離散數(shù)學(xué)答案命題邏輯

1、第二章命題邏輯習(xí)題 2.11 解不是述句，所以不是命題。x 取值不確定，所以不是命題。問(wèn)句，不是述句，所以不是命題。驚嘆句，不是述句，所以不是命題。是命題，真值由具體情況確定。是命題，真值由具體情況確定。是真命題。是悖論，所以不是命題。是假命題。2解是復(fù)合命題。設(shè)p：他們明天去百貨公司；q：他們后天去百貨公司。命題符號(hào)化為pq 。是疑問(wèn)句，所以不是命題。是悖論，所以不是命題。是原子命題。是復(fù)合命題。設(shè)p：王海在學(xué)習(xí)；q：春在學(xué)習(xí)。命題符號(hào)化為p q。是復(fù)合命題。設(shè)p：你努力學(xué)習(xí)；q：你一定能取得優(yōu)異成績(jī)。pq。不是命題。不是命題。是復(fù)合命題。設(shè)p：王海是女孩子。命題符號(hào)化為：p。3解如果春遲到

2、了，那么他錯(cuò)過(guò)考試。要么春遲到了，要么春錯(cuò)過(guò)了考試，要么春通過(guò)了考試。春錯(cuò)過(guò)考試當(dāng)且僅當(dāng)他遲到了。如果春遲到了并且錯(cuò)過(guò)了考試，那么他沒(méi)有通過(guò)考試。4解p(q r)。 pq。 qp。 qp。習(xí)題 2.21解是 1 層公式。不是公式。一層：p q，p二層：pq所以， ( pq)(pq) 是 3層公式。不是公式。( pq)(q(qr) 是 5 層公式，這是因?yàn)橐粚樱?pq， q， r二層： qr三層：q(qr )四層：(q(qr)2 解 A=( pq)q 是 2 層公式。真值表如表2-1所示：表 2-1pqpqA0000011110101111 Aq( pq)p 是 3層公式。真值表如表 2-2所示

3、：Word 文檔表 2-2pqpqq( pq)A00101011101000111111 A( pqr )( p q) 是 3 層公式。真值表如表2-3 所示：表 2-3pqrp qp q rp qA00000010010001010001101100111000011101001111010111111111 A( pq)(pr )(qr ) 是 4 層公式。真值表如表2-4 所示：3解 A(pq)p 真值表如表2-5所示：表 2-5pqpqpqA001111011000100101110001所以其成真賦值為：00，10，11；其成假賦值為 01。 Ar( pq) 真值表如表2-6所示：表

4、 2-6pqrp qA0000100100010010110010001101001101111111Word 文檔所以其成真賦值為：000 ，010， 100，110， 111；其成假賦值為001， 011， 101。 A( pq)( pq) 真值表如表2-7 所示，所以其成真賦值為：00，11；成假賦值為：01， 10，。4解設(shè) Ap( p q) ，其真值表如表2-8 所示：表 2-8pqpq( p q)A00011010111001111101故 A p( p q) 為重言式。設(shè) A=(p q)( p q)，其真值表如表2-9 所示：表 2-9pqp qp q( p q)A0000100

5、10100100100111100故 A=(p q) (p q)為矛盾式。設(shè) A=(pq)(pq)，其真值表如表 2-10 所示：表 2-10pqpp qp qA001010011111100100110010故 A=(p q) ( p q) 為可滿足式。設(shè) A( pq) (qr )( pr ) ，其真值表如表2-11 所示：表 2-11pqrp qqr ( p q) (q r )p rA00011111001111110101001101111111100010011010101111010001Word 文檔11111111故 A( pq) (q r )( pr ) 為重言式。習(xí)題 2.3

