第一講 函數(shù)概念

1、高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)1高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)2 課課 程程 說說 明明理工類專業(yè)的基礎(chǔ)課程，它是理工類專業(yè)的基礎(chǔ)課程，它是以后學(xué)習(xí)專業(yè)理論重要的數(shù)學(xué)工具，以后學(xué)習(xí)專業(yè)理論重要的數(shù)學(xué)工具，是必修的重要基礎(chǔ)課。是必修的重要基礎(chǔ)課。 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)3根據(jù)教學(xué)大綱本學(xué)期安排如下根據(jù)教學(xué)大綱本學(xué)期安排如下:1、面授輔導(dǎo)共面授輔導(dǎo)共64學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)2 、每個(gè)同學(xué)必須完成作業(yè)冊(cè)上的每個(gè)同學(xué)必須完成作業(yè)冊(cè)上的3次作次作業(yè)，它將作為平時(shí)成績(jī)的重要依據(jù)之一。業(yè)，它將作為平時(shí)成績(jī)的重要依據(jù)之一。高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)4 本課程平時(shí)成績(jī)占總成績(jī)的本課程平時(shí)成績(jī)占總成績(jī)的 40% 40% 。 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)5教學(xué)任務(wù)：復(fù)習(xí)常量變量、

2、區(qū)間；全面學(xué)習(xí)函 數(shù)概念及性質(zhì)。理解：1、理解函數(shù)概念，了解分段函數(shù) 2、函數(shù)的基本性質(zhì)：掌握：1、熟練掌握函數(shù)的定義域和函數(shù)值的 求法 2、判斷函數(shù)奇偶性的方法 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)6重點(diǎn)重點(diǎn)：理解函數(shù)概念。：理解函數(shù)概念。難點(diǎn)難點(diǎn)：求函數(shù)定義域：求函數(shù)定義域教學(xué)時(shí)數(shù)教學(xué)時(shí)數(shù)：2教學(xué)方法教學(xué)方法：面授：面授教學(xué)內(nèi)容提要教學(xué)內(nèi)容提要：高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)7第一講第一講 函數(shù)函數(shù)一、常量與變量一、常量與變量 在觀察經(jīng)濟(jì)及自然現(xiàn)象時(shí)，常會(huì)遇到各種不同在觀察經(jīng)濟(jì)及自然現(xiàn)象時(shí)，常會(huì)遇到各種不同的量，其中有的量在過程（或問題討論）中的量，其中有的量在過程（或問題討論）中 常量：常量： 始終不變，也就是相對(duì)地保持一定的始

3、終不變，也就是相對(duì)地保持一定的 數(shù)值。數(shù)值。 變量：變量：可以取不同的數(shù)值，或不斷的變化?？梢匀〔煌臄?shù)值，或不斷的變化。高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)8 實(shí)例實(shí)例1 1：加熱一個(gè)充滿氣體的密閉容器，則加熱一個(gè)充滿氣體的密閉容器，則存在如下幾個(gè)量：存在如下幾個(gè)量： 氣體的溫度氣體的溫度 T 和壓力和壓力 P 整個(gè)過程中取越整個(gè)過程中取越 來越來越 大的值，它們是變量。大的值，它們是變量。 氣體的體積氣體的體積 V 和分子數(shù)和分子數(shù) t 始終保持不變是始終保持不變是 常量。常量。高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)9 實(shí)例實(shí)例2 2：一物體在離地面一物體在離地面H米的高處落下米的高處落下,其初始速其初始速度為度為 v0，則在開始下落到地

4、面的過程中則在開始下落到地面的過程中,該物體所該物體所下落的距離下落的距離 s 與所經(jīng)歷的時(shí)間與所經(jīng)歷的時(shí)間 t 有下列關(guān)系：有下列關(guān)系：顯然，在這個(gè)下落過程中，顯然，在這個(gè)下落過程中，1/2，v0和和g是常量，而是常量，而時(shí)間時(shí)間t和距離和距離s是變量。是變量。2021gttVs 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)10 在經(jīng)濟(jì)生活中，這樣的例子還多，如總成本的在經(jīng)濟(jì)生活中，這樣的例子還多，如總成本的兩個(gè)組成部分中，固定成本和可變成本等等。兩個(gè)組成部分中，固定成本和可變成本等等。 注：注：1、一個(gè)量是常量還是變量，要根據(jù)具體一個(gè)量是常量還是變量，要根據(jù)具體情況作出分析，同一個(gè)量在不同情況下，可能是情況作出分析，同一

