)和指數(shù)哥之間的關(guān)系：aNb指數(shù)式ab=N底數(shù)哥指數(shù)對數(shù)式log aN=b對數(shù)的底數(shù)真數(shù)對數(shù)1例如：42=162=log 416;10 2=100 2=logid00;4 2=21 =log 42;10-2=0.01-2=log 100.012提出問題為什么在對數(shù)定義中

8、規(guī)定a>0,aw1？根據(jù)對數(shù)定義求log a1和log aa(a>0,a小)的值.負數(shù)與零有沒有對數(shù)？ aloga =N與 log aab=b(a>0,a w1)是否成立 ？1討論結(jié)果：這是因為右a<0,則N為某些值時，b不存在，如log (-2);若a=0,N不為0時,b不存在，如log 03,N為0時,b可為任意正數(shù)，是不唯一的，即log 00有無數(shù)個值；若a=1,N不為1時,b不存在，如log 12,N為1時,b可為任意數(shù)，是不唯一的，即log 11有無數(shù)個 值.綜之，就規(guī)定了 a>0且aw1. 10g a1=0,log aa=1.因為對任意a>0且a

9、w1,者B有a°=1,所以log a1=0.同樣易知：log aa=1.即1的對數(shù)等于0,底的對數(shù)等于1.因為底數(shù)a>0且aw1,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，對任意的bC Ra b>0恒成立，即只有正數(shù)才 有對數(shù)，零和負數(shù)沒有對數(shù).因為 ab=N,所以 b=log aN,ab=aal0ga' =N,即 aal0ga'=N.因為ab=ab,所以log aab=b.故兩個式子都成立.(a aloga =N叫對數(shù)恒等式)思考我們對對數(shù)的概念和一些特殊的式子已經(jīng)有了一定的了解，但還有兩類特殊的對數(shù)對科學(xué)研究和了解自然起了巨大的作用，你們知道是哪兩類嗎？活動：同學(xué)們閱讀課

10、本 取的內(nèi)容，教師弓I導(dǎo)，板書.解答：常用對數(shù)：我們通常將以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù).為了簡便，N的常用對數(shù)log 10N 簡記作lgN.例如：10g 105 簡記作 lg5；10g 103.5 簡記作 lg3.5.自然對數(shù)：在科學(xué)技術(shù)中常常使用以無理數(shù)e=2.718 28為底的對數(shù)，以e為底的對數(shù)叫自然對數(shù)，為了簡便,N的自然對數(shù)log eN簡記作lnN.例如：log e3簡記作ln3;10g e10簡記作ln10.應(yīng)用示例思路1例1將下列指數(shù)式寫成對數(shù)式，對數(shù)式寫成指數(shù)式：(1) 54=625; (2) 2-6= ; (3) (l)m=5.73;64310g 1 16=-4;(5)lg0

11、.01=-2;(6)ln10=2.303.2活動：學(xué)生閱讀題目，獨立解題，把自己解題的過程展示在屏幕上，教師評價學(xué)生，強調(diào)注意的問題.對(1)根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系,4在指數(shù)位置上,4是以5為底625的對數(shù).對(2)根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系，-6在指數(shù)位置上，-6是以2為底的對數(shù).64對(3)根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系，m在指數(shù)位置上，m是以1為底5.73的對數(shù).3又(4)根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系，16在真數(shù)位置上，16是的-4次哥.2又(5)根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系,0.01在真數(shù)位置上，0.01是10的-2次哥.又(6)根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系，10在真數(shù)位置上，10是e的2.303次塞.

12、解：(1) log 5625=4; (2) log 2 =-6; (3) log 1 5.73=m;643(4) ( 1 )-4=16;(5)10 -2=0.01;(6)e 2.303=10. 2思考指數(shù)式與對數(shù)式的互化應(yīng)注意哪些問題？活動：學(xué)生考慮指數(shù)式與對數(shù)式互化的依據(jù)，回想對數(shù)概念的引出過程 ，理清對數(shù)與指數(shù)哥的關(guān)系，特別是位置的對照.解答：若是指數(shù)式化為對數(shù)式，關(guān)鍵要看清指數(shù)是幾，再寫成對數(shù)式.若是對數(shù)式化為指數(shù)式， 則要看清真數(shù)是幾，再寫成哥的形式.最關(guān)鍵的是搞清 N與b在指數(shù)式與對數(shù)式中的位置，千萬 不可大意，其中對數(shù)的定義是指數(shù)式與對數(shù)式互化的依據(jù)變式訓(xùn)練課本P64練習(xí)1、2.例

