2020-2021大連全國中考數(shù)學初中數(shù)學旋轉的綜合中考模擬和真題匯總

1、2020-2021大連全國中考數(shù)學初中數(shù)學 旋轉的綜合中考模擬和真題匯總一、旋轉1 .已知正方形ABCD的邊長為4, 一個以點A為頂點的45 °角繞點A旋轉，角的兩邊分別 與BC DC的延長線交于點 E、F,連接EF,設CE= a, C已b.(1)如圖1,當a=4&時，求b的值；(2)當a=4時，在圖2中畫出相應的圖形并求出 b的值；(3)如圖3,請直接寫出/EAF繞點A旋轉的過程中a、b滿足的關系式.【答案】(1) 4丘；(2) b=8; (3) ab=32.【解析】試題分析：(1)由正方形ABCD的邊長為4,可得AC= 4垃,/ ACB= 45 °.再CE= a

2、 = 4亞，可得/CAE=/AEC,從而可得/CAF的度數(shù)，既而可得 b=AC;(2)通過證明ACD4ECA即可得；(3)通過證明ACD4ECA即可得.試題解析：(1) 正方形ABCD的邊長為4, .-.AC= 4五,/ ACB= 45 °. CE= a = 4&,Z CAE= Z AEC= 45-= 22.5 °, . . / CAF= / EAF/ CAE= 22.5 °,/ AFC= / ACD- / CAF= 22.5 ,/ CAF= / AFQb=AC= CF= 472 ；(2) Z FAE= 45°, ZACB= 45°,

3、. . / FAU / CAE= 45°, / CAE+/ AEC= 45°, . . / FACAC CF .也 _0EC CA '4472 '=/ AEC又. / ACF= / ECA= 135°,AACFAEC/ 8,即 b=8.(3) ab=32.提示：由(2)知可證 ACQECA,ACECCF4.2, CA ab4. 2.ab=32.2.(探索發(fā)現(xiàn))ACD繞點A逆時針旋轉如圖， ABC是等邊三角形，點 D為BC邊上一個動點，將60得到 AEF ,連接CE.小明在探索這個問題時發(fā)現(xiàn)四邊形ABCE是菱形.小明是這樣想的：等邊三角影X3C I&

4、gt; 心-3C-AC將繞點T逆時針應轉的得«=>到 Xd£rI> 一紐-BC CE - Ji I > 愛珊 X5C5(1)請參考小明的思路寫出證明過程；(2)直接寫出線段 CD, CF , AC之間的數(shù)量關系： ； (理解運用)如圖，在 ABC中，AD BC于點DM ABD繞點A逆時針旋轉90得到 AEF ,延 長FE與BC ,交于點G .(3)判斷四邊形 ADGF的形狀，并說明理由；(拓展遷移)(4)在(3)的前提下，如圖，將AFE沿AE折疊得到 AME ,連接MB ,若AD 6, BD 2,求 MB 的長.D C 營口c 08 dc G圖1BB2圖3

5、【答案】(1)詳見解析；(2) CD CF AC; (3)四邊形ADGF是正方形；(4)2 13【解析】【分析】(1)根據(jù)旋轉得： 4ACE是等邊三角形，可得：AB=BC=CE=AE則四邊形 ABCE是菱形；(2)先證明 C、F、E在同一直線上，再證明 BADCAF (SAS ,則/ADB=/AFC,BD=CF 可得 AC=CF+CD(3)先根據(jù)/ADC=/ DAF=Z F=90。，證明得四邊形 ADGF是矩形，由鄰邊相等可得四邊形ADGF是正方形；(4)證明BAMEAD (SAS ,卞據(jù)BM=DE及勾股定理可得結論.【詳解】(1)證明： ABC是等邊三角形，AB BC AC. ACD繞點A逆

6、時針旋轉60得到 AEF , CAE 60 , AC AE.ACE是等邊三角形.AC AE CE.AB BC CE AE.，四邊形ABCE是菱形.(2)線段DC , CF , AC之間的數(shù)量關系： CD CF AC.(3)四邊形 ADGF是正方形.理由如下：3 Rt ABD繞點A逆時針旋轉90得到 AEF ,4 AF AD , DAF 90 .AD BC ,ADC DAF F 90 .四邊形ADGF是矩形.5 AF AD ,四邊形ADGF是正方形.(4)如圖，連接DE .if o6 .四邊形ADGF是正方形，7 DG FG AD AF 6.ABD繞點A逆時針旋轉90得到 AEF ,4.BAD

