中學教研數(shù)學

1、觀念教法基礎面對高考改革的一點思考何鼎潮（浙江謁暨市教委教研室311800）伴隨素質(zhì)教育而來的高考改革，不僅有力地推動了高中課程設置、教學內(nèi)容和教學方法的改革，而且對中小學的學科教學起了積極的導向作用.數(shù)學是基礎學科，新高考在突出考查數(shù)學的基礎性、通用性和工具性的同時，要側重考查學生的邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力以及運用所學數(shù)學知識、方法分析問題和解決問題的能力，特別對數(shù)學學科內(nèi)外知識的聯(lián)系提出了更高要求.面對教育制度如此重大改革，作為具體教學工作執(zhí)行者的數(shù)學教師，更應統(tǒng)一思想，轉(zhuǎn)變觀念、更新教法，迎接高考改革帶來的機遇與挑戰(zhàn).1 轉(zhuǎn)變觀念，重在素質(zhì)求發(fā)展首先要切實轉(zhuǎn)變教育觀念，中小學

2、是基礎教育，其根本宗旨是為提高全民族素質(zhì)打基礎.要面向全體學生，促進學生積極主動、生動活潑地發(fā)展；要發(fā)展學生個性，培養(yǎng)學生的科學態(tài)度、創(chuàng)新精神和實踐能力，歸根到底是“以學生的發(fā)展為本”的教學，而不是“寶塔型”、“淘汰式”的應試教育.其次要轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教學觀念，把教學單純地看作是教會學生讀書，認為讀書數(shù)量的多少與學到的知識本領是簡單的線性關系，“學好數(shù)理化，走遍天下都不怕”就是最典型的一例.其實不然，單純的讀書有其局限性，對后人來說，書本知識只是間接經(jīng)驗，不通過實踐檢驗，不與現(xiàn)實的生產(chǎn)、生活實際相聯(lián)系是不能成為自己真正掌握的東西，可以肯定教學是十分復雜的多元結構，新的教學應當是形成知識、能力、方法

3、、應用直至最高境界創(chuàng)新的過程.第三，學習數(shù)學的方法也不再是“一支筆一張紙”，學好數(shù)學的最佳方法也不只是“做數(shù)學”.近兩年的高考數(shù)學試題已經(jīng)宣告搞“題海戰(zhàn)術”占不了便宜.新高考在內(nèi)容上重視考查學生對基礎知識的理解、應用和分析綜合能力；在形式上突出科目的選擇性、開放性.所以數(shù)學學習既要重視基礎知識，基本技能和基本方法，更應注意教學思想、教學方法的應用，誠然，學習數(shù)學離不開解題，但解題不在多而在精，要有目的，有意識地利用解題串聯(lián)已學知識，提高解題能力，也就是說在數(shù)學解題教學中，求得結論不是唯一目的，重要的是加強對結論之求證過程的深入思考、分析與研究.2 更新教法、強調(diào)過程求開放依據(jù)教材、大綱要求組織

4、的數(shù)學教學，當然離不開“以本為本，以綱為綱”的原則，新高考推出高考內(nèi)容和形式改革方案的7項改革中的第2條是命題“依據(jù)中學教學大綱，但不拘泥于教學大綱，在考查學科能力的同時，注意考查跨學科的綜合能力和學科知識滲透的能力”.這里“不拘泥于”教學大綱，并不是否定教學大綱是教與學的依據(jù).只是從素質(zhì)教育的高度對學科教學提出了更高的要求.所以，改革數(shù)學教學，優(yōu)化教學過程，提高數(shù)學教學質(zhì)量是當務之急，國內(nèi)有關數(shù)學教育專家提出“開放數(shù)學教育”其目的正是為了更好地培養(yǎng)學生的數(shù)學能力、適應社會的能力以及創(chuàng)新能力.從目前基礎教育的實際出發(fā)，本人認為可從以下3個方面做起.2.1 強調(diào)過程教學特別是數(shù)學知識的發(fā)生過程教

