高考數(shù)學(xué)專題講座第3講解題思想方法之建模探討

1、【備戰(zhàn)2013高考數(shù)學(xué)專題講座】第3講：數(shù)學(xué)思想方法之建模思想探討數(shù)學(xué)思想是指人們對數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認識，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式，實際上兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問題。通?；旆Q為“數(shù)學(xué)思想方法”。常見的數(shù)學(xué)思想有：建模思想、歸納思想，分類思想、化歸思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想等。模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，也是體會和理解數(shù)學(xué)各部分之間關(guān)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活（具體情境）中抽象出數(shù)學(xué)問題，或一類數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)換為另一類問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、圖象等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出

2、結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。建立數(shù)學(xué)模型的思路如下圖：其中，一類數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)換為另一類問題的建模是化歸思想的體現(xiàn)，我們將在數(shù)學(xué)思想方法之化歸思想探討中闡述，本講對從現(xiàn)實生活（具體情境）中抽象出數(shù)學(xué)問題的建模進行探討。建立數(shù)學(xué)模型的一般程序為（1）讀 閱讀理解文字表達的題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，這是基礎(chǔ)。 （2）建 將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。 熟悉基本數(shù)學(xué)模型，正確進行建“模”是關(guān)鍵。（3）解 求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論。 求解時要充分注意數(shù)學(xué)模型中元素的實際意義，更要注意巧思妙作，優(yōu)化過程。（4）答 將數(shù)學(xué)結(jié)論還原給實際問題的結(jié)果。結(jié)合2012年全國各地高

3、考的實例，我們從下面五方面進行數(shù)學(xué)思想方法之建模思想的探討：（1）“方程模型”的建立；（2）“不等式模型”和“線性規(guī)劃模型”的建立；（3）“函數(shù)模型”的建立；（4） “圖形模型”的建立；（5） “定積分模型”的建立。一、“方程模型”的建立：對實際問題中的等量關(guān)系問題常需通過建立“方程模型”解決。典型例題：例1：（2012年遼寧省理5分）已知正三棱錐ABC，點P，A，B，C都在半徑為的求面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為 ?！敬鸢浮??！究键c】組合體的線線，線面，面面位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用?！窘馕觥吭谡忮FABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，可以把該正三棱錐看

4、作為一個正方體的一部分，（如圖所示），此正方體內(nèi)接于球，正方體的體對角線為球的直徑EP，球心為正方體對角線的中點O，且EP平面ABC，EP與平面ABC上的高相交于點F。球O到截面ABC的距離OF為球的半徑OP減去正三棱錐ABC在面ABC上的高FP。球的半徑為，設(shè)正方體的棱長為，則由勾股定理得。解得正方體的棱長=2，每個面的對角線長。截面ABC的高為， 。在RtBFP中，由勾股定理得，正三棱錐ABC在面ABC上的高。所以球心到截面ABC的距離為。例2：（2012年江西省理5分）樣本（）的平均數(shù)為，樣本（）的平均數(shù)為，若樣本（，）的平均數(shù)，其中，則的大小關(guān)系為【 】A B C D不能確定【答案】A

5、?！究键c】作差法比較大小以及整體思想，統(tǒng)計中的平均數(shù)?！窘馕觥坑山y(tǒng)計學(xué)知識，可得,，。，。，即。故選A。例3：（2012年湖南省理12分）某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示.一次性購物量1至4件5 至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)（人）x3025y10結(jié)算時間（分鐘/人）123一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)（人）302510結(jié)算時間（分鐘/人）123已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55.（）確定x，y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列

6、與數(shù)學(xué)期望；（）若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨立，求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率.（注：將頻率視為概率）【答案】解：（）由已知，得解得。該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所以收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為總體的一個容量隨機樣本，將頻率視為概率得 。的分布為 X123PX的數(shù)學(xué)期望為 。（）記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時間”，為該顧客前面第位顧客的結(jié)算時間，則 。由于顧客的結(jié)算相互獨立，且的分布列都與X的分布列相同，所以， 。故該顧客結(jié)算前的等候時間為。【考點】分布列及數(shù)學(xué)期望的計算，概率。【解析】（）根據(jù)統(tǒng)計表和100

7、位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55知從而解得，計算每一個變量對應(yīng)的概率，從而求得分布列和期望。 （）通過設(shè)事件，判斷事件之間互斥關(guān)系，從而求得該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率。例4：（2012年全國大綱卷理5分）已知等差數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的前100項和為【 】A B C D【答案】A?！究键c】等差數(shù)列的通項公式和前項和公式的運用，裂項求和的綜合運用。【解析】通過已知，列式求解，得到公差與首項，從而得的通項公式，進一步裂項求和：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由可得。故選A。例5：（2012年福建省理5分） 等差數(shù)列an中，a1a510，a47，則數(shù)列an的公差為【 】A1 B2 C

8、3 D4【答案】B?！究键c】等差數(shù)列的通項?！窘馕觥吭O(shè)等差數(shù)列an的公差為，根據(jù)已知條件得： 即 解得2d4，所以d2。故選B。例6：（2012年北京市理5分）已知為等差數(shù)列，為其前n項和。若，則= ； 【答案】1；。【考點】等差數(shù)列【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等差數(shù)列通項公式和已知，得 。 。例7：（2012年廣東省理5分）.已知遞增的等差數(shù)列滿足，則。【答案】?！究键c】等差數(shù)列?！窘馕觥吭O(shè)遞增的等差數(shù)列的公差為（），由得， 解得，舍去負值，。例8：（2012年浙江省理4分）設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項和為若，則 【答案】?！究键c】等比數(shù)列的性質(zhì)，待定系數(shù)法?！窘馕觥坑么ㄏ禂?shù)法將，兩個式子