7、EAF , BD EF 2, EG FG EF 6 2 ;將 AFE沿AE折疊得到 AME ,MAEFAE , AF AM .BADEAM .8 BAD DAM EAM DAM ,即 BAM DAE.9 AF AD ,AM AD. AM AD 在 BAM 和 EAD 中， BAM DAE ,AB AE10 BAM EAD SAS .BM DE . EG2 DG2- 42 6 22.13.【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形 的判定與性質、正方形的性質以及勾股定理的綜合應用，解決問題的關鍵是熟練掌握等邊 三角形和全等三角形的性質，依據(jù)圖形的性質進

8、行計算求解.3.已知正方形 ABCD中，E為對角線BD上一點，過 E點作EF，BD交BC于F,連接DF, G 為DF中點，連接EG CG(1)求證：EG=CG;(2)將圖中4BEF繞B點逆時針旋轉45°,如圖 所示，取DF中點G連接EGCG問中的 結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；(3)將圖中4BEF繞B點旋轉任意角度，如圖所示，再連接相應的線段，問(1)中的結論是 否仍然成立？通過觀察你還能彳#出什么結論(均不要求證明).【答案】解：(1) CG=EG(2) ( 1)中結論沒有發(fā)生變化，即EG=CG證明：連接 AG,過G點作MN XAD于M,與EF的延長線

9、交于 N點.在4DAG與4DCG中， AD=CD, /ADG=/CDG, DG=DG, DAGDCGAG=CG在4DMG與4FNG中， /DGM=/FGN, FG=DG / MDG=/NFG, ADMGAFNG.MG=NG在矩形AENM中，AM=EN.在 RtAAMG 與 RtENG 中， AM=EN, MG=NG, AAMGA ENG.AG=EGEG=CG(3) (1)中的結論仍然成立.【解析】試題分析：(1)利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出 CG=EG(2)結論仍然成立，連接 AG,過G點作MNLAD于M,與EF的延長線交于 N點；再證明DAGWDCG,得出AG=CG再證出

10、DMGFNG,得到MG=NG；再證明 AMGAENG,得出 AG=EG 最后證出 CG=EG(3)結論依然成立.還知道 EG± CG;試題解析：解：(1)證明：在RtA FCD中，.G為DF的中點，.CG-FD2，同理，在 RtDEF中，EG 二ED ,-CG=EG(2) (1)中結論仍然成立，即 EG=CG連接AG,過G點作MNLAD于M,與EF的延長線交于 N點，如圖所示：在4DAG與4DCG中，. AD=CD, /ADG=/ CDG, DC=DG .DAGADCG, .AG=CG在4DMG與4FNG中， / DGM=Z FGN, DG=FG / MDG=Z NFG, .DMG0

11、"NG,，MG=NG,在矩形AENM中，AM=EN.,在 RtAAMG 與 RtENG 中， . AM=EN, MG=NG, .AMGAENG,.AG=EG,EG=CG(3) ( 1)中的結論仍然成立，即EG=CG且EG±CG過F作CD的平行線并延長 CG交于M點，連接EM、EC,過F作FN垂直于AB于N,如圖 所示：由于G為FD中點，易證 CDGWMFG,得到 CD=FM,又因為 BE=EF 易證 /EFM=/ EBC,貝U EFM EBC / FEM=/ BEC EM=EC / FEE BEC=90,° / FEE FEM=90 ；即 / MEC=90 ； .

12、 AMEC是等腰直角三角形， .G為CM中點，EG=CG EG± CG?！军c睛】本題解題關鍵是作出輔助線，且利用了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 的性質、全等三角形的判定和性質，難度較大。4.如圖1, 4ABC是邊長為4cm的等邊三角形，邊 AB在射線OM上，且OA=6cm,點D 從。點出發(fā)，沿 OM的方向以1cm/s的速度運動，當 D不與點A重合時，將4ACD繞點C 逆時針方向旋轉 60°得到ABCE連結DE.(1)求證：4CDE是等邊三角形；(2)如圖2,當6vtv10時，4BDE的周長是否存在最小值？若存在，求出 4BDE的最小 周長；若不存在，請說明理由；(3

