第四章 動態(tài)電磁場1：基本理論與準靜態(tài)電磁場

1、動態(tài)電磁場的基本方程與邊界條件 時諧電磁場電磁場能量-坡印廷定理 電磁位 準靜態(tài)電磁場重點內(nèi)容回顧及重點內(nèi)容回顧及疑難解答疑難解答麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組教教學(xué)學(xué)內(nèi)內(nèi)容容主要知識點主要知識點動態(tài)電磁場的麥克斯韋方程組動態(tài)電磁場的麥克斯韋方程組和媒質(zhì)特性的構(gòu)成方程和媒質(zhì)特性的構(gòu)成方程動態(tài)電磁場中不同媒質(zhì)分界面動態(tài)電磁場中不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件。上的邊界條件。 重點和難點重點和難點動態(tài)電磁場中不同媒質(zhì)分界面動態(tài)電磁場中不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件推導(dǎo)上的邊界條件推導(dǎo) 思考題與作業(yè)思考題與作業(yè) 例題例題4-14-1；作業(yè)；作業(yè)4-14-1、4-24-2備注備注4.14.1動態(tài)電磁場的基本方程與

2、邊界條件動態(tài)電磁場的基本方程與邊界條件 一 動態(tài)電磁場的定義 4.1.1 4.1.1 動態(tài)電磁場的基本方程動態(tài)電磁場的基本方程1.1.動態(tài)電磁場的特點及定義動態(tài)電磁場的特點及定義 時變電磁場隨時間迅速變化，必須考慮:由磁場變化產(chǎn)生的感應(yīng)電場；由電場變化產(chǎn)生的感應(yīng)磁場；此時，時變電場和時變磁場相互依存、相互制約、相互耦合，稱其為動態(tài)電磁場2.2.動態(tài)電磁場知識結(jié)構(gòu)圖動態(tài)電磁場知識結(jié)構(gòu)圖圖圖 時變場知識結(jié)構(gòu)框圖時變場知識結(jié)構(gòu)框圖電磁感應(yīng)定律電磁感應(yīng)定律全電流定律全電流定律MaxwellMaxwell方程組方程組分界面上銜接條件分界面上銜接條件動態(tài)位動態(tài)位A A , ,達朗貝爾方程達朗貝爾方程正弦電

3、磁場正弦電磁場坡印亭定理與坡印亭矢量坡印亭定理與坡印亭矢量電磁幅射電磁幅射( ( 應(yīng)用應(yīng)用 ) )二 描述動態(tài)電磁場的麥克斯韋方程組 ，高斯定律，磁通連續(xù)性原理，電磁感應(yīng)定律，全電流定律DBtBEtDJHc0三 媒質(zhì)特性的構(gòu)成方程組 EJHBEDc4.1.2 4.1.2 動態(tài)電磁場的邊界條件動態(tài)電磁場的邊界條件一 回顧靜態(tài)電磁場邊界條件： 021ttlEEl dE02112 nnnnSD ddDDDD SS1.分界面上電場強度的邊界條件:1）電場強度的旋度方程：表明：兩種介質(zhì)分界面上，電場強度的切向分量是連續(xù)的；2）電位移矢量的散度方程：表明：在分界面不存在面分布形式的自由電荷（=0）的條件下

4、，兩種介質(zhì)分界面上的電位移矢量的法向分量是連續(xù)的。圖2-14 E的旋度方程對應(yīng)的邊界條件圖2-15 D的散度方程對應(yīng)的邊界條件nnSBBdB21 0SttttSlHHHHSdJl dH210K21 K 2.分界面上磁場強度的邊界條件:1）磁感應(yīng)強度的散度方程：表明：兩種磁媒質(zhì)分界面上的磁感應(yīng)強度的法向分量是連續(xù)的。2）磁場強度的旋度方程：表明：在分界面不存在宏觀的自由面電流分布（K=0）的條件下，兩種介質(zhì)分界面上的磁場強度的切向分量是連續(xù)的。圖3-30 H的旋度方程對應(yīng)的邊界條件二 動態(tài)電磁場邊界條件求取：1.對比動態(tài)電磁場和靜態(tài)電磁場的基本方程:DBtBEtDJHc0DBEJHc00 可知：

