上海市青浦區(qū)高考數(shù)學一模試卷

1、2018 年上海市青浦區(qū)高考數(shù)學一.填空題（本大題滿分 54 分）本大題共有 12 題，1-6 每題 4 分，7-12 每題 5 分考生應在答題紙 相應編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得分，否則一律得零分1. （4 分）設(shè)全集 U=Z 集合 M=1, 2，P=- 2，- 1, 0，1, 2，則 PACUM_.2._（4 分）已知復數(shù)芷 一（i 為虛數(shù)單位），則廠司=_ .3.（4 分）不等式 2（丄）3（x-的解集為2 -4._（4 分）函數(shù) f （x） = .sinxcosx+cos2x 的最大值為_.5.（4 分）在平面直角坐標系 xOy 中，以直線 y=2x 為漸近線，且經(jīng)過橢圓

2、x2+二=1 右頂點的雙4曲線的方程是_ .6.（4 分）將圓錐的側(cè)面展開后得到一個半徑為2 的半圓，貝吐匕圓錐的體積為 _ .7. （5 分）設(shè)等差數(shù)列an的公差 d 不為 0，a1=9d.若 ak是 a1與 a2k的等比中項，貝Uk=_ .8.（5 分）已知（1+2x）6展開式的二項式系數(shù)的最大值為 a,系數(shù)的最大值為 b,貝也=.a9 . （5 分）同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩個點數(shù)之積不小于4 的概率為_ .1口旳（廿亙）卩10 . （5 分）已知函數(shù) f （x） = “ 有三個不同的零點，則實數(shù) a 的取值范圍是_.,/一3於+弘疋011 . （5 分）已知 S 為數(shù)列an的前 n

3、 項和，a1=a2=1,平面內(nèi)三個不共線的向量 匚，：，滿足宀(an-計 an+1)A+ (1 - an)、n2, n N：若 A, B, C 在同一直線上，則&18=_12. （5 分）已知函數(shù) f （x） =m （x - m） （x+m+2 和 g （x） =3x- 3 同時滿足以下兩個條件：1 對任意實數(shù) x 都有 f （x）v0 或 g （x）v0;2 總存在 x（-x,-2）,使 f（X。）g（x）v0 成立.則 m 的取值范圍是_.二.選擇題（本大題滿分 20 分）本大題共有 4 題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙 的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5

4、分，否則一律得零分.13. （5 分）“ ab” 是“（丄）2ab” 成立的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件14. （5 分）已知函數(shù) f （x） =2sin）,若對任意實數(shù) x，都有 f （X1） f （x） 0 恒成立，求實數(shù) 入的最大值.21.(18 分)對于定義在0, +x)上的函數(shù) f (x),若函數(shù) y=f (x)-( ax+b)滿足：在區(qū)間0 , +x)上單調(diào)遞減，存在常數(shù) p,使其值域為(0, p，則稱函數(shù) g (x) =ax+b 是函 數(shù) f (x)的“逼進函數(shù)”.2(1) 判斷函數(shù) g (x) =2x+5 是不是函數(shù) f (x

5、) = 丁 if1, x 0 , +x)的“逼進函數(shù)”；(2) 求證：函數(shù) g (x)丄 x 不是函數(shù) f (x)=(二)x, x 0 , +x)的“逼進函數(shù)”(3) 若 g (x) =ax 是函數(shù) f (x) =x+ . , x 0 , +x)的“逼進函數(shù)”，求 a 的值.2018 年上海市青浦區(qū)高考數(shù)學一模試卷參考答案與試題解析一.填空題(本大題滿分 54 分)本大題共有 12 題，1-6 每題 4 分，7-12 每題 5 分考生應在答題紙 相應編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得分，否則一律得零分 1. (4 分)設(shè)全集 U=Z 集合M=1, 2 , P=- 2,- 1, 0, 1,

6、 2，則 PACUM - 2,- 1, 0【解答】解：CUM=- 2,- 1, 0，故 PACUM=- 2,- 1, 0故答案為： - 2,- 1, 0【解答】解：復數(shù)lW2i33 =139 3即 x2- 4x- 3 3 - 3x,2 x - x - 6 0,解得 xV-2 或 x3,原不等式的解集為(-X,-2)U(3,+x).3. (4 分)不等式 23(x-1的解集為(-X,-2)U(3,+x)【解答】解：不等式 23(x-1化為2. (4 分)已知復數(shù)(i 為虛數(shù)單位)，則廠 .=一3一故答案為：（-X,-2）U（3,+x）.4. （4 分）函數(shù) f （x）=二 sinxcosx+co

