【聚焦中考】（陜西）2015中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第23講 特殊的平行四邊形教學(xué)案

1、第23講特殊的平行四邊形陜西中考說明陜西20122014年中考試題分析考點歸納考試要求年份題型題號分值考查內(nèi)容分值比重考點1矩形1.掌握矩形的概念和性質(zhì)；2.掌握并探索矩形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是矩形的條件2014解答題2512矩形、圓、正方形、三角形結(jié)合的綜合探究題2013選擇題93矩形與菱形的性質(zhì)應(yīng)用4.2%考點2菱形1.掌握菱形的概念和性質(zhì)；2.掌握并探索菱形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是菱形的條件2014選擇題93菱形的性質(zhì)2012選擇題73利用菱形的性質(zhì)求角度數(shù)1.7%考點3正方形3.掌握正方形的概念和性質(zhì)；2.掌握并探索正方形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是正方形的條件2013解答題2512圓、正方形、三角

2、形的性質(zhì)等探究綜合題2012解答題2512以三角形與正方形為基礎(chǔ)圖形，以問題探究的形式綜合考查尺規(guī)作圖、正方形性質(zhì)及最值問題6.7%在近幾年的陜西中考試題中，特殊的平行四邊形是考查的重點，一般考查的是與特殊平行四邊形有關(guān)的開放性、探索性問題，或是與三角形全等和相似、圓、函數(shù)等知識結(jié)合構(gòu)建的綜合題，每年都會在選擇(填空)和解答題中對本節(jié)內(nèi)容考查預(yù)計2015年對此部分的考查仍會是一個重點，可能會在選擇或填空題中考查特殊四邊形相關(guān)計算，在解答題中結(jié)合開放性問題來考查1有一個角是_直角_的平行四邊形是矩形矩形的四個角都是_直角_，對角線_相等且互相平分_；既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有_兩_條對

3、稱軸矩形的判定方法：(1)有三個角是_直角_的四邊形；(2)是平行四邊形且有一個角是_直角_；(3)_對角線相等_的平行四邊形；(4)_對角線相等且互相平分_的四邊形2有一組_鄰邊相等_的平行四邊形叫做菱形菱形的四條邊都_相等_，對角線_互相垂直平分_，且每一條對角線_平分一組對角_；既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有_兩_條對稱軸菱形的判定方法：(1)四條邊都_相等_；(2)有一組_鄰邊相等_的平行四邊形；(3)對角線_互相垂直_的平行四邊形；(4)對角線_互相垂直平分_的四邊形3有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形正方形的四個角都是_直角_，四條邊都_相等_，兩條對角線_

4、相等_，并且_互相垂直平分_，每一條對角線_平分一組對角_；既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有_四_條對稱軸正方形的判定方法：(1)鄰邊相等的_矩形_；(2)有一角是直角的_菱形_一個防范在判定矩形、菱形或正方形時，要明確是在“四邊形”還是在“平行四邊形”的基礎(chǔ)之上來求證的要熟悉各判定定理的聯(lián)系和區(qū)別，解題時要認真審題，通過對已知條件的分析、綜合，最后確定用哪一種判定方法三種聯(lián)系(1)平行四邊形與矩形的聯(lián)系：在平行四邊形的基礎(chǔ)上，增加“一個角是直角”或“對角線相等”的條件可為矩形；若在四邊形的基礎(chǔ)上，則需有三個角是直角(第四個角必是直角)則可判定為矩形(2)平行四邊形與菱形的聯(lián)系：在平行四邊

5、形的基礎(chǔ)上，增加“一組鄰邊相等”或“對角線互相垂直”的條件可為菱形；若在四邊形的基礎(chǔ)上，需有四邊相等則可判定為菱形(3)菱形、矩形與正方形的聯(lián)系：正方形的判定可簡記為：菱形矩形正方形，其證明思路有兩個：先證四邊形是菱形，再證明它有一個角是直角或?qū)蔷€相等(即矩形)；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直(即菱形)總結(jié)：平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系歸納如下：注：學(xué)好本部分內(nèi)容的方法是：弄清楚平行四邊形，矩形、菱形和正方形之間的聯(lián)系和區(qū)別，以整體的的觀點看待本部分內(nèi)容1(2014·陜西)如圖，在菱形ABCD中，AB5，對角線AC6.若過點A作AEBC ，垂

6、足為E，則AE的長為( C )A4B.C.D5,第1題圖),第2題圖)2(2013·陜西)如圖，在矩形ABCD中，AD2AB，點M，N分別在邊AD，BC上，連接BM，DN，若四邊形MBND是菱形，則等于( C )A. B. C. D.3(2012·陜西)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，OEAB，垂足為E，若ADC130°，則AOE的大小為( B )A75°B65°C55°D50°4(2014·陜西)問題探究(1)如圖，在矩形ABCD中，AB3，BC4，如果BC邊上存在點P，使APD為等腰三角形，

