高考數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題訓(xùn)練專(zhuān)題五空間中的平行與垂直

1、第2講空間中的平行與垂直考情解讀1.以選擇、填空題的形式考查，主要利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面和面面的判定與性質(zhì)定理對(duì)命題的真假進(jìn)行判斷，屬基礎(chǔ)題.2.以解答題的形式考查，主要是對(duì)線線、線面與面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，且多以棱柱、棱錐、棱臺(tái)或其簡(jiǎn)單組合體為載體進(jìn)行考查，難度中等1線面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理線面平行的判定定理a線面平行的性質(zhì)定理ab線面垂直的判定定理l線面垂直的性質(zhì)定理ab2.面面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理面面垂直的判定定理面面垂直的性質(zhì)定理a面面平行的判定定理面面平行的性質(zhì)定理ab提醒使用有關(guān)平行、垂直的判定定理時(shí)，要注意其具備的條件，缺一不可3平行關(guān)系及垂

2、直關(guān)系的轉(zhuǎn)化熱點(diǎn)一空間線面位置關(guān)系的判定例1(1)設(shè)a，b表示直線，表示不同的平面，則下列命題中正確的是()A若a且ab，則bB若且，則C若a且a，則D若且，則(2)平面平面的一個(gè)充分條件是()A存在一條直線a，a，aB存在一條直線a，a，aC存在兩條平行直線a，b，a，b，a，bD存在兩條異面直線a，b，a，b，a，b思維啟迪判斷空間線面關(guān)系的基本思路：利用定理或結(jié)論；借助實(shí)物模型作出肯定或否定答案(1)D(2)D解析(1)A：應(yīng)該是b或b；B：如果是墻角出發(fā)的三個(gè)面就不符合題意；C：m，若am時(shí)，滿(mǎn)足a，a，但是不正確，所以選D.(2)若l，al，a，a，則a，a，故排除A.若l，a，al

3、，則a，故排除B.若l，a，al，b，bl，則a，b，故排除C.故選D.思維升華解決空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，必要時(shí)可以利用正方體、長(zhǎng)方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時(shí)要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中設(shè)m、n是不同的直線，、是不同的平面，有以下四個(gè)命題：若，m，則m若m，n，則mn若m，mn，則n若n，n，則其中真命題的序號(hào)為()ABCD答案D解析若，m，則m與可以是直線與平面的所有關(guān)系，所以錯(cuò)誤；若m，n，則mn，所以正確；若m，mn，則n或n，所以錯(cuò)誤；若n，n

4、，則，所以正確故選D.熱點(diǎn)二平行、垂直關(guān)系的證明例2如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.思維啟迪(1)利用平面PAD底面ABCD的性質(zhì)，得線面垂直；(2)BEAD易證；(3)EF是CPD的中位線證明(1)因?yàn)槠矫鍼AD底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，所以PA底面ABCD.(2)因?yàn)锳BCD，CD2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以ABDE，且ABDE.所以四邊形ABED為平行四邊形所以BEAD.又因?yàn)锽E平面PAD，AD

5、平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因?yàn)锳BAD，而且ABED為平行四邊形所以BECD，ADCD，由(1)知PA底面ABCD.所以PACD.所以CD平面PAD.所以CDPD.因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，所以PDEF.所以CDEF.所以CD平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.思維升華垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類(lèi)型(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直(4)證明面面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直如圖所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD

6、為等邊三角形，ADDE2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)求證：(1)AF平面BCE；(2)平面BCE平面CDE.證明(1)如圖，取CE的中點(diǎn)G，連接FG，BG.F為CD的中點(diǎn)，GFDE且GFDE.AB平面ACD，DE平面ACD，ABDE，GFAB.又ABDE，GFAB.四邊形GFAB為平行四邊形，則AFBG.AF平面BCE，BG平面BCE，AF平面BCE.(2)ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，AFCD.DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF.又CDDED，AF平面CDE.BGAF，BG平面CDE.BG平面BCE，平面BCE平面CDE.熱點(diǎn)三圖形的折疊問(wèn)題例3如圖(1)，在RtABC中，C90

7、6;，D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn)，將ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如圖(2)(1)求證：DE平面A1CB；(2)求證：A1FBE；(3)線段A1B上是否存在點(diǎn)Q，使A1C平面DEQ？請(qǐng)說(shuō)明理由思維啟迪折疊問(wèn)題要注意在折疊過(guò)程中，哪些量變化了，哪些量沒(méi)有變化第(1)問(wèn)證明線面平行，可以證明DEBC；第(2)問(wèn)證明線線垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即證明A1F平面BCDE；第(3)問(wèn)取A1B的中點(diǎn)Q，再證明A1C平面DEQ.(1)證明因?yàn)镈，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，所以DEBC.又因?yàn)镈E平面A1CB，BC平面A1CB，所以DE平面A1CB.(2)證明由圖(

