組合透鏡成像

1、精選文檔§1.5、透鏡成像1.薄透鏡成像公式是：式中f、u、v的正負(fù)仍遵循“實正、虛負(fù)”的法則。 2.組合透鏡成像uv圖1-5-4假如由焦距分別為和的A、B兩片薄透鏡構(gòu)成一個透鏡組（共主軸）將一個點光源S放在主軸上距透鏡u處，在透鏡另一側(cè)距透鏡v處成一像（圖1-5-4）所示。對這一成像結(jié)果，可以從以下兩個不同的角度來考慮。由于A、B都是薄透鏡，所以相互靠攏地放在一起仍可看成一個薄透鏡。設(shè)這個組合透鏡的焦距是f，則應(yīng)有 另一個考慮角度可認(rèn)為是S經(jīng)A、B兩個透鏡依次成像的結(jié)果。如S經(jīng)A后成像，設(shè)位于A右側(cè)距A為處，應(yīng)有 由于位于透鏡B右側(cè)處，對B為一虛物，物距為，再經(jīng)B成像 ，所以 由、

2、可解得 比較、兩式可知 假如A、B中有凹透鏡，只要取負(fù)的或代入即可。3.光學(xué)儀器的放大率實像光學(xué)儀器的放大率 幻燈下、照相機(jī)都是常見的實像光學(xué)儀器。由于此類儀器獲得的是物體的實像，因而放大率m一般是指全部成實像的長度放大率，即v=mu。假如有一幻燈機(jī)，當(dāng)幻燈片與銀幕相距2.5m時，可在銀幕上得到放大率為24的像；若想得到放大率為40的像，那么，假設(shè)幻燈片不動，鏡頭和銀幕應(yīng)分別移動多少？依據(jù)第一次放映可知 可解得 ， 其次次放映 可解得 ，比較和，可知鏡頭縮回1.6mm；比較和，可知銀幕應(yīng)移遠(yuǎn)1.54m。虛像光學(xué)儀器的放大率 望遠(yuǎn)鏡和顯微鏡是常見的虛像光學(xué)儀器。由于此類儀器得到的是物體的虛像，目

3、的是擴(kuò)大觀看的視角，因此放大率m一般是指視角放大率。假如直接觀看物體的視角為，用儀器觀看物體的視角為，那么m=/dL圖1-5-5先看顯微鏡的放大率。假如有一臺顯微鏡，物鏡焦距為，目鏡焦距為，鏡筒長L，若最終的像成在離目鏡d處，試證明顯微鏡的放大率。顯微鏡的光路如圖1-5-5所示，AB經(jīng)物鏡成一放大實像，物鏡的長度放大率 因、相對L都較小，而且B很靠近，所以，即 位于目鏡的焦點內(nèi)，經(jīng)目鏡成一放大的虛像（通常讓成在觀看者的明視距離d上）。由于都是近軸光線，所以此時觀看者從目鏡中看到的視角為 若觀看者不用顯微鏡，直接觀看AB的視角為 則顯微鏡的放大率m 不難看出目鏡的長度放大率為 所以有 sf1f2

4、圖1-5-6下面再看天文望遠(yuǎn)鏡的放大率，假如天文望遠(yuǎn)鏡的物鏡焦距為，目鏡焦距為，試證明天文望遠(yuǎn)鏡的放大率 。望遠(yuǎn)鏡成像光路如圖1-5-6所示，遠(yuǎn)處物體AB由物鏡成像，然后再由目鏡在遠(yuǎn)處成一虛像（圖中未畫出），觀看者觀看的視角即為圖中的，。若不用望遠(yuǎn)鏡，觀看者直接觀看距望遠(yuǎn)鏡S遠(yuǎn)處的物體AB的視角，近似為圖中的 因此望遠(yuǎn)鏡的放大率m為 ufv圖1-5-7圖1-5-8圖1-5-94.常見的光學(xué)儀器投影儀器 電影機(jī)、幻燈機(jī)、印相放大機(jī)以及繪圖用的投影儀等，都屬于投影儀器，它的主要部分是一個會聚的投影鏡頭，將畫片成放大的實像于屏幕上，如圖1-5-7。由于物距u略大于焦距f，畫片總在物方焦平面四周，像距

