第二節(jié)中心極限定理

1、 在實際問題中許多隨機變量是由相互獨立隨機在實際問題中許多隨機變量是由相互獨立隨機因素的綜合（或和）影響所形成的因素的綜合（或和）影響所形成的. 例如，炮彈射擊的落點與目標(biāo)的偏差，就受著許例如，炮彈射擊的落點與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機因素（如瞄準(zhǔn)，空氣阻力，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)等）多隨機因素（如瞄準(zhǔn)，空氣阻力，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)等）綜合影響的綜合影響的. 每個隨機因素對彈著點（隨機變量和）每個隨機因素對彈著點（隨機變量和）所起的作用都是很小的所起的作用都是很小的. 那么彈著點服從怎樣分布？那么彈著點服從怎樣分布？ 如果一個隨機變量是由大量相互獨立的隨機因如果一個隨機變量是由大量相互獨立的隨機因素的綜合

2、影響所造成，而每一個別因素對這種綜合素的綜合影響所造成，而每一個別因素對這種綜合影響所起的作用不大，則這種隨機變量一般都服從影響所起的作用不大，則這種隨機變量一般都服從或近似服從正態(tài)分布或近似服從正態(tài)分布. 自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見自然界中極為常見.高斯高斯 現(xiàn)在我們就來研究獨立隨機變量之和所特有現(xiàn)在我們就來研究獨立隨機變量之和所特有的規(guī)律性問題的規(guī)律性問題. 當(dāng)當(dāng)n無限增大時，這個和的極限分布是什么呢？無限增大時，這個和的極限分布是什么呢？1 .iniiXXXX 如如果果將將研研究究對

3、對象象的的整整體體設(shè)設(shè)為為 ，影影響響因因素素為為，根根據(jù)據(jù)因因素素間間獨獨立立與與共共同同作作用用的的本本質(zhì)質(zhì)屬屬性性，可可以以得得出出在什么條件下極限分布會是正態(tài)的呢？在什么條件下極限分布會是正態(tài)的呢？111() ()考考慮慮利利用用標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化因因子子nniiiinniiXEXYDX 111111()1()()0()()nniinniiniinniiiiiiXEXEYEEXEXDXDX 111111()1()1()()nniinniiniinniiiiiiXEXDYDDXEXDXDX 在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限

4、定理分布這一類定理都叫做中心極限定理.1111 ()()niinniiiinniiXXXEXYDX 所所以以，欲欲求求隨隨機機變變量量的的分分布布，先先求求標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化因因子子的的分分布布情情況況. .nY討討論論的的極極限限分分布布是是否否為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布. .1. 李雅普諾夫李雅普諾夫(Lyapunov)定理定理2211112112 (1,2,), , 1,2,()limlim()1( )2iiiiinnnniiiiiiiinnnniiiitxXiEXDXiXEXXPxPxDXedtx 獨獨立立設(shè)設(shè)隨隨機機變變量量序序列列相相互互，則則注意：注意：11. niinXYn 定定理

5、理中中隨隨機機變變量量之之和和及及其其標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化變變量量在在 很很大大時時，分分別別近近似似服服從從12. .iniiXXn 隨隨機機變變量量無無論論服服從從什什么么分分布布，只只要要滿滿足足定定理理條條件件，隨隨機機變變量量之之和和，當(dāng)當(dāng) 很很大大時時，就就近近似似服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布，這這就就是是為為什什么么正正態(tài)態(tài)分分布布在在概概率率論論中中所所占占的的重重要要地地位位的的一一個個基基本本原原因因2111( )nnniiiiiiXN近近似似，1121(0 1)nniiiiniiXN 近近似似， 對于李雅普諾夫定理中的隨機變量序列，將其對于李雅普諾夫定理中的隨機變量序列，將其約束條件

