挑戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)壓軸題因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題

1、因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題例1 2015年成都市中考第28題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax22ax3a（a0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），經(jīng)過點A的直線l：ykxb與y軸負(fù)半軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD4AC（1）直接寫出點A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k、b用含a的式子表示）；（2）點E是直線l上方的拋物線上的動點，若ACE的面積的最大值為 ，求a的值；（3）設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由圖1 備用圖動感體驗請打開幾何畫板文件名“15成都28”

2、，拖動點E在直線AD上方的拋物線上運動，可以體驗到，當(dāng)ECAC時，ACE的面積最大點擊屏幕左下角的按鈕“第（3）題”，拖動點H在y軸正半軸運動，觀察點Q和Q，可以看到點Q和點Q都可以落在拋物線上思路點撥1過點E作x軸的垂線交AD于F，那么AEF與CEF是共底的兩個三角形2以AD為分類標(biāo)準(zhǔn)討論矩形，當(dāng)AD為邊時，AD與QP平行且相等，對角線APQD；當(dāng)AD為對角線時，AD與PQ互相平分且相等滿分解答（1）由yax22ax3aa(x1)(x3)，得A(1, 0)由CD4AC，得xD4所以D(4, 5a)由A(1, 0)、D(4, 5a)，得直線l的函數(shù)表達(dá)式為yaxa（2）如圖1，過點E作x軸的垂

3、線交AD于F設(shè)E(x, ax22ax3a)，F(xiàn)(x, axa)，那么EFyEyFax23ax4a由SACESAEFSCEF，得ACE的面積的最大值為解方程，得（3）已知A(1, 0)、D(4, 5a)，xP1，以AD為分類標(biāo)準(zhǔn)，分兩種情況討論：如圖2，如果AD為矩形的邊，那么AD/QP，ADQP，對角線APQD由xDxAxPxQ，得xQ4當(dāng)x4時，ya(x1)(x3)21a所以Q(4, 21a)由yDyAyPyQ，得yP26a所以P(1, 26a)由AP2QD2，得22(26a)282(16a)2整理，得7a21所以此時P如圖3，如果AD為矩形的對角線，那么AD與PQ互相平分且相等由xDxAx

4、PxQ，得xQ2所以Q(2,3a)由yDyAyPyQ，得yP8a所以P(1, 8a)由AD2PQ2，得52(5a)212(11a)2整理，得4a21所以此時P圖1 圖2 圖3考點伸展第（3）題也可以這樣解設(shè)P(1,n)如圖2，當(dāng)AD時矩形的邊時，QPD90°，所以，即解得所以P所以Q將Q代入ya(x1)(x3)，得所以如圖3，當(dāng)AD為矩形的對角線時，先求得Q(2,3a)由AQD90°，得，即解得例2 2014年陜西省中考第24題如圖1，已知拋物線C：yx2bxc經(jīng)過A(3,0)和B(0, 3)兩點將這條拋物線的頂點記為M，它的對稱軸與x軸的交點記為N（1）求拋物線C的表達(dá)式

5、；（2）求點M的坐標(biāo)；（3）將拋物線C平移到拋物線C，拋物線C的頂點記為M，它的對稱軸與x軸的交點記為N如果以點M、N、M、N為頂點的四邊形是面積為16的平行四邊形，那么應(yīng)將拋物線C怎樣平移？為什么？圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“14陜西24”，拖動右側(cè)的點M上下運動，可以體驗到，以點M、N、M、N為頂點的平行四邊形有四種情況思路點撥1拋物線在平移的過程中，MN與MN保持平行，當(dāng)MNMN4時，以點M、N、M、N為頂點的四邊形就是平行四邊形2平行四邊形的面積為16，底邊MN4，那么高NN43MN4分兩種情況：點M在點N的上方和下方 4NN4分兩種情況：點N在點N的右側(cè)和左側(cè)滿分解答（1）將A

