2020屆湖南省常德市高三高考模擬考試(一)數(shù)學(xué)(理)試題

1、2020屆湖南省常德市高三高考模擬考試（一）理科數(shù)學(xué)試卷一-7 -總分：150分時(shí)量:120分鐘一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分, 一項(xiàng)是符合題目要求的）共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有1.已知集合P二 x | 5 x 6（桃源縣第四中學(xué)）2,Q= x | x 5x 6 0 ，則 P Q=A、 x| 1 x 6B、 x| 1 x 6C、 x| 1 x 6D、 x| 1 x 6選C2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+ 3= i（1- z）,則下列說(shuō)法正確的是（）（桃源一中）A. z的虛部為2iB. z為純虛數(shù)C. z = J5D.在復(fù)平面內(nèi)，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限答案：C3.設(shè)等差數(shù)列an的前n

2、項(xiàng)的和為Sn,若S5= 4a3 + 7 ,a1 二1 ,則a6 =（）（桃源-中）A. 37B.16C. 13D. -9答案：B4.如圖是某市連續(xù)16日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢(shì)統(tǒng)計(jì)圖，空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）小于100表示空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染.則下列說(shuō)法不正確的是（）（桃源一中）A.這16日空氣重度污染的頻率為0.5B.該市出現(xiàn)過(guò)連續(xù) 4天空氣重度污染C.這16日的空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)為203D. 這16日的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值大于200答案：D5 .已知P為拋物線C ： y2 = 4x上一點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若PF = 4 ,則AOPF的面積為（）（桃源一中）A. 、3

3、B. 3C. 2 3D. 4答案：6 .函數(shù)f（x） Asin（ x ）的圖象如圖所示，將函數(shù) f（x）的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，得到 y g（x）的圖像，則下列說(shuō)法不正確的 12是（）（桃源一中）A.函數(shù)g（x）的最大值為3B.函數(shù)g（x）關(guān)于點(diǎn)(, 0)對(duì)稱C.函數(shù)g（x）在（0,萬(wàn)）上單倜遞增D .函數(shù)g（x）的最小正周期為 支答案：B7.已知向量a與a+b的夾角為60°,A. 0,3B.2| a |二1,3 C.-2| b |= J3 ,則 ab=()(桃源一中)-3D. 0 或-2答案：A8 .隨機(jī)設(shè)置某交通路口亮紅綠燈的時(shí)間，通過(guò)對(duì)路口交通情況的調(diào)查，確定相鄰兩次亮紅燈

4、與亮綠燈的時(shí)間之和為100秒，且一次亮紅燈的時(shí)間不超過(guò)70秒，一次亮綠燈的時(shí)間不超過(guò)60秒，則亮綠燈的時(shí)間不(C.)(桃源一中)113.10小于亮紅燈的時(shí)間的概率為A. 6B.375答案：C3269 .(x3- 1)(Vx+ )6的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為 ()(桃源一中)xA. 240 B. 180 C. - 60D. - 80答案：B10 .設(shè)函數(shù)f (x) ex1 一二，則不等式f (x) f (2x 1)的解集為()(桃源一中)(x 1)2, 11、A. (-1, 0) B.(- ? , -1) C.(- 1,-)D. (- 1,0)U(0R33答案：D11 .幾何體甲與乙的三視圖如右圖，幾

5、何體甲的正視圖和側(cè)視圖為兩個(gè)全等的等腰三角形，且等腰三角形的高與幾何體乙的三視圖中的圓的直徑相等，若幾何體甲與乙的體積相等，則幾何體甲的 外接球的表面積與幾何體乙的表面積之比為()(桃源一中)3941+ .3.2. 4. 9.2答案：B?x2 + lx, x? 06612 .已知函數(shù) f (x)= ?, g(x)= f (x)- ax(其lnxg> x> 0中a為常數(shù))，則下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為()(桃源一中)函數(shù)f(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)；對(duì)任意實(shí)數(shù)a,函數(shù)g(x)至多有3個(gè)零點(diǎn)；若a<Q則函數(shù)g(x)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)；11、若函數(shù)g(x)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為(，0

6、 U-,)(桃源一中)6 2eA. 1B. 2C. 3D. 4答案：B 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡.中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫 線上)13.已知函數(shù)f (x)=xex+ln(x+1),則曲線y= f (x)在x=0處的切線方程為_(kāi)y= 2x_.(桃源一中)x y 1 03x y 3 0,14已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件x y 1 0則z=3x 2y的最小佰為 -215.已知數(shù)列an的各項(xiàng)為正，記Sn為an的前n項(xiàng)和,若an + 1 =3a2an+ 1 - 2an_ *(n? N ),則S5=121.(桃源一中)22x2 y2 1(a 0，b 0)16.已知雙曲線C:

7、a b, O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為 AB，且 OAB為直角，記 OAF和OAB的面積分別為$。4和S OAF 1S OAB ,若S OAB 3 ,則雙曲線C的離心率為 2.62.3答案：.3或虧三、解答題(解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17.(本小題 12 分)已知向量 m= (sinx, - J3) , n =(1 , cosx),且函數(shù) f (x) = mn.52(I )若 x? (0, ) ,且 f (x)=,求 sin x 的值； 63(n )在銳角AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a= 4,MBC的面積為473 ,

8、且f (A+/)=1csin B ,求 MBC的周長(zhǎng).(桃源一中)32(2解：(I ) f (x) = mn= (sinx,- 而 (1, cosx) = sin x- V3cosx = 2sin(x-43分)Q f(x)= I，5” 又 x?(°T , 6sin(x- 6=3x- 3? ( 3,，2)， cos(x-.=2 33 233(4分)所以 sinx= sin(x- )+ = 331?_1 2/2 ?V3 1+ 2 近(6分)1 csin B 即 4sin A = csin B 216 (8分)sinA= « ,又 A? (0,-)22,., 九 1一(H )因?yàn)?/p>

9、 f (A+ -) = csin B ,所以 2sin A= 32由正弦定理可知4a = bc,又a=4所以bc二 由已知 MBC的面積1bcsinA= 473,可得 2一 兀.A= (10 分)由余弦定理得 b2 + c2 - 2bccosA= 1 ,故 b2 + c2 = 32 ,從而(b + c)2 = 64所以MBC的周長(zhǎng)為12 (12分)18.(本小題12分)如圖，在四棱錐 P ABCD中，平面PAD 平面ABCD ,底面ABCD是直角梯 形，AD/BC, AB AD , AD 2BC 2AB,。是 AD 的中點(diǎn).(I)在線段PA上找一點(diǎn)E ,使得BE /平面PCD ,并證明;(n)

10、在(1)的條件下，若PA PD一中)AD 2,求平面OBE與平面POC所成的銳二面角的余弦值.(桃源解：（I ）E是線段PA的中點(diǎn)，（1分）證明：連接BE, OE OBO是 AD的中點(diǎn)，. OE / PD,又 OE 平面 PCD, PD 平面 PCD,. OE/ 平面 PCD, （3分）又底面ABCD是直角梯形，AD 2BC 2AB , . OB/CD ,又 OB 平面 PCD, CD 平面 PCD, . OB/平面 PCD, （4分）. OE 平面 OBE, OB 平面OBE, OE I OB O,平面OBE/平面PCD,又 BE 平面 OBE, . . BE / 平面 PCD. （6分）（

11、也可通過(guò)線線平行來(lái)證明線面平行）(II).平面 PAD 平面 ABCD, PA PD AD 2,. PO AD, . . PO 平面 ABCD,且 OC 1 , PO V3 ,(8分)以。為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz,E 0,1 3 2,-2得 o 0,0,0 , B 1, 1,0 , P 0,0,73 , c 1,0,0 ,uur 13 uur得 OE 0, -, , OB 1, 1,0 , 2 2IT設(shè)m x, y,z是平面OBE的一個(gè)法向量，LT UUT_im OE _y 3z 0 _.則 u uuu ,得，取 x >/3 ,m OB x y 0得 m73,73,1

12、, (10分)T又易知n 0,1,0是平面POC的一個(gè)法向量，設(shè)平面OBE與平面POC所成的銳二面角為則cos即平面OBE與平面POC所成的銳二面角的余弦值為21.7(12 分)19.（本小題12分）隨著快遞行業(yè)的崛起，中國(guó)快遞業(yè)務(wù)量驚人，2018年中國(guó)快遞量世界第一，已連續(xù)五年突破五百億件，完全超越美日歐的總和，穩(wěn)居世界第一名.某快遞公司收取費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)是：不超過(guò)1kg的包裹收費(fèi)8元；超過(guò)1kg的包裹，在8元的基礎(chǔ)上，每超過(guò) 1kg（不足1kg,按1kg計(jì)算）需再收4元.該公司將最近承攬（接收并發(fā)送）的100件包裹的質(zhì)量及件數(shù)統(tǒng)計(jì)如下 （表1）：包裹質(zhì)里（kg）(0, 1(1,2(2, 3(3,

