七年級(jí)第十講：行程問題經(jīng)典例題

1、第十講：行程問題分類例析主講：何老師行程問題有相遇問題，追及問題，順流、逆流問題，上坡、下坡問題等.在運(yùn)動(dòng)形式上分直線運(yùn)動(dòng)及曲線運(yùn)用(如環(huán)形跑道).相遇問題是相向而行.相遇距離為兩運(yùn)動(dòng)物體的距離 和.追及問題是同向而行，分慢的在快的前面或慢的先行若干時(shí)間，快的再追 及，S快=S« +S追及距離.順逆流、順風(fēng)逆風(fēng)、上下坡應(yīng)注意運(yùn)動(dòng)方向，去時(shí)順流，回時(shí)則為逆流.一、相遇問題例1:兩地間的路程為 360km,甲車從A地出發(fā)開往 B地，每小時(shí)行 72km；甲車出發(fā)25分 鐘后，乙車從 B地出發(fā)開往 A地，每小時(shí)行使 48km,兩車相遇后，各自按原來速度繼續(xù)行 使，那么相遇以后，兩車相距100

2、km時(shí)，甲車從出發(fā)開始共行駛了多少小時(shí)？分析：利用相遇問題的關(guān)系式(相遇距離為兩運(yùn)動(dòng)物體的距離和)建立方程解答：設(shè)甲車共行使了 xh,則乙車行使了 (x_二)h.(如圖1) 60圖1依題意,有 72x+48 (x -25)=360+100, 60解得x=4.因此，甲車共行使了4h.說明：本題兩車相向而行，相遇后繼續(xù)行使100km,仍屬相遇問題中的距離，望讀者仔細(xì)體會(huì).例2: 一架戰(zhàn)斗機(jī)的貯油量最多夠它在空中飛行4.6h,飛機(jī)出航時(shí)順風(fēng)飛行，在靜風(fēng)中的速度是575km/h,風(fēng)速25 km/h,這架飛機(jī)最多能飛出多少千米就應(yīng)返回？分析：列方程求解行程問題中的順風(fēng)逆風(fēng)問題.順風(fēng)中的速度=靜風(fēng)中速度+

3、風(fēng)速 逆風(fēng)中白速度=靜風(fēng)中速度-風(fēng)速 解答：解法一：設(shè)這架飛機(jī)最遠(yuǎn)飛出 xkm就應(yīng)返回.依題意，有 =4.6 575 25 575-25解得:x=1320.答：這架飛機(jī)最遠(yuǎn)飛出1320km就應(yīng)返回.解法二：設(shè)飛機(jī)順風(fēng)飛行時(shí)間為th.依題意，有(575+25)t=(575-25)(4.6-t),解得:t=2.2.(575+25)t=600 X 2.2=1320.答：這架飛機(jī)最遠(yuǎn)飛出1320km就應(yīng)返回.說明：飛機(jī)順風(fēng)與逆風(fēng)的平均速度是575km/h,則有_2x =4.6，解得x=1322.5.錯(cuò)誤原因在于575"去口 2nz曰-7d2芾;'曰2x2V順，v逆2 M 600M 5

4、50.,.飛機(jī)平均速度不是 575km/h,而是=七574(km/h)x x V順 V逆600 550切項(xiàng) v逆例3:甲、乙兩人在一環(huán)城公路上騎自行車，環(huán)形公路長(zhǎng)為42km,甲、乙兩人的速度分別為21 km/h、14 km/h.(1)如果兩人從公路的同一地點(diǎn)同時(shí)反向出發(fā)，那么經(jīng)幾小時(shí)后，兩人首次相遇？(2)如果兩人從公路的同一地點(diǎn)同時(shí)同向出發(fā)，那么出發(fā)后經(jīng)幾小時(shí)兩人第二次相遇？分析：這是環(huán)形跑道的行程問題.解答:(1)設(shè)經(jīng)過xh兩人首次相遇.依題意，得(21+14)x=42,解得:x=1.2.因此，經(jīng)過1.2小時(shí)兩人首次相遇.(3)設(shè)經(jīng)過xh兩人第二次相遇.依題意，得 21x-14x=42 X

5、 2,解得:x=12.因此，經(jīng)過12h兩人第二次相遇.說明：在封閉的環(huán)形跑道上同向運(yùn)動(dòng)屬追及問題，反向運(yùn)動(dòng)屬相遇問題.從同一地點(diǎn)出發(fā)，相遇時(shí)，追及路程或相隔路程就是環(huán)形道的周長(zhǎng)，第二次相遇，追及路程為兩圈的周長(zhǎng).有趣的行程問題【探究新知】例1、甲、乙二人分別從相距30千米的兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走4千米，問：二人幾小時(shí)后相遇？分析與解：出發(fā)時(shí)甲、乙二人相距30千米，以后兩人的距離每小時(shí)都縮 短6 + 4= 10 (千米),即兩人的速度的和(簡(jiǎn)稱速度和),所以30千米里有幾個(gè) 10千米就是幾小時(shí)相遇.30+ (6 + 4)=30+ 10=3 (小時(shí))答：3小時(shí)后兩人相遇

