代數(shù)變形常用技巧

1、代數(shù)變形中常用的技巧代數(shù)變形是為了達(dá)到某種目的或需要而采取的一種手段，是化歸、轉(zhuǎn)化和 聯(lián)想的準(zhǔn)備階段，它屬于技能性的知識(shí)， 當(dāng)然存在著技巧和方法， 也就需要人們 在學(xué)習(xí)代數(shù)的實(shí)踐中反復(fù)操練才能把握， 乃至靈活應(yīng)用。 代數(shù)變形技巧是學(xué)習(xí)掌 握代數(shù)的重要基礎(chǔ)， 這種變形能力的強(qiáng)弱直接關(guān)系到解題能力的發(fā)展。 本文就初 等代數(shù)變形中的解題技巧，作一些論述。兩個(gè)代數(shù)式A、B，如果對(duì)于其中所含字母的一切允許值它們對(duì)應(yīng)的值都相 等，則稱這兩個(gè)代數(shù)式恒等，記作A -B或A=B，把一個(gè)代數(shù)式換成另一個(gè)和它 恒等的代數(shù)式，叫做代數(shù)式的恒等變形。恒等變形是代數(shù)的最基本知識(shí)， 是學(xué)好 中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，恒等變形的理論依

2、據(jù)是運(yùn)算律和運(yùn)算法則，所以， 恒等變形必 須遵循各運(yùn)算法則，并按各運(yùn)算法則在其定義域內(nèi)進(jìn)行變形。代數(shù)恒等變形技巧是學(xué)習(xí)與掌握代數(shù)的重要基礎(chǔ),這種變形能力的強(qiáng)弱直接 關(guān)系到解題能力的發(fā)展。 代數(shù)恒等變形實(shí)質(zhì)上是為了達(dá)到某種目的或需要而采取 的一種手段，是化歸、轉(zhuǎn)化和聯(lián)想的準(zhǔn)備階段，它屬于技能性的知識(shí)，當(dāng)然存在 著技巧和方法， 也就需要人們?cè)趯W(xué)習(xí)代數(shù)的實(shí)踐中反復(fù)操練才能把握， 乃至靈活 與綜合應(yīng)用。 中學(xué)生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中不善于積累和總結(jié)變形經(jīng)驗(yàn)， 在稍復(fù)雜的問 題面前常因變形方向不清，而導(dǎo)致常規(guī)的化歸、轉(zhuǎn)化工作難以實(shí)施，甚至失敗， 其后果直接影響著應(yīng)試的能力及效率。代數(shù)的恒等變形包括的內(nèi)容較多，

3、本文著重闡述代數(shù)運(yùn)算和解題中常見的變 形技巧及應(yīng)用。一、整式變形整式變形包括整式的加減、乘除、因式分解等知識(shí)。這些知識(shí)都是代數(shù)中的 最基礎(chǔ)的知識(shí)。有關(guān)整式的運(yùn)算與化簡(jiǎn)求值，常用到整式的變形。例1：化簡(jiǎn)(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2分析： 此題若按常規(guī)方法先去括號(hào)，再合并類項(xiàng)來進(jìn)行恒等變形的話， 計(jì)算 會(huì)繁雜。 而通過觀察發(fā)現(xiàn)此題是一個(gè)輪換對(duì)稱多項(xiàng)式，就其特點(diǎn)而言， 若用換元 法會(huì)使變形簡(jiǎn)單，從而也說明了換元法是變形的一種重要方法。解：設(shè)y-z=a, z-x=b, x-y=c,則a+b+c=0，y+z-2x=b-c,x+

4、z-2y=c-a,x+y-2z=a-b。于是原式=(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2-3a2-3b2-3c2=b2-2ac+c2+c2-2ac+a2+a2-2ab+b2-3a2-3b2-3c2=-a2-b2-c2-2ac-2ab-2bc=-(a+b+c)2=0例2：分解因式(1-x2)(1-y2)-4xyx4+y4+ x2y2分析：本題的兩個(gè)小題，若按通則變形，則困難重重，不知從何下手，但從 其含平方的項(xiàng)來研究，考慮應(yīng)用配方法會(huì)使變形迎刃而解。題先將括號(hào)展開， 并把-4xy拆成-2xy和-2xy，再分組就可以配成完全平方式。題用添項(xiàng)、減項(xiàng) 法加上x2y2再減去x2y2，即可配方，然后再進(jìn)

