數(shù)學(xué)中的運動哲學(xué).

1、數(shù)學(xué)中的運動哲學(xué) 函數(shù)的故事 永恒運動著的世界 天地之間的萬物都在時間長河中流淌著，變化著。從過去變化到現(xiàn)在， 又從現(xiàn)在變化到將來。靜止是暫時的，運動卻是永恒！ 大概再沒有什么能比閃爍在天空中的星星，更能引起遠古人的遐想。他 們想象在天庭上有一個如同人世間繁華的街市，那些本身發(fā)著亮光的星宿一 直忠誠地守護在天宮的特定位置，永恒不動的。后來，這些星星便區(qū)別于月 亮和行星，稱之為恒星。其實，恒星的稱呼是不確切的，只是由于它離我們 太遠了，以至于它們之間的任何運動，都慢得使人一輩子感覺不出來！ 北斗七星，是北天最為明顯的星座之一。在北天的夜空是很容易辨認的。 大概所有的人一輩子見到的北斗七星，總是如

2、同上頁圖那般形狀。人的 生命太短暫了！幾十年的時光，對于天文數(shù)字般的歲月，是幾乎可以忽略不 計的！然而有幸的是：現(xiàn)代科學(xué)的進展，使我們有可能從容地追溯過去和精 確地預(yù)測將來。左圖的 （1）、（2）、（3）是經(jīng)過測算，人類在十萬年前、 現(xiàn)在和十萬年后應(yīng)該看到和可以看到的北斗七星，它們的形狀是大不一樣 的！ 不僅天在動，而且地也在動?；鹕降膰姲l(fā)，地層的斷裂，冰川的推移， 泥石的奔流，這一切都還只是局部的現(xiàn)象。更令人不可思議的是；我們腳下 站立著的大地，也像水面上的船只那樣，在地幔上緩慢地漂移著！ 由此可見，這個世界的一切量，都跟隨著時間的變化而變化。時間是最 原始的自行變化的量，其他量則是因變量。

3、一般地說，如果在某一變化過程 中有兩個變量X，y，對于變量X在研究范圍內(nèi)的每一個確定的值，變量y都 有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么變量X就稱為自變量，而變量y則稱為因變 量，或變量X的函數(shù)，記為： yf（x） 函數(shù)一語，起用于公元1692年，最早見自德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲的著作。 記號f（x）則是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉于公元1724年首次使用的。上面我們所 講的函數(shù)定義，屬于德國數(shù)學(xué)家黎曼（Riemann，18261866）。我國引進函 數(shù)概念，始于1859年，首見于清代數(shù)學(xué)家李善蘭 （18111882）的譯作。 一個量如果在所研究的問題中保持同一確定的數(shù)值，這樣的量我們稱為 常量。常量并不是絕對的。如果

4、某一變量在局部時空中，其變化是那樣地微 不足道，那么這樣的量，在這一時空中便可以看成常量。例如讀者所熟知的 “三角形內(nèi)角和為180°”的定理，那只是在平面上才成立的。但絕對平的 面是不存在的。即使是水平面，由于地心引力的關(guān)系，也是呈球面彎曲的。 然而，這絲毫沒有影響廣大讀者，去掌握和應(yīng)用平幾的這條定理！又如北斗 七星，它前十萬年與后十萬年的位置是大不相同的。但在近幾個世紀內(nèi)，我 們完全可以把它看成是恒定的，甚至可以利用它來精確判定其他星體的位 置！ 談“守株待兔” 守株待兔這則寓言，出自先秦著作韓非子。家喻戶曉，至今已 經(jīng)流傳了二千二百多年。 兩千年來，人們一直認為“待兔”不得，罪在

5、“守株”！其實，抱怨“守 株”是沒有道理的。問題的關(guān)鍵在于兔子的運動規(guī)律。如果通往大樹的路是 兔子所必經(jīng)的，那么 守株”又將何妨？ 然而世界是一個不斷運動的世界。兔子的活動，在時空的長河中，劃出 一條千奇百怪的軌跡，希望這條軌跡能與樹木在時空中的軌線再次相交，無 疑是極為渺茫的，因此，這正是這位農(nóng)人悲劇之所在！ 下面一則更為精妙的例子，可以使人們生動地看到問題的癥結(jié)。 意大利文藝復(fù)興時期的藝術(shù)大師列奧納多·達·芬奇 （Le- onardo da Vinci， 14521519）曾提出過一個饒有趣味的“餓狼撲兔”問題： 一只兔子正在洞穴（C）南面60碼的地方（o）覓食，一只餓

6、狼此刻正在 兔子正東100碼的地方 （A）游蕩。兔子回首間猛然遇見了餓狼貪婪的目光， 預(yù)感大難臨頭，于是急忙向自己的洞穴奔去。說時遲，那時快，惡狼見即將 到口的美食就要失落，立即以一倍于兔于的速度緊盯著兔子追去。于是，狼 與兔之間，展開了一場生與死的驚心動魄的追逐。 問：兔子能否逃脫厄運？ 有人作過以下一番計算： 以O(shè)為原點，OA，OC分別為X，Y軸，以1碼為單位長。則 OA100， OC60。根據(jù)勾股定理，在RtAOC中 AC = OA2 + CO2 = 1002 + 602 = 116.6 這意味著；倘若餓狼沿AC方向直奔兔子洞穴，那么由于兔子速度只有狼 速度的一半，當餓狼到達兔穴洞口時，