6、1解真值表如表 2-12 所示：表 2-12pqpqpqp q( p q)0011101011001010010101100010由真值表可以看出( pq) 和pq 所在的列相應(yīng)填入值相同，故等值。真值表如表2-13 所示：表 2-13pqqp qpq( p q) ( pq)001000010000101011110101由真值表可以看出p 和 ( pq)( pq) 所在的列相應(yīng)填入值相同，故等值。真值表如表2-14 所示：表 2-14pqpqp q pq( pq) ( pq)0011111011011110010101100100由真值表可以看出p 和 ( pq) ( pq) 所在的列相應(yīng)填

7、入值相同，故等值。真值表如表2-15 所示：pqrq rp ( q r )p q( p q) r0001101001110101001010111101100110110111011100010Word 文檔1111111由真值表可以看出p( qr) 和( pq)r所在的列相應(yīng)填入值相同，故等值。2證明 (p q)(pq)(pq)( pq)p(qq)p。 ( pq)(qp)(pq)(qp)( pq)(pp)(qq)( qp)( pq)(pq) 。由可得，( pq)(pq)(pq)( pq) ( p q) ( qp) ( p q)p q。 p( qr)p(qr)q (pr)q(pr ) 。 p(

8、qr )p(qr )(pq)r( pq)r( pq)r ( pq) (rq)( p q) ( r q)(pr )q( pr )q3解 ( pq)( p q) p q ( pq)( pq)p q ( pq)(pq)(qp)( pq)( qp)(pq)(pq)pq。同理可證(pq)pq。4解與習(xí)題2 2 第 4（4）相同。真值表如表 2-16 所示：表 2-16pqpqpqqpA0011111011011110010011100111所以公式是重言式。真值表如表2-17 所示，所以公式是矛盾式。表 2-17pqpqp qpqA001110001101001001010表2-15Word 文檔110

9、0100真值表如表 2-18 所示，所以公式是重言式。表 2-18pqrp qp q rA000001001001010001011001100001101001110101111111真值表如表2-19 所示，所以公式僅為可滿足式。表 2-19pqppq( pq)A001011011101100100110100真值表如表 2-20 所示，所以公式是重言式。表 2-20pqrp qr qp r(p q) ()(p r)qAr q0001101110011000110101101110111101111000100111010010011101101111111111115解設(shè) p：他努力學(xué)習(xí)

10、；q：他會(huì)通過(guò)考試。則命題符號(hào)化pq。其否定( pq)pq。所以語(yǔ)句的否定：他學(xué)習(xí)很努力但沒(méi)有通過(guò)考試。設(shè) p：水溫暖； q：他游泳。則命題符號(hào)化pq。其否定( pq)pq。所以語(yǔ)句的否定：當(dāng)且僅當(dāng)水不溫暖時(shí)他游泳。設(shè) p：天冷； q：他穿外套； r ：他穿襯衫。則命題符號(hào)化p( qr )其否定( p(qr )(p ( qr)p( qr)p (qr )所以語(yǔ)句的否定：天冷并且他不穿外套或者穿襯衫。設(shè) p：他學(xué)習(xí)； q：他將上清華大學(xué)；r ：他將上大學(xué)。則命題符號(hào)化p(qr )Word 文檔其否定( p(qr )(p(qr )pqr所以語(yǔ)句的否定：他努力學(xué)習(xí)，但是沒(méi)有上清華大學(xué)，也沒(méi)有上大學(xué)。6

11、解設(shè) p：三說(shuō)真話； q：四說(shuō)真話； r ：王五說(shuō)真話。則： pq, qr(qr), r(pq) 為真 ,因此 p(pq)( ppq)(p ( p q)p q 為真。因此， p 為假， q 為真，所以r 為假。故三說(shuō)謊，四說(shuō)真話，王五說(shuō)謊。7解設(shè) p：甲得冠軍； q：乙得亞軍； r ：丙得亞軍； s：丁得亞軍。前提： p(q r )，qp，sr，p結(jié)論：s證明p(q r )為真，其前件p 為真，所以q r 為真，又 qp 為真，其后件p 為假，所以要求q 為假，所以r 為真。又 sr 為真，其后件r 為假，所以要求s 為假，故s 為真。習(xí)題 2.41 解 設(shè) p：明天下雨； q：后天下雨。命題