8、1)得ACBC且DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD.所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC，所以DEA1F.又因?yàn)锳1FCD，所以A1F平面BCDE，又BE平面BCDE，所以A1FBE.(3)解線段A1B上存在點(diǎn)Q，使A1C平面DEQ.理由如下：如圖，分別取A1C，A1B的中點(diǎn)P，Q，則PQBC.又因?yàn)镈EBC，所以DEPQ.所以平面DEQ即為平面DEP.由(2)知，DE平面A1DC，所以DEA1C.又因?yàn)镻是等腰三角形DA1C底邊A1C的中點(diǎn)，所以A1CDP.所以A1C平面DEP.從而A1C平面DEQ.故線段A1B上存在點(diǎn)Q，使得A1C平面DEQ.思維升華(1)解決與折疊有

9、關(guān)的問(wèn)題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量一般情況下，折線同一側(cè)線段的長(zhǎng)度是不變量，而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化，抓住不變量是解決問(wèn)題的突破口(2)在解決問(wèn)題時(shí)，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形如圖(1)，已知梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC2AD4，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，EFBC，AEx.沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD平面EBCF(如圖(2)所示)，G是BC的中點(diǎn)(1)當(dāng)x2時(shí)，求證：BDEG；(2)當(dāng)x變化時(shí)，求三棱錐DBCF的體積f(x)的函數(shù)式(1)證明作DHEF，垂足為H，連接BH，GH，因?yàn)槠矫鍭EFD平面EBCF，交線

10、為EF，DH平面AEFD，所以DH平面EBCF，又EG平面EBCF，故EGDH.因?yàn)镋HADBCBG2，BE2，EFBC，EBC90°，所以四邊形BGHE為正方形，故EGBH.又BH，DH平面DBH，且BHDHH，故EG平面DBH.又BD平面DBH，故EGBD.(2)解因?yàn)锳EEF，平面AEFD平面EBCF，交線為EF，AE平面AEFD，所以AE平面EBCF.由(1)知，DH平面EBCF，故AEDH，所以四邊形AEHD是矩形，DHAE，故以B，F(xiàn)，C，D為頂點(diǎn)的三棱錐DBCF的高DHAEx.又SBCFBC·BE×4×(4x)82x，所以三棱錐DBCF的體

11、積f(x)SBFC·DHSBFC·AE(82x)xx2x(0<x<4)1證明線線平行的常用方法(1)利用平行公理，即證明兩直線同時(shí)和第三條直線平行；(2)利用平行四邊形進(jìn)行轉(zhuǎn)換；(3)利用三角形中位線定理證明；(4)利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理證明2證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的判定定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行；(2)利用面面平行的性質(zhì)定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證面面平行3證明面面平行的方法證明面面平行，依據(jù)判定定理，只要找到一個(gè)面內(nèi)兩條相交直線與另一個(gè)平面平行即可，從而將證面面平行轉(zhuǎn)化為證線面平行，再轉(zhuǎn)化為證線線平行4證明線線垂直的常用

12、方法(1)利用特殊平面圖形的性質(zhì)，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到線線垂直；(2)利用勾股定理逆定理；(3)利用線面垂直的性質(zhì)，即要證線線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在平面即可5證明線面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理，把線面垂直的判定轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(2)利用面面垂直的性質(zhì)定理，把證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證面面垂直；(3)利用常見(jiàn)結(jié)論，如兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面6證明面面垂直的方法證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個(gè)面過(guò)另一個(gè)面的一條垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則

13、借助中點(diǎn)、高線或添加輔助線解決.真題感悟1(2014·遼寧)已知m，n表示兩條不同直線，表示平面下列說(shuō)法正確的是()A若m，n，則mnB若m，n，則mnC若m，mn，則nD若m，mn，則n答案B解析方法一若m，n，則m，n可能平行、相交或異面，A錯(cuò)；若m，n，則mn，因?yàn)橹本€與平面垂直時(shí)，它垂直于平面內(nèi)任一直線，B正確；若m，mn，則n或n，C錯(cuò)；若m，mn，則n與可能相交，可能平行，也可能n，D錯(cuò)方法二如圖，在正方體ABCDABCD中，用平面ABCD表示.A項(xiàng)中，若m為AB，n為BC，滿(mǎn)足m，n，但m與n是相交直線，故A錯(cuò)B項(xiàng)中，m，n，mn，這是線面垂直的性質(zhì)，故B正確C項(xiàng)中，若