7、兔子只跑了 116. 6 2 58. 3碼 距離，離洞口尚差 1. 7碼。這時先行到達洞口的餓狼，完全可以守在洞口， “坐等”美餐的到來！ 以上計算似乎天衣無縫，結(jié)論只能是兔子厄運難逃?？蓪嶋H上這是錯誤 的！餓狼不可能未卜先知地直奔兔穴洞口去“坐守”，它的策略只能是死死 盯住運動中的兔子，這樣它本身也就運動成一條曲線，這條曲線可以用解析 的方法推導(dǎo)出來： 1 3 1 200 y = x2 - 10x2 + 30 3 2 當x = 0時，代入上式得y 66 3 2 這意味著，如若北邊沒有兔子洞，那么當兔子跑到離原點66 碼的B點時， 3 恰被餓狼逮住。然而有幸的是，兔子洞離原點僅有60碼，此時此

8、刻兔子早已 安然進洞了！ 隨著“餓狼撲兔”謎底的解開，“守株待兔”問題似乎明朗了。不料， 后來又有人提出異議，對守株待兔故事的真實性表示懷疑，機靈的兔子 怎么會自己撞到偌大的樹樁上去？它那兩只精靈的大眼睛干什么去了？！ 說得不無道理！不過，要說清這一點，還得從眼睛的功能談起。 眼睛的視覺功能是有趣的：一只眼睛能夠看清周圍的物體，但卻無法準 確判斷眼睛與物體之間的距離。下面的實驗可以證實這一點。 兩只手各拿一支削尖了的鉛筆，然后，閉上一只眼睛，讓兩支筆的筆尖 從遠到近，對準靠擾。這時，你令發(fā)現(xiàn)一種奇怪的現(xiàn)象：任你怎么集中注意 力，兩支筆尖總是交錯而過！然而，如若你睜著雙眼，要想對準筆尖，那是 很

9、容易做到的。 由此可見：用兩只眼看，能準確判斷物體的位置，而用一只眼看卻不能！ 那么，為什么用兩只眼睛便能判定物體的準確位置呢？ 原來，同一物體在人的兩眼中看出來的圖象是不一樣的！左圖是一個隧 道分別在兩眼中的圖象，它們之間的不同是很明顯的。為了證明這兩側(cè)圖形 確是由你左右兩眼分別看出的，你可以把圖a擺在你的面前，然后兩眼凝視 圖中央空隙的地方，如此集中精力幾秒鐘，并全神貫注于一種要看清圖后更 遠的意念。這樣，無須很久，你的眼前便會出現(xiàn)一種神奇的景象：圖中左右 兩側(cè)的形象逐漸靠近，并最終融合在一起，變成了一幅壯觀的立體隧道圖形！ 現(xiàn)在我們回到“守株待兔”這個問題上來。 仔細觀察一下便會發(fā)現(xiàn)，人

10、眼與兔眼的位置是不相同的：人的兩眼長在 前方，相距很近，而兔的兩眼卻長在頭的兩側(cè)。又根據(jù)測定，兔子每只眼睛 可見視野為189°30，而人的每只眼睛可見視野約166°。不過，由于人的 兩眼長在前面，因此兩眼同時能看到的視野有 124°左右。在這一區(qū)域內(nèi)的 物體，人眼能精確判定其位置。而兔眼雖說能看到周圍的任何東西但兩眼重 合視野只有19°，其中前方10°，后方9°。因此兔子只有在很小的視區(qū)內(nèi) 才能準確判斷物體的遠近！ 由圖b還能看出；縱然兔子對來自四方的威脅都能敏銳地感覺，但對鼻 子底下的東西 （圖中“？”號區(qū)域），卻完全看不到！況且在

11、驚慌失措的奔 命中，說不定早已昏了頭腦，撞樹的事情也就難保不會發(fā)生。 對閉眼打轉(zhuǎn)問題的探討 公元1896年，挪威生理學(xué)家古德貝爾對閉眼打轉(zhuǎn)的問題進行了深入的研 究。他收集了大量事例后分析說：這一切都是由于人自身兩條腿在作怪！長 年累月養(yǎng)成的習(xí)慣，使每個人一只腳伸出的步子，要比另一只腳伸出的步子 長一段微不足道的距離。而正是這一段很小的步差X，導(dǎo)致了這個人走出一 個半徑為y的大圈子！ 現(xiàn)在我們來研究一下x與y之間的函數(shù)關(guān)系： 假定某個兩腳踏線間相隔為d。很明顯，當人在打圈子時，兩只腳實際 上走出了兩個半徑相差為d的同心圓。設(shè)該人平均步長為1。那么，一方面 這個人外腳比內(nèi)腳多走路程 d d 2 （