5、學.數(shù)學是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關系的學科，各塊知識或章節(jié)的研究體系不盡相同，學生如果不了解一塊內(nèi)容的研究背景、研究對象、研究范圍和研究方法等等，只是孤立地就知識講知識，就題論題，勢必影響學生對知識的理解、掌握.例如“e-M這一極限定義，只是抽象地照本宣科，不把研究對象是解決一個描述“無限接近于某一常數(shù)”這一實質(zhì)講清楚，即使學生背得滾瓜爛熟，仍然不能領悟這一定義的精辟所在；又譬如反三角函數(shù)概念，如教師一開始就強調(diào)反函數(shù)存在的必要條件，把反三角函數(shù)概念的形成過程講得清清楚楚，就能讓學生今后一見到反三角函數(shù)就先想到它的定義域、值域，幾乎能在學生頭腦里產(chǎn)生條件反射似的.另外公式的推導過程、解題的

6、思考過程、結論的探求過程等都應予以充分重視.2.2 重視教材內(nèi)涵恰當?shù)靥幚斫滩淖屪约旱恼n堂教學組織、安排更符合學生的認識規(guī)律，使學生的能力得到發(fā)展和提高，是每位數(shù)學教師的常規(guī)工作.隨著素質(zhì)教育的深入，要使課堂教學充滿活力，讓課堂體現(xiàn)主動性、實踐性、綜合性、探索性和創(chuàng)造性，需要教師充分挖掘教材中有教學價值、應用價值的知識點，特別是對那些與相關學科互相滲透、彼此聯(lián)系的知識作點適當?shù)难由臁⑼貙捇蛴羞x擇地補充，給學生以新思路、新方法，達到開闊視野，培養(yǎng)創(chuàng)新意識的目的.例如：在x>0,y>0,且x+y=1的條件下推得一系列不等式：2x+y1xyc?+=一飛?245,(2)?1?1?x+y咨+

7、?xy°4+sy+-4=1+xey?2?<+y?Sxyc ?+ =e ?2?1?x+?1 Se4+?y + 4= S+ > x e y? xy ?2.3加強數(shù)學應用等.是否可提出更一般的結論，讓學生去思考、去探求，譬如：x>0,y>0,且x+y=S,下列結論是否一定成立？對S有限制嗎?2,(3)4S+42，(4)S數(shù)學源于實踐，高于實踐，又服務于實踐.面向21世紀的中小學數(shù)學教學應當是為學生的終身發(fā)展奠定良好的基礎，要求學生學會運用數(shù)學思維方法去觀察、分析現(xiàn)實社會，去解決日常生活中的實際問題，有人稱數(shù)學是一門技術，在競爭日趨激烈的現(xiàn)實世界，數(shù)學技術用得好，的確

8、是取勝之法寶所以加強數(shù)學應用能力的培養(yǎng)不只是高考命題的熱點，更是國際數(shù)學教育的熱門話題.作為數(shù)學教學工作者，首先要充分利用現(xiàn)行教材中有關應用性知識的作用，有的可以直接利用.如：函數(shù)概念之后的細胞分裂問題，利用不等式求最值，幾何（包括解析幾何）中的插圖等；有的則可以引申，如在二項式定理之后講點近似計算；復數(shù)幾何意義講完聯(lián)系一下力的合成等等；也可以自編應用題，如講完比較法證明不等式，補充如下應用題：一船在靜水中航行速度為V,水速為V(V>V),試比較：船順水航00行a公里后逆水返回原地所需的時間與船在靜水中往返同樣距離所需時間的大小.其實，本題是順水、逆水、靜水3種行船.設順水、逆水、靜水所

9、行路程分別為S,S,S+S,則所行時間分別為：1212-S1=t,v+v10S2VV0S = S時，12+ S2V -V0t +t與T有可能相等嗎? 12先提出第一個思考題：當顯然：當S=$時，恒有12S1V+0t1+t2>T.然后讓學生思考第二個問題：設計一種新的走法，使t+t=T12S=(V+V)t,101S=(V-V)t,202S+S=VT-12(v+v)t+(vV)t=vt0102V(t+t)+V(t-t)=VT.12012要使t+t=T只有t=t.1212而當t=t時，12S_(V+V)t_V+VS1(V)V)tV-V0202所以新的走法是順水與逆水所走的路程之比等于其速度比.