5、»f，放大率，它與像距v成正比。一光學(xué)系統(tǒng)如圖1-5-8所示，A為物平面，垂直于光軸，L為會聚透鏡，M與光軸成45°角的平面鏡。P為像面，垂直于經(jīng)平面鏡反射后的光軸。設(shè)物為A面上的一個“上”字，試在圖1-5-9中實像面P上畫出像的外形。 眼睛 眼睛是一個相當(dāng)簡單的自然光學(xué)儀器。從結(jié)構(gòu)上看，類似于照像機(jī)，圖1-5-10為眼球在水平方向的剖面圖。其中布滿視覺神經(jīng)的網(wǎng)膜，相當(dāng)于照像機(jī)中的感光底片，虹膜相當(dāng)于照像機(jī)中的可變光闌，它中間的圓孔稱為瞳孔。眼球中的晶狀體是一個折射率不均勻的透鏡，包在眼球外面的堅韌HH圖1-5-10的膜，最前面的透亮部分稱為角膜，其余部分為鞏膜。角膜與晶狀

6、體之間的部分稱為前房，其中布滿水狀液。晶狀體與網(wǎng)膜之間眼球的內(nèi)腔，稱為后房，其中布滿玻璃狀液。所以，眼睛是一個物、像方介質(zhì)折射率不等的例子。聚焦光無窮遠(yuǎn)時，物焦距f=17.1mm，像方焦距f=22.8。眼睛是通過轉(zhuǎn)變晶狀體的曲率（焦距）來調(diào)整聚焦的距離。眼睛肌肉完全松弛和最緊急時所能清楚看到的點，分別稱為它調(diào)整范圍的遠(yuǎn)點和近點。正常眼睛的遠(yuǎn)點在無窮遠(yuǎn)。近視眼的眼球過長，無窮遠(yuǎn)的物體成像在網(wǎng)膜之前，它的遠(yuǎn)點在有限遠(yuǎn)的位置。遠(yuǎn)視眼的眼球過短，無窮遠(yuǎn)的物體成像在網(wǎng)膜之后（虛物點）。矯正近視眼和遠(yuǎn)視的眼鏡應(yīng)分別是凹透鏡和凸透圖1-5-11鏡。所謂散光，是由于眼球在不同方向的平面內(nèi)曲率不同引起的，它需要

7、非球面透鏡來矯正。視角、視角放大 物體的兩端對人眼光心所張的角度叫做視角，視角的大小跟物體的尺寸及物體到人眼的距離有關(guān)。當(dāng)兩物點（或同一物體上的兩點）對人眼視角大?。s）時，才能被人眼區(qū)分。在看小物體時，為了增大視角就要縮短物眼間距離，但當(dāng)其小于人眼近點距離時，視網(wǎng)膜上所成的像反而模糊不清。為此，必需使用光學(xué)儀器來增大視角。圖1-5-11是人眼（E）通過放大鏡觀看物體AB的像，當(dāng)人眼靠近光心時視角。圖1-5-12若物體很靠近焦點，且成像于明視距離，則： ， 若不用放大鏡將物體置于明視距離，如圖1-5-12，BE=25cm，則視角：把用光學(xué)儀器觀看虛像所得視角與將物體放在虛像位置上直接觀看的視角

8、的比值叫做光學(xué)儀器的視角放大率。用表示視角放大率，即有圖1-5-13對于放大鏡，有 。顯微鏡 圖1-5-13是顯微鏡成像原理圖。被觀看物體AB置于物鏡焦點外很靠近焦點處，（），成放大實像于目鏡焦點內(nèi)靠近焦點處（），眼睛靠近目鏡的光心可觀看到位于明視距離的虛像顯微鏡的物鏡視角放大率 未在圖中畫出。目鏡放大率： 未在圖中畫出。顯微鏡的視角放大率： 式中L是鏡筒長度。由于«L，因此在計算放大率時用L代表物鏡像距。通常顯微鏡焦距很小，多為mm數(shù)量級，明鏡焦距稍長，但一般也在2cm以內(nèi)。圖1-5-14圖1-5-15望遠(yuǎn)鏡 望遠(yuǎn)鏡用于觀看大而遠(yuǎn)的物體，如圖1-5-14，圖1-5-15分別表示開普