12、y + ）- 2 （y - ）= 2 d 2 2 另一方面，這段路程又等于這個人走一圈的步數(shù)與步差的乘積，即： 2 y 2 d = （ ）·x 21 2dl 化簡得 y = x 對一般的人，d0.1米，10.7米，代入得（單位米） 0.14 y = x 這就是所求的迷路人打圈子的半徑公式。今設(shè)迷路人兩腳差為 0.1毫 米，僅此微小的差異，就足以使他在大約三公里的范圍內(nèi)繞圈子！ 上述公式中變量x，y之間的關(guān)系，在數(shù)學(xué)上稱為反比例函數(shù)關(guān)系。所 k 謂反比例函數(shù)，就是形如y = ，（k為常量）這樣的函數(shù)。它的圖象是兩條 x 彎曲的曲線，數(shù)學(xué)上稱為等邊雙曲線，在工業(yè)、國防、科技等領(lǐng)域都很有用

13、 場。 下面我們看一個有趣的游戲： 在世界著名的水都威厄斯，有個馬爾克廣場。廣場的一端有一座寬 82 米的雄偉教堂。教堂的前面是一片開闊地。這片開闊地經(jīng)常吸引著四方游人 到這里做一種奇特的游戲：把眼睛蒙上，然后從廣場的一端向另一端教堂走 去，看誰能到達教堂的正前面！ 奇怪的是，盡管這段距離只有175米，但卻沒有一名游客能幸運地做到 這一點！全都走成了弧線，或左或右，偏斜到了一邊！ 為什么是這樣呢？我們就先來計算一下，當人們閉起眼睛，從廣場一端 中央的M點抵達教堂CD的最小的弧半徑是多少。如下圖，注意到矩形ABCD 邊BC=175（米），AMMB= 41（米）。那么上述問題，無疑相當于幾何中 2

14、 2 2 BC=R-（R-MB）=MB（2R-MB） 2 175=41×（2R-41） R=394這就是說，游人要想成功，他所走的弧線半徑必須不小于 394 米。那么就讓我們再計算一下，要達到上述要求，游人的兩腳的步差需要什 么限制。根據(jù)公式： 0.14 y = x y = R1 394 0.14 x = 0.00035 （米） 394 這表明游人的兩只腳的步差必須小于0.35毫米，否則是不可能成功的！ 然而，在閉上眼睛的前提下，使兩腳的步差這么小一般人是辦不到的，這便 是在游戲中為什么沒有人能被蒙上眼睛走到教堂前面的道理。 “鐘表定向”的科學(xué)原理 對于在沙漠，草原或雪野上迷了路的人

15、，識別方向無疑是至關(guān)重要的。 我們設(shè)想一位迷失了方向的人，面臨著一種艱難的境地，他在旅行中賴 以辨認方向的羅盤，不幸丟失了！我們試圖幫助他從這一困境中解脫出來。 倘若故事發(fā)生在睛天的夜晚，那是不用愁的，因為北天的那顆極星，可 以準確地為你指示方向。 倘若故事發(fā)生在陰天，情況似乎比較棘手！不過，只要細心觀察周圍， 還是有希望找到一些辨別方向的標志。如北半球樹木的年輪一般是偏心的， 靠北方向（N）年輪較密，而靠南方向（S）年輪較疏，這是由于樹木向陽一 面生長較快的緣故。又如，有時在荒野中我們會看到一些殘垣斷壁、破寺敗 廟，按中國的習(xí)俗，這些建筑物一般是座北朝南的。 假如我們的主人公在一望無際的沙漠

16、中迷失了方向。周圍當然不可能奇 跡般地出現(xiàn)廟宇和樹樁。當空的烈日，正使他陷入一種茫然和絕望！此時， 如果誰能告訴他，他手上戴著的手表，就是一只標準的“指北針”，那么他 一定會為此而欣喜若狂！ 也許你會疑慮重重，然而事實確是這樣！鐘表定向的方法是：把手表放 平，以時針的時數(shù)（一天以24小時計）一半的位置對向太陽，則表面上“12 時”指的方向便是北方。例如表面上指的時間若是早上8時零5分，其時數(shù) 一半的位置大約是“4.04時”，以這個位置對向太陽，則“12時”所指的方 向即為北方。應(yīng)當注意的是，對向必須準確。為了提高精度，我們可以用一 根火柴立在“時數(shù)一半”的地方，讓它的影子通過表面中心，這表明我