10、這樣的應用題既能激發(fā)興趣，又有利于引導學生去關心和解決一些實際問題.同時，要讓學生從每一個實際問題解決過程中去體會解數(shù)學應用題的方法、步驟.特別是實際問題數(shù)學化、抽象化主要手段一一數(shù)學建模的常見類型，主要的數(shù)學思想、方法要積極引導，不斷滲透，使學生頭腦里儲存一定數(shù)量基本“數(shù)學模式”.當然，解數(shù)學應用題的第一關是閱讀理解，準確領會題意，抓住數(shù)學實質(zhì).至于如何培養(yǎng)和提高學生的閱讀能力是大有文章可做的，只要教學工作者有心，堅持不懈地訓練，學生的閱讀水平必將日趨提高3立足基礎，注重能力求創(chuàng)新注重雙基是我國數(shù)學教學的特色和成功之處.面對高考改革這樣的大風大浪，作為數(shù)學教育工作者，頭腦要清醒，態(tài)度要積極而

11、慎重.切不可忽視學科的基礎知識、基本技能和基本的數(shù)學思想方法，而大搞以“創(chuàng)新精神為中心”，“以研究探索為中心”的教學模式，要知道民族素質(zhì)提高的關鍵在基礎.一個人的成長發(fā)展離不開基礎.所謂創(chuàng)新精神、綜合能力只能在扎實的基礎知識上掌握相關學科的前沿知識，再運用創(chuàng)新思維方能舉一反三予以體現(xiàn).任何離開基礎的想象、創(chuàng)新只能是不著邊際的空想，或者是低層次的小打小鬧.新高考鑒于目前基礎教育現(xiàn)狀，綜合能力的測試命題既包括考查學生所學學科基礎知識的掌握程度和運用這些基礎知識分析問題，解決問題的能力，也包括運用幾門學科知識分析解決問題的能力，而不是學科知識點的交叉作為綜合測試的立足點.所以我們的數(shù)學教學必須堅持“

12、以數(shù)學知識為中心”的教學模式.繼續(xù)弘揚我們已經(jīng)得心應手的傳統(tǒng)教學中應該弘揚的東西，如重視數(shù)學知識系統(tǒng)性、概括性、嚴謹性.提高學科素質(zhì)教育的主渠道課堂教學的效率，夯實學生基礎，以不變應萬變.同時，也要適當?shù)剡M行以探索、研究、創(chuàng)新為中心的課堂教學新模式的嘗試，提高學生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力.逐步形成一種切實可行的數(shù)學教學觀，即立足基礎，培養(yǎng)能力求創(chuàng)新.堅決摒棄那種“教條條、背條條、考條條，考試之后忘條條”的應試教學觀.談數(shù)學學習中的反思邵迎春(浙江富陽市新登中學311404)古語云：學而不思則罔，思而不學則殆.思想家韓愈也曾經(jīng)說過：業(yè)精于勤荒于嬉，行成于思毀于隨.數(shù)學教學除了要教學生學會數(shù)學，更重要的

13、是教學生“會學”數(shù)學.而“思考”則是衡量數(shù)學教學質(zhì)量的重要標志.數(shù)學教學中引導學生思考，教會學生思考的途徑、思考的方法比單純做大量練習要有效得多.下面就引導學生反思談一些看法：1 反思的及時性學源于思，思源于疑.留心處處皆疑問.有疑問就需及時反思，使學生從平時的點滴疑問中學會反思，養(yǎng)成反思的習慣.反思應體現(xiàn)在每一門科，每一章節(jié)，每一堂課，每一個知識點的教學，以及每一個例題的講解之中.例如，在對數(shù)方程的第一堂課中，舉了一個最簡單的例子：lg(x-1)2=2，引導學生反思：(1)由指數(shù)方程的求解，我們可得到超越方程求解的指導思想是什么？(轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程).(2)由解法1：lg(x1;=2,T2lg

14、(xd>2,Tlg(x1尸1,Tx-1=1QTx=11解法2：lg(x1)=2，222T(x1)=10Tx-1=±10，Tx=111K者x=9.產(chǎn)生不同解的原因是什么？通過與學生討論，明確了轉(zhuǎn)化過程必須是同解變形，必須考慮對數(shù)函數(shù)的定義域.通過以上反思，加深了學生對定義域，等價變形的理解，也培養(yǎng)了學生思維的嚴密性、批判性.概念是思維的細胞，在概念教學中也應重視反思的作用.除了引導學生積極參與從具體到抽象，從特殊到一般的觀察、概括、抽象的概念發(fā)生和形成過程，還應引導學生通過反思，深刻理解概念的內(nèi)涵和外延，揭示概念間的聯(lián)系.通過及時反思揭示概念的本質(zhì)，以免學生思維產(chǎn)生負遷移.例如，