13、)如圖3,當點D在射線OM上運動時，是否存在以 D、E、B為頂點的三角形是直角 三角形？若存在，求出此時 t的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）見解析（2）見解析 （3）存在【解析】試題分析：（1）由旋轉的性質得到 /DCE=60°, DC=EC,即可得到結論；（2）當6vtv10時，由旋轉的性質得到 BE=AD,于是得到Cadbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根據(jù)等邊三角形的性質得到DE=CD,由垂線段最短得到當cd）± AB時，4BDE的周長最小，于是得到結論；（3）存在，當點D于點B重合時，D, B, E不能構成三角形，當04<6時，由旋轉的性

14、質得到/ABE=60°, / BDE< 60°,求得/ BED=90°,根據(jù)等邊三角形的性質得到Z DEB=60 ；求得 /CE&30 ；求得 OD=OA-DA=6-4=2,于是得到 t=2 + 1s2 當 6<t< 10s時，此時不存在； 當t>10s時，由旋轉的性質得到 /DBE=60°,求得/BDE>60°,于 得到 t=14+ 1=14>.試題解析：（1）證明：二,將4ACD繞點C逆時針方向旋轉 60°得到4BCE/ DCE=60 ； DC=EC, .CDE是等邊三角形；（2）存在，

15、當6<t< 10時，由旋轉的性質得，be=ad,.-.Ca dbE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由（1）知，acde是等邊三角形,de=cd, Ca dbe=CD+4,由垂線段最短可知，當cd± ab時，4bde的周長最小，此時，CD=2 x 3 cm, .BDE 的最/、周長=CD+4=2 73+4;（3）存在，二當點D與點B重合時，D, B, E不能構成三角形,當點D與點B重合時，不符合題意；當04<6時，由旋轉可知， Z ABE=60o, /BDEv 60°,/ BED=90 :由（1）可知，acde是等邊三角形，/ DEB=60 :/

16、CEB=30 ； / ceb=z cda,/ CDA=30 ； / CAB=60 ；/ ACD=ZADC=30 ； . DA=CA=4,，OD=OA - DA=6-4=2,，t=2 + 1= 2 當 6vtv10s時，由 ZDBE=120 °>90°,，此時不存在；當t>10s時，由旋轉的性質可知，/DBE=60：又由（1）知/ CDE=60°,/ BDE=Z CD曰/ BDC=60 +/ BDC,而/ BDC>0°, / BDE> 60 ； 只能 / BDE=90 ；從而 / BCD=30°,.BD=BC=4,1. O

17、D=14cm, - t=14 + 1=sl4綜上所述：當t=2或14s時，以D、E、B為頂點的三角形是直角三角形.點睛：在不帶坐標的幾何動點問題中求最值，通常是將其表達式寫出來，再通過幾何或代 數(shù)的方法求出最值；像第三小問這種探究性的題目，一定要多種情況考慮全面，控制變 量，從某一個方面出發(fā)去分類.5.如圖1,四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點（點 G與C D不重合），以CG為一邊在正方形 ABCD外作正方形 CEFG連接BG, DE.（1） 猜想圖1中線段BG線段DE的長度關系及所在直線的位置關系，不必證明； 將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針方向旋轉任意角度”，得到如圖2

18、情形.請你通過觀察、測量等方法判斷 中得到的結論是否仍然成立，并證明你的判斷.（2）將原題中正方形改為矩形（如圖3、4),且 AB=a, BC=b, CE=ka CG=kb (awQ k>0）,第（1）題 中得到的結論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖 4為例簡要說明理 由.1b=2, k=-,求 BE2+DG2 的值.【答案】（1）BG，DE, BG=DE；BG，DE,證明見解析；（2） BG±DE,證明見解 析；（3） 16.25.【解析】分析：（1）根據(jù)正方形的性質，顯然三角形BCG順時針旋轉90。即可得到三角形 DCE,從而判斷兩條直線之間的關系； 結合正方形的性質，根

19、據(jù) SAS仍然能夠判定 BC8 4DCE,從而證明結論；（2）根據(jù)兩條對應邊的比相等，且夾角相等可以判定上述兩個三角形相似，從而可以得到（1）中的位置關系仍然成立；（3）連接BE、DG.根據(jù)勾股定理即可把 BE2+DG2轉換為兩個矩形的長、寬平方和.詳解：（1） BG ± DE, BG=DE二.四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形,.BC=DQ CG=CE /BCD=/ ECG=90,°/ BCG=Z DCE.BCGADCEBG=DE, / CBGN CDE又 /CBG+/ BHC=90 , / CDE+/ DHG=90 ；. BG± DE.(2) AB=a,