5、行變形分解。解：原式=1-y2-x2+x2y2-2xy-2xy=(1-2xy+x2y2)-( x2+2xy+ y2)=(1-xy)2-(x+y)2=(1-xy+x+y)(1-xy-x-y)原式= x4+y4+ x2y2+x2y2-x2y2=(x2+y2)2-x2y2=(x2+y2+xy) ( x2+y2-xy)以上兩例充分說明了，配方法、因式分解法、換元法都是恒等變形的方法與 基礎(chǔ)，它們都是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有力工具，是解決數(shù)學(xué)問題的武器。因此，這些變形 技巧必須熟練掌握。二、分式變形眾所周知，對(duì)學(xué)生而言，分式的變形較為復(fù)雜，也很講究技巧。通分化簡(jiǎn)是 常規(guī)方法，但很多涉及分式的問題僅此而已是不夠的，

6、還需按既定的目標(biāo)逆向變 通，這時(shí)將分式分解成部分分式、分離常數(shù)、分子變位等便成了特殊的技巧，靈 活應(yīng)用這些變形技巧便會(huì)使問題迎刃而解。有關(guān)分式的計(jì)算、化簡(jiǎn)、求值、證明，常常采用分式的變形技巧。（一）將已知條件變形，再直接代入例： 已知一=a, =b, =c,且x+y+z工0,試求y z z xx y旦+ d +旦的值。1a 1 b 1 c分析：此題若按常規(guī)方法，把已知條件直接代入所求進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算會(huì)很復(fù) 雜，也不容易求得正確答案。通過觀察已知和未知的式子，考慮將已知條件進(jìn)行 變形，再整改代入未知中去，計(jì)算起來比較簡(jiǎn)單。因此，對(duì)已知條件進(jìn)行變形也 是非常必要的。解：由已知得1+a=1 +所以旦二

7、x1 a x y z所以原式=+=二=1x y z x y z x y z x y z（二）應(yīng)用比例的基本性質(zhì)進(jìn)行恒等變形c_ z1 c x y z2 2看普，求沁芽的值。a0 , b卻,把已知條件中的等式變形并利用等比性質(zhì)消去b，得本題多次應(yīng)用了通分，逆用通分，取倒數(shù)等恒等變形，使問題得到了解決, 說明這些方法都是代數(shù)變形的重要方法，這些技巧應(yīng)理解掌握。（四）利用常值代換進(jìn)行恒等變形a-+b+c的值。1 bc b 1 ca c 1解：Tabc=1解：由已知條件知25a15b75b30a75b6a 15b _ 25a 15b(6a 15b) _ 31a=131a75b(30a75b) aa=3

8、b.原式=4(3b)2 5 3bb6b2_27b2_9(3b)22 3b b 3b26b2（三）利用倒數(shù)知識(shí)進(jìn)行恒等變形ab 1例:已知a、b、c為實(shí)數(shù)，且-a =1a b 3bc =-b c 4 旦旦= =，求，求abcc a 5 ab bc ca的值。解：顯然a、b、c均不為零，故將三個(gè)條件分式兩邊分別取倒數(shù)，得:亠，=4，=5abbcca再逆用分式加法法則變形得:三式相加，得abc =- ab bc ca6 1 1.-=6，b c1原式二二- -61c11,+=3，+ =4，a bb c再通分變形得ab bcabc1 1+=5c a空=6，兩邊取倒數(shù)得例：已知abc=1,求ab a原式=

9、+ab a abcbc b 1= =1bc b 1bbc+ bc b 1 bc b 1本題的解法很巧，若將所求通分化簡(jiǎn)，再代入已知或?qū)⒁阎冃卧俅胨蠖疾灰浊蟪鼋Y(jié)果。習(xí)慣上是將字母代換成數(shù)， 而此題是將數(shù)代換成字母，反而收效較好。因此，常值代換也是恒等變形的重要技巧。(五)利用設(shè)比例系數(shù)進(jìn)行恒等變形例：已知=，求uz的值。a b b c c a 2003a 2004b 2005cx v z解：設(shè)= =k(k卻卻),),則x=(a-b)k，y=(b-c)k，z=(c-a)ka b b c c a原式=0此變形是解有關(guān)等比問題的重要技巧。(六)利用添項(xiàng)拆項(xiàng)進(jìn)行恒等變形1例：已知abc工0，a+b

10、+c=0，求a(-+ b解：由abc工0，知-+b+ -=3，故abc111111原式=a(+)+b(+)+c(abcabc1 1 1=(a+b+c)( + + )-3=-3abc(七)利用運(yùn)算定律進(jìn)行恒等變形例：求值例：已知x2-3x+1=0，求x3+1/x3=3的值。分析：此題若用常規(guī)方法先求出x的值，再代入x3+1/x3=3中進(jìn)行計(jì)算是很繁的，如果注意到運(yùn)用立方和公式及整體代換進(jìn)行變形，問題就很簡(jiǎn)單了1解：由x2-3x+1=0，可知x+ =3，故x111)+b(+)+c(cca-+ - )-3 bc1111( + + + + )+(2 3 460“5859、+( + )=5960-1 2