15、講了異面直線定義后，可及時提出以下問題判斷對錯引導學生反思：(1) 異面直線指不相交與不平行的直線；(2) 不同在一個平面內(nèi)的直線是異面直線；(3) 分別在兩個平面內(nèi)的直線是異面直線；(4立闞條不相交直繩異面直線(5汨面直裝不相交直緲任平彳T直線(6汨面直裝和公共點直緣n的平行直級(7除了相交直納平行直韁異面直線將以上抽象施具體化，用具體例、圖引導生辨別判斷，加深對概念的理解，從中也得到了充分的思雎練2反思的回性一個概念的形成，一個解題國路的狷，一種解題法的掌握，乃至任何一種能力的培養(yǎng)，都需要一個過程.同樣學生的反思也有一個用，需分攫，低屐的反思是高尿的反思的基礎壬何超越學生的詼口能力的反思都

16、是無效的，反而會扼殺學生的反思極性.例如，定戀概念的形成和深化，是伴隨著函數(shù)概念的完善，通過不斷的反思通的是學生舊的訓箱與新的海箱不斷同化和J跚.第一服：初中函數(shù)的做自鬟的取儺圜于便了一次函數(shù)和二次函數(shù)，定5M是一切皴，表示方法是文字敘述.第二服：高一函數(shù)的近代定刈I迸集合和映射的概念，定5M指非空數(shù)集(原象集)，通常指使函數(shù)表達式有意義的自重的取俺國并進步明確定漱不同的函數(shù)是不同的函數(shù).第三欣：在高中代數(shù)第一章結村后，再碇域概念做一緇的反思與概括：(1定域的概念：自維的取儺網(wǎng)通迪知f(圻1為定越是1,3,選定域是指對勺取罐是x+l勺取J8幫助學生理解；(2定域的求法：解不等式組(3定域的表示

17、：集合與區(qū)間(4定域的常城解契：數(shù):函數(shù)，分式函數(shù)，無理函數(shù)，嘉函數(shù)及其它函數(shù)，何黑；(5定域的逆向相：可出下例：已知函數(shù)31f(x)(mX4mxm3)=+42x-_m)+1的定越是R,求數(shù)m的取值國(6定域的徐用：可出下例：1已知f(x+1定義域是-23求f(+1)勺定義域.x3反思的遷移性波利亞指出：掌握數(shù)學就是意味著善于解題，不糙于解一些神的題，而且善于解一些要求獨立思考、思路合理，魄獨到和有煩趣的題他邈：當你找到第一個蘑菇后，要哪周，Hamwae.這正是反思的奧妙所在在解題學中,解題的反思不懊啾頻檢驗畫學生仔緲析題特點，戢各學科知調(diào)交叉點，總結、理清、概括堀各，形成知艦正遷移，達到千反

18、三，一趣解的目的.例如在不等式復沖，可緇下例：已知片+b2=1,x2+y2=1,求證：|a奸by|c1.首先教師和學生共同分析，學生思考，利用綜合法、分析法、比較法、反證法明證題該這是.復習的重點和主要目的，證明中應注意學生的書寫的合理規(guī)范.但是，僅限于以上證法是不夠的.教師可引導學生分析已知和結論的特點，提出：反思1：三式的值都等于1，我們可聯(lián)想起什么？于是，有學生提出設a=sin,b=cos,x=sing,y=co串,從而利用三角法訶明了遨反思2：已知的結構具有復數(shù)模的特點，能否用復數(shù)法證明呢？于是，自然想到讒升bi,z=x+yi,a,b,x,yR,服解決遨反思3：考察x2+y=i,青+b

19、=i的幾何意置什么？有學生鬧到可溫b）（x,y謖圓x2+y2=1上的點，利用兩點間的距離公式可以證明.通過以上反思，復習了不等式證明的通法和巧法，也著力培養(yǎng)了學生的思維靈活性和求異思維能力.波利亞認為：“一個有責任心的教師與其窮于應付繁瑣的教學內(nèi)容和過量的題目，還不如適當選擇某些有意義但又不太復雜的題目，去發(fā)掘題目的各個方面，在指導學生解題的過程中，提高他們的才智與推理能力.”4反思的開放性學生的創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是素質(zhì)教育對我的們要求.反思的開放性，要求學生不能墨守成規(guī).不能重模式，輕思維.要求我們的數(shù)學教學是開放性教學：問題開放，解題開放，教學開放.運用猜想、變式、推廣、改造等手段，開放題、情