9、全部轉(zhuǎn)化成用，q表示的式子：，兩式作差得：，即：，解之得：或 (舍去)。例9：（2012年湖北省理12分）已知等差數(shù)列前三項的和為-3，前三項的積為8.（）求等差數(shù)列的通項公式；（II）若成等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項的和。【答案】解：（）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由題意得 解得或 由等差數(shù)列通項公式可得，或。等差數(shù)列的通項公式為，或。 （）當時，分別為，不成等比數(shù)列；當時，分別為，成等比數(shù)列，滿足條件。 記數(shù)列的前項和為，當時，；當時，；當時， 。當時，滿足此式。綜上， 【考點】等差等比數(shù)列的通項公式，和前n項和公式及基本運算?！窘馕觥浚ǎ┰O(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等差數(shù)列前三項的和為-3，前三項的

10、積為8列方程組求解即可。（II）對（）的結(jié)果驗證符合成等比數(shù)列的數(shù)列，應(yīng)用等差數(shù)列前n項和公式分，分別求解即可。例10：（2012年陜西省理12分）設(shè)的公比不為1的等比數(shù)列，其前項和為，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的公比；（2）證明：對任意，成等差數(shù)列.【答案】解：（1）設(shè)數(shù)列的公比為（），由成等差數(shù)列，得，即。由得，解得。的公比不為1，舍去。 。 （2）證明：對任意，對任意，成等差數(shù)列。【考點】等差等比數(shù)列的概念、通項公式、求和公式及其性質(zhì)?！窘馕觥浚?）設(shè)數(shù)列的公比為（），利用成等差數(shù)列結(jié)合通項公式，可得，由此即可求得數(shù)列的公比。（2）對任意，可證得，從而得證。另解：對任意，所以，對任意，成

11、等差數(shù)列。例11：（2012年天津市理13分）已知是等差數(shù)列，其前項和為，是等比數(shù)列,且=，.()求數(shù)列與的通項公式；()記，證明.【答案】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由=，得。由條件，得方程組，解得。()證明：由（1）得， ； ；由得，。【考點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式?！痉治觥浚ǎ┲苯釉O(shè)出首項和公差，根據(jù)條件求出首項和公差，即可求出通項。（）寫出的表達式，借助于錯位相減求和。還可用數(shù)學(xué)歸納法證明其成立。例12：（2012年湖北省文5分）一支田徑運動隊有男運動員56人，女運動員42人?，F(xiàn)用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的男運動員有8人，則抽

12、取的女運動員有人?！敬鸢浮?。【考點】分層抽樣的性質(zhì)。【解析】設(shè)抽取的女運動員的人數(shù)為，則根據(jù)分層抽樣的特性，有，解得。故抽取的女運動員為6人。二、“不等式模型”和“線性規(guī)劃模型”的建立：對實際問題中的“優(yōu)選”“控制”等問題，常需通過建立“不等式模型”或“線性規(guī)劃”問題解決。典型例題：例1：（2012年四川省理5分）某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品。已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元。公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中，要求每天消耗、原料都不超過12千克。通過合理安排生產(chǎn)計劃，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩

13、種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是【 】A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100元【答案】C?！究键c】線性規(guī)劃的應(yīng)用。【解析】設(shè)公司每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品X桶，乙種產(chǎn)品Y桶，公司共可獲得 利潤為Z元/天，則由已知，得 Z=300X+400Y，且畫可行域如圖所示，目標函數(shù)Z=300X+400Y可變形為Y= 這是隨Z變化的一族平行直線，解方程組得，即A（4,4） 。故選C。例2：（2012年江西省理5分）某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50計，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸韭菜6噸為使一年的種植總利潤

14、（總利潤=總銷售收入總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積（單位：畝）分別為【 】A50，0 B30，20 C20，30 D0，50【答案】B。【考點】建模的思想方法，線性規(guī)劃知識在實際問題中的應(yīng)用?！窘馕觥吭O(shè)黃瓜和韭菜的種植面積分別為x,y畝,總利潤為z萬元，則目標函數(shù)為.線性約束條件為 ，即。如圖，作出不等式組表示的可行域,易求得點。平移直線，可知當直線經(jīng)過點,即時,z取得最大值,且（萬元）。故選B。例3：（2012年山東省理5分）采用系統(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調(diào)查，為此將他們隨機編號為1,2，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9。抽到的3

15、2人中，編號落入?yún)^(qū)間1，450的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間451，750的人做問卷B，其余的人做問卷C。則抽到的人中，做問卷B的人數(shù)為【 】A 7 B 9 C 10 D 15【答案】C。【考點】系統(tǒng)抽樣方法?！窘馕觥坎捎孟到y(tǒng)抽樣方法從960人中抽取32人，將整體分成32組，每組30人。第k組的號碼為，令，且，解得。滿足的整數(shù)k有10個，編號落入?yún)^(qū)間451，750的人的10人。故選C。例4：（2012年遼寧省理5分）在長為12cm的線段AB上任取一點C.現(xiàn)作一矩形，領(lǐng)邊長分別等于線段AC，CB的長，則該矩形面積小于32cm2的概率為【 】(A) (B) (C) (D) 【答案】C?！究键c】函數(shù)模型