6、改為約束條件改為獨立同分布獨立同分布，即，即2, , 1,2,iiEXDXi ，則則11121()limlim()( )nnniiiiiinnniiXEXXnPxPxnDXx 林德貝爾格林德貝爾格勒維勒維 中心極限定理中心極限定理2. 2. 林德貝爾格勒維（林德貝爾格勒維（LindebergLindeberg-Levy-Levy）定理）定理22111212 (1,2,), , 1,2,()limlim()1( )2iiinnniiiiiinnniitxXiEXDXiXEXXnPxPxnDXedtx 設(shè)設(shè)隨隨機機變變量量序序獨獨立立同同分分，布布列列，則則12111. (,)(0, 1)niin

7、iniiiXnXN n nNnnX 近近似似近近似似定定理理表表明明，獨獨立立同同分分布布隨隨機機變變量量之之和和，當(dāng)當(dāng) 充充分分大大時時，隨隨機機變變量量之之和和與與其其標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化變變量量分分別別有有22. ( ,) (0,1)XXN nNn 近近似似近近似似獨獨立立同同分分布布中中心心極極限限定定理理的的另另一一種種形形式式可可寫寫為為11()() ()()niniiiXnanbnP aXbPnnnbnannn 1111()() ()()niniiiXabnP aXbPnnnnbann 例例1 對敵人的防御地段進(jìn)行對敵人的防御地段進(jìn)行100次轟炸，每次轟炸命中次轟炸，每次轟炸命中目標(biāo)的炸

8、彈數(shù)目是隨機變量，其期望為目標(biāo)的炸彈數(shù)目是隨機變量，其期望為2，方差為，方差為1.69.求在求在100次轟炸中有次轟炸中有180顆至顆至220顆炸彈命中目標(biāo)的概率顆炸彈命中目標(biāo)的概率.解：解：設(shè)設(shè)Xi - -第第i次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)，次轟炸命中目標(biāo)的炸彈數(shù)，i=1,2, ,100則則100次轟炸命中目標(biāo)的炸彈總數(shù)為次轟炸命中目標(biāo)的炸彈總數(shù)為iiXX 1001依題意，依題意，iiiiiiiiE XEXE XD XDXD X1001001110010011()()()200()()()169例例1 對敵人的防御地段進(jìn)行對敵人的防御地段進(jìn)行100次轟炸，每次轟炸命中次轟炸，每次轟炸命中目標(biāo)的炸彈

9、數(shù)目是隨機變量，其期望為目標(biāo)的炸彈數(shù)目是隨機變量，其期望為2，方差為，方差為1.69.求在求在100次轟炸中有次轟炸中有180顆至顆至220顆炸彈命中目標(biāo)的概率顆炸彈命中目標(biāo)的概率.由中心極限定理由中心極限定理, (200,169)XN近近似似于是，于是，(180220)PX180200200220200()131313XP2020020()131313XP 2020()()0.876441313 例例2 計算機在進(jìn)行數(shù)學(xué)計算時，遵從四舍五入原則計算機在進(jìn)行數(shù)學(xué)計算時，遵從四舍五入原則. 為簡單計，現(xiàn)從小數(shù)點后第一位進(jìn)行舍入運算，設(shè)為簡單計，現(xiàn)從小數(shù)點后第一位進(jìn)行舍入運算，設(shè)誤差誤差 . 若一

10、項計算中進(jìn)行了若一項計算中進(jìn)行了100次數(shù)字運次數(shù)字運算，求平均誤差落入算，求平均誤差落入 上的概率上的概率.XU 1 1, 2 2 33,2020解：解：設(shè)設(shè)Xi - -第第i次運算中產(chǎn)生的誤差，次運算中產(chǎn)生的誤差，i=1,2, ,100則諸則諸Xi 獨立，服從獨立，服從 ，1 1, 2 2iXU 100次運算的平均誤差為次運算的平均誤差為iiXX 10011100()(),()(),iiiiiiiiE XEXE XD XDXD X100100111001002111101001001111001001200于是，于是，依題意，依題意，由中心極限定理由中心極限定理, 1(0,)1200近似X

11、N3333()(10 1210 12)202020201/10 12( 33)(3)( 3)2 (3) 10.99731/10 12XPXPXP 對于勒維中心極限定理中的隨機變量序列，將對于勒維中心極限定理中的隨機變量序列，將其約束條件改為其約束條件改為獨立同獨立同0-1分布分布，即，即1(1, ), , 1,2,niiAiiiXBpXnEXp DXpq i ，111()limlim()( )nniiiiAnnniiXEXnnpPxPxnpqDXx 拉普拉斯拉普拉斯 中心極限定理中心極限定理3. 3. 棣莫佛拉普拉斯（棣莫佛拉普拉斯（De De MoivreMoivre-Laplace-Lap