20、景題、應用題等題型，交流、討型等課論，培養(yǎng)學生推理、交流、協(xié)作、概括和分析問題解決問題的能力，通過開放性的反思，提高學生開放性和創(chuàng)造性的解題能力.例如可對命進題行條件弱化和結論強加、推廣、引申等的反思.2例1過拋物線y=2闕焦點的一條直線和這拋物線相交，兩個交點的縱坐標分別為y，y,求證：122yxy=-p12（解幾課本P.101）運用坐標法證明后，可引導學生反思：（1論結）yxy=-p212的幾何意義是什么？搞清其幾何意義后，可引申得到如下命題：命題1：過拋物線焦點弦兩端作準線的垂線，兩垂足與拋物線的焦點的連線互相垂直.命題2：過拋物線焦點弦兩端作準線的垂線，兩端點與兩垂足連線的中點的連線互

21、相垂直.命題3：過拋物線焦點弦兩端作準線的垂線，兩垂足連線的中點與焦點的連線垂直于焦點弦.命題4：過拋物線焦點弦的兩端作準線的垂線，以兩垂足的連線直為徑的圓必與焦點弦相切于焦點處.(2)結論yy=-p12有什么應用？命題5:過拋物線焦點F的一條直線與它交于兩點P,Q通過點P和拋物線頂點的直線交準線于M求證：直線MQff行于拋物線的對稱軸.(解幾課本P.102)命題6：過拋物線焦點弦一端作準線的垂線，垂足、拋物線頂點和焦點弦的另一端三點共線.命題7：拋物線焦點弦被焦點所分得的兩線段長的倒數(shù)之和為定值.通過上述反思和推廣，以例及類，舉一反三，使所解問題系統(tǒng)化.又如可以適當安排一些開放性命題.例2在

22、正四面體ABCM,試探求各幾何量間角、距離、體積、軌跡、最值等.學生通過反思，可得到立體幾何中幾乎所有線面的平行、垂直關系的證明問題，也可得到角、距離、體積的計算問題，還可通過引進變量建立函數(shù)關系求最值和軌跡等.挖掘課本建模實例，培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力尹志春(浙江金華第五中學321000)浙江省義務教育全日制初級中學數(shù)學教學指導綱要中明確要求“引導學生把數(shù)學知識應用到生活和生產(chǎn)實際中去，培養(yǎng)學生解決簡單實際問題的能力”，“會應用所學知識解決簡單的實際問題，能適應社會日常生活和生產(chǎn)勞動的基本需要”.現(xiàn)用省編教材的編排中，充分體現(xiàn)了大綱的這一精神，平時教學中如能去充分挖掘，重視數(shù)學建模的教學，引導學生去

23、發(fā)現(xiàn)問題，給出解決問題的方法、建立數(shù)學模型、用所學知識解決問題，對學生創(chuàng)新能力、解決實際問題的能力的培養(yǎng)大有裨益.下面以省編教材第五冊第145頁“相似三角形應用舉例(三)”的教學為例，談談自己教學中的一點粗淺體會.這一節(jié)是用相似三角形知識解決生產(chǎn)實際中的某些測量問題，例1測電線桿高，例2測河寬，例3測人與遠處某物距離，課本上實際已給出了測量方法，建立好數(shù)學模型，我在教學中，作了如下改進，以測電線桿高為重點內(nèi)容，盡量讓學生自己去動手動腦想出測量方案，建立數(shù)學模型，然后應用所學知識去解決問題.1 .給出問題1:應用相似三角形知識，根據(jù)下面所給條件，測出底部可以到達的電線桿的高度，要求所測數(shù)據(jù)盡量少

24、.圖1(1)條件1:一把長30cm的刻度尺，一把長100米的卷尺.由于課本中已有例題，學生容易想出如圖1的方法，只要知道刻度尺CD臂長OF,人與電線桿距離EB,即可應用相似三角形知識求出電線桿高為AB田CD-.OF(2)條件2:只有一把長100米的卷尺.引導學生注意課本例1和例3中用“跳眼法”目測的方法，可目測電線桿的高度，把條件1中的刻度尺用大拇指代替，不過人與電線桿的距離比較遠，經(jīng)計算可知，手臂向前伸直時，眼睛與大拇指的距離約是大拇指長度的12倍，因此，只需量出人與電線桿的距離EB,即可求得電線桿高度約為AB1=EB.12(3)條件3:2米長標桿一根，100米長卷尺一把，在陰天測量.引導學