14、m為AA，n為AB，滿(mǎn)足m，mn，但n，故C錯(cuò)D項(xiàng)中，若m為AB，n為BC，滿(mǎn)足m，mn，但n，故D錯(cuò)2(2014·遼寧)如圖，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120°，E，F(xiàn)，G分別為AC，DC，AD的中點(diǎn)(1)求證：EF平面BCG；(2)求三棱錐DBCG的體積附：錐體的體積公式VSh，其中S為底面面積，h為高(1)證明由已知得ABCDBC，因此ACDC.又G為AD的中點(diǎn)，所以CGAD.同理BGAD，又BGCGG，因此AD平面BGC.又EFAD，所以EF平面BCG.(2)解在平面ABC內(nèi)，作AOBC，交CB的延長(zhǎng)線于O.由平面ABC平面BCD

15、，知AO平面BDC.又G為AD中點(diǎn)，因此G到平面BDC的距離h是AO長(zhǎng)度的一半在AOB中，AOAB·sin 60°，所以VDBCGVGBCDSDBC·h×BD·BC·sin 120°·.押題精練1.如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)C在圓周上(異于點(diǎn)A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點(diǎn)M為線段PB的中點(diǎn)有以下四個(gè)命題：PA平面MOB；MO平面PAC；OC平面PAC；平面PAC平面PBC.其中正確的命題是_(填上所有正確命題的序號(hào))答案解析錯(cuò)誤，PA平面MOB；正確；錯(cuò)誤，否則，有OCAC，這與BCAC矛盾；正確，因?yàn)?/p>

16、BC平面PAC.2如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)(1)證明：平面ADC1B1平面A1BE；(2)在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F平面A1BE？并證明你的結(jié)論(1)證明如圖，因?yàn)锳BCDA1B1C1D1為正方體，所以B1C1面ABB1A1.因?yàn)锳1B面ABB1A1，所以B1C1A1B.又因?yàn)锳1BAB1，B1C1AB1B1，所以A1B面ADC1B1.因?yàn)锳1B面A1BE，所以平面ADC1B1平面A1BE.(2)解當(dāng)點(diǎn)F為C1D1中點(diǎn)時(shí)，可使B1F平面A1BE.證明如下：取C1D1中點(diǎn)F，連接EF，B1F易知：EFC1D，且EFC1D.設(shè)AB1A1BO，連接

17、OE，則B1OC1D且B1OC1D，所以EFB1O且EFB1O，所以四邊形B1OEF為平行四邊形所以B1FOE.又因?yàn)锽1F面A1BE，OE面A1BE.所以B1F面A1BE.(推薦時(shí)間：60分鐘)一、選擇題1(2014·廣東)若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿(mǎn)足l1l2，l2l3，l3l4，則下列結(jié)論一定正確的是()Al1l4Bl1l4Cl1與l4既不垂直也不平行Dl1與l4的位置關(guān)系不確定答案D解析如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，記l1DD1，l2DC，l3DA，若l4AA1，滿(mǎn)足l1l2，l2l3，l3l4，此時(shí)l1l4，可以排除選項(xiàng)A和C.若l4DC

18、1，也滿(mǎn)足條件，可以排除選項(xiàng)B.故選D.2已知m和n是兩條不同的直線，和是兩個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條件中一定能推出m的是()A，且mBmn，且nC，且mDmn，且n答案B解析根據(jù)定理、性質(zhì)、結(jié)論逐個(gè)判斷因?yàn)椋琺m，的位置關(guān)系不確定，可能平行、相交、m在面內(nèi)，故A錯(cuò)誤；由線面垂直的性質(zhì)定理可知B正確；若，m，則m，的位置關(guān)系也不確定，故C錯(cuò)誤；若mn，n，則m，的位置關(guān)系也不確定，故D錯(cuò)誤3ABCDA1B1C1D1為正方體，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()ABD平面CB1D1BA1CBDCAC1平面CB1D1DAC1BD1答案D解析因?yàn)锳BCDA1B1C1D1為正方體，所以DD1BB1且DD1BB1

19、，所以四邊形DD1B1B為平行四邊形，所以BDB1D1，因?yàn)锽D面CB1D1，B1D1面CB1D1，所以BD平面CB1D1，故A正確；因?yàn)锳A1面ABCD，BD面ABCD，所以AA1BD，因?yàn)锳BCD為正方形，所以ACBD，因?yàn)锳CAA1A，所以BD面A1ACC1，因?yàn)锳1C面A1ACC1，所以BDA1C，故B正確同理可證得B1D1面A1ACC1，因?yàn)锳C1面A1ACC1，所以B1D1AC1，同理可證CB1AC1，因?yàn)锽1D1CB1B1，所以AC1平面CB1D1，故C正確排除法應(yīng)選D.4如圖，四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°，將ADB沿BD折