17、們已 經(jīng)對準了太陽的方向！ 我想你一定很想知道用鐘表定向的科學(xué)道理，這是不難的！不過要徹底 弄清它，還得先了解地球的自轉(zhuǎn)。 眾所周知，白天的出現(xiàn)和黑夜的降臨，是由于地球的自轉(zhuǎn)。然而，歷史 上有很長一段時間，人們對此半信半疑。遲至公元1805年，一位相當聰明的 法蘭西科學(xué)院院士梅西爾還這樣寫過：“天文學(xué)家要使我相信，我像一只燒 雞穿在鐵棍上那樣旋轉(zhuǎn)，那真是用心枉然！”不過，這位學(xué)者的偏見，并沒 能阻止地球的旋轉(zhuǎn)，從那時起地球又一如即往地轉(zhuǎn)動了六萬七千轉(zhuǎn)！ 公元1851年，法國科學(xué)家傅科在著名的巴黎國葬院，作了一個直接證明 地球旋轉(zhuǎn)的驚人表演：讓一個大鐘擺在地面的沙盤上不斷劃出紋道（左圖）。 雖說

18、這個擺同其他自由擺一樣，不停地在同一方向、同一平面上來回擺動。 但地球及國葬院的地板，都在它底下極其緩慢地轉(zhuǎn)動著，因此沙盤上劃出的 紋道，也一點點一點點由東向西緩慢而均勻地改變了方向。傅科擺的擺面旋 轉(zhuǎn)一周所用的時間與當?shù)氐木暥扔嘘P(guān)：在極點需要24小時時；在巴黎需31 時47分；我國北京天文館的傅科擺，擺面旋轉(zhuǎn)一周約需37時15分。傅科的 實驗使我們親眼見到了地球的均勻自轉(zhuǎn)。地球自轉(zhuǎn)一周，在人們的視覺假象 中，太陽好像繞地球旋轉(zhuǎn)了360°。與此同時，手表面上的時針走了24小時， 繞表心旋轉(zhuǎn)了 720°。由于以上兩者的轉(zhuǎn)動都是均勻的，從而視覺中太陽繞 地球旋轉(zhuǎn)的角度y，與表面

19、上時針旋轉(zhuǎn)的角度x的一半，應(yīng)當是同步的。這 表明，當選定各自計算的起始角后，應(yīng)當有 1 y = x + b 2 1 這是一個一次函數(shù)，它的圖象是一條直線。上式右端x的系數(shù)k = 稱 2 為直線的斜率；b稱為截距，恰等于直線截y軸的有向距離。 將上述一次函數(shù)式變形得： 1 y - x = b （常量） 2 這意味著，視覺中太陽旋轉(zhuǎn)的角與時針旋轉(zhuǎn)的半角之間，相差是一個常 量。這一變量中的常量說明，將“時數(shù)的一半”對向太陽時，手表面的位置 是恒定的，不因時間的推移和太陽的升落而變化。當早晨6點太陽升起在東 方時，我們用“6”的一半“3”去對準東方，那么“12時”所指的方向自然 就是北方了！而這一方向

20、，在太陽與時針同時運動中，保持恒定。這就是“鐘 表定向”的科學(xué)原理。 揭示星期幾的奧秘 公元321年3月7日，古羅馬皇帝君士坦丁，正式宣布采用“星期制”， 規(guī)定每一星期為七天，第一天為星期日，爾后星期一、星期二直至星期六， 爾后再回到星期日，如此永遠循環(huán)下去！君士坦丁大帝還規(guī)定，宣布的那天 日子為星期一。 一星期為什么定為七天？這大約是出自月相變化的緣故。天空中再沒有 別的天象變化得如此明顯，每隔七天便一改舊貌！另外，“七”這個數(shù)，恰 與古代人已經(jīng)知道的日、月、金、木、水、火、土七星的數(shù)目巧合，因此在 古代神話中就用一顆星作為一日的保護神，“星期”的名稱也因之而起。 我想讀者一定很想知道歷史上

21、的某一天究竟是星期幾的奧秘！為了揭開 這個奧秘，我們先從閏年的設(shè)置講起。 我們知道：一個回歸年不是恰好365日，而是365日5小時48分46秒， 或365.2422日。為了防止這多出的0.2422日積累起來，造成新年逐漸往后 推移。因此我們每隔4年時間便設(shè)置一個閏年，這一年的二月從普通的28 天改為29天。這樣，閏年便有366天。不過，這樣補來也不剛好，每百年差 不多又多補了一天。因此又規(guī)定，遇到年數(shù)為“百年”的不設(shè)閏，扣它回來！ 這就是常說的“百年24閏”。但是，百年扣一天閏還是不剛好，又需要每四 百年再補回來一天。因此又規(guī)定，公元年數(shù)為400倍數(shù)者設(shè)閏。就這么補來 扣去，終于補得差不多剛好

22、了！例如，1976、1988這些年數(shù)被4整除的年份 為閏年；而1900、2100這些年則不設(shè)閏；2000年的年數(shù)恰能被400整除， 又要設(shè)閏，如此等等。 閏年的設(shè)置，無疑增加了我們對星期幾推算的難度。為了揭示關(guān)于星期 幾的奧秘，我們還要用到一個簡單的數(shù)學(xué)工具高斯函數(shù)。 公元1800年，德國數(shù)學(xué)家高斯 （Gauss，17771855）在研究圓內(nèi)整點 問題時，引進了一個函數(shù) yx 后人稱之為高斯函數(shù)。 x是表示數(shù)X的整數(shù)部分，如： =3 -4.75=-5 5 - 1 = 0 2 1988=1988 高斯函數(shù)的圖象如左圖，像臺階般，不連續(xù)！ 利用高斯函數(shù)，我們可以根據(jù)設(shè)閏的規(guī)律，推算出在公元X年第y