5、僅旋度方程有異，所以僅需推導(dǎo)場量的切向分量之間的關(guān)系。2.動態(tài)電磁場邊界條件求取:1）電場強度的旋度方程：)(tB 21ttEE結(jié)論：只要 不是無限大，電場強度的切向分量依然是連續(xù)的，即圖2-14 E的旋度方程對應(yīng)的邊界條件2）磁場強度的旋度方程:結(jié)論：只要在分界面上)(tD是有限量，兩種介質(zhì)分界面上的磁場強度的切向分量依然是連續(xù)的。K 21ttHH圖3-30 H的旋度方程對應(yīng)的邊界條件3）動態(tài)電磁場分界面上的邊界條件:)(tD)(tB實際上，媒質(zhì)分界面上 和 總是有限量。動態(tài)電磁場的邊界條件為：nnnnttttDDBBEEHH21212121 K 結(jié)論：在不同媒質(zhì)分界面上： E切向分量和B法

6、向分量總是連續(xù)的； H切向分量和D法向分量只有在媒質(zhì)分界面上不存在傳導(dǎo)電流和自由電荷時才是連續(xù)的； 邊界條件與媒質(zhì)無關(guān)，類似于電路中的網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)的約束。=0；根據(jù)4）在理想導(dǎo)體與介質(zhì)交界面上的邊界條件:cJEJcEtBE注意：理想導(dǎo)體內(nèi)部電導(dǎo)率 , 有限，則根據(jù) ，導(dǎo)體內(nèi)不存在隨時間變化的磁場，得到：，理想導(dǎo)體內(nèi)在理想導(dǎo)體（媒質(zhì)1）與介質(zhì)（媒質(zhì)2）交界面上的邊界條件為：nnttDBEH222200 K 結(jié)論：理想導(dǎo)體與介質(zhì)在不同媒質(zhì)分界面上: 電力線垂直于理想導(dǎo)體表面 磁力線沿理想導(dǎo)體表面分布。 實際上理想導(dǎo)體不存在，但當場源激勵頻率很高時，對于高導(dǎo)電率的良導(dǎo)體，由于集膚效應(yīng)，時變電磁場分布

7、趨于表面，工程上可將該導(dǎo)體近似看做理想導(dǎo)體。例：4-1在圖4-2所示的無限大理想導(dǎo)體平板間的無源自由空間中，動態(tài)電磁場的磁場強度為： ，式中 為常數(shù)。試求：1）板間時變的電場強度 ；2）兩導(dǎo)體表面時變的面電流密度 和電荷面密度 。)cos()cos( 0 xtzdHeHyEK重點內(nèi)容回顧及重點內(nèi)容回顧及疑難解答疑難解答場量的直角坐標和球面坐標的表場量的直角坐標和球面坐標的表示方法示方法教教學(xué)學(xué)內(nèi)內(nèi)容容主要知識點主要知識點時諧電磁場的麥克斯韋方程組時諧電磁場的麥克斯韋方程組和媒質(zhì)特性的復(fù)數(shù)構(gòu)成方程和媒質(zhì)特性的復(fù)數(shù)構(gòu)成方程重點和難點重點和難點時諧電磁場的麥克斯韋方程組時諧電磁場的麥克斯韋方程組和媒

8、質(zhì)特性的復(fù)數(shù)構(gòu)成方程和媒質(zhì)特性的復(fù)數(shù)構(gòu)成方程思考題與作業(yè)思考題與作業(yè) 例題例題4-24-2備注備注4.2 4.2 時諧電磁場時諧電磁場一 時諧電磁場的定義： 4.2.1 4.2.1 時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示二 時諧電磁場的復(fù)數(shù)表示：1. 時諧電磁場的三要素：振幅、頻率、相位在電路中，正弦量有三個要素：振幅、頻率、相位( )2 cos()( )2sin()jji tItIIedi tItj Ij Iedt 時諧電磁場的三要素：振幅、頻率、相位：以電場強度為例，推導(dǎo)其復(fù)數(shù)表示。jjezyxEjEjtzyxEdtEdezyxEEtzyxEtzyxE),()sin(),(2),()co