7、s x 的最大值為即 x=kn故答案為:曲線的方程是 x2 3 49【解答】解：設(shè)以直線 y= 2x 為漸近線的雙曲線的方程為 x2;雙曲線橢圓xG=1右頂點（1,0）, 二仁入，2雙曲線方程為：x2=1.4故答案為：x26.（4 分）將圓錐的側(cè)面展開后得到一個半徑為 2 的半圓，貝吐匕圓錐的體積為【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為 r，則 2nr=2 冗，二 r=1 .圓錐的高 h=-.圓錐的體積L 二丄.故答案為：7. （5 分）設(shè)等差數(shù)列an的公差 d 不為 0, a1=9d.若 ak是 a1與 a2k的等比中項，貝Uk= 4 【解答】解：因為 ak是 a1與 a2k的等比中項，【解答】解：

8、函數(shù) f (x) =ffsinxcosx+cos x= sin 2x+ 22=Sin(心土 cos2x+丄+寺，當 2x+=2kn+6 2,k Z,3225. （4 分）在平面直角坐標系 xOy 中，以直線 y=2x 為漸近線，且經(jīng)過橢圓x2+.4=1 右頂點的雙=入（入工0),k乙函數(shù)取得最大值122 2則 ak=aa2k, 9d+ (k - 1) d =9d?9d+ (2k - 1) d,又 0,則 k2- 2k- 8=0, k=4 或 k= - 2 (舍去).故答案為：4.8. （5 分）已知（1+2x）6展開式的二項式系數(shù)的最大值為 a,系數(shù)的最大值為 b,【解答】解：由題意可得 a=

9、cf=20,故答案為:【解答】解：由題意可知：函數(shù)圖象的左半部分為單調(diào)遞增對數(shù)函數(shù)的部分， 函數(shù)圖象的右半部分為開口向上的拋物線，對稱軸為 x 欝，最多兩個零點, 如上圖，要滿足題意，必須指數(shù)函數(shù)的部分向下平移到與x 軸相交，由對數(shù)函數(shù)過點（1, 0）,故需左移至少 1 個單位，故 a 1,再根據(jù)C2rCj+1r+1解得rrb晉113 r=4，此時 b=c?x24=240;240 =a20 |故答案為：9. （5 分）同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩個點數(shù)之積不小于 4 的概率為31【解答】解：同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,基本事件總數(shù) n=6X6=36,兩個點數(shù)之積小于 4 包含的基本事件（a,

10、b）有:（1,1）,（ 1, 2），（ 2, 1），（ 1, 3），（ 3, 1），兩個點數(shù)之積不小于4的概率為 p=1-5.31363610. （5 分）已知函數(shù) f （x）=有三個不12還需保證拋物線與 x 軸由兩個交點，故最低點v0,解得 av0 或 a丄，綜合可得：a 1,故答案為：1 ,+).11. (5 分)已知 S 為數(shù)列an的前 n 項和，ai=a2=1,平面內(nèi)三個不共線的向量 口，：，滿足二(an-1+an+1) + (1 - an)n2，n N：若 A，B，C 在同一直線上，則 沐二 2 .【解答】解：若 A，B，C 三點共線，則L.=x I.+ (1 - x) ，根據(jù)條件

11、“平面內(nèi)三個不共線的向 量亡| ，滿足= (an1+&+1)總|+(1 - an)i.，n2，n N，A，B，C 在同一直線上，”彳得出 an-1+01+1+1 an=1，an-1+an+1=an，IS 為數(shù)列an的前 n 項和，a1=a2=1，數(shù)列an為：1，1, 0，- 1，- 1, 0，1，1, 0，- 1，- 1, 0,即數(shù)列an是以 6 為周期的周期數(shù)列，前 6 項為 1, 1, 0,- 1,- 1, 0, 2018=6X336+2, S2018=336X(1+1+0- 1-1+0)+1+1=2.故答案為：2.12. (5 分)已知函數(shù) f (x) =m (x - m) (x