5、個(gè)量在不同情況下，可能是 常量，也可能是變量。常量，也可能是變量。高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)11如如 商品的價(jià)格在短時(shí)間內(nèi)可以看成是常量，商品的價(jià)格在短時(shí)間內(nèi)可以看成是常量，而在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)就是一個(gè)變量。而在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)就是一個(gè)變量。又如又如 就小范圍地區(qū)來說，某時(shí)刻的溫度可看作就小范圍地區(qū)來說，某時(shí)刻的溫度可看作常量，而對(duì)廣大地區(qū)常量，而對(duì)廣大地區(qū) 來說，則是變量，這從中來說，則是變量，這從中央電視臺(tái)天氣預(yù)報(bào)即可看出。如央電視臺(tái)天氣預(yù)報(bào)即可看出。如 T=17, T=8T=17, T=8等等等。等。高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)12 2 2、數(shù)學(xué)討論中，只考慮量的數(shù)值，而不管數(shù)學(xué)討論中，只考慮量的數(shù)值，而不管它的實(shí)際意義。它的實(shí)

6、際意義。通常：通常： 常量常量用字母用字母a a，b b，c c 等表示，在數(shù)等表示，在數(shù) 軸上與定點(diǎn)對(duì)應(yīng)軸上與定點(diǎn)對(duì)應(yīng) 變量變量用字母用字母x x，y y，z z 等表示，在數(shù)等表示，在數(shù) 軸上與動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)軸上與動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng) 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)13 二、關(guān)于區(qū)間：二、關(guān)于區(qū)間： 任何一個(gè)變量總有一定的變化范圍。任何一個(gè)變量總有一定的變化范圍。例如例如 某一天的最高溫度是某一天的最高溫度是2828c c， 最低溫度是最低溫度是1616c c，這一天的氣溫的變化范圍就是這一天的氣溫的變化范圍就是1616c c到到2828c c，即即 變量變量T T的變化范圍是的變化范圍是 16-2816-28。高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)

7、14 如果變量如果變量x x是連續(xù)變化的，在中學(xué)我們用不是連續(xù)變化的，在中學(xué)我們用不等式表示其變化范圍如等式表示其變化范圍如16x28 16x28 ，在高等數(shù)學(xué)，在高等數(shù)學(xué)中則用中則用區(qū)間區(qū)間如如x16,28x16,28。下面是各種區(qū)間的名稱和記號(hào)：下面是各種區(qū)間的名稱和記號(hào)：高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)15 設(shè)實(shí)數(shù)設(shè)實(shí)數(shù)a a，b b，且，且abab，那么，那么 1 1、滿足不等式滿足不等式a ax xb b的一切實(shí)數(shù)的一切實(shí)數(shù)x x的全體叫做的全體叫做閉區(qū)間，記為閉區(qū)間，記為aa，b.b.2 2、滿足不等式滿足不等式axb axb 的一切實(shí)數(shù)的一切實(shí)數(shù)x x的全體叫做的全體叫做開區(qū)間，記為開區(qū)間，記為(a

8、, b ) (a, b ) 0 a b x 0 a b x高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)16 3 3、滿足不等式滿足不等式axax b b， a axbxb的的一切實(shí)數(shù)一切實(shí)數(shù) x x 的全體叫做半開區(qū)間，分別記的全體叫做半開區(qū)間，分別記為為( a, b a, b)( a, b a, b)。 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)17 以上各種情形中，以上各種情形中，a, b 叫區(qū)間的端點(diǎn)，叫區(qū)間的端點(diǎn)，b-a叫區(qū)間的長(zhǎng)度。叫區(qū)間的長(zhǎng)度。 上述區(qū)間均為上述區(qū)間均為有限區(qū)間有限區(qū)間，還有一類區(qū)間也常，還有一類區(qū)間也常用到，它們叫用到，它們叫無限區(qū)間無限區(qū)間高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)184 4、a,+)a,+)表示不小于表示不小于a a（即大于或等于（即