20、起，使平面ABD平面BCD，構(gòu)成三棱錐ABCD.則在三棱錐ABCD中，下列命題正確的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC答案D解析在四邊形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45°，BAD90°，BDCD，又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，CD平面ABD，則CDAB，又ADAB，ADCDD，AB平面ADC，又AB平面ABC，平面ABC平面ADC，故選D.5直線m，n均不在平面，內(nèi)，給出下列命題：若mn，n，則m；若m，則m；若mn，n，則m；若m，則m.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A1 B2C3 D4

21、答案D解析對(duì)，根據(jù)線面平行的判定定理知，m；對(duì)，如果直線m與平面相交，則必與相交，而這與矛盾，故m；對(duì)，在平面內(nèi)取一點(diǎn)A，設(shè)過(guò)A、m的平面與平面相交于直線b.因?yàn)閚，所以nb，又mn，所以mb，則m；對(duì)，設(shè)l，在內(nèi)作m，因?yàn)閙，所以mm，從而m.故四個(gè)命題都正確6.在正三棱錐SABC中，M，N分別是SC，BC的中點(diǎn)，且MNAM，若側(cè)棱SA2，則正三棱錐SABC外接球的表面積是()A12 B32C36 D48答案C解析由MNAM且MN是BSC的中位線得BSAM，又由正三棱錐的性質(zhì)得BSAC，BS面ASC.即正三棱錐SABC的三側(cè)棱SA、SB、SC兩兩垂直，外接球直徑為SA6.球的表面積S4R24

22、×3236.選C.二、填空題7已知兩條不同的直線m，n和兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：若m，n，且，則mn；若m，n，且，則mn；若m，n，且，則mn；若m，n，且，則mn.其中正確的個(gè)數(shù)為_(kāi)答案2解析中m，n可能異面或相交，故不正確；因?yàn)閙，n，且成立時(shí)，m，n兩直線的關(guān)系可能是相交、平行、異面，故不正確；因?yàn)閙，可得出m，再由n可得出mn，故正確；分別垂直于兩個(gè)垂直平面的兩條直線一定垂直，正確故正確8下列四個(gè)正方體圖形中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB平面MNP的圖形的序號(hào)是_(寫(xiě)出所有符合要求的圖形序號(hào))答案解析對(duì)于，注意到該正方體的面

23、中過(guò)直線AB的側(cè)面與平面MNP平行，因此直線AB平行于平面MNP；對(duì)于，注意到直線AB和過(guò)點(diǎn)A的一個(gè)與平面MNP平行的平面相交，因此直線AB與平面MNP相交；對(duì)于，注意到此時(shí)直線AB與平面MNP內(nèi)的一條直線MP平行，且直線AB位于平面MNP外，因此直線AB與平面MNP平行；對(duì)于，易知此時(shí)AB與平面MNP相交綜上所述，能得出直線AB平行于平面MNP的圖形的序號(hào)是.9.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1底面ABC，底面是以ABC為直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AA1上，當(dāng)AF_時(shí)，CF平面B1DF.答案a或2a解析由題意易知，B1D平面ACC

24、1A1，所以B1DCF.要使CF平面B1DF，只需CFDF即可令CFDF，設(shè)AFx，則A1F3ax.易知RtCAFRtFA1D，得，即，整理得x23ax2a20，解得xa或x2a.10如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB2，BC1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC(不含端點(diǎn))上一動(dòng)點(diǎn)現(xiàn)將AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在平面ABD內(nèi)過(guò)點(diǎn)D作DKAB，K為垂足設(shè)AKt，則t的取值范圍是_答案解析破解此題可采用兩個(gè)極端位置法，即對(duì)于F位于DC的中點(diǎn)時(shí)，t1，隨著F點(diǎn)到C點(diǎn)時(shí)，CBAB，CBDK，CB平面ADB，即有CBBD，對(duì)于CD2，BC1，BD，又AD1，AB2，因此有ADBD，則有t，因此t

25、的取值范圍是.三、解答題11如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，(1)求證：ACBC1；(2)求證：AC1平面CDB1.證明(1)直三棱柱ABCA1B1C1中，底面三邊長(zhǎng)AC3，BC4，AB5，AB2AC2BC2，ACBC.CC1平面ABC，AC平面ABC，ACCC1，又BCCC1C，AC平面BCC1B1，BC1平面BCC1B1，ACBC1.(2)設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E，連接DE，D是AB的中點(diǎn)，E是C1B的中點(diǎn)，DEAC1，DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1.12如圖所示，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，D，E分別為A1B1，AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱AB上，且AFAB.(1)求證：EF平面BC1D；(2)在棱AC上是否存在一個(gè)點(diǎn)G，使得平面EF