13、 4(4, 5包裹件數(shù)43301584公司對(duì)近50天每天承攬包裹的件數(shù)（在表2中的件數(shù)范圍”內(nèi)取的一個(gè)近似數(shù)據(jù)）、件數(shù)范圍及天數(shù)，列表 如下（表2）:件數(shù)范圍I （0, 100（100, 200（200, 300（300, 400（400, 5002:天數(shù)5102555每天承攬包裹的件數(shù)50150250350450（I）將頻率視為概率，計(jì)算該公司未來(lái)3天內(nèi)恰有1天攬件數(shù)在（100, 300內(nèi)的概率；（n）根據(jù)表1中最近100件包裹的質(zhì)量統(tǒng)計(jì)，估計(jì)該公司對(duì)承攬的每件包裹收取快遞費(fèi)的平均值：根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，公司將快遞費(fèi)的三分之一作為前臺(tái)工作人員的工資和公司利潤(rùn)，其余用作其他費(fèi)用.目前，前臺(tái)有工作

14、人員 5人，每人每天攬件數(shù)不超過(guò) 100件，日工資80元.公司正在考慮是否將前臺(tái)人員裁減1人，試計(jì)算裁員前、后公司每天攬件數(shù)的數(shù)學(xué)期望；若你是公司決策者，根據(jù)公司每天所獲利潤(rùn)的期望值，決定是否裁減前臺(tái)工作人員1人？（桃源一中）解：（I）將頻率視為概率，樣本中包裹件數(shù)在（100, 300內(nèi)的天數(shù)為10 25 35,35 77,頻率為f ,故該公司1天攬件數(shù)在（100 , 300內(nèi)的概率為 一（2分）50 1010未來(lái)3天包裹件數(shù)在（100, 300內(nèi)的天數(shù)X服從二項(xiàng)分布，即X : B（3,（）1891000所以未來(lái)3天內(nèi)恰有1天攬件數(shù)在100 , 299內(nèi)的概率為：(5分)所快43100包裹質(zhì)量

15、（kg）(0, 1(1, 2(2, 3(3, 4(4, 5快遞費(fèi)（元）812162024包裹件 數(shù)433015841 8 30 12 15 16 8 20 4 2412(7分)（II）由題可知，樣本中包裹質(zhì)量（kg）、快遞費(fèi)（元）、包裹件數(shù)如下表所示:以每件包裹收取 遞費(fèi)的平均值為根據(jù)題意及，攬件數(shù)每增加1,公司快遞收入增加12 （元）若不裁員，則每天可攬件的上限為 500件，公司每日攬件數(shù)情況如下:件數(shù)范圍(0, 100(100,200(200,300(300, 400(400, 500天數(shù)5102555每天承攬包裹的 件數(shù)Y50150250350450概率P0.10.20.50.10.1每

16、天承攬包裹的件數(shù) Y 的期望 E(Y)=50 >0.1+150 0.2+250 0.5+350 0.1+450 0.1=2401一公司每日利潤(rùn)的期望值為240 12 - 5 80 560兀（9分）若裁員1人，則每天可攬件的上限為400件，公司每日攬件數(shù)情況如下:件數(shù)范圍(0, 100(100, 200(200, 300(300, 400(400, 500天數(shù)5102555每天承攬包裹 的件數(shù)Y50150250350400概率P0.10.20.50.10.1每天承攬包裹的件數(shù) Y 的期望 E(Y)=50 >0.1+150 0.2+250 0.5+350 0.1+400 0.1=235

17、1 一 一一公司每日利潤(rùn)的期望值為235 12 3 4 80 620兀因?yàn)?60<620 ,所以公司應(yīng)將前臺(tái)工作人員裁員 1人.(11 分) (12 分)20.有一種曲線畫(huà)圖工具如圖1所示.0是滑槽AB的中點(diǎn)，短桿ON<繞O轉(zhuǎn)動(dòng)，長(zhǎng)桿MN1過(guò)1N處餃鏈與ON1接，MNi的栓子D可沿滑槽AB滑動(dòng)，且DN ON 12DM 1 ,當(dāng)栓子D在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)N繞。轉(zhuǎn)動(dòng)，M處的筆尖畫(huà)出的曲線記為C.以。為原點(diǎn)，AB所在的直線為清由建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.(I )求曲線C的軌跡方程;(2)設(shè)F2為曲線C的右焦點(diǎn)，P為曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，直線PF2斜率為k(k 0),且PF2與曲