9、s(),(2),(角頻率；電場強度三個分量的振幅（有效值）；電場強度三個分量的振幅（最大值）；電場強度在直角坐標系下三個分量的初相位；2. 電場強度在直角坐標系下的表示方法：( , )2( )cos( )2( )cos( )2( )cos( )( )cos( )( )cos( )( )cos( )xxxyyyzzzxxmxyymyzzmzE r teE rtreE rtreE rtre Ertre Ertre ErtrzyxEEE,zmymxmEEE,zyx,3. 電場強度的相量表示方法：( )( )( )( )( )( )( )yxzjjjxxyyzzxxyyzzE re E r ee E

10、r ee E r ee E re E re E r( )2 ( )( )( )( )( )( )( )yxzjjjmxxmyymzzmxxmyymzzmErE re Er ee Er ee Er ee Ere Ere Er)(2)(),(tjetjmeerERerERtrE4. 時諧電磁場麥克斯韋方程組的復(fù)數(shù)表示：DBBjEDjJHc0結(jié)論：頻率形式的麥克斯韋方程組不含場量對時間的偏導(dǎo)，分析更加簡單。5. 請同學(xué)們自己學(xué)習(xí)時諧電磁場有損媒質(zhì)中的復(fù)數(shù)表示！例：例：4-24-2寫出下列與時諧電磁場對應(yīng)的復(fù)矢量或瞬時矢量：1）2）sin0)coscos(sin zjxexjHH)sin()cos(

11、xtEextEeEzmzymy重點內(nèi)容回顧及重點內(nèi)容回顧及疑難解答疑難解答靜態(tài)電磁場中電磁能量靜態(tài)電磁場中電磁能量 教教學(xué)學(xué)內(nèi)內(nèi)容容主要知識點主要知識點 坡印廷矢量的物理意義、時諧坡印廷矢量的物理意義、時諧電磁場中復(fù)坡印廷矢量的表示方電磁場中復(fù)坡印廷矢量的表示方法以及坡印廷矢量的應(yīng)用。法以及坡印廷矢量的應(yīng)用。重點和難點重點和難點時諧電磁場中坡印廷矢量的表時諧電磁場中坡印廷矢量的表示方法。示方法。 思考題與作業(yè)思考題與作業(yè) 例題例題4-34-3，作業(yè)，作業(yè)4-34-3備注備注4.3 4.3 電磁場能量電磁場能量- -坡印廷定理坡印廷定理一般形式為：一 靜態(tài)電磁場中電磁能量： 4.3 4.3 電磁

12、場能量電磁場能量- -坡印廷定理坡印廷定理22ccJEEJdVdPpcJEp在恒定電流場中，電功率體密度為：上面兩式被稱為焦耳-楞次定律的微分形式。在恒定電場中，導(dǎo)電媒質(zhì)吸收的電功率以焦耳熱形式體現(xiàn)。二 動態(tài)電磁場的電磁能量： 1. 坡印廷定理2. 坡印廷矢量坡印廷定理的物理意義：動態(tài)電磁場中，單位時間內(nèi)穿過閉合曲面S流入體積V的電磁能量等于該體積內(nèi)電磁場能量W的增加率和電磁場能量的消耗率。反映了動態(tài)電磁場能量守恒和功率平衡關(guān)系。 HES表征：單位時間內(nèi)穿過單位面積的電磁能量，還描述了該電磁功率流的空間流動方向，可以對動態(tài)電磁場的功率和能量傳播進行計算和分析。 三 時諧電磁場的電磁能量： 1.