9、大于或等于a a的）實(shí)的）實(shí)數(shù)的全體，有時(shí)也寫作數(shù)的全體，有時(shí)也寫作ax+ ax+ 0 a x0 a x5 5、(-,b(-,b）表示小于）表示小于b b實(shí)數(shù)的全體，有時(shí)也寫作實(shí)數(shù)的全體，有時(shí)也寫作-xb -xb 0 b x0 b x高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)196、(-,+)表示全體實(shí)數(shù)，也可以寫作表示全體實(shí)數(shù)，也可以寫作 -x +。 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)20 注意：注意： -和和+分別讀作分別讀作“負(fù)無窮大負(fù)無窮大”和和 “正無窮大正無窮大”，它們僅僅是記號(hào)，不是數(shù)，不，它們僅僅是記號(hào)，不是數(shù)，不能能作運(yùn)算，即作運(yùn)算，即 “ “”，“”，“ ”“ ”等等無意義無意義。高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)21三、函數(shù)概念：三、函數(shù)概念：

10、 1 1、實(shí)例、實(shí)例 在同一自然或經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中，往往在同一自然或經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中，往往同時(shí)有幾個(gè)變量在變化著，它們并不是孤立地同時(shí)有幾個(gè)變量在變化著，它們并不是孤立地在變，而是相互遵循著一定的變化規(guī)律。在變，而是相互遵循著一定的變化規(guī)律。 下面就兩個(gè)變量的情形看幾個(gè)下面就兩個(gè)變量的情形看幾個(gè)例子：例子：高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)22 例例1 1、考慮圓面積考慮圓面積 s s 與它的半徑與它的半徑 r r之間的關(guān)之間的關(guān)系，由公式系，由公式 s=rs=r2 2 給定。當(dāng)半徑給定。當(dāng)半徑r r取定某一正的數(shù)值時(shí)，取定某一正的數(shù)值時(shí)，s s也就隨之也就隨之有一個(gè)確定的值。有一個(gè)確定的值。 or高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)23 例例2 2

11、、設(shè)某水泥廠每日最多能生產(chǎn)水泥設(shè)某水泥廠每日最多能生產(chǎn)水泥100100噸，固定成本為噸，固定成本為10001000元。每生產(chǎn)水泥元。每生產(chǎn)水泥1 1噸，成本噸，成本增加增加2020元。元。 設(shè)每日總產(chǎn)量為設(shè)每日總產(chǎn)量為q q，則每日的可變成本為，則每日的可變成本為20q20q，故水泥廠每日的總成本與總產(chǎn)量有如下的關(guān)系故水泥廠每日的總成本與總產(chǎn)量有如下的關(guān)系 C=20q+1000C=20q+1000高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)24 q q 的變化范圍是的變化范圍是00，100100。當(dāng)在。當(dāng)在00，100100內(nèi)取定某一數(shù)值時(shí)，總成本也隨之有一個(gè)確定的內(nèi)取定某一數(shù)值時(shí)，總成本也隨之有一個(gè)確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)。數(shù)值

12、與之對(duì)應(yīng)。如如 q=10q=10（噸），則（噸），則 c=20c=2010+1000=120010+1000=1200（元）（元）類似的例子在生活中還很多，如計(jì)程車的車費(fèi)與類似的例子在生活中還很多，如計(jì)程車的車費(fèi)與乘車時(shí)間的關(guān)系乘車時(shí)間的關(guān)系F=f(t)F=f(t)等等等等。 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)25例例3 下圖所示為某城市下圖所示為某城市2月份某日的氣溫月份某日的氣溫TC與時(shí)間與時(shí)間t（單位：小時(shí)）之間的關(guān)系曲線，（單位：小時(shí)）之間的關(guān)系曲線，它表示這天從它表示這天從t=0點(diǎn)鐘到點(diǎn)鐘到t=24點(diǎn)鐘點(diǎn)鐘24小時(shí)內(nèi)氣小時(shí)內(nèi)氣溫溫TC隨時(shí)間隨時(shí)間t而變化的函數(shù)關(guān)系。而變化的函數(shù)關(guān)系。高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)26tTC