16、的應(yīng)用、不等式的解法、幾何概型的計算。【解析】設(shè)線段AC的長為cm，則線段CB的長為()cm。那么矩形的面積為cm2。由，解得。又，所以該矩形面積小于32cm2的概率為。故選C。例5：（2012年陜西省文5分）小王從甲地到乙地的時速分別為和（），其全程的平均時速為，則【 】A. B. = C. << D. =【答案】A?！究键c】基本不等式及其應(yīng)用。【解析】設(shè)從甲地到乙地的路程為，則。 又，。 。故選A。例6：（2012年安徽省文5分）若直線與圓有公共點，則實數(shù)取值范圍是【 】 【答案】?！究键c】圓與直線的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，解絕對值不等式?！窘馕觥吭O(shè)圓的圓心到直線的距離為

17、，則根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系，得。由點到直線的距離公式，得，解得。故選。 三、“函數(shù)模型”的建立：對工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、建設(shè)及實際生活中的極限問題常設(shè)計成“函數(shù)模型”，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值來解決。 典型例題：例1：（2012年北京市理5分）某棵果樹前n年的總產(chǎn)量S與n之間的關(guān)系如圖所示.從目前記錄的結(jié)果看，前m年的年平均產(chǎn)量最高。m值為【 】A.5 B.7 C【答案】C?！究键c】直線斜率的幾何意義?！窘馕觥繐?jù)圖像識別看出變化趨勢，利用變化速度可以用導(dǎo)數(shù)來解，但圖像不連續(xù)，所以只能是廣義上的。實際上，前n年的年平均產(chǎn)量就是前n年的總產(chǎn)量S與n的商：，在圖象上體現(xiàn)為這一點的縱坐標與橫坐標之比。 因此，要使前m

18、年的年平均產(chǎn)量最高就是要這一點的縱坐標與橫坐標之比最大，即這一點與坐標原點連線的傾斜角最大。圖中可見。當n=9時，傾斜角最大。從而m值為9。故選C。例2：（2012年湖南省理13分）某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺某產(chǎn)品的A，B，三種部件的訂單，每臺產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為,（單位：件）.已知每個工人每天可生產(chǎn)部件件，或部件件，或部件件.該企業(yè)計劃安排名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)部件的人數(shù)與生產(chǎn)部件的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k（k為正整數(shù)）.（）設(shè)生產(chǎn)部件的人數(shù)為，分別寫出完成，三種部件生產(chǎn)需要的時間；（）假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時開工，試確定正整數(shù)k的值，使完成訂單任務(wù)的時間最短，并給出

19、時間最短時具體的人數(shù)分組方案.【答案】解：（）設(shè)完成A，B，三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時間（單位：天）分別為由題設(shè)有其中均為1到200之間的正整數(shù)。（）完成訂單任務(wù)的時間為其定義域為。易知，為減函數(shù)，為增函數(shù)。于是（1）當時， 此時 ，由函數(shù)的單調(diào)性知，當時取得最小值，解得。由于，故當時完成訂單任務(wù)的時間最短，且最短時間為。（2）當時， 由于為正整數(shù)，故，此時。易知為增函數(shù)，則。由函數(shù)的單調(diào)性知，當時取得最小值，解得。由于此時完成訂單任務(wù)的最短時間大于。（3）當時， 由于為正整數(shù)，故，此時。由函數(shù)的單調(diào)性知，當時取得最小值，解得。類似（2）的討論，此時完成訂單任務(wù)的最短時間為，大于。綜上所述，當

20、時完成訂單任務(wù)的時間最短，此時生產(chǎn)，三種部件的人數(shù)分別為44，88，68?！究键c】分段函數(shù)、函數(shù)單調(diào)性、最值，分類思想的應(yīng)用。【解析】（）根據(jù)題意建立函數(shù)模型。（）利用單調(diào)性與最值，分、和三種情況討論即可得出結(jié)論。例3：（2012年陜西省理5分）下圖是拋物線形拱橋，當水面在時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬 米.【答案】?！究键c】拋物線的應(yīng)用?！窘馕觥拷⑷鐖D所示的直角坐標系，設(shè)拋物線方程為，當水面在時，拱頂離水面2米，水面寬4米，拋物線過點（2，2，）.代入得，即。拋物線方程為。當時，水位下降1米后，水面寬米。例4：（2012年上海市理14分）海事救援船對一艘失事船進行定

21、位：以失事船的當前位置為原點，以正北方向為軸正方向建立平面直角坐標系（以1海里為單位長度），則救援船恰在失事船的正南方向12海里A處，如圖. 現(xiàn)假設(shè)：失事船的移動路徑可視為拋物線；定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；救援船出發(fā)小時后，失事船所在位置的橫坐標為7. （1）當時，寫出失事船所在位置P的縱坐標. 若此時兩船恰好會合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）【答案】解：（1）時，P的橫坐標，代入拋物線方程得P的縱坐標。 A（0，12）， 。 救援船速度的大小為海里/時。 由tanOAP=，得，救援船速度的方向為北偏東弧度。 （2）設(shè)救

22、援船的時速為海里，經(jīng)過小時追上失事船，此時位置為。 由，整理得。 ，當且僅當=1時等號成立， ，即。 救援船的時速至少是25海里才能追上失事船?！究键c】曲線與坐標，基本不等式的應(yīng)用?！窘馕觥浚?）求出A點和P點坐標即可求出。 （2）求出時速關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式求出極值。例5：（2012年江蘇省14分）如圖，建立平面直角坐標系，軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長度為1千米某炮位于坐標原點已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發(fā)射方向有關(guān)炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標（1）求炮的最大射程；（2）設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為，試問它的橫坐標不超過多少時，炮彈可以擊中它