13、2求下列各式中x的值：(1) log 64X= 2; (2) log x8=6; 3(3) lg100=x; (4) -lne 2=x.活動：學(xué)生獨立解題，教師同時展示學(xué)生的作題情況，要求學(xué)生說明解答的依據(jù)，利用指數(shù)式與對數(shù)式白關(guān)系，轉(zhuǎn)化為指數(shù)式求解.26( 3),2-4_ 1=2 一162解：(1)因為 log 64x=- 2 ,所以 x=64 3 =(2) 3(2)因為 log x8=6,所以 x6=8=23=( v 2 ) 6.因為 x>0,因此 x= % 2 .(3)因為 lg100=x,所以 10x=100=102.因此 x=2.(4)因為-lne 2=x，所以 lne 2=-

14、x,e -x=e2.因此 x=-2.點評：本題要注意方根的運算，同時也可借助對數(shù)恒等式來解.變式訓(xùn)練求下列各式中的x：log 4x=;log x27=;log 5 (log iox) =1.24小、1小 1解：由 log 4x=，得 x=4 2 =2;34由 log x27= 3 ,得 x 4 =27,所以 x=27 3 =81;4由 log 5 (log 10X)=1,得 log 10X=5,即 x=105.點評：在解決對數(shù)式的求值問題時，若不能一下子看出結(jié)果，根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系，首先 將其轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，進一步根據(jù)指數(shù)塞的運算性質(zhì)算出結(jié)果.思路2例1以下四個命題中，屬于真命題的是()(

15、1)若 log 5X=3，貝U x=15( 2)若 log 25X= 1，則 x=5( 3)若 log x4- 5 =0，貝U x= % 5(4)21右 log 5x= 3,貝U x=125A. (2) (3)B. (1) (3) C. (2) (4)D. (3) (4)活動：學(xué)生觀察，教師引導(dǎo)學(xué)生考慮對數(shù)的定義.對數(shù)式化為指數(shù)式，根據(jù)指數(shù)塞的運算性質(zhì)算出結(jié)果.對于(1)因為log 5x=3,所以x=53=125,錯誤；1對于(2)因為10g 25x= 1，所以x=25萬=5,正確；2對于(3)因為log x J5=0,所以x°=、5 無解，錯誤；對于(4)因為10g 5x=3，所以

16、x=5-3=一，正確.125總之(2) (4)正確.答案：C點評：對數(shù)的定義是對數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)例2對于a>0,aw1,下列結(jié)論正確的是()(1)若 M=N則 log aM=logaN(2)若 log aM=logaN,則 M=N (3)若 log aM2=log aN2,則 M=N(4)若 M = N則 log aM2=log aN2A. (1) (3)B.(2) (4) C. (2) D. (1) (2) (4)活動：學(xué)生思考，討論，交流，回答，教師及時評價.回想對數(shù)的有關(guān)規(guī)定.對(1)若M=N,當(dāng)M為0或負數(shù)時10g aM log aN,因此錯誤；對(2)根據(jù)對數(shù)的定義，

17、若log aM=logaN,則M=N正確；對(3)若 log aM=logaN2,則 M= N,因此錯誤；對(4)若M=N=0,則logaM2與log aN2都不存在，因此錯誤.綜上，(2)正確.答案：C點評：0和負數(shù)沒有對數(shù)，一個正數(shù)的平方根有兩個.例3計算：10g 927;(2)log43 81；(3)log(23)(2-3);(4)log3 625.活動：教師引導(dǎo)，學(xué)生回憶，教師提問，學(xué)生回答，積極交流，學(xué)生展示自己的解題過程 ，教師及 時評價學(xué)生.利用對數(shù)的定義或?qū)?shù)恒等式來解.求式子的值，首先設(shè)成對數(shù)式，再轉(zhuǎn)化成指數(shù)式或指數(shù)方程求解.另外利用對數(shù)恒等式可直接求解，所以有兩種解法.解法

