2021年高考文科數(shù)學(xué)(人教A版)一輪復(fù)習(xí)講義：第2講第3課時函數(shù)性質(zhì)的綜合問題

1、第 3 課時 函數(shù)性質(zhì)的綜合問題函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性（師生共研 ）已知函數(shù) y= f(x)是 R 上的偶函數(shù)，對1任意 xi,X2(0,),都有(xi X2) f(xi) f(x2)f(b)f(c)B. f(b)f(a)f(c)C. f(c)f(a)f(b)D. f(c)f(b)f(a)【解析】由題意易知 f(x)在(0,+m)上是減函數(shù)，,2In 3又因為 ai= In 31 , b = (In 3)2|a|, 0c=f(|a|)f(b).又由題意知 f(a) = f(|a|),所以 f(c)f(a)f(b).故選 C.【答案】C函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合問題解題思路(1)解決比較大小、最值

2、問題應(yīng)充分利用奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.解決不等式問題時一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉(zhuǎn)化成f(X1) f(X2)或f(X1)f(X2)的形式，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，列出不等式(組),要注意函數(shù)定義域?qū)?數(shù)的影響.已知定義域為(一1 , 1)的奇函數(shù)f(x) 是減函數(shù)，且 f(a 3) + f(9 a2)0 ,則實數(shù) a 的取值范圍是()A (2 2, 3)B. (3,10)C. (2 2, 4)D. ( 2, 3)解析：選 A.由 f(a 3) + f(9 a2)0 得 f(a 3) f(9 a2).又

3、由奇函數(shù)性質(zhì)得 f(a3)f(a21a 31, 9).因為 f(x)是定義域為(一 1, 1)的減函數(shù)，所以一 1a2 91 ,解得 2.2a a? 9,函數(shù)的奇偶性與周期性(典例遷移)(一題多解)(2020 武昌區(qū)調(diào)研考試)已 5義域為 R 的奇函數(shù)，且函數(shù) y= f(x- 1)為偶函數(shù)，當(dāng) 0wxw1 時，f(x) = x3,則 丐【解析】法一：因為 f(x)是 R 上的奇函數(shù)，y= f(x- 1)為偶函數(shù)，所以 f(x- 1) = f(-x-1) = - f(x+ 1),所以 f(x+ 2) = -f(x), f(x+ 4) = f(x),即 f(x)的周期 T= 4,因為 0 x 1

4、時,法二：因為 f(x)是 R 上的奇函數(shù)，y= f(x- 1)為偶函數(shù)，所以 f(x- 1) = f(-x- 1) = -f(x + 1),所以 f(x+2) =-f(x),由題意知，當(dāng)一 1wx0 時，f(x) = x3,故當(dāng)一 1wxw1 時，f(x) =x3,當(dāng) 1xW3 時，一 1x-2w1, f(x)=- (x- 2)3,所以 f知 f(x)是定.f(x) = x3,所以 f 2555 =f2-4=f1 _ 12 =-8.1【答案】18【遷移探究】(變條件)本例變?yōu)椋阂阎?f(x)是定義域為 R 的偶函數(shù)，且函數(shù)y= f(x +51)為奇函數(shù)，當(dāng) OWx1 時，f(x)= x2,則

5、 fq =_解析：因為 f(x)是 R 上的偶函數(shù)，y= f(x+ 1)為奇函數(shù)，所以 f(x+ 1)= f( x+ 1) = f(x 1),所以 f(x+ 2)= f(x), f(x + 4) = f(x), 即 f(x)的周期 T= 4,因為 OWx1 時，f(x)= x2,所_ 1=41答案：14周期性與奇偶性結(jié)合，此類問題多考查求值問題 ，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將 所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的定義域內(nèi)求解.以 f 2=f 2 4-3= f3= f1+1=(2020 廣東六校第一次聯(lián)考)定義在 R1上的函數(shù) f(x)滿足 f(x) = f(2 x)及 f(x)= f(-