23、天是 星期幾。這里變量X是公元的年數(shù)；變量y是從這一年的元旦，算到這一天 為止 （包含這一天）的天數(shù)。歷法家已經(jīng)為我們找到了這樣的公式： x - 1 x - 1 x - 1 s = x - 1+ - + + y 4 100 400 按上式求出S后，除以7，如果恰能除盡，則這一天為星期天；否則余 數(shù)為幾，則為星期幾！ 例如，君士坦丁大帝宣布星期制開始的第一天為公元321年3月7日。 容易算得： 320 320 320 s = 320 + - + + 66 4 100 400 = 320 + 80 - 3 + 0 + 66 = 4631(mod 7) 最后一個式子的符號表示463除以7余1。也就是

24、說，這一天為星期一。 這是可以預(yù)料到的，因為當初就是這么規(guī)定的！ 又如，我們共和國成立于1949年10月1日： 1948 1948 1948 s = 1948+ - + + 274 4 100 400 = 1948+ 487 - 19 + 4 + 274 = 2694 6(mod 7) 原來，這一普天同慶的日子為星期六。 公元2000年1月1日，人類跨進了高度文明的21世紀，那么這一天是 星期幾呢？ 1999 1999 1999 s = 1999+ - + + 1 4 100 400 = 1999+ 499 - 19+ 4 + 1 = 2484 6(mod 7) 計算表明：這一天也是星期六！

25、指數(shù)函數(shù)的威力 美國著名的科學(xué)家，避雷針的發(fā)明人，本杰明·富蘭克林（Franklin·B， 17061790）。一生為科學(xué)和民主革命而工作，他死后留下的財產(chǎn)只有一千 英鎊。令人驚訝的是，他竟留下了一份分配幾百萬英鎊財產(chǎn)的遺囑！這份有 趣的遺囑是這樣寫的： “一千英鎊贈給波士頓的居民，如果他們接受了這一千英鎊，那么 這筆錢應(yīng)該托付給一些挑選出來的公民，他們得把這錢按每年 5的利率借 給一些年輕的手工業(yè)者去生息。這款子過了100年增加到131000英鎊。我希 望，那時候用100000英鎊來建立一所公共建筑物，剩下的31000英鎊拿去繼 續(xù)生息100年。在第二個100年末了，這筆

26、款增加到4061000英鎊，其中 1061000英鎊還是由波士頓的居民來支配，而其余的3000000英鎊讓馬薩諸 州的公眾來管理。過此之后，我可不敢多作主張了！” 富蘭克林，留下區(qū)區(qū)的1000英鎊，竟立了百萬富翁般的遺囑，莫非昏了 頭腦？！讓我們按照富蘭克林非凡的設(shè)想實際計算一下。請看下表： A 從而 b = n = (1+ 5%)n n A 0 上式顯然是函數(shù)yax 當a1.05時的特例。在數(shù)學(xué)上形如y = ax 的函 數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)，其中a約定為大于0且不等于1的常量。 1 下圖畫出了指數(shù)函數(shù)y = 2x ，y = 10x ，y = ( )x 的圖象。從圖象容易看出： 2 當?shù)譨大于1時，

27、指數(shù)函數(shù)是遞增的，而且越增越快；反之，當?shù)譨小于1 n 時，指數(shù)函數(shù)遞減。讓我們觀察故事中b=1.05值的變化，不難算得： n 當x = 1時，b 1 = 1.05； 當x = 2 時，b2 = 1.103； 當x = 3時，b3 = 1.158； 當x = 100時，b 100 = 131.501。 這意味著，上面的故事中，在頭一個100年末富蘭克林的財產(chǎn)應(yīng)當增加 到 100 A 100 = 1000×1.05 = 131501 （英鎊） 這比富蘭克林遺囑中寫的還多出501英鎊哩！在第二個100年末，他擁 有的財產(chǎn)就更多了 A = 131501×1.05100 = 414

28、2421 （英鎊） 100 可見富蘭克林的遺囑在科學(xué)上是站得住腳的！ 由此可見，指數(shù)函數(shù)的威力。 歷史上因此而吃了虧的，也不乏其人，大名鼎鼎的拿破侖就是其中的一 位。 公元1797年，當拿破侖參觀國立盧森堡小學(xué)的時候，贈送了一束價值三 個金路易的玫瑰花，并許諾說，只要法蘭西共和國存在一天，他將每年送一 束價值相等的玫瑰花，以作兩國友誼的象征。此后，由于火與劍的征戰(zhàn)，拿 破侖忘卻了這一諾言！當時間的長河向前推進了近一個世紀之后，公元1894 年，盧森堡王國鄭重向法蘭西共和國提出了“玫瑰花懸案”要求法國政府在 拿破侖的聲譽和1375596法郎的債款中，二者選取其一。這筆高達百萬法郎 的巨款，就是三