13、o2 4 6 8 10 12 14 16 18 12108642-2-4-6-8-10高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)27 抽去以上例子中量抽去以上例子中量s和和r、T和和t、c和和q的實(shí)際的實(shí)際意義不考慮，我們可看出，它們都表達(dá)了兩個(gè)變意義不考慮，我們可看出，它們都表達(dá)了兩個(gè)變量之間的量之間的相互依賴相互依賴（數(shù)學(xué)運(yùn)算）關(guān)系，（數(shù)學(xué)運(yùn)算）關(guān)系， s=rs=r2 2 C=20q+1000 C=20q+1000這種相依關(guān)系給出了一種對(duì)應(yīng)法則。這種相依關(guān)系給出了一種對(duì)應(yīng)法則。 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)28 根據(jù)這一法則，當(dāng)其中一個(gè)變量在其變化根據(jù)這一法則，當(dāng)其中一個(gè)變量在其變化范圍內(nèi)任意取定一個(gè)數(shù)值時(shí)，另一個(gè)變量就有范圍內(nèi)任意取

14、定一個(gè)數(shù)值時(shí)，另一個(gè)變量就有一個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)，一個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)，變量之間的這種相依關(guān)系就是函數(shù)的實(shí)質(zhì)。變量之間的這種相依關(guān)系就是函數(shù)的實(shí)質(zhì)。高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)292 2、定義、定義 變量變量x,y,xDx,y,xD（變化范圍）（變化范圍）, ,對(duì)于對(duì)于D D中任一中任一 x x，按某一對(duì)應(yīng)規(guī)律，按某一對(duì)應(yīng)規(guī)律f f，都可唯一的確定，都可唯一的確定變量變量y y一個(gè)相應(yīng)的值，則稱一個(gè)相應(yīng)的值，則稱y y為為x x的函數(shù)的函數(shù), ,記為記為 y= f (x), xD y= f (x), xD 其中其中x x叫做自變量叫做自變量 , y, y叫做因變量。叫做因變量。DRf高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)30 注：注：

15、、函數(shù)討論的是函數(shù)討論的是 變量之間的依賴關(guān)系，對(duì)象是變量變量之間的依賴關(guān)系，對(duì)象是變量 。當(dāng)。當(dāng)然，常量也是變量的特殊情況。然，常量也是變量的特殊情況。如如 y=1 (y=1 (變量變量y y恒等于恒等于1)1)，即無論，即無論x x取任何值取任何值 , , y y 都恒取都恒取 1 1 ，我們稱之為常量函數(shù)。，我們稱之為常量函數(shù)。 實(shí)際上是實(shí)際上是 Y(x) 1Y(x) 1高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)31、唯一性唯一性 在微積分中，一般討論單值函數(shù)，即在微積分中，一般討論單值函數(shù)，即有且僅有一個(gè)有且僅有一個(gè)y y值與之對(duì)應(yīng)。值與之對(duì)應(yīng)。 x1x2yxy1y2 Dx 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)32 如如 x x2 2+y

16、+y2 2=1=1 不是單值函數(shù)不是單值函數(shù) 當(dāng)當(dāng) x=1 x=1 時(shí)，時(shí)，y= 1y= 1 通常只討論一支通常只討論一支 或或 xy xy xy 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)33、函數(shù)的兩要素、函數(shù)的兩要素 定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系兩點(diǎn)確定，函數(shù)也就確定。定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系兩點(diǎn)確定，函數(shù)也就確定。（也有提函數(shù)三要素的，即定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、也有提函數(shù)三要素的，即定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域三者確定，則函數(shù)確定。但經(jīng)過若干年討值域三者確定，則函數(shù)確定。但經(jīng)過若干年討論，現(xiàn)在基本上都是提兩要素。論，現(xiàn)在基本上都是提兩要素。）高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)34( (不同的函數(shù)用不同的符號(hào)表示不同的函數(shù)用不同的符號(hào)表示， 如如y=f(x),y=g(x