25、生找出與上述不同的測量方法.注意“2米長標桿一根”的應用，經(jīng)師生討論，逐漸給出下面方法：如圖2,把標桿垂直堅立某一適當位置F,人向著BF方向退至D,使視線看去QE,A在一直線上，B,F,D也在一直線上，只要測量出人的地面與眼的高度OD人與電線桿距離DB人與標桿距離DF應用相似三角形即可求得電線桿高度A及OD+嗎2DFD)(“2”即標桿的長度).(4)條件4:2米長標桿一根，100米長卷尺一把，在太陽光下測量.啟發(fā)學生與條件3不同的是有“太陽光線”，除了上述方法外，如何充分利用“太陽光線”這一條件？學生自然想到了影子，經(jīng)引導給出了各種方法，下面是其中之二.s圖4圖5圖3方法1:如圖3,把標桿EF

26、垂直堅立地面，分別測出標桿、電線桿的影子DFBC勺長，即可計算出電線桿高度A氏氣BC方法2:如圖4,把標桿EF垂直堅立地面一適當位置，使得電線桿的影子BC與標桿的影子FC在C點重合，則A,E,C在一直線上，測量出CF,FF-BCCB勺長度，可求出電線桿高度A&上若CF(5)條件5:只給100米長卷尺一把，并在太陽光下測量，由于有了條件4中的測量方法，現(xiàn)在少了“標桿”的條件，就想到了用“人”代替“標桿”的作用，在上面方法1,方法2中把“標桿”用“人”代替，可估測出電線桿高度.2 .經(jīng)過上面的思考，學生對測量建筑物高度的方法已有初步了解，再給出下面“測量底部不能到達的建筑物的高度”的問題.

27、問題2:如圖5,河MN寸岸有電線桿AB,如何不過河測出電線桿AB的高度？應用相似三角形知識解決這個問題雖然有所困難，但由于未受條件限制，啟發(fā)學生在河岸選定一適合點P,把P到電線桿距離PB與電線桿高度AB作為兩個未知量，通過兩次測量列方程組計算.此問題可讓學生作為課外思考題，并告訴學生，在第六冊學了三角函數(shù)知識后就比較容易解決，為學習解直角三角形的應用打下基礎.在學了第六冊第五章解直角三角形后，應用三角函數(shù)知識，再來解決這個問題，許多同學就能給出方法了.學習了解直角三角形的應用后，我把北京市第一屆高中數(shù)學知識應用競賽初賽試題第6題給學生解答，許多學生就能輕而易舉地解決了.題目如下：”如圖5,有一

28、條河MN河岸的一側有一很高建筑物AR一人位于7岸另一側P處，手中有一個測角器（可以測仰角）和一個可以測量長度的皮尺（測量長度不超過5米），請你設計一種測量方案（不允許過河），并給出計算建筑物的高度AB及距離PA的公式，希望在你的方案中被測量數(shù)據(jù)的個數(shù)盡量少.”給出的方案其中兩個如下：方案1:P地位于開闊地域，則測量方案如圖6所示，被測量的數(shù)據(jù)為PC（測角器的高）和PQ（Q為在PB水平線上選取的另一測量點）的長度，仰角a和B,則應用解直角三角形知識可求得，PQAB=PC+ctga-ctgbPB_ PQctgbctga- ctgb方案2:如圖7,若P處也是一可攀登建筑物（如樓房），則可在同一垂線上

29、選兩個測量點，被測數(shù)據(jù)為PC?口CD的長度，仰角a和B,則可求得AB=PC+CD tgatga- tgbCDPB=,tga-tgb在平時的教學中，有意識地挖掘、發(fā)揮課本中數(shù)學建模實例的作用，加強數(shù)學建模的教學，對學生的創(chuàng)造能力、解決問題能力的培養(yǎng)是很有好處的，正如中國數(shù)學會教育委員會主任、北京師范大學嚴士健教授在北京市高中數(shù)學知識應用競賽會議上所講：“這不在于學生在中學中解決了多少應用問題，只要他有這種感受，有一點經(jīng)驗，知道一點如何把實際問題化成數(shù)學問題，有點初步的能力，有點體會，他將來就可以以小見大.這個意義應該是很大的，對學生的成長有很大好處，這個就是素質(zhì)教育.”集合單元教學中滲透數(shù)學思想