20、BC=b, CE=ka CG=kb,BC CG b 一 DC CE a又 / BCG=Z DCE .-.BCGADCE/ CBG=Z CDE又 /CBG+/ BHC=90 , / CDE+/ DHG=90 ；BGXDE.(3)連接 BE DG.根據(jù)題意，得 AB=3, BC=2, CE=1.5, CG=1,BG± DE, / BCD=Z ECG=90 °BE2+DG2=BO2+QE2+DQ2+OG2=BC2+CC2+CE2+CG 2=9+4+2.25+1=16.25.點睛:理.此題綜合運用了全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質以及勾股定6.如圖1, 4ABC中，C

21、A=CB, Z ACB=90 °,直線l經過點C, AFL于點F, B已l于點E. (1)求證：4AC陣 4CBE【答案】(1)答案見解析；(2) J2褥(2)將直線旋轉到如圖 2所示位置，點 D是AB的中點，連接DE.若AB=4/2 , /CBE=30 ；求 DE 的長.【解析】試題分析：(1)根據(jù)垂直的定義得到 /BEC=/ACB=90°,根據(jù)全等三角形的性質得到 /EBO/CAF,即可得到結論；(2)連接CD, DF,證得BCEACF,根據(jù)全等三角形的性質得到 BE=CF, CE=AF,證得 DEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質得到EF=&DE,

22、EF=C&BE,進而得至ij DE的長.試題解析：解：(1) . BEX CE,ZBEC=Z ACB=90°, / EBG/BCE=/ BCEnZACF=90 ； . . / EBO/CAF. -. AFX l 于點 F, . / AFC=90 ：AFC BEC 90在ABCE與AACF中， EBC ACF , /.AACFACBE(AAS)； BC AC(2)如圖 2,連接 CD, DF. . BEX CE, . / BEC=/ACB=90°, / EBG/BCE=/ BCEnZACF=90 ； . . / EBO/CAF. -. AFX l 于點 F, . /

23、AFC=90 ：AFC BEC 90在 ABCE 與 ACAF 中， EBC ACF ,， BC珞 CAF (AAS);BC ACBE=CF. D 是 AB 的中點，CD=BD, / CDB=90 ； . . / CBD=/ACD=45 ；而BECFFCD , CF/EBO/CAF, ./EBD=/DCF.在 4BDE與4CDF中， EBDBD.,.BDEACDF (SAS , . / EDB=/FDC, DE=DF. / Z BDE+ZCDE=90 ； / FDG/ CDE=90 ；即 / EDF=90 ； . EDF是等腰直角三角形，. EF=>/2 DE,EF=CE+CF=CE+B

24、E. / CA=CB, / ACB=90 ； AB=4我 , . . BC=4 .又/ CBE=30°,.CE=1bC=2, BE=T3cE=2T3,EF=CE+BE=2+2,73 , . 口£=*=2 3 =& + 幾.C圖1(1)如圖1,當點D與點C位于直線AB的兩側時， (2)如圖2,當點D與點C位于直線AB的同側時， (3)如圖3,當/ACB變化，且點D與點C位于直線 的/ ACB的度數(shù).【答案】 【解析】 【分析】AB的兩側時，求CD的最大值及相應點睛：本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，直角三角形 斜邊上的中線的性質，證得 BC

25、®4ACF是解題的關鍵.7.已知：在 ABC中，BC=a, AC=b,以AB為邊作等邊三角形 ABD.探究下列問題： a=b=3,且/ACB=60,則 CD=a=b=6,且/ACB=90,則 CD=(3)當/ ACB=120時，CD有最大值是 a+b.(1) a=b=3,且/ACB=60, AABC是等邊三角形，且 CD是等邊三角形的高線的 2倍，據(jù) 此即可求解；(2) a=b=6,且/ACB=90, AABC是等腰直角三角形，且 CD是邊長是6的等邊三角形的 高長與等腰直角三角形的斜邊上的高的差；(3)以點D為中心，將4DBC逆時針旋轉60°,則點B落在點A,點C落在點E