9、勒望遠(yuǎn)鏡和伽利略望遠(yuǎn)鏡的光路圖。兩種望遠(yuǎn)鏡都是用焦距較長的凸透鏡做物鏡。遠(yuǎn)處物體從同點發(fā)出的光線可近似為平行光，因此將在物鏡的焦平面上成一實像。開普勒望遠(yuǎn)鏡的目鏡也是凸透鏡，其焦距較短，物方焦平面和物鏡的像方焦平面幾乎重合。結(jié)果，以為物，在無窮遠(yuǎn)處得到虛像。而伽利略望遠(yuǎn)鏡的目鏡則是凹透鏡，當(dāng)它的物方焦平面（在右側(cè)）與物鏡的像方焦平面重合時，實像卻成了虛物，經(jīng)凹透鏡折射成像于無窮遠(yuǎn)處。由圖中看出伽利略望遠(yuǎn)鏡觀看到的像是正立的，可用于觀看地面物體，而開普勒望遠(yuǎn)鏡觀看到的像是倒立的，只適合作為天文望遠(yuǎn)鏡。從圖中的幾何關(guān)系還可看出兩種望遠(yuǎn)鏡的視角放大率均為： 還有一類望遠(yuǎn)鏡的物鏡是凹面鏡，稱為反射式望

10、遠(yuǎn)鏡。大型的天文望遠(yuǎn)鏡都是反射式望遠(yuǎn)鏡。圖1-5-22例4、焦距均為f的二凸透鏡、與兩個圓形平面反射鏡、放置如圖1-5-22。二透鏡共軸，透鏡的主軸與二平面鏡垂直，并通過二平面鏡的中心，四鏡的直徑相同，在主軸上有一點光源O。1、畫出由光源向右的一條光線OA（如圖1-5-22所示）在此光學(xué)系統(tǒng)中的光路。2、分別說出由光源向右發(fā)出的光線和向左發(fā)出的光線各在哪些位置（O點除外）形成光源O圖1-5-23PQ的能看到的像，哪些是實像？哪些是虛像。3、現(xiàn)在用不透亮板把和的下半部（包括透鏡中心）都遮住，說出這些像有什么變化。解: 1、光線OA的第一次來回光路如圖1-5-23所示。當(dāng)光線由圖中左方返回經(jīng)O點后

11、，將連續(xù)向右下方進(jìn)行，作其次次來回。其次次來回的光路在圖中未畫出，可按圖中光路對稱于主軸畫出。以后，光線重復(fù)以上兩種來回光路。2、向右發(fā)出的光線：處成實像，右方無限遠(yuǎn)處成虛像；處成實像；P處（左方處主軸上）成虛像。向左發(fā)出的光線：處成實像；左方無限遠(yuǎn)處成虛像；處成實像；Q處（右方處主軸上）成虛像。3、向右發(fā)出的光線只在處成實像。向左發(fā)出的光線只在處成實像。兩像均比未遮住時暗。H2fFF/圖1-5-24例5、一平凸透鏡焦距為f，其平面上鍍了銀,現(xiàn)在其凸面一側(cè)距它2f處，垂直于主軸放置一高為H的物，其下端在透鏡的主軸上（圖1-5-24）。（1）用作圖法畫出物經(jīng)鍍銀透鏡所成的像，并標(biāo)明該像是虛、是實

12、。（2）用計算法求出此像的位置和大小。HPAFSTA/P/L MQOS/F/圖1-5-25分析: 這道題實質(zhì)是一個凸透鏡與一緊密接合的平面鏡的組合成像問題。雖然我們畫不出光線經(jīng)透鏡折射后射向平面鏡的光路，但光路仍舊遵守凸透鏡與平面鏡成像規(guī)律，這是我們在具體分析光路時必需牢牢抓住的一點。成像的計算也是遵守凸透鏡與平面鏡的成像計算方法的。解: （1）用作圖法求得物AP的像及所用各條光線的光路如圖1-5-25所示。說明：平凸透鏡平面上鍍銀后構(gòu)成一個由會聚透鏡L和與它密接的平面鏡M組合LM，如圖1-5-25所示。圖中O為L的光心，為主軸，F(xiàn)和為L的兩個焦點，AP為物。作圖時利用了下列三條特征光線：由P