12、lace）定理）定理211112 (1,2,)(1, ), , 1,2,() limlim()1 ( )2iniiiiAinniiiiAnnniitxXiXBp EXp DXpq iXnXEXnnpPxPxnpqDXedtx 獨獨立立同同0-0-設(shè)設(shè)隨隨機機變變量量序序列列，布布即即，分分，1 1定理表明定理表明: : 二項分布的極限分布是正態(tài)分布二項分布的極限分布是正態(tài)分布 在在n重貝努利試驗中，描述重貝努利試驗中，描述A事件發(fā)生次數(shù)的隨機事件發(fā)生次數(shù)的隨機變量服從二項分布變量服從二項分布. 當(dāng)試驗次數(shù)較多時，根據(jù)中心極當(dāng)試驗次數(shù)較多時，根據(jù)中心極限定理，可利用正態(tài)分布近似計算二項分布，即限

13、定理，可利用正態(tài)分布近似計算二項分布，即1( , ),(1, ), ,niiAiiiXB n pXBpXXnEXp DXpq ()() ()()anpXnpbnpP aXbPnpqnpqnpqbnpanpnpqnpq 例例3 100臺車床獨立工作，每臺實際工作時間占全部臺車床獨立工作，每臺實際工作時間占全部工作時間的工作時間的80%. 求任一時刻有求任一時刻有70至至86臺車床工作的臺車床工作的概率概率. .解：解：則則iiiiiiiiE XEXE XD XDXD X1001001110010011()()()80()()()160, 1,2,1001, iiXii 第第 臺臺床床不不工工作作

14、設(shè)設(shè)第第 臺臺床床工工作作iXB(1,0.8)依題意，依題意，例例3 100臺車床獨立工作，每臺實際工作時間占全部臺車床獨立工作，每臺實際工作時間占全部工作時間的工作時間的80%. 求任一時刻有求任一時刻有70至至86臺車床工作的臺車床工作的概率概率. .由中心極限定理由中心極限定理, 1001(80,16)iiXXN 近近似似于是，于是，7080808680(7086)()444580335()( )()0.972724222XPXPXP 1. 標(biāo)準(zhǔn)化因子標(biāo)準(zhǔn)化因子111()()nniiiinniiXEXYDX 01.nnEYDY， 中心極限定理其實是描述的隨機變量序列和，中心極限定理其實是

15、描述的隨機變量序列和，經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后，當(dāng)序列容量無限大時的極限分布經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后，當(dāng)序列容量無限大時的極限分布.2. 中心極限定理的內(nèi)容中心極限定理的內(nèi)容111 ( )nnniiiiiiXN EXDX近近似似，從從而而111()(0 1 )()nniiiiniiXEXNDX 近近似似，即即01iX 獨獨立立李李雅雅普普諾諾夫夫中中心心極極限限定定理理相相互互獨獨立立的的獨獨立立同同分分布布勒勒維維中中心心極極限限定定理理獨獨立立同同分分布布拉拉普普拉拉斯斯中中心心極極限限定定理理111111()(0 1)() ()()nniinnniiniiiniiiiiXEXYNXN EXDXDX 近近似似近近似似，2111( )nnniiiiiiiXXN近近似似獨獨立立，22111( ), ( )nniiiiiXXN nnXXNnn 近近似似近近似似獨獨立立同同分分布布，10-1( )niiAiXXnN np npq 近近似似獨獨立立同同分分布布， 根據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均值根據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服從均值為為100小時的指數(shù)分布小時的指數(shù)分布. 現(xiàn)隨機地取現(xiàn)隨機地取16只，設(shè)它們的只，設(shè)它們的壽命是相互獨立的壽命是相互獨立的. 求這求這16只元件的壽命的總和大只元件的壽命的總和大于于1920小時的概率小時的概率.由題給