30、方法初探范紅星(浙江建德市嚴州中學311604)集合單元是高中教材非常重要的內(nèi)容，蘊含著豐富的數(shù)學思想方法，教學過程中，教師若能注意認真地挖掘與提煉，適時而有效地滲透數(shù)學思想方法，對于開發(fā)學生的智力，培養(yǎng)學生的能力，發(fā)展學生的思維，具有十分重要的意義.本文結合集合單元的教學實踐，談點體會.1滲透分類討論的思想方法分類的通俗說法就是按照一定的標準把研究的對象分成幾個部分或幾種情況.它采取的是“化整為零，各個擊破”的手段.通過它可以達到把幾個復雜的問題分解成若干相對簡單的問題，從而獲得完整解答的目的.分類討論的思想在高考試題中幾乎每年必考，1999年高考試卷中對分類討論思想的考查尤為突出.具體應用

31、分類討論思想解題時，必須弄清”引起討論的因素是什么”、“分類討論的步驟是什么”以及“如何簡化討論”等問題.例1已知A=x,xy,lg(xy),B=0,|x|,y,若A=R求x,y的值.分析由lg(xy)有意義，知xy>0.故必有l(wèi)g(xy)=0,得xy=1.根據(jù)集合相等的意義，應分兩種情形討論：(1)若|x|=1,則x=1或-1.當x=1時，得x=y=xy=1,這與集合中元素的互異性矛盾，舍去.當x=1時，得y=-1,符合題意.(2)y=1,則得x=1,不符題意，舍去.所以，所求的x,y的值是x=-1,y=-1.注本題抓住集合相等的特征進行分類討論.2滲透化歸轉(zhuǎn)換的思想方法化歸思想是指在

32、處理、解決數(shù)學問題時，把那些需要解決的問題通過某種轉(zhuǎn)化過程歸結為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題.運用化歸思想的基本原則是化難為易、化生為熟、化繁為簡、化未知為已知、化正為反.例2已知集合A=x|x-4m42計6=0,xRgAHRwF,求數(shù)m的取偷圍分析集合A是方程x2-4mx2rm-6=0,(1)的數(shù)解it的集合，AnRWF意味著方程(1)勺根有：(i)兩負根；(ii) 一負根、一零根；(iii) 一負根、一正根3種情況.分別求解相當麻煩.上述3種情況雖可卞S括為方程(1)的較小的根4m-14m)-4(2m6+<0,2但此不等式求解也并不簡單，怎么辦？如果考慮ARwF的反面：AnR=F

33、,則題轅第求方程(1)的兩根均非負時m的取值范圍，再應用補集求解就非常容易.解詮集I=m|=16m8m24>0=m|m-1或vm>.2若方程(1)勺兩根均非負斕meI,且4m>q且2m+60,得m>32.3因此，m1ms關于I的集m|mk-1即斯求的ml勺取儺圍2注本嬲訛H藥的化陽想脆求解.3滲透數(shù)形結合的思想方法數(shù)與形是數(shù)學研究的兩段本猱，也是數(shù)學然的兩大支柱.它劇有聯(lián)系又各有特點數(shù)形裕就是充分利用形”的直桃和數(shù)'的精確性，通數(shù)與形的相互做使題施求解的一種數(shù)學方法教學漉中，涉及集合的交、并和褓等運算，要充分特集合的數(shù)班示和堰圈示，以數(shù)思形，數(shù)形紿.例3已知集合

34、I=x|X不大于30的數(shù),集合A,盟I的兩個子集,且激AHB=&1323AHB=11,1929AHB=37,求集合AB.一分析I=23,5,_7,11,1317192329畫出集合的穆圖(B2),，吐區(qū)域分雌示AnB,AnB,AnBKB在各部分填上相應£素，易得AHB=217.4滲透歸納猜想的思想方法猜想是人儂據(jù)事親憑借直情作出的一種大膽假設它是一種極的似活班教學中，引厚生進胭猜想，培養(yǎng)他的猜想能力是提高學生餓能力、培養(yǎng)其釀精神的一條有效途徑.教U處做一位有心人，注意喝啟通學生，他的膽猜想.教材第7寅小前題寫出集合qb節(jié)勺所有的子集及真子集.其解答疑籥，集合國b勺所有子集是，