12、+m+2 和 g (x) =3x- 3 同時滿足以下兩個條件：1 對任意實數(shù) x 都有 f (x)v0 或 g (x)v0；2 總存在 x(-x,-2)，使 f(X。)g(X。)v0 成立.則 m 的取值范圍是(-3,- 2 ).【解答】解：對于Tg (x ) =3 - 3，當 xv1 時，g (x)v0,又？xR, f(x) v0 或 g(x) v0 f (x ) =m (x - m) (x+m+2v0 在 x1 時恒成立則由二次函數(shù)的性質(zhì)可知開口只能向下，且二次函數(shù)與x 軸交點都在(1, 0)的左面，即 nrl，可得-3vmv0-in-20 在 x(-x,-2)有成立的可能，則只要-2 比

13、 X1, X2中的較小的根大即可，(i )當-1vm- 2 不成立，(ii )當 m=- 1 時，兩個根同為-1 - 3,不成立，(iii )當-3vmv- 1 時，較小的根為 m,即 mv- 2 成立.綜上可得成立時-3VRK-2.故答案為：（-3,- 2）.二.選擇題（本大題滿分 20 分）本大題共有 4 題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙 的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5 分，否則一律得零分.13. （5 分）“ ab” 是“（色）2ab” 成立的（）2A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件【解答】 解：由（）2ab 得 一a

14、b，24即 a2+2ab+64ab，則 a2- 2ab+b20，即（a- b）20，則 ab，則“ab”是“（）2ab”成立的充分不必要條件，故選：A.14. （5 分）已知函數(shù) f （x） =2sin （三-x 礙），若對任意實數(shù) x，都有 f （xi）f （x） f （X2），25則|X2- xi|的最小值是（）A.nB. 2nC.2 D. 4【解答】解：對于函數(shù) f （x） =2sinx-），若對任意實數(shù) x，都有 f （xi）wf （x） f （X2），25則|X2-xi|的最小值為函數(shù) f （x）的半個周期，故選：C.15. （5 分）已知訝口j是互相垂直的單位向量，向量滿足：i二

15、n，j 備二 2 門+1，nN；設(shè)0n為I和的夾角，則（）A.0n隨著 n 的增大而增大B.0n隨著 n 的增大而減小C.隨著 n 的增大，0n先增大后減小D.隨著 n 的增大，0n先減小后增大【解答】解：分別以 E 和所在的直線為 x 軸，y 軸建立坐標系，則 E = （1, 0）, = （0, 1），設(shè):r = （xn，yn）， i8“ 二 m j 5 門二 2 口+1，n&N*Xn=n, yn=2n+1, n N ,?。╪, 2n+1）, n N：n9n為和:中的夾角，y=tan9n為減函數(shù)，9n隨著 n 的增大而減小.故選：B.16.（5 分）在平面直角坐標系 xOy 中，已知

16、兩圓G:x2+y2=12 和 C2: x2+y2=14,又點 A 坐標為（3,-1）, M N 是 C 上的動點，Q 為 C2上的動點，則四邊形 AMQ 能構(gòu)成矩形的個數(shù)為（）A. 0 個 B. 2 個 C. 4 個 D.無數(shù)個【解答】解：如圖所示，任取圓 C2上一點 Q,以 AQ 為直徑畫圓，交圓 G 與 M N 兩點，則四邊形 AMQ 能構(gòu)成矩形，由作圖知，四邊形 AMQ 能構(gòu)成矩形的個數(shù)為無數(shù)個.故選：D.三. 解答題（本大題滿分 76 分）本大題共有 5 題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū) 域內(nèi)寫出必要的步驟.17.（14 分）如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，底面 ABCD

17、1 矩形，PAL 平面 ABCD PA=AD=2AB=2E 是 PB的中點.（1）求三棱錐 P-ABC 的體積；（2）求異面直線 EC 和 AD 所成的角（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【解答】解：（1）vPAL 平面 ABCD 底面 ABCD 是矩形，高 PA=2 BC=AD=2AB=1,片.一丄一_=2+-fLJ1-ntan9nSAAB時“X 1=1.i 上一（2）vBC/ AD,ECB 或其補角為異面直線 EC 和 AD 所成的角9,又 PAL 平面 ABCD故 VP-ABC= PAaBC 又 BC 丄 AB BC 丄平面 PAB 二 BCL PB, 于是在 Rt CEB 中, BC=2 BE