12、符號(hào)化 p q 。設(shè) p：明天我將去；q：明天我將去。命題符號(hào)化 p q 。2解 ( pq)p( pq)p) ( ( pq)p)(pq)p)(pq)p)p( pq p)pq p(qp)( p(qp)( p(qp)(qp)( p(qp)( pq)pq ( pq)r( pq) r )( ( p q) r )pqr3證明因?yàn)椋?, 是功能完備聯(lián)結(jié)詞集，所以，含有 , , , , 外的其他聯(lián)結(jié)詞的公式均可以轉(zhuǎn)換為僅含, , , 中的聯(lián)結(jié)詞的公式。又因?yàn)?pqpqpq( pq) (qp)( p q) ( q p)Word 文檔即含有,的公式均可以轉(zhuǎn)換為僅含, , 中的聯(lián)結(jié)詞的公式。因此，含, , 外其他

13、聯(lián)結(jié)詞的公式均可以轉(zhuǎn)換為僅含, , 中的聯(lián)結(jié)詞的公式。故, 是功能完備聯(lián)結(jié)詞集。4證明, 是極小功能完備集， 因而只需證明 , 中的每個(gè)聯(lián)結(jié)詞都可以用表示，就說(shuō)明 是功能完備集。只有一個(gè)聯(lián)結(jié)詞，自然是極小功能完備集。事實(shí)上，p(p p)pp，p q(pq)(pq)(p q) (p q)。對(duì)于證明 是極小功能完備集，可類(lèi)似證明。習(xí)題 2.51 解 ( pq)( p q) ； ( p ( (qr ) ( pr )p2解 ( pq)( rs)(pq)(r s)( pq)rs 即為其析取式。( pq)(rs)( pq)rs( prs)(qrs) 即為其合取式。p (qr )p(qr )( rq) 即為

14、其合取式。p (qr )p(q r ) (qr )(pq r)( pqr)即為其析取式。 ( pq)r 即為其合取式。( pq)r( pr )(qr ) 為其析取式。 p(qr )pqr 即為其析取式和合取式。3 解 p ( p q)( p ( q q) ( p q)( pq)( pq)(pq)(0,1,2) 即為其主合取式。其主析取式為 3p q。 ( pq) ( pq)( p q)( p q)1 。故其主析取式為(0,1,2,3)=(pq)( pq)(p q)(pq)。 ( p q)r )p( ( p q) r )p( p q)r )p( p q) ( pr )Word 文檔( pq)(r

15、r )( pr )( qq)( pqr )( pqr )( pqr )( pqr )(0,1,3) 即為其主合取式。其主析取式為(2,4,5,6,7)(p qr) (pqr) (pq r ) (p qr) (p q r)。 ( pq)(rs)(pq)(rs)( pq)(rs)( prs)(qrs)( pqrs)( pqrs)( pqrs)(pqrs)( 2,6,14) 即為其主合取式。其主析取式為(0,1,3,4,5,7,8,9,10,11,12,13,15) 。4解真值表如表2-21 所示 , 所以其極小項(xiàng)是p q，極大項(xiàng)為 p q， pq， p q。表2-21pqpq( pq)001001

16、1010011110其主析取式是： pq，主合取式為： (p q) ( pq)( pq)。真值表如表 2-222 所示 , 所以其極小項(xiàng)是p q, pq, p q, 極大項(xiàng)為 pq。表2-22pqpqpq( pq)( pq)( pq)000100011101101011111101其主析取式是： ( p q) (pq) (p q)，主合取式為： pq。真值表如表 2-23 所示，所以其極小項(xiàng)是p q r ,pq r , p q r, p qr,p q r,表 2-23pqrpp q r p ( p q r )000100001100010100011111100001101001Word 文檔