17、)y=f(x),y=g(x)表示兩個(gè)不同的函數(shù)表示兩個(gè)不同的函數(shù)) )如如: :高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)35212121212212121221,0, 0:,ln,ln20,yyxyxyxDxDyyxyxyxDRDyyxxyxy高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)36、函數(shù)函數(shù)y=f(x)，當(dāng)自變量，當(dāng)自變量x在在D中取定值中取定值x0，則，則相應(yīng)有相應(yīng)有 y0=f(x0)，稱，稱 y0為為x= x0 點(diǎn)的函數(shù)值。點(diǎn)的函數(shù)值。記為：記為： f(x0 ),或或f(x)|x=x0, y |x=x0.高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)37例例1 1、設(shè)設(shè)f(x)=2xf(x)=2x2 2-5,-5,則則 f(1)=2f(1)=21 12 2+5= -3 f

18、(2) = 3 +5= -3 f(2) = 3 f(a)=2a f(a)=2a2 2-5 -5 f( )=2 f( )=2 ( )( )2 2+5= -+5= -212921高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)38 例例2 2、f(x)= ,f(x)= ,求求f(1-x), ff(x).f(1-x), ff(x). f(1-x) = f(1-x) = ff(x)= = ff(x)= =x11xx1111)(11xfxx1高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)39 3 3、函數(shù)的表示法有三種函數(shù)的表示法有三種: : 在實(shí)際應(yīng)用中在實(shí)際應(yīng)用中, ,三種表示法各有長(zhǎng)短三種表示法各有長(zhǎng)短, ,根根據(jù)不同的情況各有應(yīng)用據(jù)不同的情況各有應(yīng)用, ,見書見書

19、p p12-1312-13例。例。 下面介紹一種特殊且常用的表示法下面介紹一種特殊且常用的表示法: : 公式法、表格法、圖示法公式法、表格法、圖示法高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)40如如 x-1 (- ,0) x-1 (- ,0) y = 0 x=0 y = 0 x=0 x+1 (0, +) x+1 (0, +) D(-,+). D(-,+).在三個(gè)范圍內(nèi)用了三個(gè)表達(dá)式在三個(gè)范圍內(nèi)用了三個(gè)表達(dá)式, ,這種函數(shù)叫分段函數(shù)這種函數(shù)叫分段函數(shù). .實(shí)際上是公式法實(shí)際上是公式法, ,只不過只不過是用了幾個(gè)式子而已是用了幾個(gè)式子而已. .高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)41 4 4、函數(shù)定義域、函數(shù)定義域D D的求法的求法 自變量的取值范圍

20、也就是函數(shù)的定義域。自變量的取值范圍也就是函數(shù)的定義域。自然定義域自然定義域當(dāng)函數(shù)由一個(gè)式子表示時(shí)，定義當(dāng)函數(shù)由一個(gè)式子表示時(shí)，定義域就是使該式子有意義的自變量取值的全體。域就是使該式子有意義的自變量取值的全體。如如 s = rs = r2 2 D : (-, +) D : (-, +) y= D :x 0 y= D :x 0 x51高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)42 實(shí)際定義域?qū)嶋H定義域自然定義域基礎(chǔ)上再附上實(shí)際自然定義域基礎(chǔ)上再附上實(shí)際意義的范圍。意義的范圍。如：如：x x表示物體的長(zhǎng)度則表示物體的長(zhǎng)度則 0 x+0 x0(f(x)0(真數(shù)大于真數(shù)大于0 0）)(1xf)( xf高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)44 、 tan