18、線C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,是否存在點(diǎn)T(0,t),使得 TPQTQP,若存在，求t的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.(芷蘭實(shí)驗(yàn)學(xué)校謨興明供題)解設(shè)火封則叫,0) |)2(2)設(shè)直線PQ的方程為y k(x 73),y2 * 4 1 ,得 1 4k28>/3k2X 12k2 4 0；Q X2, y2,線段PQ的中點(diǎn)為Xo,yo ,X0XX224,3k21 4k2 ,y°j kXo、32、3k2，1 4k4 .3k2-3k1 4k1 4k2因?yàn)門PQTQP所以直線TN為線段PQ的垂直平分線,3k - 6 -4kj_1_ k 4.3k2-13 -八3.30T ,3,34綜上，存在點(diǎn)T ,使

19、得|TP TQ|,且t的取值范圍為3,343.3412所以 TNPQ ,則 kTN kpQt 3 . 3k 3、. 3所以 4k2 11，104 K k 1 一當(dāng)K 0時(shí)，因?yàn)?k 4,所以tK 1 一當(dāng)k 0時(shí)，因?yàn)?k 4,所以tk21.(本小題12分)已知函數(shù)f(x) xex a(x lnx),其中e 2.71828L為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)若f (x) 1 ,求實(shí)數(shù)a的值； (2)證明：x2exx(2 ln x) 2(1 sinx).(常彳惠市一中)解：(1)法一：當(dāng)a 0時(shí)，h(1) a(1 ln1) aln 1與f(x) 1包成立矛盾，不合題意；2222222當(dāng) a 0 時(shí)，f&#

20、39;(x) (-)(xea) ,令 h(x) xex a ,則 h'(x) (x 1)ex0 ,x所以 h(x)在(0,)上遞增，又 h(0) a0, h(a)aeaa a(ea1) 0故存在 凡(0,),使 h(x0) 0 ,且 xcex0a, lnx0/Ina當(dāng) x (0,x。)時(shí)，h(x) 0, f'(x) 0, f(x)遞減，當(dāng) x (x0,)時(shí)，h(x) 0, f'(x) 0, f(x)遞增所以 f(x)min f(%) xoe" a(lnx° x0) a alna故 f(x) 1,即 a aln a 1 0,令(a) a aln a 1

21、 ,則'(a) lna,知(a)在(0,1)上遞增，在(1,)上遞減,所以(a)max (1) 0,要使(a) a alna 1 0,當(dāng)且僅當(dāng)a 1綜上，實(shí)數(shù)a的值為1法二：f(x) xex a(x ln x) elnx x a(x ln x),令 t x ln x,t R則f(x) 1等價(jià)于et at 1 0,對(duì)任意t R包成立，令h(t) etat 1 ,1當(dāng)a0時(shí)，h(t)ea2e020與h(t) 0包成立矛盾，不合題意；當(dāng)a0時(shí)，h(t)et1,h(1)e1 1 1 1 0與h(t) 0包成立矛盾，不合題意；e當(dāng)a 0時(shí)，h'(t) et a ,卜(。在(，ln a)上

22、遞減，在(ln a,)上遞增，所以h(t)的最小值為h(ln a) a alna 1令(a) a alna 1,則'(a) In a ,知(a)在(0,1)上遞增，在(1,)上遞減,所以(a)max (1) 0,要使(a) a alna 1 0,當(dāng)且僅當(dāng)a 1(2)由(1)知，當(dāng) a 1 時(shí)，xex x ln x 1 ,即 xex x In x 1 ,所以 x2exx2 xln x x,下面證明 x2 xln x x x(2 In x) 2(1 sin x),即證：x2 x 2 2sin x 0令 g(x) x2 x 2 2sin x, g'(x)2x 1 2cosx當(dāng) 0 x

23、 1 時(shí)，顯然 g'(x)單調(diào)遞增，g'(x) g'(1) 1 2cos1 1 2cos- 0, 3所以 g(x)在(0,1上單調(diào)遞減，g(x) g(1) 2 2sin1 0 ,當(dāng) x 1 時(shí)，顯然 x2 x ,2 2sin x 0,即 g(x) 0故對(duì)一切 x (0,),都有 g(x) 0,即 x2xln x x x(2 ln x) 2(1 sin x)故原不等式x2exx(2 lnx) 2(1 sin x)成立22.（本小題滿分10分）x acos在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線C1： x+ y- 1= 0,曲線C2：（為參數(shù)，a 0）,以坐y 1 a sin標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系 .（I）說(shuō)明C2是哪一種曲線，并將 C2的方程化為極坐標(biāo)方