29、個金路易的本金，以5的年利率，在97年的指數(shù)效應(yīng)下的 產(chǎn)物。這一歷史公案使法國政府陷入極為難堪的局面，因為只要法蘭西共和 國繼續(xù)存在，此案將永無了結(jié)的一天！ 不過，指數(shù)效應(yīng)更多是積極的方面。 指數(shù)函數(shù)不僅在數(shù)學(xué)、物理、天文上應(yīng)用極廣，而且在其他自然科學(xué)甚 至社會科學(xué)上也大有用場！以指數(shù)規(guī)律變化的自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象，有一種 極為重要的特性：即量A的變化量A，總是與量A本身及其變化時間t成 正比 A At t 事實上，令 （A=ft）=a，則 t+t t t t A=a-a=a（a-1） at - 1 = At ( ) t 數(shù)學(xué)上可以證明，上式右端括號內(nèi)的量，當變化時間很短時，趨向一個 極限K（實

30、際上等于Ina），從而證得： AKAt 反過來，數(shù)學(xué)家也已經(jīng)證明：如果量A的變化量與它本身及變化時間成 正比 （比例系數(shù)為K），那么此時必有 kt A=Ae 0 這里A0 是變量 A的初始值（t 0 ），數(shù) e 2.718則是一個與 圓周率一樣重要的數(shù)學(xué)常量。 對數(shù)的發(fā)現(xiàn)過程 16世紀的歐洲隨著資本主義的迅速發(fā)展，科學(xué)和技術(shù)也一改中世紀停滯 不前的局面。天文、航海、測繪、造船等行業(yè)不斷向數(shù)學(xué)提出新的課題。有 一個集中暴露出來令人頭痛的問題是：在星體的軌道計算，船只的位置確定， 大地的形貌測繪，船舶的結(jié)構(gòu)設(shè)計等一系列課題中，人們所遇的數(shù)據(jù)越來越 寵雜，所需的計算越來越繁難！無數(shù)的乘除、乘方、開方

31、和其他運算，耗費 了科學(xué)家們大量的極為寶貴的時間和精力。 面對這種局面，數(shù)學(xué)家們終于出來急其所難，各種門類的表格：平方表、 立方表、平方根表、圓面積表等等，便應(yīng)運而生，人類就這么在表格的海洋 中茫然地行駛了半個多世紀，直至16世紀40年代，才迎來了希望的曙光。 公元 1544年，著名的哥尼斯堡大學(xué)教授，德國數(shù)學(xué)家斯蒂費爾 （Stiefel，14871567），在簡化大數(shù)計算方面邁出了重要的一步。在普 通算術(shù)一書中，斯蒂費爾宣布自己發(fā)現(xiàn)了一種有關(guān)整數(shù)的奇妙性質(zhì)，他認 為：“為此，人們甚至可以寫出整本整本的書” 那么，斯蒂費爾究竟發(fā)現(xiàn)了什么呢？原來他如同下表比較了兩種數(shù)列： 等比數(shù)列和等差數(shù)列。

32、斯蒂費爾把等比數(shù)列的各數(shù)稱為“原數(shù)”，而把等差數(shù)列的對應(yīng)數(shù)稱為 “代表者”（即后來的“指數(shù)”）。他驚奇地發(fā)現(xiàn)：等比數(shù)列中的兩數(shù)相乘， 其乘積的“代表者”，剛好等于等差數(shù)列中相應(yīng)兩個“代表者”之和；而等 比數(shù)列中的兩數(shù)相除，其商的“代表者”，也恰等于等差數(shù)列中兩個“代表 者”之差。斯蒂費得出的結(jié)論是：可以通過如同上面那樣的比較，把乘除運 算化為加減運算！ 可以說斯蒂費爾已經(jīng)走到了一個重大發(fā)現(xiàn)的邊緣。因為他所講的“代表 者”y，實際上就是現(xiàn)在以2為底x的對數(shù) v=logx 2 而使斯蒂費爾驚喜萬分的整數(shù)性質(zhì)就是： log （M ·N ）= log M + log N 2 2 2 M lo

33、g （ ）= log M - log N 2 N 2 2 歷史常常驚人地重復(fù)著這樣的人和事：當發(fā)現(xiàn)已經(jīng)降臨到眼皮底下，只 緣一念之差，卻被輕輕錯過！斯蒂費爾大約就是其中令人惋惜的一個。他困 惑于自己的表格為什么可以算出 16×2564096，卻算不出更簡單的 16× 250=4000。他終于沒能看出在離散中隱含著的連續(xù)，而是感嘆于自己研究問 題的“狹窄”。從而在偉大的發(fā)現(xiàn)面前，把腳縮了回去！ 正當斯蒂費爾感慨于自己智窮力竭之際，在蘇格蘭的愛丁堡誕生了一位 杰出人物，此人就是對數(shù)的發(fā)明人納白爾（Napier， 15501617）。 納白爾出身于貴族家庭，天資聰慧，才思敏捷，從