13、射向O的入射光線，它通過O后方向不變，沿原方向射向平面鏡M，然后被M反射，反射光線與主光軸的夾角等于入射角，均為。反射線射入透鏡時通過光心O，故由透鏡射出時方向與上述反射線相同，即圖中的。由P發(fā)出且通過L左方焦點F的入射光線PFR，它經(jīng)過L折射后的出射線與主軸平行，垂直射向平面鏡M，然后被M反射，反射光線平行于L的主軸，并向左射入L，經(jīng)L折射后的出射線通過焦點F，即為圖個中RFP。由P發(fā)出的平行于主軸的入射光線PQ，它經(jīng)過L折射后的出射線將射向L的焦點，即沿圖中的方向射向平面鏡，然后被M反射，反射線指向與對稱的F點，即沿QF方向。此反射線經(jīng)L折射后的出射線可用下法畫出：通過O作平行于QF幫助線

14、，通過光心，其方向保持不變，與焦面相交于T點。由于入射平行光線經(jīng)透鏡后相交于焦面上的同一點，故QF經(jīng)L折射后的出射線也通過T點，圖中的QT即為QF經(jīng)L折射后的出射光線。上列三條出射光線的交點即為LM組合所成的P點的像，對應(yīng)的即A的像點。由圖可判明，像是倒立實像，只要實行此三條光線中任意兩條即可得，即為正確的答案。（2）按間續(xù)成像計算物AP經(jīng)LM組合所成像的位置、大小。物AP經(jīng)透鏡L成的像為第一像，取，由成像公式可得像距，即像在平面鏡后距離2f處，像的大小與原物相同， 。第一像作為物經(jīng)反射鏡M成的像為其次像。第一像在反射鏡M后2f處，對M來說是虛物，成實像于M前2f處。像的大小也與原物相同，。其

15、次像作為物，再經(jīng)透鏡L而成的像為第三像。這是由于光線由L右方入射。且物（其次像）位于L左方，故為虛物，取物距 ，由透鏡公式可得像距 上述結(jié)果表明，第三像，即本題所求的像的位置在透鏡左方距離處，像的大小可由求得，即 像高為物高的 。例6、如圖1-5-26所示，凸透鏡焦距f=15cm，OC=25cm，以C為圓心、r=5cm為半徑的發(fā)光圓環(huán)與主軸共面。試求出該圓環(huán)通過透鏡折射后所成的像。CFOF圖1-5-26分析: 先考慮發(fā)光圓環(huán)上任意一點P經(jīng)透鏡所成之像，當(dāng)P點繞圓環(huán)一周時，對應(yīng)的像點的集合就構(gòu)成整個發(fā)光圓環(huán)通過透鏡所成的像。因此可用解析幾何的方法爭辯本題。解: 如圖1-5-27所示，以O(shè)點為直角

16、坐標(biāo)系原點建立坐標(biāo)系xOy和?？紤]發(fā)光圓環(huán)上任一點P（x，y），則有 CFOFxPPxy,y圖1-5-27發(fā)光點P（x，y）的像為，依據(jù)透鏡成像公式及放大率關(guān)系可有 聯(lián)立、式解得 將、式代入式中并整理得 式即為所需求的圓環(huán)之像。這是一個對稱中心位于光心45cm處，以主光軸為長軸的橢圓。爭辯 假如把發(fā)光圓環(huán)用一球殼取代，則依據(jù)對稱性，球殼的像是以圓環(huán)的像繞主軸旋轉(zhuǎn)一周行成的一橢圓。點評 曲線形線狀物通過透鏡所成的像也是肯定曲線狀，至于是什么樣的曲線，要視具體狀況而定。例如本題中的發(fā)光圓環(huán)所成的像變?yōu)橐粰E圓環(huán)就是一例。本題的關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)奈锓胶拖穹阶鴺?biāo)系來球解問題。例7、照相機(jī)鏡頭L前2.28

17、m處的物體被清楚地成像在鏡頭后面12.0cm處的最相膠片P上，兩面平行的玻璃平板插入鏡頭與膠片之間，與光軸垂直，位置如圖1-3-29所示。設(shè)照相機(jī)鏡頭可看作一個簡潔薄凸透鏡，光線為近軸光線。12.0cm8.0cm0.90cm圖1-3-291、求插入玻璃板后，像的新位置。2、假如保持鏡頭、玻璃板、膠片三者間距離不變，若要求物體仍舊清楚地成像于膠片上，則物體應(yīng)放在何處？解: 解法11、折射率為n，厚度為d 兩面平行的玻璃板，對于會聚在像點的傍軸光束的折射作用可如下方法求出：如圖1-3-30，取任一指向點的傍軸光線C，此光線經(jīng)平行玻璃板折射的光路為CDE，在平板第一面的入射角i與折射角r均為小角度，