17、110001111001極大項(xiàng)為 pq r， pqr， p qr。其主析取式是： ( p q r) (pqr )(pq r )(p qr)( p q r)，主合取式為： ( pqr ) ( p qr )(pqr)。真值表如表 2-24 所示 , 所以其極小項(xiàng)為pq r,pqr,pqr,pqr ,p qr ,而極大項(xiàng)分為 pq r， pqr， pqr.主合取式為 ( pqr) ( pqr) (pq r ),主析取式為 (pqr )(pq r)( pqr,)( pqr)( pqr) 。表 2-24pqrpq( pq)r0001000111010100111110001101011101011111

18、5解(pq)(pq)(pq)(pq)q(pq)( pq)，故為可滿足式。 ( pq)(qr )( pr )( pq) ( qr )( p r )( pq) ( qr ) ( p r )( pq r ) ( pqr ) ( p qr ) ( p qr )( p q r ) ( p qr ) ( pq r ) ( pqr )( p q r ) ( pq r ) ( p q r ) ( pq r )(0,1,2,3,4,5,6,7)故為重言式。 ( p (q r)(pq) (p r)(p(qr )( p(qr )(p(qr )(p (qr)( p (q r)(p (qr )(p(qr )(p ( q

19、r)(p(qr )p(qr)( p q r) ( qr )0。故為矛盾式。( pq)(rs)( pr )(qs)Word 文檔(pq)(rs)(pr )qs( pq)(rs)(pr )qs( pqrs)(pqrs)(pqrs)(pqrs)(pqrs)( pqrs)( pqrs)( pqrs)( pqrs)(pqrs)(pqrs)(pqrs)(pqrs)( pqrs)( pqrs)( pqrs)( pqrs)(pqrs)(pqrs)(pqrs)(pqrs)(0,1,3,4,5,6,7,9,10,11 ,12,13,14,15)故僅為可滿足式。6證明右邊已經(jīng)是主合取式。而左邊主合取式已是pq，因此

20、，( pq)pq，證畢。右邊 (pq) (pq)已經(jīng)是主合取式。pp (qq)(pq) (pq)。因此，p( pq)( pq) 。左邊 p( qr)p (q r )pq r ，而右邊 ( pq)r(p q) rpq r ，因此，p(qr )( pq)r 。習(xí)題 2.61解設(shè) p：這里有演出；q：這里通行是困難的；r ：他們按照指定時(shí)間到達(dá)。前提： pq, rq,r結(jié)論：p證明 rP rqPqT 假言推理 pqPpT拒取式2 證明 sP spP pT 假言推理 pqP qT 假言推理 證明Word 文檔 rP 附加前提引入 rqP qT 假言推理 pqPpT拒取式psP sT假言推理 rsT C

21、P證明 pP 否定結(jié)論引入 pqP qT假言推理 qrP rT假言推理rsPrT化簡(jiǎn) rrT合取證明 pP 附加前提引入pqP q析取三段論 rqPr拒取式 pr CP證明 pP 附加前提引入 p(qr )P qrT假言推理 qP 附加前提引入 rT假言推理(rs)tPrstT蘊(yùn)涵等價(jià)式stT析取三段論h(st)PsthT假言易位 hT假言推理 qhT CP13. p (q h)T CP3解推理不正確。在到化簡(jiǎn)時(shí)，只能對(duì)整個(gè)公式進(jìn)行而不是子公式。4解正確。 P， P 附加前提引入； T析取三段論； P； T假言推理；Word 文檔 P； T假言推理； T CP。5解設(shè) p：三努力工作， q：四

22、高興， r ：王五高興， s：六高興前提： p(qr)， qp， sr結(jié)論： ps證明： pP 附加前提引入 p(qr )P qrT假言推理 qpP qT拒取式 rT析取三段論 srP sT拒取式 psT CP6 解 設(shè)： p：天下雪； q：馬路結(jié)冰； r ：汽車(chē)開(kāi)得快； s：馬路塞車(chē)。前提： pq，qr， rs， s結(jié)論： p證明 pqP qrP pr推理三段論 rsP ps推理三段論 sP p拒取式復(fù)習(xí)題 21 解 設(shè) p：3是偶數(shù)， q：中國(guó)人的母語(yǔ)是漢語(yǔ)。命題符號(hào)化pq 。設(shè) p：你抽煙， q：你很容易得病。命題符號(hào)化pq 。設(shè) p：今天是星期一， q：明天才是星期二。命題符號(hào)化qp