26、.連接AE, CE,當點E、A、C在一條直線上時，CD有最大值，CD=CE=a+b【詳解】(1) ,. a=b=3,且 /ACB=60, .ABC是等邊三角形，.OC= 2 ,.CD=3/3;3V石- 3寸2；(3)以點D為中心，將4DBC逆時針旋轉60°,則點B落在點A,點C落在點E.連接AE, CE,C.CD=ED, / CDE=60 ,° AE=CB=a .CDE為等邊三角形， .CE=CD當點E、A、C不在一條直線上時，有 CD=CE< AE+AC=a+b當點E、A、C在一條直線上時，CD有最大值，CD=CE=a+b只有當 /ACB=120 時，/CAE=18

27、0, 即A、G E在一條直線上，此時 AE最大 ./ACB=120,°因此當/ACB=120時，CD有最大值是a+b.DCD有最大值的條件,本題主要考查了等邊三角形的性質，以及軸對稱的性質，正確理解是解題的關鍵.8.邊長為2的正方形 ABCD的兩頂點 A、C分別在正方形 EFGH的兩邊DE、DG上(如圖 1),現(xiàn)將正方形 ABCD繞D點順時針旋轉，當 A點第一次落在 DF上時停止旋轉，旋轉過程 中，AB邊交DF于點M, BC邊交DG于點N.(1)求邊DA在旋轉過程中所掃過的面積；(2)旋轉過程中，當 MN和AC平行時(如圖2),求正方形ABCD旋轉的度數(shù)；(3)如圖3,設4MBN的周

28、長為p,在旋轉正方形 ABCD的過程中，p值是否有變化？請 證明你白結論.【答案】(1)(2)建早；(3)不變化，證明見解析【解析】試題分析：(1)將正方形ABCD繞D點順時針旋轉，當 A點第一次落在 DF上時停止旋 轉，旋轉過程中，DA旋轉了 45,從而根據(jù)扇形面積公式可求 DA在旋轉過程中所掃過的 面積.(2)旋轉過程中，當 MN和AC平行時，根據(jù)平行的性質和全等三角形的判定和性質可求 正方形ABCD旋轉的度數(shù)為(3)延長BA交DE軸于H點，通過證明如/1"三dD'N和三可得結論.(1) :人點第一次落在 DF上時停止旋轉，DA旋轉了蟲5°.，DA在旋轉過程中所

29、掃過的面積為45邛 x 22 nr360 = 2. MN /AC, .: 45口.UiMN = UJNM BM-BN又又DA = DCDAM = LDCN . DAMbADCN，旋轉過程中，當 MN和AC平行時，正方形 ABCD旋轉的度數(shù)為 網,-22于=22.5： 不變化，證明如下:如圖，延長BA交DE軸于H點，則回函=4即.口叫印N = 90。一 45° - MDM = 45° - 廠,點一.二2.又.|D4 = DCDAU = 1HO0 - 90。= 90° = DCN - ADAHDC- Dli = DNAU = CN, , II.又 tMDE =

30、63;MDN = 45。W M = DM ADMHADMN,MN = MH=AMAH .MNAMCN .廠"一"一：M：心 HMt上，在旋轉正方形 ABCD的過程中，P值無變化.，/ACB=90,B,C,D在一條直線上.，/ACB=/ DCE=90,請判斷AD,BE的關系，并說明解決問題如圖3,線段PA=3點B是線段PA外一點，PB=5,連接AB,將AB繞點A逆時針旋轉90°得到線 段AC,隨著點B的位置的變化，直接寫出PC的范圍.考點：1.面動旋轉問題；2.正方形的性質；3.扇形面積的計算；4.全等三角形的判定和性 質.9. (1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1.4ACB和4D

31、CE均為等腰直角三角形 填空:線段AD,BE之間的關系為.(2)拓展探究如圖2QACB和4DCE均為等腰直角三角形 理由.【答案】(1) AD=BE, AD± BE. (2) AD=BE> AD, BE. (3) 5-3 & w PCW 5圾.【解析】【分析】(1)根據(jù)等腰三角形性質證交AD于點F,由垂直定義得(2)根據(jù)等腰三角形性質證得/OHB=90 , AD± BE； ACDABCE (SAS ,得 AD=BE, Z EBC=Z CAD,延長 BE AD± BE. ACDABCE (SAS , AD=BE, / CAD=/ CBE 由垂直定義(3