18、反向圖1-3-30延長E交D點處的法線于F，簡潔看出，DE為平行四邊形，則 平行板厚度d為 得 由于i與r都很小，所以 故得 以上結(jié)果對任何會聚于點的傍軸光線均成立，所以向軸上點會聚的傍軸光束經(jīng)平行玻璃板折射后會聚于軸上點。在這種情形下，平行玻璃板的作用是使像點向遠(yuǎn)離平板方向移動距離，由題給數(shù)據(jù)得 故像成在鏡頭后面12.0+0.3=12.3（cm）處。2、設(shè)照像機(jī)鏡頭焦距為f， 不放玻璃板時有1/228+1/2=1/f，可得 f=11.4cm。插入玻璃板時，若要像仍成在離鏡頭12cm處的膠片上，應(yīng)轉(zhuǎn)變物距使不放玻璃板時成像在鏡頭后面v處，即v=12.0-0.3=11.7(cm)。設(shè)這時物距為u

19、，則1/u+1/11.7=1/11.4，得 u4.45m。即：物體置于鏡頭前4.45m時，插入玻璃板后，仍可在膠片上得到清楚的像。解法2圖1-5-311、對于玻璃板第一面上的折射，其物距為 ，依據(jù)公式 （見圖1-5-31）可得 對于玻璃板其次面上的折射，（見圖1-3-32）其物距為圖1-5-32 又依據(jù) 可得 故像成在鏡頭后面的像距為 比原像向后移動v，即 2、設(shè)照像機(jī)鏡頭焦距為f，不插入玻璃板時，1/f=1/228+1/12，得 f=11.4cm。要使放上玻璃板后，像還成在離鏡頭12cm處的膠片上，可接受個光路可逆性原理從已知像的位置，求此物體應(yīng)在的位置。對于玻璃板其次面上的折射：已知：像距

20、，設(shè)與之相應(yīng)的物為，則可得 對于玻璃板第一面上的折射：已知：像距 ，設(shè)與之相應(yīng)的物為P，則可得 對于凸透鏡，像距為v=8.6+3.1=11.7(cm) ，則此時物距為u，則有1/u+1/11.7=1/11.4，u=4.45m。即物體應(yīng)放在照相機(jī)鏡頭前4.45m處，才能在膠片上得到清楚的像。物L(fēng)1L2圖1-5-29d+uuvd-vdO1O2L1L2圖1-5-31例8、有兩個焦距分別為和的凸透鏡。假如把這兩個透鏡做適當(dāng)?shù)呐渲?，則可使一垂直于光軸的小物體在原位置成一等大、倒立的像，如圖1-5-33所示。試求出滿足上述要求的配置方案中各透鏡的位置。分析: 首先，我們應(yīng)依據(jù)題目給出的條件，分析得出物經(jīng)透

21、鏡、所成像的虛、實與大小，從而得出光學(xué)系統(tǒng)的配置關(guān)系；然后再運用透鏡成像公式求出光學(xué)系統(tǒng)中物、位置的具體距離與、的數(shù)量關(guān)系。解: 設(shè)光線由左向右，先后經(jīng)過兩個凸透鏡而成像于題目所要求的位置。反回去考慮，光線經(jīng)過第2個透鏡后將連續(xù)向右傳播，所以最終成的像必為虛像才能滿足題設(shè)要求。由此判定，作為透鏡2的“物”必在其左側(cè)，物距小于透鏡2的焦距，并且是倒立的。再考慮到透鏡2的“物”應(yīng)當(dāng)是透鏡1對給定的傍軸物體所成的像（中間像），它只能是給定物的倒立實像，必定成像在透鏡1的右側(cè)。（由于最終的像與原物同樣大小，還可以確定中間像肯定是縮小的。）以上分析表明，光線系統(tǒng)的配置如圖1-5-28所示。依據(jù)圖上標(biāo)明的