6、.本題是一個(gè)典型的相遇問題.在相遇問題中有這樣一個(gè)基本數(shù)量關(guān)系： 路程 =速度和X時(shí)間.例2、如右下圖有一條長(zhǎng)方形跑道，甲從 A點(diǎn)出發(fā)，乙從C點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，都按順時(shí)針方向奔跑，甲每秒跑 5米，乙每秒跑4.5米。當(dāng)甲第一次追上乙時(shí)， 甲跑了多少圈？(第二屆希望杯試題)Ufr分析與解：這是一道環(huán)形路上追及問題。在追及問題問題中有一個(gè)基本關(guān)系式：追擊路程=速度差X追6米1 IAb及時(shí)間。追及路程：10 6=16（米）速度差：5 4.5=0.5（米）追擊時(shí)間：16 + 0.5=32 （秒）甲跑了 5X32+ （10+6） X2=5 （圈）答：甲跑了 5 圈。例 3、一列貨車早晨6 時(shí)從甲地開往乙地，平均

7、每小時(shí)行45 千米，一列客車從乙地開往甲地， 平均每小時(shí)比貨車快15千米， 已知客車比貨車遲發(fā) 2 小時(shí)，中午 12 時(shí)兩車同時(shí)經(jīng)過途中某站，然后仍繼續(xù)前進(jìn)，問：當(dāng)客車到達(dá)甲地時(shí)，貨車離乙地還有多少千米？分析與解： 貨車每小時(shí)行45 千米，客車每小時(shí)比貨車快15 千米，所以，客車速度為每小時(shí)（ 45 15） 千米； 中午 12 點(diǎn)兩車相遇時(shí)， 貨車已行了 （ 12 6）小時(shí)，而客車已行（12 6 2）小時(shí)，這樣就可求出甲、乙兩地之間的路程.最后，再來求當(dāng)客車行完全程到達(dá)甲地時(shí)，貨車離乙地的距離.解：甲、乙兩地之間的距離是：45X （ 126） + （45+15） X （ 1262）= 45X

8、6 + 60X4= 510（千米）.客車行完全程所需的時(shí)間是：510+ （45+15）= 510+60= 8.5（小時(shí)）.客車到甲地時(shí)，貨車離乙地的距離：510 45X （8.5+ 2）= 510472.5= 37.5（千米）.答：客車到甲地時(shí)，貨車離乙地還有37.5千米 .例 4、兩列火車相向而行，甲車每小時(shí)行36 千米，乙車每小時(shí)行54 千米 .兩車錯(cuò)車時(shí)，甲車上一乘客發(fā)現(xiàn)：從乙車車頭經(jīng)過他的車窗時(shí)開始到乙車車尾經(jīng)過他的車窗共用了 14 秒，求乙車的車長(zhǎng)？分析與解：首先應(yīng)統(tǒng)一單位：甲車的速度是每秒鐘36000+ 3600= 10（米）， 乙車的速度是每秒鐘54000+3600=15 （米）

9、.本題中，甲車的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上可以看 作是甲車乘客以每秒鐘 10 米的速度在運(yùn)動(dòng)，乙車的運(yùn)動(dòng)則可以看作是乙車車頭的運(yùn)動(dòng)， 因此， 我們只需研究下面這樣一個(gè)運(yùn)動(dòng)過程即可： 從乙車車頭經(jīng)過甲車乘客的車窗這一時(shí)刻起， 乙車車頭和甲車乘客開始作反向運(yùn)動(dòng) 14 秒， 每一秒鐘，乙車車頭與甲車乘客之間的距離都增大（ 10 15）米，因此，14 秒結(jié)束時(shí)，車頭與乘客之間的距離為（10+15） X14= 350 （米）.又因?yàn)榧总嚦丝妥詈罂吹降氖且臆囓囄玻?所以， 乙車車頭與甲車乘客在這段時(shí)間內(nèi)所走的路程之和應(yīng)恰等于乙車車身的長(zhǎng)度，即：乙車車長(zhǎng)就等于甲、乙兩車在14 秒內(nèi)所走的路程之和 .解：（10+ 15） X