23、？請說明理由【答案】解：（1）在中，令，得。 由實際意義和題設(shè)條件知。 ，當且僅當時取等號。 炮的最大射程是10千米。 （2），炮彈可以擊中目標等價于存在，使成立， 即關(guān)于的方程有正根。 由得。 此時，（不考慮另一根）。 當不超過6千米時，炮彈可以擊中目標?！究键c】函數(shù)、方程和基本不等式的應(yīng)用。【解析】（1）求炮的最大射程即求與軸的橫坐標，求出后應(yīng)用基本不等式求解。 （2）求炮彈擊中目標時的橫坐標的最大值，由一元二次方程根的判別式求解。例6：（2012年全國課標卷理12分）某花店每天以每枝元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理。（1）若花

24、店一天購進枝玫瑰花，求當天的利潤(單位：元)關(guān)于當天需求量（單位：枝，）的函數(shù)解析式。 （2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：日需求量14151617181920頻 數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率。（i）若花店一天購進枝玫瑰花，表示當天的利潤（單位：元），求的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差；（ii）若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應(yīng)購進16枝還是17枝？請說明理由。【答案】解：（1）當時，； 當時，。 。 （2）（i）可取，。 的分布列為： 。 。 （ii）購進17枝時，當天的利潤為 ，應(yīng)購進17枝?！究键c】

25、列函數(shù)關(guān)系式，概率，離散型隨機變量及其分布列?！窘馕觥浚?）根據(jù)題意，分和分別列式。 （2）取，求得概率，得到的分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望及方差公式求解；求出購進17枝時，當天的利潤與購進16枝時，當天的利潤比較即可。四、 “圖形模型”的建立：對測量問題，可設(shè)計成“圖形模型”，利用幾何知識解決。典型例題：例1：（2012年四川省理5分）如圖，半徑為的半球的底面圓在平面內(nèi)，過點作平面的垂線交半球面于點，過圓的直徑作平面成角的平面與半球面相交，所得交線上到平面的距離最大的點為，該交線上的一點滿足，則、兩點間的球面距離為【 】A、 B、 C、 D、【答案】A?！究键c】球面距離及相關(guān)計算，向量和反三角函數(shù)的

26、運用?！窘馕觥恳?、兩點間的球面距離，由于，故只要求得即可。從而可求出即可求（比較繁）或用向量求解：如圖，以O(shè)為原點，分別以在平面上的射影、所在直線為軸。過點作（即面）的垂線，分別過點作軸的垂線。，。面與平面的角為，即，。 。故選A。五、“定積分模型”的建立：對面積問題，可設(shè)計成“定積分模型”，利用定積分知識解決。典型例題：例1：（2012年湖北省理5分）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示 ，則它與軸所圍圖形的面積為【 】 A. B. C. D.【答案】B?！究键c】待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，定積分在求面積中的應(yīng)用?！窘馕觥肯雀鶕?jù)函數(shù)的圖象用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，然后利用定積分表示所求面積，最后根據(jù)

27、定積分運算法則求出所求： 根據(jù)函數(shù)的圖象可知二次函數(shù)圖象過點（1，0），（1，0），（0，1），用待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)解析式為。設(shè)二次函數(shù)的圖像與軸所圍圖形的面積為，則。故選B。例2：（2012年山東省理4分）與直線xa，y=0所圍成封閉圖形的面積為a，則a= 。【答案】?！究键c】定積分的應(yīng)用。【解析】，解得。例3：（2012年福建省理5分）如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為【 】A. B. C. D.【答案】C?！究键c】定積分的計算，幾何概型的計算。【解析】， 利用幾何概型公式得：。故選C。例4：（2012年湖南省理5分）函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的部分圖

28、像如圖所示，其中，P為圖像與y軸的交點，A,C為圖像與軸的兩個交點，B為圖像的最低點.（1）若，點P的坐標為，則 ;（2）若在曲線段與軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點在ABC內(nèi)的概率為 .【答案】（1）3；（2）。【考點】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，定積分，幾何概率?！窘馕觥浚?），當，點P的坐標為時， 。（2）由圖知，。，曲線段與軸所圍成的區(qū)域面積為。由幾何概率知該點在ABC內(nèi)的概率為。 附加文檔2010年特崗教師招聘考試教育理論綜合知識試卷（滿分：100分）一、單項選擇題（本大題共13道小題，每小題1分，共13分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。請將正確選項前的字母填在題后

29、的括號內(nèi)）1.為適應(yīng)科學(xué)知識的加速增長和人的持續(xù)發(fā)展要求而逐漸形成的教育思想和教育制度稱為( )。A. 終身教育 B. 普通教育 C. 職業(yè)教育 D. 義務(wù)教育“泛智教育思想”，探討“把一切事物教給一切人類的全部藝術(shù)”的教育家是( )。 A. 培根 B. 夸美紐斯 C. 赫爾巴特 D. 贊科夫3.將課程分為基礎(chǔ)型課程、拓展型課程、研究型課程，這是( )。A. 從課程制定者或管理制度角度劃分的B. 從課程的功能角度劃分的C. 從課程的組織核心角度劃分的D. 從課程的任務(wù)角度劃分的4.( )是指根據(jù)各級各類學(xué)校任務(wù)確定的對所培養(yǎng)的人的特殊要求。A. 教育方針 B. 教育目的 C. 教學(xué)目標 D.