22、兩透鏡位置和物距、像距，有 因最終像為虛像，則 又因物、像大小相等，則 由得 代入并經(jīng)過化簡可得 ，因題圖中要求，故必需。由以上分析可知，要取焦距較小的透鏡（即如，取透鏡a，反則反之）作透鏡，放在物右方距離u處，而把焦距較大的透鏡作為透鏡放在透鏡右方距離d處，就得到題所要求的配置方案。例9、焦距為20cm的薄凸透鏡和焦距為18cm的薄凹透鏡，應(yīng)如何放置，才能使平行光通過組合透鏡后成為1、平行光束；2、會聚光束；3、發(fā)散光束；（全部可能的狀況均繪圖表示）。解: 設(shè)凸透鏡主焦點為；凹透鏡主焦點為。1、平行光束（1）凸透鏡在前時，d=2cm，d為兩透鏡間距離（見圖1-5-34）。L1L2d2cm18

23、cmF F (共焦)圖1-5-34L2L1dFF2圖1-5-35F2F1L1L2圖1-5-36F1F2L2L1d圖1-5-39L2L1dFF2圖1-5-38F2F1L2L1圖1-5-37（2）凹透鏡在前時，d=2cm，依據(jù)光路可逆性原理，這相當(dāng)于把前面的系統(tǒng)反過來。2、會聚光束。（1） 凸透鏡在前時，20cmd2cm（圖1-5-35）。（2） 凹透鏡在前時d2cm（圖1-5-36）。3、發(fā)散光束（1）凸透鏡在前時，d2cm（圖1-5-37）（2）凸透鏡在前時，20cmd2cm（圖1-5-38）凹透鏡在前時，20cmd2cm（圖1-5-39）10、焦距f的數(shù)值均相同的三個薄透鏡、與 ，依次為凸透

24、鏡、凹透鏡與凸透鏡，它們構(gòu)成一個共軸光學(xué)系統(tǒng)，相鄰?fù)哥R間的距離均為d，各透鏡的光心分別為，如圖1-5-40所示，在透鏡左方，位于主光軸上的物點P，經(jīng)過此光學(xué)系統(tǒng)最終成像于透鏡右方的Q點 若距離，則物點P與透鏡的距離應(yīng)為多少？圖1-5-40分析: 此題按間續(xù)成像考慮，一個一個透鏡做下去也能得出式的解，但列式子時簡潔出錯，不如考慮對稱性的解法，有清楚的物理圖像，求解主動。此題的式的解也以用“P經(jīng)成像”的思路解出最為簡明，但能這樣想必需以“透鏡成像時，若物距為零則像距也為零”作為已知結(jié)論才行。解:（1）該系統(tǒng)對凹透鏡而言是一左右對稱的光學(xué)系統(tǒng)。依題意，物點P與像點Q處于對稱的位置上，即對凹透鏡而言，

25、物點及經(jīng)它成像后的像點應(yīng)分居的兩側(cè)，且物距與像距相等。即 代入凹透鏡的物像公式 解得 物距與像距均為負(fù)值表明：物點P經(jīng)透鏡成像后，作為凹透鏡的物點位于它的右側(cè)，因而是虛物，經(jīng)凹透鏡成像于它的左側(cè)，為一虛像，虛像點與虛像點的凹透鏡位于對稱位置（圖1-5-41） 圖1-5-41圖1-5-42代入凸透鏡的物像公式 解出 （2）由式，凹透鏡的像距可表示為 當(dāng)物點由右向左漸漸趨近于時，即物距由負(fù)值漸漸增大而趨于零時，像距亦由負(fù)值漸漸增大趨于零，即像點由左向右亦趨近于。即時，當(dāng)時，即對凸透鏡而言，像距，參見圖1-5-42，代入式 解得： 此結(jié)果表明，當(dāng)物點P經(jīng)過透鏡后恰成像于透鏡的光心上，由系統(tǒng)的對稱性，

26、可知經(jīng)透鏡后，將成像于對稱點Q。像距數(shù)值為 由此可知式與式均為所求的解，但對式的結(jié)果，透鏡間距d必需滿足條件 這也可以從另一角度來考慮，當(dāng)P通過成像正好在的光心處時，它經(jīng)過的像仍在原處，即 。這樣也可得到上面的結(jié)果。例11、一束平行光沿薄平凸透鏡的主光軸入射，經(jīng)透鏡折射后，會聚于透鏡后f=48cm處，透鏡的折射率n=1.5。若將此透鏡的凸面鍍銀，物置于平面前12cm處，求最終所成像的位置。分析:平凸透鏡的凸面鍍銀后將成為凹面鏡，我們可依據(jù)平凸透鏡平行光匯聚的幾何關(guān)系求出凸球面的曲率半徑R，即求出凹面鏡的焦距，依據(jù)平面折射成像及凹面鏡成像的規(guī)律可進(jìn)一步求出最終所成像的位置。解:（1）先求凸球面的