34、小又受家庭的良好熏 陶，十三歲便進入了圣安德魯斯大學(xué)的一個學(xué)院學(xué)習(xí)。十六歲出國留學(xué)，學(xué) 識因之大進。公元1571年，納白爾抱志回國。先是從事于天文、機械和數(shù)學(xué) 的研究，并深為復(fù)雜的計算所苦惱。公元1590年，納白爾改弦更張，潛心于 簡化計算的工作。他匠心獨運，終于在斯蒂費爾的足跡上，向前邁出了具有 劃時代意義的一步！ 說來也算簡單！納白爾只不過是讓任何數(shù)都找到了與它對應(yīng)的“代表 者”。這相當于在斯蒂費爾離散的表中，密麻麻地插進了許多的中間值，使 人看去宛如無數(shù)的緯線穿行于經(jīng)線之中，顯示出布匹般的連續(xù)！ 公元1594年，納白爾開始精心編制可供實用的對數(shù)表。在經(jīng)歷了7300 個日日夜夜之后，一本厚

35、達200頁的八位對數(shù)表終于誕生了！公元1614年， 納白爾發(fā)表了關(guān)于奇妙的對數(shù)法則的說明一書，書中論述了對數(shù)的性質(zhì)， 給出了有關(guān)對數(shù)表的使用規(guī)則和實例。納白爾終于用自己20年的計算，換來 了人世間無數(shù)壽命的延續(xù)！法國大數(shù)學(xué)家拉普拉斯說得好：“如果一個人的 生命是拿他一生中的工作多少來衡量，那么對數(shù)的發(fā)明，等于延長了人類的 壽命！” 不幸的是，納白爾的工作雖然延長了他人的壽命，卻沒能使自己的生命 得以延長。就在納白爾著作發(fā)表后的第三個年頭，公元1617年，這位永受后 人緬懷的杰出數(shù)學(xué)家，終因勞累過度，不幸謝世。 納白爾的對數(shù)發(fā)明頗具傳奇性。當時的歐洲，代數(shù)學(xué)仍處于十分落后的 狀態(tài)，甚至連指數(shù)概念

36、尚未建立。在這種情況下先提出對數(shù)概念，不能不說 是一種奇跡！納白爾的對數(shù)是從一個物理上的有趣例子引入的：兩個質(zhì)點A、 B有相同的初速度v。質(zhì)點A在線段OR上作變速運動，其速度與它到R的距 離成正比；質(zhì)點 作勻速直線運動。今設(shè)B AR X， OBy，試求X，y 之間的關(guān)系？ 納白爾經(jīng)過仔細分析后發(fā)現(xiàn)；質(zhì)點A的瞬時末速度是一個無窮遞縮等比 數(shù)列 1 1 1 1 1 2 3 i v，v （1- ），v （1- ），v （1- ），v （1- ）， n n n n 從而量x在變化時也可以看成是一個無窮遞縮等比數(shù)列；而Y在變化時顯然 可以看成是一個無窮遞增的等差數(shù)列0，v，2v，3v，4v，tv，這樣一

37、 來，在變量y與變量X之間便建立起了函數(shù)關(guān)系。納白爾把y稱為X的對數(shù)， 用現(xiàn)在的式子來寫就是： ê 1 y = log1 x = lná ? E x e 這里符號“l(fā)n”表示“自然對數(shù)”，對數(shù)的底就是上一節(jié)故事中講的e。 這與今天課本上講的“常用對數(shù)”有所不同，后者是以10為底的。 在數(shù)學(xué)上，對數(shù)函數(shù)的一般表示式為 y = loga x 改寫成指數(shù)形式便有 y x=a 在上式中，如果把變量X看成變量y的函數(shù)，并改用常用的函數(shù)和自變 量符號，則有 x y=a 這樣得到的函數(shù)，我們稱為原函數(shù)的反函數(shù)。兩個互為反函數(shù)的圖象， 在同一坐標系里，關(guān)于第、象限的角平分線為軸對稱。反函數(shù)

38、圖象的這 一特性，在上圖中可以看得很明顯。 對數(shù)是十七世紀人類最重大的發(fā)現(xiàn)之一。在數(shù)學(xué)史上，納白爾的對數(shù)、 笛卡兒的解析幾何及牛頓萊布尼茲的微積分三者齊名，被譽為“歷史上最重 要的數(shù)學(xué)方法”！ 對數(shù)于1653年傳入我國。公元1664年，我國學(xué)者薛風祚 （？1680） 編譯了天學(xué)會通叢書。在國內(nèi)，這是第一部介紹對數(shù)和對數(shù)表的著作。 不朽的功績 斯蒂費爾的“指數(shù)”思想，實際上早在2200年前就已有過！公元前3 世紀，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（Archimedes，公元前287前212），在他名 著計砂法中，就曾研究過以下兩個數(shù)列： 2 3 4 5 1， 10， 10， 10，10， 10，； 0，1，