18、一：(1)設(shè) x=log 927,則 9x=27,32x=33,所以 x=3 ;2x(2)設(shè) x=log 4年 81,貝U( V3)x=81,3 4=34，所以 x=16;(3)令 x=log(2 (2- J3)=log (2 o(2+ 33 )-1 , 所以(2+ 3)x=(2+ 3)x=-1;4令 x=log 3625,所以(3/54 ) x=625,5 3 x=54,x=3.3 54'3解法二：(1)log 927=log 933=log 992 =;2(2)log 4 3 81=log 4 3 ( 4 3 )16=16;10g (23)(2-3 )=log(23)(2+ 3)-

19、1=-1；10g 3 鏟 625=1og 3 寸(3 54 ) 3=3.點評：首先將其轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，進一步根據(jù)指數(shù)哥的運算性質(zhì)算出結(jié)果，對數(shù)的定義是轉(zhuǎn)化和對數(shù)恒等式的依據(jù).變式訓(xùn)練課本P64練習(xí)3、4.知能訓(xùn)練1.把下列各題的指數(shù)式寫成對數(shù)式：(1)42=16; (2)30=1;(3)4x=2; (4)2x= 0.5;(5)54=625;(6)3-2 = 1;(7)( - )-2=16.94解：(1)2 =log 416;(2)0 =log31;(3) x = log42;(4) x = log 20.5;(5)4=log5625;(6)-2=log 31 ;(7)-2=log1 16.942

20、.把下列各題的對數(shù)式寫成指數(shù)式：(1) x = log 527;(2) x=log87;(3) x=log43;(4) x = log 7-;3(5)1og 2 16=4;(6)1og27=-3;log.-3x=6;(8)1og x64=-6;3(9)1og 2128=7;(10)1og 327=a.解：(1)5 x=27;(2)8 x=7；(3)4 x=3;(4)7 x= 1 ；(5)2 4=16;(6)(1)-3=27;(7)( v3)633=x;(8)x -6=64;(9)2 7=128;(10)3 a=27.3.求下列各式中x的值：10g 8x= 2 ；(2)1og x27=3 ；(3

21、)1og 2 (log 5x) =1;(4)1og 3(1gx) =0.342222 33 ()21解：(1)因為 log 8X= _ ,所以 x=8 3 =(2 ) 3 =23 =2 =-;3 4(2)因為 log x27= 3 ,所以 x 4 =27=33,即 x=(3 3)怎=34=81; 4(3)因為 log 2 (log 5x) =1,所以 log 5x=2,x=5 2=25;(4)因為 log 3 (lgx ) =0,所以 lgx=1,即 x=101=10.4.(1)求 log 84 的值；(2)已知 log a2=m,log a3=n,求 a2m+n 的值.解：(1)設(shè)log 8

22、4=x,根據(jù)對數(shù)的定義有 8x=4,即23x=22,所以x=2 ,即10g 84=2 ;33(2)因為log a2=m,log a3=n,根據(jù)對數(shù)的定義有 am=2,a n=3,所以 a2m+n=(a m) 2 - a n=(2) 2 3=4X 3=12.點評：此題不僅是簡單的指數(shù)與對數(shù)的互化，還涉及到常見的哥的運算法則的應(yīng)用.拓展提升請你閱讀課本75頁的有關(guān)閱讀部分的內(nèi)容，搜集有關(guān)對數(shù)發(fā)展的材料，以及有關(guān)數(shù)學(xué)家關(guān)于對數(shù)的材料，通過網(wǎng)絡(luò)查尋關(guān)于對數(shù)換底公式的材料，為下一步學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).課堂小結(jié)(1)對數(shù)引入的必要性；(2)對數(shù)的定義；(3)幾種特殊數(shù)的對數(shù)；(4)負數(shù)與零沒有對數(shù)；(5)對數(shù)恒等式；(6)兩種特殊的對數(shù).作業(yè)課本P74習(xí)題2.2A組1、2.【補充作業(yè)】1 .將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化，有x的求出x的值.(1) 5 2=J; (2) log 24=x; (3) 3x=;527(4) ( ) x=64; (5) lg0.000 1=x;(6)