21、 f(x),cot f(x),tan f(x),cot f(x), f f（x x） k+ ,k, k+ ,k, (k=0, 1, 2, (k=0, 1, 2, ) )（正切、余切符號(hào)下的式子）（正切、余切符號(hào)下的式子）、arcsinf(x)arcsinf(x)、arccosf(xarccosf(x), ), 則則 11 、y=f(x) g(x)y=f(x) g(x)，y=f(x)y=f(x)g(x)g(x)，f(x)f(x)D D1 1， g(x)g(x)D D2 2，則則 y y 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?D D1 1DD2 2 （可推廣到若干）（可推廣到若干）2)(xf高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)45、分段

22、函數(shù)定義域?yàn)楦鞫x域的并集分段函數(shù)定義域?yàn)楦鞫x域的并集如如 函數(shù)函數(shù) 8 8 （0 0，2020） y = 0.4 20y = 0.4 20，40 40 20 20 （4040，5050） D:(0,50D:(0,50高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)46 例例3 3、求下列函數(shù)的定義域：求下列函數(shù)的定義域： y = y =解：根據(jù)上述規(guī)律，則解：根據(jù)上述規(guī)律，則 x-a 0 x-a 0，xaxa， 即即a, +)a, +)為為y= y= 的定義域。的定義域。ax ax 高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)47 y= 1-x2 0 -1x1-1x1 1-x2 0 x 1 - 1x1為所求，即為所求，即 D 為（為（-1，1）211x -

23、 1 0 1 x高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)48 y= arcsin(x+1) + y= arcsin(x+1) + -1x+11 x 0 -1x+11 x 0 5x 0 -2x0 5x 0 -2x0則則2,0)2,0)為該函數(shù)的定義域?yàn)樵摵瘮?shù)的定義域.(D=D.(D=D1 1DD2 2) )x51高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)49四、函數(shù)的特性四、函數(shù)的特性: :1 1、奇偶性奇偶性在對(duì)稱區(qū)間上即在對(duì)稱區(qū)間上即, x-a,a, x-a,a f(-x)=f(x) f(-x)=f(x)偶偶 圖形關(guān)于圖形關(guān)于y y軸對(duì)稱軸對(duì)稱 f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)奇奇 圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱其他為非奇偶。其他為非

24、奇偶。高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)50如如 函數(shù)函數(shù)y=1,y=x2,y=cosx等為偶函數(shù)等為偶函數(shù) y=sinx,y=tanx,y=x3 y=cotx等為奇函數(shù)等為奇函數(shù)高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)51注意注意: : x-a, a x-a, a為對(duì)稱區(qū)間為對(duì)稱區(qū)間, ,可以是定可以是定義域義域, ,也可以是其一部分也可以是其一部分. .如如 f(x)=xf(x)=x2 2, x(-l, 2 , x(-l, 2 為非奇偶為非奇偶 -1 o 2 xy高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)52例例 y=2y=2x x 是奇是奇? ?或是偶或是偶? ?解解: f(-x)=2: f(-x)=2-x -x = = f(x)= 2 f(x)= 2x x f(x

25、)= -2 f(x)= -2x x f(x) f(x)是非奇偶函數(shù)是非奇偶函數(shù) x21高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)53例例 考慮考慮f(x)=ln(xf(x)=ln(x + ) + )的奇偶性的奇偶性解解:f(-x)=ln(-x:f(-x)=ln(-x+ )+ ) (a+b)(a-b)=a(a+b)(a-b)=a2 2-b-b2 2 =ln =ln( ) ( ) lnln =lnx =lnx-1-1=-lnx=-lnx =-ln(x =-ln(x+ )=-f(x)+ )=-f(x) f(x) f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù)x112 x11222 xxxx 12 x12 x高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)54 注注: : 偶偶+ +偶偶= =偶偶 奇奇偶偶= =奇奇 偶偶偶偶= =偶偶 奇奇奇奇= =偶偶 奇奇奇奇= =偶偶 奇奇+ +偶偶= =非奇偶非奇偶 ( (常用之簡(jiǎn)化運(yùn)算常用之簡(jiǎn)化運(yùn)算)高等數(shù)學(xué)輔導(dǎo)55 2 2、單調(diào)性單調(diào)性-x-x1 1xf(x)f(x1 1) ) 則則 f(xf(x) ) f(x f(x2 2)0,)0,或或f(xf(x2 2)-f(x)-f(