27、曲率求徑R。平行于主光軸的光線與平面垂直，不發(fā)生折射，它在球面上發(fā)生折射，交主光軸于F點，如圖1-5-43所示，C點為球面的球心，由正弦定理可得圖1-5-43 由折射定律知 當(dāng)i、r很小時，由以上兩式得 12cm圖1-5-44所以 （2）凸面鍍銀后將成為半徑R的凹面鏡，如圖1-5-44所示令P表示物所在的位置，P點經(jīng)平面折射成像于，依據(jù)折射定律可推出 由于這是一個薄透鏡，與凹面鏡的距離可認(rèn)為等于，設(shè)反射后成像于，則由球面鏡成像公式可得 因此可解得，可知位于平面的左方，對平面折射來說，是一個虛物，經(jīng)平面折射后，成實像于點。 最終所成實像在透鏡左方24cm處。例12、在很高的圓柱形容器的上口平放一

28、個焦距為90mm的凸透鏡，在透鏡下方中軸線上距透鏡100mm處平放一個圓面形光源（如圖1-5-45）1、光源產(chǎn)生一個半徑為45mm的實像，求此實像的位置。圖1-5-452、若往容器中注水，水面高于光源10mm，求此像的位置。3、連續(xù)注水，注滿容器但又恰好不碰上透鏡。求此時像的大小。解:1、設(shè)u,v,f分別為物距、像距和焦距，由成像公式 得 代入u=100mm,f=90mm，得 又從放大率公式知光源的半徑b為 hhi圖1-5-462、注入水后，當(dāng)水面高于光源h(mm)時，由于水面的折射作用，使光源等效于上浮一段距離，等效光源在距水面處。設(shè)i,r分別為入射角和折射角，則，（圖1-5-46），對近軸

29、光線 故原來的物距u在注入水后變成等效物距 于是像距為 本小題中，h=100mm,u=100mm，故得 實像在透鏡上方1170mm處。3、當(dāng)水注滿而又恰好不碰上透鏡時，仍可用上面的公式，但此時h=100mm，等效光源已在焦距之內(nèi)，此時像的半徑為 此時所成像是一半徑為30mm的正立虛像，位于透鏡下方。例13、有一個由單個凸透鏡構(gòu)成的焦距為12cm，暗箱的最大伸長為20cm的照相機(jī)，要用這個照相機(jī)拍攝距鏡頭15cm處的物體，需要在鏡頭上附加焦距為多少的一個薄透鏡，使暗箱最大伸長時，像能清楚地呈現(xiàn)在底片上？（假設(shè)兩個薄透鏡緊貼著，其間距離可以忽視不計）分析：這是一個組合透鏡成像的問題，可以從兩個不同

30、角度來考慮求解。（1）依照成像先后挨次，物體經(jīng)前一個透鏡成的像視為后一透鏡成像之物，重復(fù)運用透鏡成像公式來求解；（2）把組合透鏡視為一個透鏡整體來處理，再依據(jù)組合透鏡的總焦距與各分透鏡之間的關(guān)系式來求解。解法一：將附加薄透鏡加在鏡頭的前面，照相機(jī)鏡頭焦距為12cm，暗箱最大伸長為20cm，設(shè)它能拍攝的物體的最近距離為u。以f=12cm,v=20cm代入透鏡成像公式，可以求得u。附加薄透鏡(a)12cm30cm20cm主透鏡(b)附主15cm(C)圖1-5-47 設(shè)附加鏡頭的焦距為，它的作用是使距鏡頭15cm的物體成像在30cm處。以u=15cm,v=-30cm代入透鏡成像公式，可以求得。 所以

31、 ，是凸透鏡，光路圖如圖1-5-47所示。圖1-5-47（a）表示附加薄透鏡的作用是將距鏡頭15cm的物體在30cm處造成的虛像。圖1-5-47（b）表示以為物，經(jīng)主透鏡成像于鏡后20cm處底板上成實像。圖1-5-47（c）表示附加透鏡加在主透鏡的前面，距透鏡15cm的物體AB，其所發(fā)的光線經(jīng)附加透鏡和主透鏡折射后在另一側(cè)20cm處得一實像。解法二：將附加薄透鏡加在鏡頭后面。無附加透鏡時，物距u=15cm,焦距f=12cm，像距為v。由 得 設(shè)附加鏡頭的焦距為，上述像即附加透鏡中的虛物，此時物距為 ，像距為 。由 得 光路圖如圖1-5-48所示。圖1-5-48（a）表示距主透鏡15cm的物體，