13、 時諧電磁場中，導(dǎo)電媒質(zhì)吸收的復(fù)功率體密度：2. 時諧電磁場的坡印廷定理)()(*DjHEDjHEJEc微分形式 積分形式 *()()cEHE JjB HE D VcSdVDEHBjJESdHE)()(*3. 時諧電磁場的復(fù)坡印廷矢量*HES結(jié)論：1）復(fù)坡印廷矢量的實部（媒質(zhì)吸收的有功功率密度）等于電磁功率流面密度矢量的平均值：2）時諧電磁場能量、功率分析：可以建立與正弦交流電路功率平衡之間的對應(yīng)關(guān)系，可用于場的分析等。 ),(1*0HERdttrSTSeTav例：例：4-34-3用坡印亭矢量分析直流電源U0沿同軸電纜向負載R傳送能量的過程。設(shè)電纜為理想導(dǎo)體，內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)外半徑分

14、別為b和c。重點內(nèi)容回顧及重點內(nèi)容回顧及疑難解答疑難解答靜態(tài)電磁場中電磁位的定義和作靜態(tài)電磁場中電磁位的定義和作用用 教教學(xué)學(xué)內(nèi)內(nèi)容容主要知識點主要知識點電磁位電磁位- -洛倫茲規(guī)范以及電磁位洛倫茲規(guī)范以及電磁位的非齊次波動方程的基本內(nèi)容。的非齊次波動方程的基本內(nèi)容。時諧電磁場非齊次波動方程及其時諧電磁場非齊次波動方程及其求解方法。求解方法。重點和難點重點和難點動態(tài)電磁場非齊次波動方程的動態(tài)電磁場非齊次波動方程的建立及求解建立及求解 思考題與作業(yè)思考題與作業(yè) 作業(yè)作業(yè)4-54-5備注備注了解非齊次波動方程在動態(tài)電磁了解非齊次波動方程在動態(tài)電磁波分析中的重要作用。波分析中的重要作用。 4.4 4

15、.4 電磁位電磁位4.4.1 4.4.1 電磁位電磁位- -洛倫茲規(guī)范洛倫茲規(guī)范一 電磁場分析中引入位函數(shù)的作用： 在恒定磁場的分析中，基于恒定磁場的無散性，定義了矢量磁位函數(shù)，由求得的矢量磁位，最終可以算的待求場點處的磁感應(yīng)強度。 矢量磁位的引入沒有任何具體的物理意義，是一個純粹的計算輔助量，但在磁場問題的分析計算中，基于矢量磁位的分析計算更為方便。 同樣在動態(tài)電磁場中，定義輔助位函數(shù)可以簡化麥克斯韋方程組的求解。二 動態(tài)電磁場的電磁位-洛倫茲規(guī)范： 定義動態(tài)矢量位A（單位：韋/米）的輔助矢量函數(shù)：AB定義一個動態(tài)標量位（單位：伏）的輔助矢量函數(shù)：tAEA位函數(shù)組被稱為動態(tài)電磁場的電磁位。1

16、. 動態(tài)電磁場的電磁位 2. 洛倫茲規(guī)范 與恒定磁場取庫倫規(guī)范不同，在動態(tài)電磁場中，我們將定義洛倫茲規(guī)范。) 1 ( )(222cJtAtAA(2) )(2At 上述兩個二階偏微分方程，對 的散度規(guī)范不同，方程組形式也不同。 如果取庫倫規(guī)范 ，式（2）可簡化為泊松方程，但（1）中 與 仍然耦合。 A0AAcJtAtAA)(222?。?）式中梯度項為零，得到 的散度規(guī)范（也稱洛倫茲規(guī)范）：AtA洛倫茲規(guī)范的重要意義：1）確定了 的值，與 共同唯一確定 ； 2）簡化了動態(tài)位與場源之間的關(guān)系，使得A 單獨由J 決定，J單獨由r 決定，給解題帶來了方便；3）洛侖茲規(guī)范是電流連續(xù)性原理的體現(xiàn)。AABA4