11、 1解：原式=_+(_+_)+(23323+ +)+( +6045833、+ + + +)+)+= + + +22 2159(1 59)=X=88522(八)利用整體代換思想進(jìn)行變形321、z594446060591=(1+2+3+59)2 2+ + + + +色色+ + ?+?+丄丄) )60 60 6011原式=(x+ )( x+ )1 2-3=3(32-3)=18xx本題還運(yùn)用了配方，等式兩邊除以同一個(gè)不為零的數(shù)的變形技巧，這樣做的 目的是使已知條件與所求式之間的關(guān)系更加明朗化，便于代入，使運(yùn)算更簡(jiǎn)便(九)利用逆用通分進(jìn)行恒等變形1 1 1+ + + x(x 1) (x 1)( x 2)

12、 (x 2004)(x2005)分析：這類問題在通常情況下是整體通分，但本題這樣做顯然很繁，若在每個(gè)分式中逆用通分進(jìn)行“裂項(xiàng)”的恒等變形，則十分簡(jiǎn)捷1 1 1+ + -x 2 x 2004 x 2005=11=2005=x-x 2005=x(x 2005)(十)利用分離常數(shù)的方法進(jìn)行恒等變形x 6 x 2 x 3x 5 例：解萬程+=+x10 x6x7x9分析：如果按照常規(guī)思路整體去分母，顯然運(yùn)算很繁雜，若采用分段化簡(jiǎn),分離常數(shù)，可化繁為簡(jiǎn)解：原方程可化為1 1x219x 90= x213x 422 2x 19x90=x 13x 42x=8(十一)利用換元再約簡(jiǎn)的方法進(jìn)行恒等變形約分是分式化簡(jiǎn)

13、的重要手段之一。這種變形技巧貫穿整個(gè)分式的學(xué)習(xí)過程例：化簡(jiǎn)1 1解：原式=/+4x 10+1+=1+1+1即-+x 10再進(jìn)行變形得1 1 = 1x 10 x 9 x 7(十二)利用主元代入及消元思想進(jìn)行恒等變形例：若4x-3y-6z=0, x+2y-7z=0.2 2 25x 2y等于10z3等利用消元變形求得x=3z，y=2z:原式=2 9：324了10：2=-13故選(D)由以上的論述可知：分式的變形一般有三種思路，先變形條件，以便運(yùn)用；先化簡(jiǎn)待求式，這是為了利用條件； 將條件和待求式同時(shí)變形，容易看出二者的 關(guān)系。也就更容易找到變形技巧，使變形簡(jiǎn)單明了，更具可操作性。三、根式變形有關(guān)根式

14、的計(jì)算、比較大小、化簡(jiǎn)、求值等，經(jīng)常應(yīng)用到根式的變形技巧， 特別是二次根式的運(yùn)算，它是中學(xué)代數(shù)中的一個(gè)難點(diǎn)，不少題目用常規(guī)方法去解 比較繁瑣，所以解題中要根據(jù)題目的特點(diǎn)，巧用一些運(yùn)算技巧，才能達(dá)到事半功倍的效果。(一)巧用運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行恒等變形例：化簡(jiǎn)2aca2(a b)21a b (ab)2(b a(ac解：設(shè)一a b=x，原式=a(1 x2)(1x2)a(1x)(1x)(1 x x2)ab(1x)(1 x3)b(1x)(1 x)(1x x2)b2x23y2解：以x、(B)192(C)-15(D)-13由已知得4x-3y=6zx+2y=7z例：計(jì)算(.6+5)2004(6-5)2004(6-

15、. 5 )又232. 3 0分析：逆用運(yùn)算性質(zhì)，再用平方差公式解：原式=(.6 + .5 )2004( . 6 - . 5 )2004( 6 - .5 ) =(.6+,5)(,6-,5)2004( . 6-, 5) =(6-5)2004(6-. 5)=.? 6 - - 5(二)巧用因式分解進(jìn)行恒等變形例：計(jì)算(,3+、.5+2一2)(3、.5+5.一3-2 . 30)解：原式=(、3+5+2.2) 15 ( 3+,5-2.2)=.15（、2+ ,3）2-8= 15 2.15=30（三）利用分母有理化進(jìn)行恒等變形例：計(jì)算11113、3 5*3357*55、749 . 4747、49解：原式3.3