39、 2， 3， 4， 5，。 并發(fā)現(xiàn)了冪的運算與指數(shù)之間的聯(lián)系。然而，在阿基米德死后，因后繼 無人而湮滅了！ 在斯蒂費爾發(fā)現(xiàn)對數(shù)后不到60年，在英吉利海峽兩邊的不同國度里，卻 幾乎同時出現(xiàn)兩位新秀：一位是納白爾，另一位是聰明絕頂?shù)娜鹗跨姳斫硺?爾格。后者是著名天文學(xué)家開普勒的助手。出于天文計算的需要，他于公元 1611年，制成了世界上第一張以e為底的四位對數(shù)表。 不過，納白爾的工作是無與倫比的。他的非凡成果，驚動了一位住在倫 敦的天文數(shù)學(xué)家，牛津大學(xué)教授布里格斯 （Briggs，15611631）。布里格 斯幾乎陶醉于納白爾奇特而精妙的對數(shù)理論，渴望能親睹這位創(chuàng)造者的容 顏！ 公元1616年初夏

40、，布里格斯去信給納白爾，希望能有機會親自拜訪他。 納白爾久仰布里格斯大名，立即回信，欣然應(yīng)允，并訂下了相會的日期。不 久，布里格斯便登上了前往愛丁堡的旅途。 倫敦與愛丁堡之間路遙千里，而當時最快的交通工具只有馬車，雖然日 夜兼程，也需要數(shù)天時間。而兩位科學(xué)家卻早已心馳神往，大家都極為盼望 著這次會面時刻的到來！ 俗話說得好：“佳期難得，好事多磨”，偏偏在這節(jié)骨眼上，布里格斯 的馬車中途因故拋錨。布里格斯心急如焚，卻又無可奈何！此后雖則加速行 程，但終因此番耽擱，以致沒能如期抵達愛丁堡。 話說另一頭，在約定的日子里，納白爾左等右等，終不見布里格斯的身 影，焦慮和不安使這位年近古稀的老人，似乎顯得

41、更加蒼老！時間過去了一 天，正當納白爾望眼欲穿之際，突然門外響起了陣陣鈴聲。納白爾喜出望外， 急忙向大門奔去 。當風塵仆仆的布里格斯出現(xiàn)在納白爾面前時，兩位 初次見面的數(shù)學(xué)家，像老朋友般緊緊地握住對方的雙手，嘴唇顫動著，卻久 久說不出話來！ 在很長一段時間之后，布里格斯終于先開了口：“此番我樂于奔命，唯 一的目的是想見到您本人，并想知道，是什么樣的天才使您第一次發(fā)現(xiàn)了這 個對天文學(xué)妙不可言的方法?！?這次會面使兩位數(shù)學(xué)家結(jié)成了莫逆之交。布里格斯根據(jù)自己在牛津大學(xué) 的講學(xué)經(jīng)驗，建議納白爾把對數(shù)的底數(shù)改為10，主張 logl=lgl=0 10 log10=lg10=1 10 這樣，一個數(shù)N的對數(shù)，

42、便可明確地分成兩個部分：一部分是對數(shù)首數(shù)， 只與數(shù)N的整數(shù)位數(shù)有關(guān)；另一部分是對數(shù)尾數(shù)，則由數(shù)N的有效數(shù)字確定。 這就是說，若 loN = a×××× a = lgN I 則ì 0××××= lg N - lgN ó 有道是：“英雄所見略同?！奔{白爾對布里格斯的建議大為贊賞，認為 這種以10為底的對數(shù)，對于通常的計算更為實用！ 就這樣，納白爾又以全部的精力投入了新對數(shù)表的制作，直至不幸逝世。 納白爾的未竟事業(yè)，由布里格斯繼承了下去。經(jīng)歷了艱難的八年之后， 公元1624年，世界上第一本14位的常用

43、對數(shù)表終于問世。不過，布里格斯 的對數(shù)表實際上并不完全，只有12000及90000100000各數(shù)的對數(shù)。這 一對數(shù)表的空隙部分，四年后由荷蘭數(shù)學(xué)家符拉克補齊。 隨著對數(shù)應(yīng)用的擴大，各類精密度更高的對數(shù)表，像雨后春筍般相繼出 現(xiàn)，蔚為壯觀！其中有20位的；48位的；61位的；102位的；而如今雄踞 位數(shù)榜首的，是亞當斯的260位對數(shù)！ 隨著對數(shù)表位數(shù)的增加，表格的厚度也越來越厚：四位對數(shù)表只需3頁； 5位對數(shù)表就要30頁；而6位對數(shù)表則需182頁，面對著這一本厚似一 本的表格，人們終于引起了反思。實踐使他們意識到，表的位數(shù)如果多于計 算量的度量精度，那么表的位數(shù)越高，造成的時間和精力的浪費也就越大！ 于是，在實用的指導(dǎo)下，人們又逐漸從高位對數(shù)表，退回到低位對數(shù)表上來。 目前全世界的教科書，采用的幾乎都是四位對數(shù)