30、培養(yǎng)目標5.( )是教師最為常用的研究方法。A. 觀察法 B. 訪談法 C. 實驗法 D. 行動研究法6.( )是指視覺系統(tǒng)分辨最小物體或物體細節(jié)的能力。A. 視角 B. 視敏度 C. 視野 D. 明適應(yīng)7.考察被試個體差異，用于衡量被試相對水平，用于以選拔為目的的測驗是( )。A. 常模參照測驗 B. 標準參照測驗 C. 目標參照測驗 D. 團體參照測驗“三維目標”是( )。 A.知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀 B.知識、情感、意志 C.面向世界、面向未來、面向現(xiàn)代化 D.世界觀、人生觀、價值觀9.作為傳統(tǒng)教育學(xué)派的代表人物，提出了教育的最高目的是道德和性格的完善的教育學(xué)者是( )

31、。A. 杜威 B. 盧梭 C. 赫爾巴特 D. 夸美紐斯10. 在構(gòu)成教育活動的基本要素中，主導(dǎo)性的因素是( )。A. 教育者 B. 受教育者 C. 教育措施 D. 教育內(nèi)容11. 馬克思指出的實現(xiàn)人的全面發(fā)展的唯一方法是( )。A. 理論聯(lián)系實際 B. 教育與社會實踐相結(jié)合C. 知識分子與工農(nóng)相結(jié)合 D. 教育與生產(chǎn)勞動相結(jié)合12. 某學(xué)生在研究事物時，容易受他人態(tài)度的影響，這位學(xué)生的認知方式很可能屬于( )。A. 場依存型 B. 場獨立型 C. 沖動型 D. 沉思型13. 人們對自己能否成功地從事某一行為的主觀判斷稱為( )。 A. 自我期待感 B. 自我歸因感 C. 自我預(yù)期感 D. 自

32、我效能感二、填空題（每空1分，共15分，請把答案填在題中橫線上）14. 教育是對教育專制性、等級化和特權(quán)化的否定。 15. 教育學(xué)作為一門課程在大學(xué)里講授，最早始于德國哲學(xué)家。16. 對學(xué)生是人的屬性的理解包含三個基本的觀點：學(xué)生是主體，學(xué)生是具有思想感情的個體，學(xué)生具有獨特的創(chuàng)造價值。17. 感覺對比是同一感受器接受而使感受性發(fā)生變化的現(xiàn)象，分和。18. 自我控制主要表現(xiàn)為個人對自己行為的和，使之達到自我的目標。19. 教育心理學(xué)是應(yīng)用心理學(xué)的一種，是的交叉學(xué)科。20. 奧蘇貝爾指出，一切稱之為學(xué)校情境中的成就動機，至少包括三方面的內(nèi)驅(qū)力決定成分，其中被看作是學(xué)習(xí)的最重要和最穩(wěn)定的動機。21

33、. 課堂氣氛作為教學(xué)過程中的軟情境，通常是指課堂里某種占優(yōu)勢的與的綜合表現(xiàn)。三、辨析題（本大題共3道小題，每小題5分，共15分）22. 動機強度越高，越有利于取得成功。23. 智力高者，創(chuàng)造力必定高。24. 人類學(xué)習(xí)和學(xué)生學(xué)習(xí)之間是一般與特殊的關(guān)系。四、名詞解釋（本大題共5道小題，每小題2分，共10分）25. 教學(xué)26. 學(xué)校課程27. 有意注意28. 社會抑制29. 學(xué)習(xí)策略五、簡答題（本大題共5道小題，每小題4分，共20分）30. 為什么說學(xué)生具有發(fā)展的可能性與可塑性？31. 促進學(xué)生學(xué)習(xí)遷移的策略有哪些？32. 簡述影響社會知覺的特點。33. 簡述韋納的歸因理論。34. 簡述桑代克的三條

34、主要的學(xué)習(xí)律。六、論述題（11分）35.試述小學(xué)教育的培養(yǎng)目標。七、教育寫作題（16分）36. 先賢蘇格拉底有句名言“美德即知識”，后人對此提出質(zhì)疑“道德可教嗎”。請以“道德是否可教”為話題進行寫作。文體不限，詩歌除外。2010年特崗教師招聘考試教育理論綜合知識試卷參考答案及解析一、單項選擇題1.A解析 終身教育主張在每一個人需要的時刻以最好的方式提供必要的知識和技能。終身教育思想成為很多國家教育改革的指導(dǎo)思想。終身教育是為適應(yīng)科學(xué)知識的加速增長和人的持續(xù)發(fā)展要求而逐漸形成的教育思想和教育制度。2.B解析 在大教學(xué)論中，夸美紐斯用一句話概括了他的泛智教育思想，那就是“把一切事物教給一切人類的全

35、部藝術(shù)”。3.D解析 （1）從課程制定者或管理制度角度，可分為國家課程、地方課程、學(xué)校課程。（）從課程任務(wù)的角度，可分為基礎(chǔ)型課程、拓展型課程、研究型課程。（）從課程功能的角度，可分為工具性課程、知識性課程、技能性課程、實踐性課程。（）從教育階段的角度，可分為幼兒園課程、小學(xué)課程、初中課程、高中課程。（）從課程的組織核心角度，可分為學(xué)科中心課程、學(xué)生中心課程、社會中心課程等。4.D解析 略5.A解析 觀察法是教育科學(xué)研究最基本、最普遍的方法。觀察法是指在自然情境中對人的行為進行有目的、有計劃的系統(tǒng)觀察和記錄，然后對所做記錄進行分析，發(fā)現(xiàn)被觀察者心理活動和發(fā)展的規(guī)律的方法。6.B解析 視敏度在醫(yī)