6、(3,0)、B(0, 3)分別代入yx2bxc，得 解得b2，c3所以拋物線C的表達(dá)式為yx22x3（2）由yx22x3(x1)24，得頂點M的坐標(biāo)為(1,4)（3）拋物線在平移過程中，MN與MN保持平行，當(dāng)MNMN4時，以點M、N、M、N為頂點的四邊形就是平行四邊形因為平行四邊形的面積為16，所以MN邊對應(yīng)的高NN4那么以點M、N、M、N為頂點的平行四邊形有4種情況：拋物線C直接向右平移4個單位得到平行四邊形MNNM（如圖2）；拋物線C直接向左平移4個單位得到平行四邊形MNNM（如圖2）；拋物線C先向右平移4個單位，再向下平移8個單位得到平行四邊形MNMN（如圖3）；拋物線C先向左平移4個單

7、位，再向下平移8個單位得到平行四邊形MNMN（如圖3）圖2 圖3考點伸展本題的拋物線C向右平移m個單位，兩條拋物線的交點為D，那么MMD的面積S關(guān)于m有怎樣的函數(shù)關(guān)系？如圖4，MMD是等腰三角形，由M(1,4)、M(1m, 4)，可得點D的橫坐標(biāo)為將代入y(x1)24，得所以DH所以S圖4例3 2013年上海市松江區(qū)中考模擬第24題如圖1，已知拋物線yx2bxc經(jīng)過A(0, 1)、B(4, 3)兩點 （1）求拋物線的解析式；（2）求tanABO的值；（3）過點B作BCx軸，垂足為C，在對稱軸的左側(cè)且平行于y軸的直線交線段AB于點N，交拋物線于點M，若四邊形MNCB為平行四邊形，求點M的坐標(biāo)圖1

8、 動感體驗請打開幾何畫板文件名“13松江24”，拖動點N在直線AB上運動，可以體驗到，以M、N、C、B為頂點的平行四邊形有4個，符合MN在拋物線的對稱軸的左側(cè)的平行四邊形MNCB只有一個請打開超級畫板文件名“13松江24”，拖動點N在直線AB上運動，可以體驗到，MN有4次機(jī)會等于3，這說明以M、N、C、B為頂點的平行四邊形有4個，而符合MN在拋物線的對稱軸的左側(cè)的平行四邊形MNCB只有一個思路點撥1第（2）題求ABO的正切值，要構(gòu)造包含銳角ABO的角直角三角形2第（3）題解方程MNyMyNBC，并且檢驗x的值是否在對稱軸左側(cè)滿分解答（1）將A(0, 1)、B(4, 3)分別代入yx2bxc，得

9、 解得，c1所以拋物線的解析式是（2）在RtBOC中，OC4，BC3，所以O(shè)B5如圖2，過點A作AHOB，垂足為H在RtAOH中，OA1，所以 圖2所以， 在RtABH中，（3）直線AB的解析式為設(shè)點M的坐標(biāo)為，點N的坐標(biāo)為，那么當(dāng)四邊形MNCB是平行四邊形時，MNBC3解方程x24x3，得x1或x3因為x3在對稱軸的右側(cè)（如圖4），所以符合題意的點M的坐標(biāo)為（如圖3）圖3 圖4考點伸展第（3）題如果改為：點M是拋物線上的一個點，直線MN平行于y軸交直線AB于N，如果M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點M的坐標(biāo)那么求點M的坐標(biāo)要考慮兩種情況：MNyMyN或MNyNyM由yNyM4xx

10、2，解方程x24x3，得（如圖5）所以符合題意的點M有4個：，圖5例4 2012年福州市中考第21題如圖1，在RtABC中，C90°，AC6，BC8，動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點Q從點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD/BC，交AB于點D，聯(lián)結(jié)PQ點P、Q分別從點A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)端點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動的時間為t秒（t0）（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB_，PD_；（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由，并探究如何改變點Q的速度（勻速運動），使