10、 14= 350 (米)答：乙車的車長(zhǎng)為 350 米 .例 5、 某列車通過250米長(zhǎng)的隧道用 25秒， 通過 210米長(zhǎng)的隧道用 23秒，若該列車與另一列長(zhǎng)150 米.時(shí)速為72千米的列車相遇， 錯(cuò)車而過需要幾秒鐘？分析與解： 解這類應(yīng)用題， 首先應(yīng)明確幾個(gè)概念： 列車通過隧道指的是從車頭進(jìn)入隧道算起到車尾離開隧道為止.因此，這個(gè)過程中列車所走的路程等于車長(zhǎng)加隧道長(zhǎng)； 兩車相遇， 錯(cuò)車而過指的是從兩個(gè)列車的車頭相遇算起到他們的車尾分開為止，這個(gè)過程實(shí)際上是一個(gè)以車頭的相遇點(diǎn)為起點(diǎn)的相背運(yùn)動(dòng)問題，這兩個(gè)列車在這段時(shí)間里所走的路程之和就等于他們的車長(zhǎng)之和 . 因此，錯(cuò)車時(shí)間就等于車長(zhǎng)之和除以速度

11、之和。列車通過 250 米的隧道用 25秒，通過 210米長(zhǎng)的隧道用 23 秒，所以列車行駛的路程為(250 210)米時(shí)，所用的時(shí)間為(25 23)秒 .由此可求得列車的車速為(250210) + ( 2523) =20 (米/秒).再根據(jù)前面的分析可知：列車在25秒內(nèi)所走的路程等于隧道長(zhǎng)加上車長(zhǎng)，因此，這個(gè)列車的車長(zhǎng)為20X 25 250= 250 (米)，從而可求出錯(cuò)車時(shí)間。解：根據(jù)另一個(gè)列車每小時(shí)走72 千米，所以，它的速度為：72000+3600=20 (米/秒),某列車的速度為：(250-210) + (2523) =40 + 2 = 20 (米/秒)某列車的車長(zhǎng)為：20X25-2

12、50= 500-250= 250 (米)兩列車的錯(cuò)車時(shí)間為：(250+150) + (20+20) =400+ 40=10 (秒).答：錯(cuò)車時(shí)間為 10 秒 .例 6、甲、乙兩人分別從相距260 千米的A 、 B 兩地同時(shí)沿筆直的公路乘車相向而行，各自前往B 地、 A 地。甲每小時(shí)行32 千米，乙每小時(shí)行48 千米。甲、乙各有一個(gè)對(duì)講機(jī)，當(dāng)他們之間的距離小于 20 千米時(shí)，兩人可用對(duì)講機(jī)聯(lián)絡(luò)。問：(1)兩人出發(fā)后多久可以開始用對(duì)講機(jī)聯(lián)絡(luò)?(2)他們用對(duì)講機(jī)聯(lián)絡(luò)后，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間相遇?(3)他們可用對(duì)講機(jī)聯(lián)絡(luò)多長(zhǎng)時(shí)間 ?(第四屆希望杯試題)分析與解：(1)(260-20) (32+48)=3(小時(shí)

13、)。(2)20 (32+48)=0.25(小時(shí))。(3)從甲、乙相遇到他們第二次相距20 千米也用 0.25 小時(shí)所以他們一共可用對(duì)講機(jī)聯(lián)絡(luò)0.25+0.25=0.5(小時(shí) )。例 7、甲、乙兩車同時(shí)從A、 B 兩地出發(fā)相向而行，兩車在離B 地 64 千米處第一次相遇.相遇后兩車仍以原速繼續(xù)行駛，并且在到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后，立即 沿原路返回，途中兩車在距 A地48千米處第二次相遇，問兩次相遇點(diǎn)相距多少 千米？第二被 第一次甲k）A ：!;B48千米.；64吊米C：乙分析與解：甲、乙兩車共同走完一個(gè)AB全程時(shí)，乙車走了 64千米，從上 圖可以看出：它們到第二次相遇時(shí)共走了 3個(gè)AB全程，因此，我們可

14、以理解為 乙車共走了 3個(gè)64千米，再由上圖可知：減去一個(gè) 48千米后，正好等于一個(gè) AB全程.解：AB間的距離是64X3 48 = 19248 = 144（千米）. 兩次相遇點(diǎn)的距離為 144-48-64 =32 （千米）.答：兩次相遇點(diǎn)的距離為32千米.例8趙伯伯為鍛煉身體，每天步行3小時(shí)，他先走平路，然后上山，最后又回沿原路返回，假設(shè)趙伯伯在平路上每小時(shí)行4千米，上山每小時(shí)行3千米，下山每小時(shí)行6千米，在每天鍛煉中，他共行走多少米？（第五屆希望杯 試題）分析與解：趙伯伯上山和下山走的路程相同，上山速度為 3千米，下山速度為6千米，上山與下山的平均速度是多少？（這是一個(gè)易錯(cuò)題）可以通過“設(shè)