36、學(xué)上稱為視力，視敏度的大小通常用視角的大小表示。7.A解析 被試在常模參照測驗中的成績必須放到所在團體中，以被試在該團體中的相對位置來評估其能力水平，這一團體即為常模團體。8.A解析 新課程改革中提出的課程“三維目標”是：知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀。9.C解析 赫爾巴特最主要的教育觀點是：教育的最高目的是道德和性格的完善。10. A解析 教育者是構(gòu)成教育活動的基本要素之一，是教育活動的主導(dǎo)因素。11. D解析 馬克思主義人的全面發(fā)展學(xué)說認為：教育與生產(chǎn)勞動相結(jié)合是造就全面發(fā)展的人的途徑和方法。12. A解析 場依存型者的知覺傾向難以擺脫環(huán)境因素的影響，從題干可以看出該同學(xué)容易受他

37、人態(tài)度的影響，很可能就屬于場依存型。13. D解析 自我效能感是指個體對自己的能力能否勝任一項任務(wù)的判斷與評價。二、填空題14. 民主化 15. 康德 16. 能動的 17. 不同刺激同時對比繼時對比 18. 監(jiān)督調(diào)節(jié)19. 教育學(xué)與心理學(xué)結(jié)合而產(chǎn)生 20. 認知內(nèi)驅(qū)力 21. 態(tài)度情感三、辨析題22. 答案要點這種說法是錯誤的。通常動機強度和工作效率之間的關(guān)系不是一種線性關(guān)系，而是成倒“U”型曲線關(guān)系。即在中等強度動機的情況下，個體的工作效率是最高的，動機的最佳水平隨任務(wù)性質(zhì)的不同而不同。在比較容易的任務(wù)中，工作效率隨動機強度的增強而提高，隨著任務(wù)難度的增加，較低的動機水平有利于任務(wù)的完成。

38、23. 答案要點這種說法是錯誤的。智力是人們在認識客觀事物的過程中所形成的認知方面的穩(wěn)定心理特點的綜合；創(chuàng)造力是應(yīng)用新穎的方式解決問題，并能產(chǎn)生新的有社會價值的產(chǎn)品的心理能力。二者的關(guān)系十分復(fù)雜。智力高的人雖然可能比智力低的人更有創(chuàng)造性，但高的智力并不是創(chuàng)造力的充分必要條件。創(chuàng)造力還受到一些非智力因素，如堅持性、自信心、意志力、責(zé)任感、興趣等的影響。創(chuàng)造力是智力因素和非智力因素的結(jié)晶。24. 答案要點這種說法是正確的。人類學(xué)習(xí)和學(xué)生學(xué)習(xí)之間是一般與特殊的關(guān)系，學(xué)生的學(xué)習(xí)既與人類的學(xué)習(xí)有共同之處，但又有其特點：首先，以間接經(jīng)驗的掌握為主線；其次，具有較強的計劃性、目的性和組織性；再次，具有一定程

39、度的被動性。四、名詞解釋25. 教學(xué)是在教育目的規(guī)范下，教師的教和學(xué)生的學(xué)共同組成的一種活動，是學(xué)校全面發(fā)展教育的基本途徑。它包含以下幾個方面：（1）教學(xué)以培養(yǎng)全面發(fā)展的人為根本目的；（2）教學(xué)由教與學(xué)兩方面活動組成； （3）教學(xué)具有多種形態(tài)，是共性與多樣性的統(tǒng)一。26. 學(xué)校課程即各級各類學(xué)校為了實現(xiàn)培養(yǎng)目標而規(guī)定的學(xué)習(xí)科目及其進程的總和。包括以下具體含義： （1）是某級某類學(xué)校所要進行的全部教育內(nèi)容的總和；（2）不僅包括各門學(xué)科的課內(nèi)教學(xué)，還包括課外活動、家庭作業(yè)和社會實踐等活動；（3）不僅規(guī)定各門學(xué)科的目的、內(nèi)容及要求，而且規(guī)定了各門學(xué)科的安排順序、課程分配、學(xué)年編制和學(xué)周的安排。27.

40、 有意注意：有預(yù)定的目的，在必要時需要作出一定意志努力的注意。28. 社會抑制：即個體在從事某一活動時，他人在場干擾活動的完成，抑制活動效率的現(xiàn)象，又稱為社會干擾。29. 學(xué)習(xí)策略是指學(xué)習(xí)者為了提高學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)質(zhì)量，有目的、有意識地制訂的有關(guān)學(xué)習(xí)過程的復(fù)雜方案。它包括學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)活動中有效學(xué)習(xí)的程序、規(guī)則、方法、技巧及調(diào)控方式，可以是內(nèi)隱的規(guī)則系統(tǒng)，也可以是外顯的操作程序和步驟。五、簡答題30. 答案要點學(xué)生是發(fā)展中的人，學(xué)生這一時期，是一個人的生理、心理發(fā)育和定型的關(guān)鍵時期，是一個人從不成熟到基本成熟、從不定型到基本定型的成長發(fā)育時期，也是一個人生長發(fā)育特別旺盛的時期。對于學(xué)生來說，他們身