32、)作AE，AP,使得 AE=PA則易證 AP圖 AACP, PC=BE當P、E、B共線時，BE最小，最小值=PB-PE當P、E、B共線時，BE最大，最大值=PB+PE故5-3&WBEW 5強.【詳解】(1)結論：AD=BE, AD± BE.理由：如圖1中， ACB與 DCE均為等腰直角三角形, .AC=BC, CE=CD/ ACB=Z ACD=90 ；在 RtACD和 RtBCE 中AC=BCACD= BCECD=CE.ACEABCE (SAS , .AD=BE, /EBC4 CAD延長BE交AD于點F,BC± AD, / EBC+Z CEB=90,° /

33、 CEB=AEF / EAD+Z AEF=90 , ° . / AFE=90, °即 AD± BE.AD=BE, AD± BE.故答案為AD=BE, ADXBE.(2)結論：AD=BE, AD± BE.理由：如圖2中，設 AD交BE于H, AD交BC于O.3 ACB與 DCE均為等腰直角三角形，.AC=BC, CE=CD /ACB=/ ECD=90 ,4 .ACD=Z BCE,在 RtACD和 RtBCE 中AC=BCACD= BCE ,CD=CE5 .ACDABCE (SA§ , .AD=BE, /CAD=/ CBE6 / CAO+

34、/ AOC=90 ； / AOC=Z BOH,7 / BOH+Z OBH=90 ；/ OHB=90 ；ADXBE,.AD=BE, AD± BE.(3)如圖3中，作AE±AP»,使得 AE=PA則易證 APEACP.PC=BE圖3-1中，當P、E、B共線時，BE最小，最小值=PB-PE=5-3/2 ,圖3-2中，當P、E、B共線時，BE最大，最大值=PB+PE=5+3/2 , .5-3 VWBEW 5+32, 即 5-3 - 22 0 PCW5+32.和性質等知識,角形解決問題,10.如圖，在本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉的性質、等腰直角三角形的性質、全等三角形的

35、判定 解題的關鍵是正確尋找三角形全等的條件，學會添加輔助線，構造全等三 學會用轉化的思想思考問題，屬于中考壓軸題.RtABC中，/ACB=90： / A=30 °,點。為AB中點，點P為直線BC上的動點（不與點B、點C重合），連接 OG OP,將線段OP繞點P順時針旋轉60°,得到線段PQ,連接BQ.(1)如圖1,當點P在線段BC上時，請直接寫出線段 BQ與CP的數(shù)量關系.(2)如圖2,當點P在CB延長線上時，(1)中結論是否成立？若成立，請加以證明；若 不成立，請說明理由；(3)如圖3,當點P在BC延長線上時，若 /BP815。，BP=4,請求出BQ的長.【答案】(1)

36、BQ=CP； (2)成立：PC=BQ； (3) 473 4 .【解析】試題分析：(1)結論：BQ=CP.如圖1中，作PH/ AB交CO于H,可得 PCH是等邊三角 形，只要證明 POHQPB即可；(2)成立：PC=BQ.作PH/AB交CO的延長線于 H.證明方法類似(1);(3)如圖3中，作CELOP于E,在PE上取一點F,使得FP=FC,連接CF.設CE=CO=a, 則FC=FP=2a, EF= J3a,在RtPCE中，表示出PC,根據(jù)PC+CB=4,可得方程 (而 J2)a & 4,求出a即可解決問題；試題解析：解：(1)結論：BQ=CP.理由：如圖1中，作PH/ AB交CO于H.

37、在 RtABC 中，. /ACB=90°, / A=30°,點 O 為 AB 中點，. . CO=AO=BO, Z CBO=60° , CBO是等邊三角形，/ CHP=Z COB=60 ； / CPH=ZCBO=60 ；/ CHP=Z CPH=60 ； CPH是等邊三角形,PC=PH=CH, OH=PB, / OPB=Z OPQ+ZQPB=Z OCBZ COP ZOPQ=Z OCP=60 ；/ POH=Z QPB, PO=PQ,APOHAQPB, . PH=QB,，PC=BQ.(2)成立：PC=BQ.理由：作 PH/ AB交CO的延長線于 H.在 RtABC 中，