15、 數(shù)”的方法讓四年級(jí)同學(xué)明白。設(shè)上山路程為6千米，（想一想為什么設(shè)6千米？還可以設(shè)幾千米？）上山時(shí)間為：6+ 3=2 （時(shí)）下山時(shí)間為：6+ 6=1 （時(shí)）上下山的平均速度為：（6 + 6） + （2+1） =4千米又因?yàn)槠铰返乃俣纫矠?4 千米 /小時(shí)，所以趙伯伯每天鍛煉走的路程為：43=12千米?！咎魬?zhàn)自我】1、小明、小華和小新三人家在同一條街道上，小明家在小華家西300 米處，小新家在小明家東400 米處，則小華家和小新家相距多少米？（第三屆希望杯試題）答案：畫圖得100 米。2、小明家離學(xué)校2 千米，小光家離學(xué)校3 千米，小明和小光的家相距多少千米？（第一屆希望杯試題）答案： 1 千米

16、與 5 千米之間。分類討論，一題多解。當(dāng)小明家與小光家在同一側(cè)時(shí)，距離最近為1 千米。當(dāng)小明家與小光家方向相反時(shí)，距離最遠(yuǎn)為5 千米。但是小明和小光家可能不在一條直線上，所以小明與小光家的距離應(yīng)在1千米至 5 千米之間。3、甲乙兩個(gè)港口相距400 千米，一艘輪船從甲港順流而下， 20 小時(shí)可到達(dá)乙港。已知順?biāo)偈悄嫠俚?2 倍。有一次，這艘船在由甲港駛向乙港途中遇到突發(fā)事件，反向航行一段距離后，再掉頭駛向乙港，結(jié)果晚到 9 個(gè)小時(shí)。輪船的這次航行比正常情況多行駛了多少千米？（第四屆希望杯試題 ）答案：順?biāo)俣仁?00攵0=20 （千米）逆水速度是20攵=10 （千米）反向航行一段距離順?biāo)?/p>

17、時(shí)用的時(shí)間是9+（2+1） =3 （小時(shí)）比正常情況多行駛的路程是20M>2=120 （千米）4、兩列相同而行的火車恰好在某站臺(tái)相遇。如果甲列車長(zhǎng)225 米，每秒行駛 25 米，乙列車每秒行駛20 米，甲、乙兩列車錯(cuò)車時(shí)間是9 秒。求：（ 1）乙列車長(zhǎng)多少米？（ 2）甲列車通過這個(gè)站臺(tái)用多少秒？（ 3）坐在甲列車上的小明看到乙列車通過用了多少秒？（第二屆希望杯試題）答案： （1）乙列車長(zhǎng)180米（2）甲列車通過這個(gè)站臺(tái)用多9 秒（3）坐在甲列車上的小明看到乙列車通過用了 4 秒5、甲、乙兩車同時(shí)從A 、 B 兩地沿相同的方向行駛，甲車如果每小時(shí)行60 千米，則 5 小時(shí)可追上前方的乙車；

18、如果每小時(shí)行駛70 千米，則 3 小時(shí)可追上前方的乙車。由上可知，乙車每小時(shí)行駛多少千米？（第三屆希望杯試題）答案：乙車每小時(shí)行駛45 千米?！揪C合練習(xí)】1、甲、乙兩車分別從相距240 千米的 A 、 B 兩城同時(shí)出發(fā)，相向而行，已知甲車到達(dá)B城需4小時(shí)，乙車到達(dá)A城需6小時(shí)，問：兩車出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間 相遇？答案：240+ （240+ 4 + 240+6） = 2.4 （小時(shí)）.2、小明家在學(xué)校東400米處，小紅加在小明家的西 200米處，那么小紅 家距離學(xué)校多少米？（第三屆希望杯試題）答案：畫圖解題，小紅家距學(xué)校 200米。3、甲、乙二人以均勻的速度分別從 A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，他們

19、第一次相遇地點(diǎn)離 A地4千米，相遇后二人繼續(xù)前進(jìn)，走到對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即 返回，在距B地3千米處第二次相遇，求兩次相遇地點(diǎn)之間的距離？答案：A、B兩地間的距離：4X33 = 9 （千米）.兩次相遇點(diǎn)的距離：943= 2 （千米）.4、周老師和王老師沿著學(xué)校的環(huán)形林蔭道散步，王老師每分鐘走 55米， 周老師每分鐘走65米。已知林蔭道周長(zhǎng)是480米，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)背向而 行。在他們第10次相遇后，王老師再走多少米就回到出發(fā)點(diǎn)？（第四屆希望杯 試題）答案：幾分鐘相遇一次：480+ （55+65） =4 （分鐘）10次相遇共用：4X10=40 （分鐘）王老師40分鐘行了 ： 55X40=2200 （