41、心各個方面都潛藏著極大的發(fā)展可能性，在他們身心發(fā)展過程中所展現(xiàn)出的各種特征都還處在變化之中，具有極大的可塑性。31. 答案要點（1）把各個獨立的教學(xué)內(nèi)容整合起來；（2）強調(diào)簡單的知識技能與復(fù)雜的知識技能、新舊知識技能之間的聯(lián)系；（3）注重學(xué)習(xí)原理、規(guī)則和模型等方面的重要性；（4）對學(xué)生應(yīng)用其他學(xué)科知識解決問題予以鼓勵。32. 答案要點（1）認知者本身的特點。主要包括認知者的經(jīng)驗、認知者的性格和認知者的需要。（2）認知對象本身的特點。認知對象本身的特點是指該對象對于認知者所具有的價值及其社會意義的大小。（3）知覺的情境方面。在社會知覺中，除去知覺的主體、客體之外，知覺的情境也具有重要作用。（4）

42、邏輯推理的定勢作用。定勢在對人的知覺形成中起著重要作用。在對陌生人形成初步印象時，這種作用特別明顯。33. 答案要點韋納等人認為，對于構(gòu)成人的行為的原因，除去按照控制所在分成內(nèi)在的個人因素和外在的環(huán)境因素，還可以按照另一維度即穩(wěn)定性劃分。在內(nèi)部因素里可以分為穩(wěn)定的（如能力）和易變的因素（如努力程度）。在外部因素里可以分為工作難度，這是穩(wěn)定的；機會和運氣，這是不穩(wěn)定的。34. 答案要點（1）準備律。在進入某種學(xué)習(xí)活動之前，如果學(xué)習(xí)者做好了與相應(yīng)的學(xué)習(xí)活動相關(guān)的預(yù)備性反應(yīng)（包括生理的和心理的），學(xué)習(xí)者就能比較自如地掌握學(xué)習(xí)的內(nèi)容。（2）練習(xí)律。對于學(xué)習(xí)者已形成的某種聯(lián)結(jié)，在實踐中正確地重復(fù)這種反應(yīng)

43、會有效地增強這種聯(lián)結(jié)。因而對教師而言，重視練習(xí)中必要的重復(fù)是很有必要的。另外，桑代克也非常重視練習(xí)中的反饋，他認為簡單機械的重復(fù)不會造成學(xué)習(xí)的進步，告訴學(xué)習(xí)者練習(xí)正確或錯誤的信息有利于學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)中不斷糾正自己的學(xué)習(xí)內(nèi)容。（3）效果律。學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過程中所得到的各種正或負的反饋意見會加強或減弱學(xué)習(xí)者在頭腦中已經(jīng)形成的某種聯(lián)結(jié)。效果律是最重要的學(xué)習(xí)定律。桑代克認為學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)某種知識以后，即在一定的結(jié)果和反應(yīng)之間建立了聯(lián)結(jié)，如果學(xué)習(xí)者遇到一種使他心情愉悅的刺激或事件，那么這種聯(lián)結(jié)會增強，反之會減弱。他指出，教師盡量使學(xué)生獲得感到滿意的學(xué)習(xí)結(jié)果顯得尤為重要。六、論述題35. 答案要點（1）德育方面：

44、使學(xué)生初步具有愛祖國、愛人民、愛勞動、愛科學(xué)、愛社會主義和愛中國共產(chǎn)黨的思想感情，初步具有關(guān)心他人、關(guān)心集體、誠實、勤儉、不怕困難等良好品德，以及初步分辨是非的能力，養(yǎng)成講文明、懂禮貌、守紀律的行為習(xí)慣。 （2）智育方面：使學(xué)生具有閱讀、書寫、表達、計算的基礎(chǔ)知識和基本技能，掌握一些自然、社會和生活常識，培養(yǎng)觀察、思維、動手操作和自學(xué)能力，以及有廣泛的興趣和愛好，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。 （3）體育方面：培養(yǎng)學(xué)生鍛煉身體和講究衛(wèi)生的習(xí)慣，具有健康的體魄。 （4）美育方面：培養(yǎng)學(xué)生愛美的情趣，具有初步的審美能力。 （5）勞動技術(shù)教育方面：培養(yǎng)學(xué)生良好的勞動習(xí)慣，會使用幾種簡單的勞動工具，具有初步的生

45、活自理能力。 小學(xué)教育的培養(yǎng)目標是根據(jù)我國社會主義教育的目的、任務(wù)和學(xué)齡初期學(xué)生身心發(fā)展的特點提出來的。小學(xué)教育是基礎(chǔ)教育的基礎(chǔ)。因此，在這個階段為學(xué)生今后全面和諧充分地發(fā)展打下了“初步”基礎(chǔ)，是小學(xué)教育培養(yǎng)目標的重要特征。七、教育寫作題36. 參考例文道德養(yǎng)成途徑之我見古希臘教育家蘇格拉底將美德與知識等同，由知識的可教而得到美德可教。但是美德又不僅僅是知識，美德可以是“知識”以外的東西，是一種人們踐行道德的“見識”。這樣，美德就不可能僅僅通過德育的說教與學(xué)習(xí)就可以獲得。在普羅塔哥拉斯中蘇格拉底也曾提出過“美德不可教”的命題，前后矛盾。道德究竟可教嗎？我認為，道德不是單純由“教”得來的，但道德