35、ab也b真子集是，ab敢學到此，似乎例題E菽完成，但我并未就此放過此例，通提出下列題隹生思考：(1再出集合a,b,勺所有的子集，它4的個數(shù)是多少？(2再出集合a,b,c,dW所有的子集，它們I勺個數(shù)是多少？(3再出集合a,b,c,d,e的所有的子集，它仰勺個數(shù)是多少？根據(jù)上述4題縉，解窺并思考：集合中元素的個數(shù)和它的子集個數(shù)有何啾？如果集合中含有n元素，它的子集個數(shù)是多少？學生紹充分思考、流，得到下列猜想：若集合中含有底元素，那么它的子集個數(shù)是2個，并進步得到，它的非空子集個數(shù)是2-1個，它nn的真子集個數(shù)是2-1個，它的非空真子集個數(shù)是22個.到此，教幡生的猜想要作充分肯定，并大力鼓舞學生的

36、探索精神和創(chuàng)新意識5滲透數(shù)學建模的思想方法融也成數(shù)學高考的熱題，它主要小生的數(shù)學意刪數(shù)學建模能力.如何把舞麗成好題,看成什么數(shù)學叫數(shù)學建模的關徽學漉中，幫助學生秘運用數(shù)學模型的思想，蟲培養(yǎng)學生整體娜能國騎性凝題的能力，是大有裨益t例4先成一爨任務夏令陽同學做立了一支a隊；需要2隊參加凝，2隊參加算，1隊參加鰥購成果很多同學是多面手，有8人既參加了源又參加了譚，有隊既參加了測量又參加了緇，有4A既參加了算又參加了緇，另有一些人3®作都參加了，涮選SS除少有多少人？圖3分析本題已知條件之的關系不明朗，椒理出解題、路，通選析，可建立一個集合模型，則可化颯脆求解.如圖3頤作都參加的人數(shù)為，購

37、個集合之詢關系得到清晰表達.遍燭0-x)+(8-x)6-x>4+6+8+x=42-2x因強癢6,所以3K42-2xc42即派隊數(shù)最少%人，此時x=6.具體地說有6個人3項作都參加了，有的人只參加港不參加其它工作，有2t人只參加評而不參加其它工作，沒有人只參加繪圖麗參加其它工作.總之，數(shù)學思想方法的滲透是一個潛移默化的程，是在學生掌握數(shù)學知調(diào)同建多次理解和反復用而逐步形成的作教帥霸教材，充分挖掘和提嫡材中盤的主要數(shù)學思想方法，在教學的各個環(huán)節(jié)滲透和眥數(shù)學思想方法的調(diào)S,幫助學生及橫理、魅基本的數(shù)學思想方法，逐個讖本精征、思翹序或者操作程序，逐步做到自覺地、靈活地施用于所要解決的問題數(shù)學應用

38、問題的建模類型及思維策略林美娟(浙江金華師范學校321000)數(shù)學期題的解法一般采用數(shù)學建模法，即逋翅題的數(shù)學化，模型構建，求解讖穗解決.用魏方法求解腎血題，首5段在閱潮料，理解版的基磁，把黛腫豚成婚建立S數(shù)學模型，再利用數(shù)學知識物獨分析探求，得到數(shù)學結侖，最后得出也問題的解本油幾種數(shù)學建模的知及思兼略.1建立方程模型根據(jù)題特點，把要求的量用未知數(shù)表示，并依照所的等量關系列出方程和然后求解.例1某地的淡水供殖的展，將價格控制在適當范陰，決定碘舞殖提供政府避水魚市物格斯汗克，政府袖t元開克.根據(jù)市城查當80癢14寸淡水地市府供星P千克與市堀求量訐克近似地涯關系：P=1000(xt8)(許8,t&

39、gt;0)Q=50040«x-8)(8<存14)當金州市物格稱為場衡價格，讖市場衡價格表示頑府船的函數(shù)，并求出函數(shù)的定義域.建模求解姻要求函數(shù)解析式及其定域，而函數(shù)解析式一般地是一個等式.因為P=QM市物格稱為場衡價格，且本題求的正是市場平衡價格與政府沖占閽函數(shù)解析式，于是由P=Q<建立關于x的一個無理方程：1000(Xt-8尸50040-(x-8),此方程有解的條件為>0,X由4=800-16t>0,彳#t<5Q22x/'踴中的限制條t>0,得到(Kt<50、解得:4 2x=8-t±50-t.一5 A二再由8<x<14«t<50彳1_一晨k10,；故所求函數(shù)式為x=8-5t+550-t2,t