20、米）2200%80=4 （圈）280 （米）所以正女?走了 4圈還多280米，480 280=200 （米）答：再走200米回到出發(fā)點(diǎn)。5、“希望號(hào)”和“奧運(yùn)號(hào)”兩列火車相向而行，“希望號(hào)”車的車身長(zhǎng)280 米，“奧運(yùn)號(hào)”車的車身長(zhǎng)385米，坐在“希望號(hào)”車上的小明看見“奧運(yùn)號(hào)” 車駛過的時(shí)間是11秒，求：（1） “希望號(hào)”和“奧運(yùn)號(hào)”車的速度和？（2）坐在“奧運(yùn)號(hào)”車上的小強(qiáng)看見“希望號(hào)”車駛過的時(shí)間？（3）兩列火車的會(huì)車的時(shí)間？答案：（1）速度和35米/秒；（2） 8秒；（3）會(huì)車時(shí)間19秒。5.小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回），他們?cè)陔x甲村

21、3.5千米處第一次相遇， 在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第 四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)（相遇指迎面相遇）？解：畫示意圖如下.3.5X3=10.5 （千米）.從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是10.5-2 =8.5 （千米）.每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時(shí)，兩人已共同走了兩村距離（3+2+ 2）倍的行程.其中張走了3.5 X 7=24.5 （千米），24.5=8.5 +8.5+7.5 （千米）.就知道第四次相遇處，離乙村8.5-7.5=1（千米）.答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.35甲、乙、丙是一條路上的三個(gè)車站，乙站到甲、

22、丙兩站的距離相等，小強(qiáng)和小明同時(shí)分別從甲、丙兩站出發(fā)相向而行，小強(qiáng)經(jīng)過乙站100米時(shí)與小明相遇，然后兩人又繼續(xù)前進(jìn)，小強(qiáng)走到丙站立即返回，經(jīng)過乙站300米時(shí)又追上小明，問：甲、乙兩站的距離是多少米？先畫圖如下：追上中點(diǎn)相遇U11T1 1小明300米腐瞇甲r1丙分析與解：結(jié)合上圖，我們可以把上述運(yùn)動(dòng)分為兩個(gè)階段來考察：第一階段一一從出發(fā)到二人相遇：小強(qiáng)走的路程個(gè)甲、乙距離+100米，小明走的路程個(gè)甲、乙距離-100米。第二階段一一從他們相遇到小強(qiáng)追上小明，小強(qiáng)走的路程=2個(gè)甲、乙距離-100米+300米=2個(gè)甲、乙距離+200米， 小明走的路程=100+300=400 （米）。從小強(qiáng)在兩個(gè)階段所

23、走的路程可以看出：小強(qiáng)在第二階段所走的路是第一階段的2倍，所以，小明第二階段所走的路也是第一階段的2倍，即第一階段應(yīng)走 400+2= 200 （米），從而可求出甲、乙之間的距離為 200+ 100=300 （米）。47、現(xiàn)在是3點(diǎn)，什么時(shí)候時(shí)針與分針第一次重合？分析與解：3點(diǎn)時(shí)分針指12,時(shí)針指3。分針在時(shí)針后 5X3=15 （個(gè)）每分鐘分針比時(shí)針多走格裹使分針與時(shí)針重合，即使分針比時(shí)針格.'多走15格.需要15+ （1=喘（分鐘）一所以，所求的時(shí)刻應(yīng)為34點(diǎn)16 yj分o解5+（1-1） =16± （分鐘）答工所求的時(shí)刻應(yīng)為3點(diǎn)161分©48、有一座時(shí)鐘現(xiàn)在顯示

24、10時(shí)整。那么，經(jīng)過多少分鐘，分針與時(shí)針第一次重合；再經(jīng)過多少分鐘，分針與時(shí)針第二次重合？解：10時(shí)整，分針與時(shí)針距離是 10格，需要追擊的距離是（60-10）格，分針走60格，時(shí)針走5格，即分針走1格，時(shí)針走5/60=1/12格。第一次重合經(jīng)過（60-10） / （1-1/12 ） =54 （6/11 ）（分）第二次重合再經(jīng)過60/ （1-1/12 ） =65 （5/11 ）（分）答：經(jīng)過54 （6/11 ）分鐘，分針與時(shí)針第一次重合；再經(jīng)過 65 （5/11 ）分鐘，分針與時(shí)針 第二次重合。2點(diǎn)鐘以后，什么時(shí)刻分針與時(shí)針第一次成直角？分析與解：在2點(diǎn)整時(shí)，分針落后時(shí)針 5X2=10 （個(gè)）

25、格，當(dāng)分針與時(shí)針第一次成直角時(shí)，分針超過時(shí)針60X （90+360） =15 （個(gè)）格，因此在這段時(shí)間內(nèi)分針要比時(shí)針多走10+15=25（個(gè)）格，所以到達(dá)這一時(shí)刻所用的時(shí)間為：25+（分鐘），所求的時(shí)刻為2點(diǎn)2琮分， 4J. 1IL 1等在2點(diǎn)27（分時(shí)，分針與時(shí)針第一次成直角。49、在9點(diǎn)與10點(diǎn)之間的什么時(shí)刻，分針與時(shí)針在一條直線上？分析與解：分兩種情況進(jìn)行討論。分針與時(shí)針的夾角為180°角:當(dāng)分針與時(shí)針的夾角為 180°角時(shí)，分針落后時(shí)針 60X （180+360） =30 （個(gè)）格，而 在9點(diǎn)整時(shí)，分針落后時(shí)針5X 9=45（個(gè)）格.因此，在這段時(shí)間內(nèi)分針要比時(shí)針多