18、 丄 PB 逅,2 2tanB二丄二二,BCq異面直線 EC 和 AD 所成的角是 arctan 工一Q18.(14 分)已知拋物線C:y2=2px 過點 P (1, 1).過點(0,寺)作直線 I 與拋物線 C 交于不同 的兩點 M N,過點 M 作 x 軸的垂線分別與直線 OP ON 交于點 A, B,其中 0 為原點.(1) 求拋物線 C 的方程，并求其焦點坐標和準線方程；(2) 求證：A 為線段 BM 的中點.【解答】解：(1)：y2=2px 過點 P (1,1), 仁 2p , 解得 p2 y =x ,焦點坐標為(二4(2)證明：設(shè)過點(0 ,)的直線方程為直線 OP 為 y=x ,

19、直線 ON 為：y=由題意知 A (X1, X1), B (X1,上上工),19. (14 分)如圖,某大型廠區(qū)有三個值班室 A、B、C.值班室 A 在值班室 B 的正北方向 2 千米處, 值班室C 在值班室 B 的正東方向 2.；千米處.(1) 保安甲沿 CA 從值班室出發(fā)行至點 P 處，此時 PC=1 求 PB 的距離；(2) 保安甲沿 CA 從值班室 C 出發(fā)前往值班室 A，保安乙沿 AB 從值班室 A 出發(fā)前往值班室 B，甲乙 同,0),準線為 x=-,M(X1, yj ,N(X2,y2),y=由可得 k2x2+ (k - 1)?2x1=2x1,時出發(fā)，甲的速度為 1 千米/小時，乙的

20、速度為 2 千米/小時，若甲乙兩人通過對講機聯(lián)系， 對講 機在廠區(qū)內(nèi)的最大通話距離為 3 千米(含 3 千米)，試問有多長時間兩人不能通話？【解答】 解：(1)在 Rt ABC 中, AB=2 BC=2;，所以/ C=30，在厶 PBC 中 PC=1 BC=5，由余弦定理可得BP=BC+PC-2BC?PCCOS30=(2；)2+1-2X2:；X1X二=7,即 BP=;(2)在 Rt ABC 中, BA=2 BC=5，ACp=4，設(shè)甲出發(fā)后的時間為 t 小時，則由題意可知 OWt 4,設(shè)甲在線段 CA 上的位置為點 M 則 AM=4- t，1當 OWt 9, 解得 tv或 t ,TT所以O(shè)WtW

21、LI；72當 1WtW4 時，乙在值班室 B 處，在 ABM 中,由余弦定理得 MB= (4 -t)2+4- 2?2t? (4 -t)COS60 =t2- 6t+12 9, 解得 tv3- .或 t 3+.:，又 1WtW4,不合題意舍去.綜上所述 OwtW時，甲乙間的距離大于 3 千米，亍I所以兩人不能通話的時間為小時.|T|2O. (16 分)設(shè)集合 A, B 均為實數(shù)集 R 的子集，記 A+B=a+b|a A, b B.(1)已知 A=O, 1, 2 , B=- 1, 3，試用列舉法表示 A+B(2)設(shè) a1匚，當 n N*且 n2 時，曲線一- +： 丄的焦距為 an,如果 A= ,

22、a?,，an,=-丄，-二，-，設(shè) A+B 中的所有元素之和為 S,求 S 的值；(3) 在(2)的條件下，對于滿足m+n=3K 且mn 的任意正整數(shù) mn, k,不等式 S+S-入SkO恒成立，求實數(shù) 入的最大值. A+B=a+b|aA,b B；入w二2故實數(shù)入的最大值為二21.(18 分)對于定義在0, +x)上的函數(shù) f (x),若函數(shù) y=f (x) 在區(qū)間0 , +x)上單調(diào)遞減，存在常數(shù) p,使其值域為(0, p，貝U稱函數(shù) g (x) =ax+b 是函數(shù) f (x)的“逼進函數(shù)”.2(1) 判斷函數(shù) g (x) =2x+5 是不是函數(shù) f (x) = 丁 1 丁 1, x 0 , +x)的“逼進函數(shù)”；(2) 求證：函數(shù) g (x) j-x 不是函數(shù) f (x)=(寺)x, x 0 , +x)的“逼進函數(shù)”(3) 若 g (x) =ax 是函數(shù) f (x) =x+*F -j, x 0 , +x)的“逼進函數(shù)”，求 a 的值.2【解答】解：(1) f (x)- g (x)宀汙11-( 2x+5) 二 77 ,可得 y=f (x) - g (x)在0 ,0