16、5.3357.55、749 47 47.4932(*3)2(5 3)2(3一5)2(7.5)2(5 7)2(49, 47)2(4A 49)2=3 v35 33 57 -55749.4747. 49=325 327 524947 21-33 55)(/ 47、49、(2 6)(610 1014)(9498)=1 149=1丄=32982147(四)巧用平方進(jìn)行恒等變形例：化簡(jiǎn).2、3- 23解：(.2、32 . 3 )2= 2 3 2 .(2 . 3)(2 .3) 23=2、3 223=2例：不求根式的值，比較15 J4與14. 13的大小。原式=333a b33a b3ab 3b2a2b232

17、23a 3a b 3ab3b(a b)a2b22 23a(a ab b )2 2（a b）（a ab b ）（七）利用配方法進(jìn)行恒等變形例：化簡(jiǎn)_6353b =3aaba3b=3b分析：本題若采用分母有理化，計(jì)算會(huì)很復(fù)雜，若采用將分子配方，再分解因式后，與分母約分的方法會(huì)很簡(jiǎn)單。解：原式=(2 26 3) 5-(23)2 (驕、2 . 3 X 5-e-2 35)c2 35)2= ,.23 542 43 45（八）利用分子有理化進(jìn)行恒等變形/ .2323 =2（五）利用拆項(xiàng)技巧進(jìn)行恒等變形例：計(jì)算1 223（1 J2）（忑忑V3）1解：原式=.2312Xi x y y3 45( (、3 2)(2

18、.5)、 2 1=32（六）利用換元技巧進(jìn)行恒等變形例：化簡(jiǎn)xy）3 2x、x52= 51r. y3., xy3y(A)350440530(B)530350440解:1514=(15.7；：14)=.151.,14( (寸寸14V13)/14 J13)=1vl4 J13J14 . 141301 1_ _1514-.14131514.14 13以上所述的這些二次根式的變形技巧，在解決二次根式的問題時(shí)，有很大的用處，因此，它作為一種代數(shù)變形技巧應(yīng)被很好的掌握。四、指數(shù)變形有關(guān)指數(shù)的變形，一般都是利用幕運(yùn)算法則進(jìn)行較簡(jiǎn)便，而對(duì)一些比較大小的題目，就更講究變形的技巧，主要是將底數(shù)變了相同，或?qū)⒅笖?shù)變了

19、相同。（一）放縮變形例：設(shè)a=1991,b=（999991）19,則a-b是（ ）（A）不大于-1的數(shù)（B）不小于1的數(shù)（C）絕對(duì)值大于0且小于1的數(shù)（D）0194197657解：Tb=（999991）1976(1915-257) 1976(1615-257)= 1976(260-257) =1976260(8-1)1故選（B）（二）利用開方進(jìn)行變形例：350，440，530的大小關(guān)系為（(C)530440 350(D)440530350解：T10350=35=243,10440=44=256,10530=53=125.熙蓉熙蓉III%51*。5303500及復(fù)合函數(shù)的“同增異減”法則知，原函

20、數(shù)在區(qū)間(0，- )和(C)530440 350(D)440530350(A) mvnvp(B)mpn(C)np p20.p12 n12.pn.mpn（四）利用求商進(jìn)行變形系是（）解m20=（-）4=8ip20=(-)5513125又；P12=(-71n12=(4)4=1256例：已知a=2255b=3344,c=5533,d=6622，貝U a、b、c、d的大小關(guān)(A)abcd(B)abdc(C)bacd(D)adbc解:22552534816622=(531162)111=(1375)11136故選(A)上述四例充分說明了，指數(shù)變形技巧在解題中的作用和地位， 離開了這些變 形技巧，解題思路就會(huì)受阻，解題無從下手，因此變形技巧在解題中起著無足輕 重的作用。五、對(duì)數(shù)變形在對(duì)數(shù)式的恒等變形中，應(yīng)注意真數(shù)與底數(shù)間的相互關(guān)系， 靈活利用運(yùn)算法 則進(jìn)行化簡(jiǎn)和計(jì)算。對(duì)數(shù)的變形主要考慮換底和底數(shù)的選擇。例：討論函數(shù)f(x)=logax(bx)(ba0)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并證明你的結(jié) 論。分析：直接利用單調(diào)性的定義進(jìn)行探索，變形極易受阻，所以，利用對(duì)數(shù)換 底公式進(jìn)行變形，可供選擇的底數(shù)有a、b和10,但a、b未完全具備對(duì)數(shù)底數(shù)的資格，故選擇以10為底進(jìn)行變形。lg x lg bIg b Ig a解：f(x)=1 +Ig x Ig aIg