26、走45-30=15（個(gè)）格，而每分鐘分針比時(shí)針多走。-白個(gè)格，因此，到達(dá)這一時(shí)刻所用的時(shí)間為5+（1-焉）=14（分鐘）。分針與時(shí)針的夾角為 0。，即分針與時(shí)針重合：9點(diǎn)整時(shí)，分針落后時(shí)針 5X9=45 （個(gè)）格，而當(dāng)分針與時(shí)針重合時(shí)，分針要比時(shí)針多走 45 個(gè)格，因此到達(dá)這一時(shí)刻所用的時(shí)間為：45+（1 -1/12） =49又1/11 （分鐘）19、甲、乙二人分別從 A、B兩地同時(shí)出發(fā)，如果兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；如果兩人相向而行，6分鐘可相遇，又已知乙每分鐘行50米，求A、B兩地的距離。解：先畫圖如下:追及點(diǎn)追及相遇B相遇點(diǎn)C【方法一】 若設(shè)甲、乙二人相遇地點(diǎn)為 C,甲追及乙的地點(diǎn)

27、為 D,則由題意可知甲從 A到C 用6分鐘.而從A到D則用26分鐘，因此，甲走C到D之間的路程時(shí)，所用時(shí)間應(yīng)為：（26-6） 二20 （分）。同時(shí)，由上圖可知，C、D間的路程等于 BC加BD.即等于乙在6分鐘內(nèi)所走的路程與在26分鐘內(nèi)所走的路程之和，為50X （ 26+ 6） =1600 （米）.所以，甲的速度為 1600+ 20=80 （米/分），由此可求出 A B間的距離。50X （ 26+6） + （ 26-6 ） =50X 32+20= 80 （米/分）（80+50） X 6=130X6=780 （米）答：A B間的距離為780米。【方法二】設(shè)甲的速度是x米/分鐘那么有（x-50） X

28、 26=（x+50） X 6解得x=80所以兩地距離為（80+50） X 6=780米5.小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走（到達(dá)另一村后就馬上返回），他們?cè)陔x甲村3.5千米處第一次相遇， 在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第 四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)（相遇指迎面相遇）？解：畫示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了3.5X3=10.5 （千米）.從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是10.5-2 =8.5 （千米）.每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時(shí)，兩人已共同走了兩村距離（3+2+

29、 2）倍的行程.其中張走了3.5 X 7=24.5 （千米），24.5=8.5 +8.5+7.5 （千米）.就知道第四次相遇處，離乙村8.5-7.5=1 （千米）.答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.例20從甲市到乙市有一條公路，它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時(shí)40千米，在第二段上，汽車速度是每小時(shí)90千米，在第三段上，汽車速度是每小時(shí)50千米.已知第一段公路的長(zhǎng)恰好是第三段的2倍.現(xiàn)有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時(shí)出發(fā)，相向而行 .1小時(shí)20分后，在第二段的1/3處（從甲方到乙方向的1/3處）相遇，那么，甲、乙兩市相距多少千米？解一：畫出如下示意圖：第一段第三段甲 I一一I-I11I 乙卜

30、 6 tf C B當(dāng)從乙城出發(fā)的汽車走完第三段到 C時(shí)，從甲城出發(fā)的汽車走完第一段的 140 _ 2 /X ,-250 5到達(dá)D處，這樣，D把第一段分成兩部分, : C1 -y） =2' 3兩車在第二段的1/3處相遇，水明甲城汽車從 D到E走完第一段，與乙城汽車走完第二段的 1/3從C到F, 所用時(shí)間相同，設(shè)這一時(shí)間為一份，一小時(shí)20分相當(dāng)于4+1 +1= 2 得（份）.2（分鐘）因此就知道，汽車在第一段需要 2 30X 4 + 30 = 50 1分鐘）；第二段需要30 X3=90 （分鐘）；第三段需要30X = 20 （分鐘）;甲、乙兩市距離是40 x+ 90 X + 50 乂 7-

31、 = 185 （千米）.答：甲、乙兩市相距 185千米.把每輛車從出發(fā)到相遇所走的行程都分成三段，而兩車逐段所用時(shí)間都相應(yīng)地一樣.這樣通過“所用時(shí)間”使各段之間建立了換算關(guān)系.這是一種典型的方法.例8、例13也是類似思路，僅僅是問題簡(jiǎn)單些.還可以用“比例分配”方法求出各段所用時(shí)間.解二：走第一段的2/5,與走第三段時(shí)間一樣就得出第一段所用時(shí)間：第三段所用時(shí)間=5 ： 2.D至E與C至F所用時(shí)間一樣，就是走第一段的3/5與走第二段的1/3所用時(shí)間一樣。第一段所用時(shí)間：第二段所用時(shí)間=5 : 9.因此，三段路程所用時(shí)間的比是：5 ： 9 ： 2.行程問題（三）相遇問題是指兩個(gè)物體在行進(jìn)過程中相向而