17、.4.2 4.4.2 非齊次波動方程非齊次波動方程一 動態(tài)電磁場電磁位的非齊次波動方程（達朗貝爾方程）洛侖茲規(guī)范定義后，上面兩式可轉(zhuǎn)化為：) 1 ( )(222cJtAtAA(2) )(2At(3) 222cJtAA(4) 222t若場不隨時間變化，波動方程蛻變?yōu)椴此煞匠蹋篶JA22 二 時諧電磁場電磁位的非齊次波動方程（非齊次亥姆霍茲方程） 對于時諧電磁場，需給出非齊次波動方程的復(fù)數(shù)形式： (5) )(222222222cJAkAAAAjAtAA(6) )(222222222kjt式中， 稱為波數(shù)（單位：弧度/米），物理含義后面討論。 k注意：非齊次波動方程在動態(tài)電磁場的產(chǎn)生、傳播和接收分析

18、中的重要意義。 4.4.3 4.4.3 電磁位的積分解電磁位的積分解 (3) 222cJtAA(4) 222t直接求解非齊次波動方程較困難，采用類比法，由熟知的靜電場結(jié)果，推出動態(tài)電磁場非齊次波動方程的積分解。以位于坐標原點時變元電荷為例，然后推廣到連續(xù)分布場源的情況。一 回顧靜態(tài)電磁場電磁位的積分解若場不隨時間變化（靜態(tài)電磁場），波動方程蛻變?yōu)椴此煞匠蹋篶JA22 解為：VcdVRJA4VdVR41 二 動態(tài)電磁場電磁位的積分解總體思路：以位于坐標原點時變元電荷為例，然后推廣到連續(xù)分布場源的情況。1. 標量位函數(shù) 的積分解 222t1）位于坐標原點的時變元電荷dq的位函數(shù)的積分解 通解的求取

19、： )(1)(121vrtfrvrtfr式中，r是元體積dV至場點距離；f1，f2 是具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù)。通解的物理意義：的物理意義)(1vrtftvrr, ttt信號從當時間從 f1 在 時間內(nèi)經(jīng)過 距離后不變,說明它是以有限速度 v v 向 r r 方向傳播，稱之為入射波。t r)()(11vrtfvtvrttf有：的物理意義)(1vrtftvrrttt信號從當時間從,有：)()(11vrtfvtvrttf它表明：f2 在 時間內(nèi), 以速度v v 向( -r r )方向前進了 距離,故稱之為反射波。 ttv 所以在無限大媒質(zhì)中，通解為： 在無限大均勻媒質(zhì)中沒有反射波，即 f2=0

20、。)(11vrtfr 特解的求取： 位于原點的時變元電荷dq產(chǎn)生的標量位為： rdVvrtrvrtdqtrd4)(4)(),(不在原點，位于點的時變元電荷dq產(chǎn)生的標量位為： RdVvRtrrrdVvrrtrtrd4),(4),(),(2）連續(xù)分布電荷產(chǎn)生的標量位 VdrrvrrtrtrV),(41),(結(jié)論： 動態(tài)電磁場中，動態(tài)標量位的積分解與靜電場電位的積分解的形式相似，但在時間上滯后。 一個隨時間變化的點電荷，在空間任意一點的標量位為： 一個隨時間變化的點電荷產(chǎn)生的電位是以點電荷為中心、幅值與傳播距離成反比的球面波。rvrtqtr4)(),( 在動態(tài)電磁場中，電荷在空間產(chǎn)生的電位，需要時

21、間 的傳播過程，傳播速度為： 在自由空間中，vrt/1v8001031v2.動態(tài)電磁場的矢量位 的積分解 A(3) 222cJtAAVdrrvrrtrtrVc),(4),(JA達朗貝爾方程解的形式表明：t 時刻的響應(yīng)取決于 時刻激勵源的情況。故又稱 、 為滯后位（Retarded Potential） )(vrt A3. 總結(jié)電磁波是以有限速度傳播的，這個速度稱為波速電磁波在真空中的波速與光速相等。光也是一種電磁波。 1v三 時諧電磁場電磁位的積分解對于時諧電磁場，時域上的時間延遲等同于頻域上的相位滯后。時間延遲仍以坐標原點為基準點，記為 ，則有： vrt ()rrtttkrvv得到時諧電磁場