32、在主透鏡另一側(cè)成一距透鏡60cm的實像。圖1-5-48（b）表示附加透鏡附于主透鏡之后，光線因通過光心方向不變，由物體射出之光線，經(jīng)主透鏡折射后其中的光線再經(jīng)附加透鏡的折射，轉(zhuǎn)變方向為光線因而成像于處。圖1-5-48（c）表示距透鏡15cm的物體，經(jīng)主透鏡、附加透鏡折射后成像于另一側(cè)20cm主透鏡15cm(a)12cm附加薄透鏡(b)主附15cm(c)透鏡圖1-5-48處。解法三：照相機(jī)鏡頭焦距f=12cm，附加薄凸透鏡焦距為,相當(dāng)于一個焦距為F的凸透鏡，且有 由于 ， 所以 把求得的F值代入式有 則即為所求附加薄透鏡焦距。點評：透鏡與透鏡、透鏡與平面鏡、棱鏡、球面鏡等一個或多個光學(xué)元件構(gòu)成一

33、個光學(xué)系統(tǒng)的成像問題是一類典型的問題，對于這類問題，一方面要留意不同的光學(xué)元件各自的成像規(guī)律，另一方面要留意成像的先后挨次以及像與物的相對性。即前一光學(xué)元件的像視為后一光學(xué)元件之物。例14、長度為4mm的物體AB由圖1-5-49所示的光學(xué)系統(tǒng)成像，光學(xué)系統(tǒng)由一個直角棱鏡、一個會聚透鏡和一個發(fā)散透鏡組成，各有關(guān)參數(shù)和幾何尺寸均示于圖中。求：6cm10cm5cm6cmL1L2n=1.545f1f2f2=-10cmf1=-20cmBA圖1-5-491、像的位置；2、像的大小，并作圖說明是實像還是虛像，是正立還是倒立的。解: 解法11、分析和等效處理依據(jù)棱鏡玻璃的折射率，棱鏡斜面上的全反射臨界角為 6

34、cm10cm5cm6cmL1L2N=1.545圖1-5-50留意到物長為 4mm，由光路可估算，進(jìn)入棱鏡的近軸光線在斜面上的入射角大多在45º左右，大于臨界角，發(fā)生全反射，所以對這些光線而言，棱鏡斜面可看成是反射鏡，本題光路可按反射鏡成像的考慮方法，把光路“拉直”，如圖4-3-34的示?，F(xiàn)在，問題轉(zhuǎn)化為正立物體經(jīng)過一塊垂直于光軸、厚度為6cm的平玻璃板及其后的會聚透鏡、發(fā)散透鏡成像的問題。2、求像的位置圖1-5-51厚平玻璃板將使的近軸光線產(chǎn)生一個向右側(cè)移動肯定距離的像，它成為光學(xué)系統(tǒng)后面部分光路的物，故可稱為側(cè)移的物。利用沿光軸的光線和與光軸成角的光線來爭辯就可求出這個移動的距離。

35、設(shè)軸上物點為B，由于厚度平玻璃板的作用而形成的像點（即側(cè)像的物點）為（圖1-5-51）。畫出厚平玻璃板對光線的折射，由圖可知 而 所以 當(dāng)為小角度時 故得 這也就是物AB與它通過厚平玻璃板所成的像之間的距離。這個像對透鏡來說就是物，而物距 可見，物證好在 的左方焦平面上，像距即為再考慮透鏡，這是平行光線入射狀況所以必成像于這個發(fā)散透鏡左側(cè)焦平面上（虛像）。 整個光路的最終成像位置就是在 的左側(cè)10cm處。3、求像的大小和虛、實、正、倒?fàn)顩r圖1-5-52可用作圖法求解，如圖1-5-52所示（為了圖示清楚，圖中把物高加大了）。連接并延長，便得到發(fā)自的光線經(jīng)后的平行光線的方向。過的光心作的平行線，它與交于C點，則即為從動身經(jīng)過折射又通過光心的光線。反向延長與左側(cè)焦面的交點就是由經(jīng)所成的像點。令左側(cè)焦面與光軸的焦點為，就是的像