32、行，然后在途中某點(diǎn)相遇的行程問題。 其主要數(shù)量關(guān)系式為：總路程=速度和X相遇時(shí)間追及問題是指兩個(gè)物體在行進(jìn)過程中同向而行，快行者從后面追上慢行者的行程問題。 其主要數(shù)量關(guān)系式為：路程差=速度差X追及時(shí)間例1姐姐放學(xué)回家，以每分鐘80米的速度步行回家，12分鐘后妹妹騎車以每分鐘 240 米的速度從學(xué)校往家中騎，經(jīng)過幾分鐘妹妹可以追上姐姐？分析：經(jīng)過12分鐘，姐姐到達(dá) A地，妹妹騎車回家。如下圖所示：轅R家4分鐘例2 一輛公共汽車和一輛小轎車同時(shí)從相距360千米的兩地相向而行，公共汽車每小時(shí)行35千米，小轎車每小時(shí)行 55千米，幾小時(shí)后兩車相距 90千米？分析：兩車從相距360千米的兩地同時(shí)出發(fā)相

33、向而行，距離逐漸縮短，在相遇前某一時(shí)刻兩車相距90千米。如下圖公共汽車 A兜千*1 小轎車究0千表這時(shí)兩車共行的路程為36090=270 （千米）值得注意的是，當(dāng)兩車相遇后繼續(xù)行駛時(shí)，兩車之間的距離又從零逐漸增大，到某一時(shí)刻，兩車再一次相距 90千米。如下圖所示相遇點(diǎn)公共汽車I二1小轎車90千米360千米例3兄弟兩人騎自行車同時(shí)從學(xué)校出發(fā)回家。哥哥每小時(shí)行15千米，弟弟每小時(shí)行10千米。出發(fā)半個(gè)小時(shí)后哥哥因事返回學(xué)校，到學(xué)校后又耽擱了1小時(shí)，然后動(dòng)身去追弟弟。當(dāng)哥哥追上弟弟時(shí)，距學(xué)校多少千米？分析：本題可以分段考慮，從開始一步步分析。出發(fā)半個(gè)小時(shí)后，哥哥因事返回學(xué)校，在這個(gè)過程中哥哥和弟弟各行

34、了1小時(shí)，到學(xué)校后哥哥又耽擱了1小時(shí)，這時(shí)弟弟又行了 1小時(shí)。因此可以看作當(dāng)哥哥準(zhǔn)備從學(xué)校追弟弟時(shí)，弟弟共行了 2小時(shí)，弟弟2小時(shí)所行的路程就是哥哥與弟弟的路程差，由此可求出追及時(shí)間。例4小張、小明兩人同時(shí)從甲、乙兩地出發(fā)相向而行，兩人在離甲地40米處第一次相遇，相遇后兩人仍以原速繼續(xù)行駛， 并且在各自到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后立即沿原路返回，途中兩人在距乙地15米處第二次相遇。甲、乙兩地相距多少米？分析：根據(jù)題意畫圖如下第一次相遇卷第二次相遇點(diǎn)小張» 甲 I 匍*. 一115 米小明例5 在周長(zhǎng)為400米的圓形跑道的一條直徑的兩端，甲、乙兩人分別以每秒6米和每秒4米的速度騎自行車同時(shí)同向出發(fā)

35、（順時(shí)針）沿圓周行駛， 經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間，甲第二次追上乙？分析：如圖，在出發(fā)的時(shí)候，甲、乙兩人相距半個(gè)周長(zhǎng)，根據(jù)路程差+速度差=追及時(shí)間，就可求出甲第一次追上乙的時(shí)間。當(dāng)甲追上乙后，兩人就可以看作同時(shí)同地出發(fā)，同向例6客車、貨車、卡車三輛車，客車每小時(shí)行60千米，貨車每小時(shí)行 50千米，卡車每小時(shí)行55千米?？蛙嚒⒇涇噺臇|鎮(zhèn)，卡車從西鎮(zhèn)，同時(shí)相向而行，卡車遇上客車后，10小時(shí)后又遇上了貨車。東西兩鎮(zhèn)相距多少千米？分析：根據(jù)題意畫圖需車與卡車相遇點(diǎn)尊尊A 卡車東轅II_.II西整貨車B C （卡車與貨車相遢點(diǎn)）當(dāng)卡車與客車在 A點(diǎn)相遇時(shí)，而貨車行到 B點(diǎn)，10小時(shí)后，卡車又遇到貨車，說明在10小時(shí)內(nèi)