23、。設(shè) p：春這個(gè)學(xué)期離散數(shù)學(xué)考了100 分。 q：春這個(gè)學(xué)期數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)考了100 分。命題符號(hào)化 pq 。設(shè) p：下雪路滑， q：他遲到了。命題符號(hào)化qp 。設(shè) p：經(jīng)一事， q：長(zhǎng)一智。命題符號(hào)化 pq 。設(shè) p：一朝被蛇咬， q：十年怕井繩。命題符號(hào)化pq 。設(shè) p：以物喜， q：以己悲。命題符號(hào)化pq 。2.解命題中的“或”是不可兼或，因此，可以直接用“pq ”符號(hào)化；根據(jù)聯(lián)結(jié)詞的性質(zhì)及其之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系， 可知命題 “春生于 1979 年或生于1980 年 ”的本意是 “春生于 1979 年（但不能生于 1980 年）或生于 1980 年（但不能生于 1979 年） ”，因此，也可以轉(zhuǎn)化為

24、“q)( p q)”對(duì)其進(jìn)行符號(hào)化。( p3解設(shè) p：剛會(huì)拳擊， q：春會(huì)唱歌。命題符號(hào)化 (pq)( p q) 。而( pq)( p q)( pq) ( p q) ( pq) pq pq因此，剛會(huì)拳擊并且春不會(huì)唱歌。4解A 的極小項(xiàng)對(duì)應(yīng)于其真值表中的成真賦值0001，0110，1000，1001，1010，1100，1101，1111。Word 文檔成真賦值對(duì)應(yīng)二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)就是A 的極小項(xiàng)的下標(biāo)。由此可得，A 的極小項(xiàng)為：m1pqrs ； m6pqrs ； m8pqrs ；m9pqrs ； m10pqrs ； m12pqrs ；m13pqrs ； m15pqrs 。相應(yīng)的， A 的

25、極大項(xiàng)對(duì)應(yīng)于其真值表中的成假賦值，成假賦值對(duì)應(yīng)二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)就是A 的極大項(xiàng)的下標(biāo)。由此可得，A 的極大項(xiàng)為：M 0pqrs ； M 2pqrs ； M 3pqrs ；M 4pqrs； M 5pqrs； M 7pqrs；M 11pqrs ； M 14pqrs 。由問(wèn)題得到了A 的極小項(xiàng)和極大項(xiàng)， 于是與 A 等值的主析取式和主合取式可以直接得到，分別為：(1,6,8,9,10,12,13,15) ；(0,2,3,4,5,7,11 ,14) 。從 A 的主析取式出發(fā)，進(jìn)行等值演算化簡(jiǎn)，可得析取式的最簡(jiǎn)形式：(pqr s) (p q r s) (pqrs) ( pqr s)(pq rs)

26、(p qrs) ( p qrs) (p q r s)(pqr s) (q rs) (pqr) (pq rs) (p qr )(pr ) (pqr s) (q rs) ( pq rs)(pr ) (qr s) (q r s) (pq rs)(pr ) (qr s) (q r s) (pqs)5 證明 ( pq)(rq)(pq)(rq)(pr )q( pr )q( pr )q p(qr )p(qr )q(pr )q( pr ) ( pq)( pq)( pq)( pq)(pq)( pq)( pq) ( pqrs)(rpqs)( pqr )s)(r( pqs)(pqr )(rpq)sWord 文檔( r(pq)( pq)s( r(pq)( p q)s( r( pq)(pq)s(r( pq)s6解 公式的真值表如表2-27 所示：表 2-27pqpqpqqp ( pq) ( qp)0011111011011110011001100010從真值表可見(jiàn)，公