11、四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度；（3）如圖2，在整個運動過程中，求出線段PQ的中點M所經(jīng)過的路徑長圖1 圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“12福州21”，拖動左圖中的點P運動，可以體驗到，PQ的中點M的運動路徑是一條線段拖動右圖中的點Q運動，可以體驗到，當(dāng)PQ/AB時，四邊形PDBQ為菱形請打開超級畫板文件名“12福州21”，拖動點Q向上運動，可以體驗到，PQ的中點M的運動路徑是一條線段點擊動畫按鈕的左部，Q的速度變成1.07，可以體驗到，當(dāng)PQ/AB時，四邊形PDBQ為菱形點擊動畫按鈕的中部，Q的速度變成1.思路點撥1菱形PDBQ必須符合兩個條件，點P在ABC的平分線上，PQ/

12、AB先求出點P運動的時間t，再根據(jù)PQ/AB，對應(yīng)線段成比例求CQ的長，從而求出點Q的速度2探究點M的路徑，可以先取兩個極端值畫線段，再驗證這條線段是不是點M的路徑滿分解答（1）QB82t，PD（2）如圖3，作ABC的平分線交CA于P，過點P作PQ/AB交BC于Q，那么四邊形PDBQ是菱形過點P作PEAB，垂足為E，那么BEBC8在RtABC中，AC6，BC8，所以AB10 圖3在RtAPE中，所以當(dāng)PQ/AB時，即解得所以點Q的運動速度為（3）以C為原點建立直角坐標(biāo)系如圖4，當(dāng)t0時，PQ的中點就是AC的中點E(3，0)如圖5，當(dāng)t4時，PQ的中點就是PB的中點F(1，4)直線EF的解析式是

13、y2x6如圖6，PQ的中點M的坐標(biāo)可以表示為（，t）經(jīng)驗證，點M（，t）在直線EF上所以PQ的中點M的運動路徑長就是線段EF的長，EF圖4 圖5 圖6考點伸展第（3）題求點M的運動路徑還有一種通用的方法是設(shè)二次函數(shù)：當(dāng)t2時，PQ的中點為(2，2)設(shè)點M的運動路徑的解析式為yax2bxc，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，得 解得a0，b2，c6所以點M的運動路徑的解析式為y2x6例5 2012年煙臺市中考第26題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個頂點B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)以A為頂點的拋物線yax2bxc過點C動點P從點A出發(fā)，沿線段AB向點B

14、運動，同時動點Q從點C出發(fā)，沿線段CD向點D運動點P、Q的運動速度均為每秒1個單位，運動時間為t秒過點P作PEAB交AC于點E（1）直接寫出點A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；（2）過點E作EFAD于F，交拋物線于點G，當(dāng)t為何值時，ACG的面積最大？最大值為多少？（3）在動點P、Q運動的過程中，當(dāng)t為何值時，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點H，使以C、Q、E、H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“12煙臺26”，拖動點P在AB上運動，可以體驗到，當(dāng)P在AB的中點時，ACG的面積最大觀察右圖，我們構(gòu)造了和CEQ中心對稱的FQE和ECH，可以體驗到，線段EQ的

15、垂直平分線可以經(jīng)過點C和F，線段CE的垂直平分線可以經(jīng)過點Q和H，因此以C、Q、E、H為頂點的菱形有2個請打開超級畫板文件名“12煙臺26”，拖動點P在AB上運動，可以體驗到，當(dāng)P在AB的中點時，即t=2，ACG的面積取得最大值1觀察CQ，EQ，EC的值，發(fā)現(xiàn)以C、Q、E、H為頂點的菱形有2個點擊動畫按鈕的左部和中部，可得菱形的兩種準(zhǔn)確位置。思路點撥1把ACG分割成以GE為公共底邊的兩個三角形，高的和等于AD2用含有t的式子把圖形中能夠表示的線段和點的坐標(biāo)都表示出來3構(gòu)造以C、Q、E、H為頂點的平行四邊形，再用鄰邊相等列方程驗證菱形是否存在滿分解答（1）A(1, 4)因為拋物線的頂點為A，設(shè)拋