38、Z ACB=90°, / A=30°,點 O 為 AB 中點，. . CO=AO=BO, Z CBO=60° , CBO是等邊三角形，/ CHP=Z COB=60 ； / CPH=ZCBO=60 ；/ CHP=Z CPH=60 ； .CPH是等邊三角形， ，PC=PH=CH, .1. OH=PB, / Z POH=60 +Z CPO, /QPO=60+/CPQZ POH=Z QPB, / PO=PQ, POHAQPB, . PH=QB,.PC=BQ.(3)如圖3中，作CE±OP于E,在PE上取一點F,使得FP=FG連接CF. / OPC=15 ； ZOC

39、B=Z OCR/ POC . / POC=45 ；. CE=EO,設 CE=CO=a,貝U FC=FP=2a, EF=a,在 RtPCE中，PC=7PE2 CE2 =J(2a Ja)2 a2 二(而 兩a, PGCB=4,(46 V2)a &a 4,解得 a=4正 2品, .PC=4 73 4 ,由(2)可知 BQ=PC,，BQ=4 73 4.點睛：此題考查幾何變換綜合題、旋轉變換、等邊三角形的判定和性質全等三角形的判定 和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造全 等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.11.在平面直角坐標系中，四邊形 AOBC是矩形，點

40、0（0,0）,點A（5,0），點B（0,3）.以點A為中心，順時針旋轉矩形 A0BC,得到矩形 ADEF,點0, B, C的對應點分別為圈用（I ）如圖，當點D落在BC邊上時，求點D的坐標；（n ）如圖，當點D落在線段BE上時，AD與BC交于點H .求證 AADB AA0B ;求點H的坐標.（出）記K為矩形A0BC對角線的交點，S為KDE的面積，求S的取值范圍（直接 寫出結果即可）.【答案】（I ）點D的坐標為（1,3）.（ n ）證明見解析；點H的坐標為（17,3）.5小、30 3、340 30 3.34（山）s .44【解析】分析：（I）根據(jù)旋轉的性質得 AD=A0=5，設CD=k在直角三

41、角形 ACD中運用勾股定理可CD的值，從而可確定 D點坐標；（）根據(jù)直角三角形全等的判定方法進行判定即可；由知 BADBAO,再根據(jù)矩形的性質得CBAOAB.從而BAD CBA,故BH=AH,在RtACH中，運用勾股定理可求得 AH的值，進而求得答案;1n 30 3>/3430 3 后S.44詳解：（I ） .點 A 5,0，點 B 0,3 ,OA 5, OB 3.四邊形AOBC是矩形， AC OB 3, BC OA 5, OBC C 90 ;矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉得到的，AD AO 5.在 RtVADC 中，有 AD2 AC2 DC2, DCAD2 AC252 32 4.BD

42、 BC DC 1.點D的坐標為1,3(n )由四邊形ADEF是矩形，得 ADE 90又點D在線段BE上，得 ADB 90 .由（I ）知，AD AO,又 AB AB , AOB 90 ,RtVADBRtVAOB. 由VADBVAOB,得 BAD BAO.又在矩形AOBC中，OA/BC,CBA OAB. BADCBA. BH AH.設 BH t,則 AH t, HC BC BH 5 t.在 RtVAHC 中，有 AH2 AC2 HC 2,2-22.i,t 35 t.解得 t157.BH175點H的坐標為J4H（出）30 3瘋 S 30 3扃.44.點睛：本大題主要考查了等腰三角形的判定和性質，勾

43、股定理以及旋轉變換的性質等知識，靈活運用勾股定理求解是解決本題的關鍵12.已知O為直線MN上一點，OP，MN,在等腰 RtABO中，BAO 90 , AC OP交OM于C, D為OB的中點，DE，DC交MN于E. 如圖1,若點B在OP上，則AJ OE填 之"，="或 法”；） 線段CA、CO CD滿 足的等量關系式是;（2）將圖1中的等腰RtABO繞O點順時針旋轉 （045 ）,如圖2,那么（1）中的結論是否成立？請說明理由；將圖1中的等腰RtABO繞O點順時針旋轉 （），請你在圖3中畫出圖形，并直接寫出 線段CA、CO、CD滿足的等量關系式 ；5【答案】（1）二；AC 2