36、卡車與貨車合行路程是（卡車與客車相遇時(shí)）客車與貨車所行的路程差。客車與 貨車相差A(yù)B的路程所用的時(shí)間就是卡車與客車的相遇時(shí)間。例7商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯以勻速由下往上行駛，兩個(gè)孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行駛的扶梯 上，男孩每秒鐘向上走2個(gè)梯級(jí)，女孩每2秒向上走3個(gè)梯級(jí)。結(jié)果男孩用40秒鐘到達(dá)，女孩 用50秒鐘到達(dá)。則當(dāng)該扶梯靜止時(shí)，可看到的扶梯級(jí)有：A 80級(jí) B . 100級(jí) C . 120級(jí) D . 140級(jí)（2005年中央真題）解析；這是一個(gè)典型的行程問題的變型，總路程為“扶梯靜止時(shí)可看到的扶梯級(jí)”，速度為“男孩或女孩每個(gè)單位向上運(yùn)動(dòng)的級(jí)數(shù)”，如果設(shè)電梯勻速時(shí)的速度為 X,則可列方程如下，（X+

37、2 X40= （X+3/2） X 50解得X=0.5也即扶梯靜止時(shí)可看到的扶梯級(jí)數(shù)=（2+0.5） X 40=100所以，答案為B。例8姐弟倆出游，弟弟先走一步，每分鐘走40米，走了 80米后姐姐去追他。姐姐每分鐘走60米，姐姐帶的小狗每分鐘跑150米。小狗追上了弟弟又轉(zhuǎn)去找姐姐，碰上了姐姐又轉(zhuǎn)去追弟弟，這樣跑來跑去，直到姐弟相遇小狗才停下來。問小狗共跑了多少米？A. 600 米 B. 800 米 C. 1200 米 D. 1600 米（2003 年中央 A 類）解析：此題將追及問題和一般路程問題結(jié)合起來，是一道經(jīng)典習(xí)題。 首先求姐姐多少時(shí)間可以追上弟弟，速度差=60米/分-40米/=20米/

38、分，追擊距離=80米，所以，姐姐只要 80米+20米/分=4分種即可追上弟弟，在這 4種內(nèi)，小狗一直處于運(yùn)動(dòng)狀 態(tài)，所以小狗跑的路程 =150米/分X 4分=600米。 所以，正確答案為 A。練習(xí)：甲乙兩人從相距50千米的兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。甲每小時(shí)行6千米，乙每小時(shí)行4千米，甲帶著一只狗，狗每小時(shí)跑12千米，這只狗同甲一道出發(fā)，；碰到乙的時(shí)候， 它就掉頭朝甲這邊跑， 碰到甲時(shí)又往乙那邊跑， 直到兩人相遇，這只狗一共跑了多少千米？例9某校下午2點(diǎn)整派車去某廠接勞模作報(bào)告，往返需 1小時(shí)。該勞模在下午1點(diǎn)整 就離廠步行向?qū)W校走來，途中遇到接他的車，便坐上車去學(xué)校，于下午 2點(diǎn)30分到達(dá)。問

39、汽車的速度是勞模的步行速度的幾倍 ？A. 5倍 B. 6倍C. 7倍 D. 8倍（2003年中央B類）解析，如果接勞模往返需1小時(shí)，而實(shí)際上汽車 2點(diǎn)出發(fā)，30分鐘便回來，這說明遇到勞 模的地點(diǎn)在中點(diǎn)，也即勞模以步行速度（時(shí)間從1點(diǎn)到2點(diǎn)15分）走的距離和汽車所行的距離（2點(diǎn)到2點(diǎn)15分）相等。設(shè)勞模的步行速度為A/小時(shí)，汽車的速度是勞模的步行速度的X倍，則可列方程 5/4A=1/4AX 解得X=5 所以，正確答案為 A。例10甲乙兩人騎車同時(shí)從南北兩地相向而行，甲每小時(shí)行23千米，乙每小時(shí)行18千米，兩人在距兩地中點(diǎn)10千米處相遇，南北兩地相距多少千米？分析：根據(jù)題意畫圖如下申珀遢點(diǎn) ?04南III北I10千米從圖中可以看出，甲走了南北距離的一半多10千米，乙走了南北距離的一半少 10千米。從出發(fā)到相遇，甲比乙多走了兩個(gè)10千米。又已知 甲每小時(shí)比乙多行23-18=5 （千米）多少小時(shí)后甲就比乙多行 20千米？這個(gè)時(shí)間就是甲乙相遇時(shí)間，有了相遇時(shí)間，南北 兩地的距離就可求出了。例11甲、乙兩人同時(shí)從東、西兩地分別出發(fā)，如果兩人同向而行，甲28分鐘追上乙；如果兩人相向而行，8分鐘相遇。已知乙每分鐘行 50米，東西兩地相距多少米