16、物線的解析式為ya(x1)24，代入點C(3, 0)，可得a1所以拋物線的解析式為y(x1)24x22x3（2）因為PE/BC，所以因此所以點E的橫坐標(biāo)為將代入拋物線的解析式，y(x1)24所以點G的縱坐標(biāo)為于是得到因此所以當(dāng)t1時，ACG面積的最大值為1（3）或考點伸展第（3）題的解題思路是這樣的：因為FE/QC，F(xiàn)EQC，所以四邊形FECQ是平行四邊形再構(gòu)造點F關(guān)于PE軸對稱的點H，那么四邊形EHCQ也是平行四邊形再根據(jù)FQCQ列關(guān)于t的方程，檢驗四邊形FECQ是否為菱形，根據(jù)EQCQ列關(guān)于t的方程，檢驗四邊形EHCQ是否為菱形，如圖2，當(dāng)FQCQ時，F(xiàn)Q2CQ2，因此整理，得解得，（舍去

17、）如圖3，當(dāng)EQCQ時，EQ2CQ2，因此整理，得所以，（舍去）圖2 圖3例6 2011年上海市中考第24題已知平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖1），一次函數(shù)的圖象與y軸交于點A，點M在正比例函數(shù)的圖象上，且MOMA二次函數(shù)yx2bxc的圖象經(jīng)過點A、M（1）求線段AM的長；（2）求這個二次函數(shù)的解析式；（3）如果點B在y軸上，且位于點A下方，點C在上述二次函數(shù)的圖象上，點D在一次函數(shù)的圖象上，且四邊形ABCD是菱形，求點C的坐標(biāo)圖1動感體驗請打開幾何畫板文件名“11上海24”，拖動點B在y軸上點A下方運動，四邊形ABCD保持菱形的形狀，可以體驗到，菱形的頂點C有一次機(jī)會落在拋物線上思路點撥1本題最

18、大的障礙是沒有圖形，準(zhǔn)確畫出兩條直線是基本要求，拋物線可以不畫出來，但是對拋物線的位置要心中有數(shù)2根據(jù)MOMA確定點M在OA的垂直平分線上，并且求得點M的坐標(biāo)，是整個題目成敗的一個決定性步驟3第（3）題求點C的坐標(biāo)，先根據(jù)菱形的邊長、直線的斜率，用待定字母m表示點C的坐標(biāo)，再代入拋物線的解析式求待定的字母m滿分解答（1）當(dāng)x0時，所以點A的坐標(biāo)為(0，3)，OA3如圖2，因為MOMA，所以點M在OA的垂直平分線上，點M的縱坐標(biāo)為將代入，得x1所以點M的坐標(biāo)為因此（2）因為拋物線yx2bxc經(jīng)過A(0，3)、M，所以解得，所以二次函數(shù)的解析式為（3）如圖3，設(shè)四邊形ABCD為菱形，過點A作AEC

19、D，垂足為E在RtADE中，設(shè)AE4m，DE3m，那么AD5m因此點C的坐標(biāo)可以表示為(4m，32m)將點C(4m，32m)代入，得解得或者m0（舍去）因此點C的坐標(biāo)為（2，2） 圖2 圖3考點伸展如果第（3）題中，把“四邊形ABCD是菱形”改為“以A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形”，那么還存在另一種情況：如圖4，點C的坐標(biāo)為圖4 例7 2011年江西省中考第24題將拋物線c1：沿x軸翻折，得到拋物線c2，如圖1所示（1）請直接寫出拋物線c2的表達(dá)式；（2）現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為M，與x軸的交點從左到右依次為A、B；將拋物線c2向右也平移m個單位長度，平移后得到新拋物線的頂點為N，與x軸的交點從左到右依次為D、E當(dāng)B、D是線段AE的三等分點時，求m的值；在平移過程中，是否存在以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形的情形？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由圖1動感體驗請打開幾何畫板文