46、是在有教育的環(huán)境中養(yǎng)成的。我認為道德養(yǎng)成途徑有三條：基本知識的傳授；專門的道德知識的教授；榜樣的樹立與環(huán)境的習(xí)染。這三條途徑的地位是不同的，其中占首要地位的是榜樣的樹立與環(huán)境的習(xí)染。由于人的社會屬性，無時無刻不處于社會化進程和受到社會各個方面（如家長、教師、同伴、媒體等）的影響，社會氛圍無疑在個體道德認識和情感體驗及價值判斷中占重要地位。關(guān)懷理論注重人的情感的關(guān)注與培養(yǎng)，通過關(guān)懷與理解營造一個充滿溫情和人文精神的環(huán)境，經(jīng)驗會在個體的心理發(fā)展中起重要作用，使個體更有可能在看待和對待他人時充滿溫情。其次是基本知識的傳授。這里的基本知識是指除專門的道德知識以外的知識，并且是指在學(xué)校中進行的有組織地學(xué)

47、習(xí)知識，既包括學(xué)科知識，又包括活動課程知識。雖然各個學(xué)科有各自的主要教育目標，但道德教育必然會不可避免地隱含其中普通課程的學(xué)習(xí)可以在生理上和心理上給學(xué)生造成影響，從而影響其對道德的情感體驗。如對漢語的學(xué)習(xí)，使個體常常會沉醉于其優(yōu)美的文字，產(chǎn)生對祖國獨特文化的熱愛，這種熱愛極有可能在社會行為中轉(zhuǎn)化為維護社會公德的言行，體現(xiàn)了一個人的道德。對一般知識（非德育知識）的學(xué)習(xí)，可以開闊一個人的眼界，轉(zhuǎn)變其思維方式，使其自然而然處于一種高姿態(tài)。因而，對社會甚至整個世界有了更深刻的認識和更宏觀的把握，而不是只看到表面的、暫時的利害和個人的得失，從而提高了個人的道德境界?；顒诱n程不僅可以獲取知識，同時也把道德

48、實踐包含在內(nèi)，使課程的道德教育功能更全面。再次為道德知識的教授。道德知識偏重于“教”而非“育”，是對社會行為規(guī)范的總結(jié)與體系化，是獨立的德育過程。這種專門知識自成體系，是有意的研究結(jié)果，對于培養(yǎng)受教育者道德意識，規(guī)范受教育者行為有一定作用，但易流于教條主義和口號化，使人產(chǎn)生厭煩甚至抵觸情緒。道德是每個人所應(yīng)追求的品質(zhì)，但其養(yǎng)成不是一朝一夕的事，而是一生要做的功課。學(xué)校是學(xué)生的主要活動場所，對于學(xué)生的道德養(yǎng)成，應(yīng)提供良好的氛圍。不但在知識傳授、課程設(shè)置以及學(xué)校氛圍營造上下工夫，而且要給學(xué)生道德發(fā)展創(chuàng)造適宜的環(huán)境。教育心理學(xué)案例分析案例1一位熱情而熱愛教育工作的教師為了使學(xué)生更好地學(xué)習(xí)及提供一個更

49、有情趣的學(xué)習(xí)環(huán)境.新學(xué)年開始了,他對教室進行了一番精心的布置,教室內(nèi)周圍的墻上張貼了各種各樣,生動有趣的圖畫,窗臺上還擺上了花草,植物,使課室充滿了生機.請你判斷,它將產(chǎn)生什么樣的效果為什么分析 這位熱情的教師出發(fā)點雖然很好,但事與愿違,反而產(chǎn)生分散學(xué)生注意,影響學(xué)生集中學(xué)習(xí)的效果.根據(jù)無意注意的規(guī)律,有趣的圖畫,室內(nèi)的花草,植物這些新異的刺激物吸引了學(xué)生的注意,尤其對低年級學(xué)生,他們?nèi)菀装炎⒁廪D(zhuǎn)移到欣賞圖畫,花草植物上,而影響了專心聽課.案例2教師在板書生字時,常把形近字的相同部分與相異部分分別用白色和紅色的粉筆寫出來,目的是什么 符合什么規(guī)律分析 目的是加大形近字的區(qū)別,使學(xué)生易于掌握形近

50、字.(1)符合知覺選擇性規(guī)律:知覺對象與知覺背景差別越大,對象越容易被人知覺.(2)符合感覺的相互作用中同時性對比規(guī)律:紅白形成鮮明的對比,使學(xué)生容易區(qū)別形近字.案例3分析 這些教法對我們有很好的啟發(fā)和借鑒作用.心理學(xué)的知識告訴我們:凡是有意義的材料,必須讓學(xué)生學(xué)會積極開動腦筋,找出材料之間的聯(lián)系;對無意義的材料,應(yīng)盡量賦予其人為的意義,在理解的基礎(chǔ)上進行識記,記憶效果就好.簡言之,教師應(yīng)教學(xué)生進行意義識記.案例4教師在檢查學(xué)生知識掌握的情況時,其試卷為什么不單純用選擇和判斷題,而常常求助于填空,問答題分析 選擇和判斷主要通過再認解答;填空,問答主要通過重現(xiàn)來解答.由于再認和重現(xiàn)的水平不同,人的再認記憶優(yōu)于重現(xiàn)記憶,而且能再認的不一定重現(xiàn).因此僅靠判斷,選擇難以說明記憶已達