6、x),且在0,1上有 f(x)= x1 2,則 f 2 0192 =()9144解析：選 D.函數(shù) f(x)的定義域是 R, f(x)= f( x),所以函數(shù) f(x)是奇函數(shù).又 f(x) = f(2x),所以 f( x) = f(2 + x) = f(x),所以 f(4+ x)= f(2 + x) = f(x),故函數(shù) f(x)是以 4 為周期 1 11 1的奇函數(shù)，所以 f 2 0192 = f 2 020 = f - = f 2 .1 121因為在0, 1上有 f(x)=x2,所以= 2 = 4,函數(shù)的綜合性應(yīng)用(師生共研)1 1故 f 2 0192 = 4,故選 D.(1)(2020

7、 石家莊市模擬(一)已知 f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，且滿足f(x)= f(2 x),當(dāng) x 0 , 1時,f(x)= 4x 1,則在(1, 3)上,f(x)w1 的解集是()33 5A. 1, 2B. 2 , 2C. 1 , 3D. 2 , 3)(2)(2020 陜西榆林一中模擬)已知偶函數(shù) f(x)滿足 f(x) + f(2 x) = 0，現(xiàn)給出下列命題： 函數(shù)f(x)是以 2 為周期的周期函數(shù)；函數(shù) f(x)是以 4 為周期的周期函數(shù)；函數(shù) f(x 1)為 奇函數(shù)；函數(shù) f(x 3)為偶函數(shù)，其中真命題的個數(shù)是()A.1B. 2C. 3D. 4【解析】 因為 0Wxw1 時，f(x

8、) = 4x 1,所以 f(x)在區(qū)間0 , 1上是增函數(shù)，又函數(shù) f(x)是奇函數(shù)，所以函數(shù) f(x)在區(qū)間1 , 1上是增函數(shù)，因為 f(x) = f(2 x),所以函數(shù) f(x)13的圖象關(guān)于直線 x= 1 對稱，所以函數(shù) f(x)在區(qū)間(1, 3)上是減函數(shù)，又 f 2 = 1，所以 f 2 =31,所以在區(qū)間(1, 3)上不等式 f(x) 1 的解集為 2，3，故選 C.(2)偶函數(shù) f(x)滿足 f(x) + f(2 x)= 0,所以 f( x)= f(x) = f(2 x), f(x+ 2) = f(x),f(x + 4) = f(x+ 2) = f(x),可得 f(x)的最小正

9、周期為 4,故錯誤，正確；由 f(x+ 2) = f(x),可得 f(x+ 1) = f(x 1).又 f( x 1)= f(x+ 1),所以 f( x 1) =- f(x 1),故 f(x 1)為奇函數(shù)，正確；若 f(x 3)為偶函數(shù)，貝 y f(x 3) = f( x 3),又 f( x 3)= f(x+ 3),所以 f(x+ 3)= f(x 3),即 f(x+ 6) = f(x),可得 6 為 f(x)的周期,這與 4 為最小正周期矛 盾， 故錯誤 ， 故選 B.【答案】 (1)C (2)B求解函數(shù)的綜合性應(yīng)用的策略(1) 函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性，知二斷一.特別注意“奇函數(shù)若在 x

10、= 0 處有定義， 則一定有 f(0) = 0;偶函數(shù)一定有 f(|x|)= f(x)”在解題中的應(yīng)用.(2) 解決周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合的問題， 通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間， 再利用奇偶性和單調(diào)性求解.解析：選 B.由 f(x) = f(2 x)得 f(x)的圖象關(guān)于直線 x= 1 對稱.又 f(x)是偶函數(shù)，故函數(shù) f(x)的周期是 2, f(x)在區(qū)間2, 1上是增函數(shù)，在區(qū)間3 , 4上是減函數(shù).2. (2020 甘肅甘谷一中第一次質(zhì)檢)已知定義在 R 上的函數(shù) f(x)滿足條件：對任意的 x R，都有 f(x + 4) = f(x);對任意的X1, x2 0 , 2且