22、復(fù)數(shù)形式的電磁位積分解（非齊次亥姆霍茲方程的解）：VderrrtrrrjkV)(41),(VderrrrVrrjkc)(4)(JA總結(jié)： 根據(jù)上式，顯然 代表相位。當電磁波沿r方向傳播一個波長時，正好走過的相位是 ，所以有： 電磁位求得后，利用 和 或者對應(yīng)的復(fù)矢量運算求出同一點的磁感應(yīng)強度和電場強度。 動態(tài)電磁場的積分解表明：在時間或相位上場量滯后于源量，即滿足因果關(guān)系。 源量附近的動態(tài)電磁場，因電磁效應(yīng)由源點到場點的傳播時間很短，如果源量隨時間變化緩慢，在時間上可以忽略場量相對于源量的滯后效應(yīng)。即可認為二者同步變化。（似穩(wěn)電磁場） 當似穩(wěn)電磁場應(yīng)用于時諧電磁場時，可以忽略場量相對于源量的相

23、位滯后效應(yīng)。（似穩(wěn)區(qū)）()rrtttkrvvkr222kk：被稱為波數(shù)、相位系數(shù) ABtAE重點內(nèi)容回顧及重點內(nèi)容回顧及疑難解答疑難解答靜態(tài)電磁場中電磁位的定義和作靜態(tài)電磁場中電磁位的定義和作用用 教教學(xué)學(xué)內(nèi)內(nèi)容容主要知識點主要知識點準靜態(tài)電磁場的麥克斯韋方程準靜態(tài)電磁場的麥克斯韋方程組。組。重點和難點重點和難點準靜態(tài)電磁場的基本特點準靜態(tài)電磁場的基本特點思考題與作業(yè)思考題與作業(yè) 例題：例題：4-44-4；備注備注查閱電磁兼容相關(guān)知識查閱電磁兼容相關(guān)知識4.5 4.5 準靜態(tài)電磁場準靜態(tài)電磁場 4.5.1 4.5.1 電準靜態(tài)場與磁準靜態(tài)場電準靜態(tài)場與磁準靜態(tài)場 一 準靜態(tài)場定義：動態(tài)電磁場根

24、據(jù)激勵源頻率的不同，分為高頻電磁場和低頻電磁場。低頻電磁場中，電磁場隨時間變化緩慢，可忽略麥克斯韋方程組中 的作用，簡化后的電磁場具有似穩(wěn)電磁場的特征，被稱為準靜態(tài)電磁場。 tBtD/,/二 電準靜態(tài)場（簡稱EQS場）： 時變電場的激勵源有電荷（庫倫電場）和變化的磁場（感應(yīng)電場）。在低頻電磁中，如果感應(yīng)電場遠小于庫倫電場，可以忽略 的作用，此時麥克斯韋方程組變?yōu)椋?tB /，高斯定律，磁通連續(xù)性原理，電磁感應(yīng)定律，全電流定律DBEtDJHc00此時的電磁場被稱為電準靜態(tài)場。它具有與靜電場類同的有源無旋場，可用隨時間變化的動態(tài)標量位 的負梯度表示： )(tE滿足泊松方程： )(2t三 磁準靜態(tài)場（簡稱MQS場） 時變磁場的激勵源有傳導(dǎo)電流密度和位移電流密度。在低頻電磁中，如果位移電流密度遠小于傳導(dǎo)電流密度，可以忽略位移電流的作用，此時麥克斯韋方程組變?yōu)椋?此時的電磁場被稱為磁準靜態(tài)場。它具有與恒定磁場類同的有旋無源場，可用隨時間變化的動態(tài)矢量位 的旋度表示： 滿足泊松方程： ，高斯定律，磁通連續(xù)性原理，電磁感應(yīng)定律，全電流定律DBtBEJHc0)(tAABcJA2例：例：4-44-4一個圓形平板電容器，極板間距d=0.5cm，電容器填充的云母介質(zhì) ，極板間外加工頻電 ，忽略平板電容器的邊緣效應(yīng)。試分析將其極板間的動態(tài)電磁場看作電