44、+Cc2=CD2； （2） （1）中的結論 不成立，理由見解析；（3）畫圖見解析；OC-CA=J2CD.【解析】試題分析：（1）如圖1,證明AC=OC和OC=OE可得結論； 根據(jù)勾股定理可得： AC2+CC2=CD2； （2）如圖2, （1）中的結論 不成立，作輔助線，構建全等三角形，證明 A、D、O、C四點共圓，得 /ACD=/ AOB,同理得：/ EFO=/ EDO,再證明 ACOAEOF7,彳# OE=AC AO=EF,根據(jù)勾股定理得： AC2+OC2=FO2+OE2=EF2,由直角三角形中最長邊為斜邊可得結論；（3）如圖3,連接AD,則AD=OD證明AC*OED,根據(jù)4CDE是等腰直角

45、三角形，得 C彥=2CD2,等量代換可得結論（OC- OE） 2= （ OC- AC） 2=2CD2,開方后是：OC- AC=/2 CD.試題解析：（1）AC=OE,理由：如圖 1,二,在等腰 RtABO 中，/BAO=90,，/ABO=/ AOB=45 ,-. OP± MN ,/ COP=90 ,°/ AOC=45 ；1. AC/ OP,/CAO=/ AOB=45 ,° /ACO=/ POE=90 . AC=OQ連接AD, .BD=OD, .1. AD=OD, AD)± OB, .AD)/ OC, .四邊形 ADOC 是正方形，. / DCO=45 ；

46、 . AC=OD,/ DEO=45CD=D . OC=OE .AC=OE;在RtA CDO中， . CD2=OC?+OD2, CD2=AC?+OC2；故答案為aC2+cO2=cd2；(2)如圖2, (1)中的結論不成立，理由是：連接AD,延長CD交OP于F,連接EF, .AB=AO, D 為 OB 的中點,/.ADI OB,/ ADO=90 ； / CDE=90 ,°/ ADO=Z CDE,/ ADO- / CDO=Z CDE- / CDO,即 / ADC=Z EDO, Z ADO=Z ACO=90 ,° . . / ADO+/ACO=180. A、D、O、C 四點共圓，/

47、 ACD=Z AOB,同理得：/ EFO之 EDO, / EFO1 AOC, ABO是等腰直角三角形，/ AOB=45 - D DCO=45 ； COF和4CDE是等腰直角 三角形，.OC=OF, / ACO=Z EOF=90 , °AACO EOFOE=AC. AO=EF, ,.ac2+oc2=fo2+oE2=eF2,RtA DEF 中，EF> DE=DCAC2+OC2>DC2,所以(1)中的結論不成立；(3)如圖 3,結論：OC CA=/2 CD,理由是：連接 AD,則AD=OD,同理：/ADC=/ EDO, / CAB+Z CAO=Z CAO+Z AOC=90 ；.

48、 C CAB=Z AOC, / DAB=Z AOD=45 ; ：. D DAB- / CAB=Z AOD- / AOC,即/DAC=/DOE,AACDAOED), . AC=OE CD=DE，4CDE是等腰直角三角形，.CE2=2CD2，(OC OE) 2= (OC AC) 2=2CE2,，OC AC=/i CD, 故答案為OC- AC=CD.BM考點：幾何變換的綜合題13.正方形ABCD和正方形 AEFG的邊長分別為 2和2J2 ,點B在邊AG上EA的延長線上，連接 BE.(1)如圖1,求證：DG，BE;D在線段DG上時,(2)如圖2,將正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉，當點 B恰好落在

49、線段 求線段BE的長.圖1圖2【答案】(1)答案見解析；(2)J2 J6.【解析】【分析】(1)由題意可證 ADG2 4ABE,可得 /AGD=/AEB,由/ADG+/AGD= 90°,可得/ ADG+Z AEB= 90 ;即 DG± BE；(2)過點A作AMLBD,垂足為M,根據(jù)勾股定理可求 MG的長度，即可求 DG的長度, 由題意可證 DA8 4BAE,可得BE= DG.【詳解】(1)如圖，延長EB交GD于H圉1 四邊形ABCD和四邊形AEFG是正方形 -ad=ab, ag=ae, /dag=/bae= 90 .ADGAABE (SAS/ AGD= / AEB / ADG+Z AGD= 90 ° / ADG+Z AEB= 90 ° DGXBE(2)如圖，過點A作AMBD,垂足為MG F郡 ,正方形ABCD和正方形 AEFG的邊長分別為 2和2 J2 , .AM = DM=72，/DAB=/GAE= 90°mg = Jag2 ma2 =