11、X1X2，都有 f(X1)f(X2);函數(shù) f(x2)的圖象關(guān)于 y 軸對稱，則下列結(jié)論正確的是 ()A.f(7)f(6.5)f(4.5)B.f(7)f(4.5)f(6.5)C.f(4.5)f(7)f(6.5)D.f(4.5) f(6.5) f(7)解析：選 C.因為對任意的 x R,都有 f(x+ 4) = f(x),所以函數(shù)是以 4 為周期的周期函數(shù),因為函數(shù) f(x + 2)的圖象關(guān)于 y 軸對稱，所以函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于 x= 2 對稱，因為 X1, X2 0 , 2且 X1X2,都有 f(X1)f(X2).所以函數(shù) f(x)在0 , 2上為增函數(shù)，所以函數(shù) f(x)在2 , 4上

12、為減函數(shù).易知 f(7) = f(3) , f(6.5) = f(2.5) , f(4.5) = f(0.5) = f(3.5),則 f(3.5)f(3) 0)，則 f(x- 2)0 的條件為 _ .解析：由 f(x)= x3- 8(x 0),知 f(x)在0 ,+s)上單調(diào)遞增，且 f(2) = 0所以，由已知條件可知 f(x- 2)0? f(|x- 2|)f(2).所以 |x- 2|2,解得 x4.答案：x|x4D. 1 和 2f ( X2) f ( X1X2X10,則(基礎(chǔ)題組練1.已知 f(x)在 R 上是奇函數(shù),且滿足 f(x+ 4) = f(x),當(dāng) x (0,2)時，f(x)=

13、2x2,則 f(2 019) =( )A . - 2B. 2C. 98D. 98解析：選 A.由 f(x+ 4)= f(x)知，f(x)是周期為 4 的周期函數(shù)，f(2 019) = f(504X4+ 3) = f(3)=f( 1).由 f(1) = 2X12= 2 得 f( 1) = f(1) = 2,所以 f(2 019) = 2故選 A.1 一2已知偶函數(shù) f(x)在區(qū)間0,+ )上單調(diào)遞增，則滿足f(2x 1)f 3 的 x 的取值范圍1 2B. 3, 3解析：選 A.因為 f(x)是偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于 y 軸對稱，1 又 f(x)在0 , +)上單調(diào)遞增，f(2x 1)f-, 所

14、以 |2x 1|3 所以1x|.3 .若 f(x)是定義在(8,+)上的偶函數(shù),A . f(3)f(1)f( 2)X1, X2 0 ,+ )(x1工 X2)，B. f(1)f( 2)f(3)C. f( 2)f(1)f(3)D . f(3)f( 2)f(1)f ( X2) f ( X1)解析：選 D.因為？xi,X20 ,+8)(xiMX2),有 0 時，X2 Xi函數(shù) f(x)為減函數(shù)，因為 f(x)是定義在(8, +8)上的偶函數(shù)，所以 f(3)f(2)f(1),即 f(3)f( 2)f(1).4.(2020 黑龍江齊齊哈爾二模)已知函數(shù) f(x)是偶函數(shù)，定義域為R，單調(diào)增區(qū)間為0,+8)

15、，且 f(l) = 0，則(X1)f(x 1) 0 的解集為()A . 2, 0B. 1 , 1C.(8,0U1,2D.( 8,1U0,1解析：選 C.由題意可知，函數(shù) f(x)在(8,0上單調(diào)遞減，且 f(1)=0,令 X 1= t,則 tf(t) 0 時，f(t)w0,解得 0tw1;當(dāng) t0,解得 t1,所以 0wX1w1 或X1w 1,所以X0 或 1wX2.故選 C.5.(2020 甘肅靜寧一中一模)函數(shù) y= f(x)在0 , 2上單調(diào)遞增，且函數(shù) f(x+ 2)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是()57A . f(1)f 2 f 275B. f 2 f 2 f(1)75C.f 2 f(1)f 257D. f 2 f(1