7、那么請畫出滿足條件的一個等腰三角形APD，并求出此時BP的長；(2)如圖，在ABC中，ABC60°，BC12，AD是BC邊上的高，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點，當AD6時，BC邊上存在一點Q，使EQF90°，求此時BQ的長；問題解決(3)有一山莊，它的平面圖為如圖的五邊形ABCDE，山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點M安裝監(jiān)控裝置，用來監(jiān)視邊AB，現(xiàn)只要使AMB大約為60°，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達到最佳，已知AED90°，AB270 m，AE400 m，ED285 m，CD340 m，問在線段CD上是否存在點M，使AMB60°？若存在，請求出

8、符合條件的DM的長，若不存在，請說明理由解：(1)作AD的垂直平分線交BC于點P，如圖，則PAPD.PAD是等腰三角形四邊形ABCD是矩形，ABDC，BC90°.PAPD，ABDC，RtABPRtDCP(HL)BPCP.BC4，BPCP2以點D為圓心，AD為半徑畫弧，交BC于點P，如圖，則DADP.PAD是 等腰三角形四邊形ABCD是矩形，ADBC，ABDC，C90°.AB3，BC4，DC3，DP4.CP.BP4.點A為圓心，AD為半徑畫弧，交BC于點P，如圖，則ADAP.PAD是等腰三角形同理可得：BP.綜上所述：在等腰三角形ADP中，若PAPD，則BP2；若DPDA，則

9、BP4；若APAD，則BP(2)E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點，EFBC，EFBC.BC12，EF6.以EF為直徑作O，過點O作OQBC，垂足為Q，連接EQ、FQ，如圖.ADBC，AD6，EF與BC之間的距離為3.OQ3OQOE3.O與BC相切，切點為Q.EF為O的直徑，EQF90°.過點E作EGBC，垂足為G，如圖.EGBC，OQBC，EGOQ.EOGQ，EGOQ，EGQ90°，OEOQ，四邊形OEGQ是正方形GQEO3，EGOQ3.B60°，EGB90°，EG3，BG.BQGQBG3.當EQF90°時，BQ的長為3(3)在線段CD上存在點M

10、，使AMB60°.理由如下：以AB為邊，在AB的右側(cè)作等邊三角形ABG，作GPAB，垂足為P，作AKBG，垂足為K.設(shè)GP與AK交于點O，以點O為圓心，OA為半徑作O，過點O作OHCD，垂足為H，如圖.則O是ABG的外接圓，ABG是等邊三角形，GPAB，APPBAB.AB270，AP135.ED285，OH285135150.ABG是等邊三角形，AKBG，BAKGAK30°.OPAP·tan30°135×45.OA2OP90.OHOA.O與CD相交，設(shè)交點為M，連接MA、MB，如圖.AMBAGB60°，OMOA90.OHCD，OH15

11、0，OM90，HM30.AE400，OP45，DH40045.若點M在點H的左邊，則DMDHHM4004530.4004530340，DMCD.點M不在線段CD上，應(yīng)舍去若點M在點H的右邊，則DMDHHM4004530.4004530340，DMCD.點M在線段CD上綜上所述：在線段CD上存在唯一的點M，使AMB60°，此時DM的長為(4004530)米5(2013·陜西)問題探究(1)請在圖中作出兩條直線，使它們將圓面積四等分；(2)如圖，M是正方形ABCD內(nèi)一定點，請在圖中作出兩條直線(要求其中一條直線必須過點M)使它們將正方形ABCD的面積四等分，并說明理由問題解決(

12、3)如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，ABCDBC，點P是AD的中點，如果ABa，CDb，且ba，那么在邊BC上是否存在一點Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分？如若存在，求出BQ的長；若不存在，說明理由 解：(1)如圖1所示(2)連接AC，BD交于O，作直線OM，分別交AD于P，交BC于Q，過O作EFOM交DC于F，交AB于E，則直線EF、OM將正方形的面積四等份，理由是：點O是正方形ABCD的對稱中心，APCQ，EBDF，在AOP和EOB中，AOP90°AOE，BOE90°AOE，AOPBOE，OAOB，OAPEBO45°，AOPEOB，

13、APBEDFCQ，設(shè)O到正方形ABCD一邊的距離是d，則(APAE)d(BEBQ)d(CQCF)d(PDDF)d, S四邊形AEOPS四邊形BEOQS四邊形CQOFS四邊形DPOF，直線EF，OM將正方形ABCD面積四等份(3)存在，當BQCDb時，PQ將四邊形ABCD的面積二等份，理由是：如圖，連接BP并延長交CD的延長線于點E，ABCD，AEDP，在ABP和DEP中，ABPDEP(ASA)，BPEP，連接CP，BPC的邊BP和EPC的邊EP上的高相等，又BPEP，SBPCSEPC，作PFCD，PGBC，則BCABCDDECDCE，由三角形面積公式得：PFPG，在CB上截取CQDEABa，則

14、SCQPSDEPSABP，SBPCSCQPSABPSCPESDEPSCQP，即：S四邊形ABQPS四邊形CDPQ，BCABCDab，BQb，當BQb時，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分矩形【例1】(2014·棗莊)如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，已知O是AC的中點，AECF，DFBE.(1)求證：BOEDOF；(2)若ODAC，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請證明你的結(jié)論證明：(1)DFBE，F(xiàn)DOEBO，DFOBEO，O為AC的中點，即OAOC，又AECF，OAAEOCCF，即OEOF，在BOE和DOF中，BOEDOF(AAS)(2)若ODAC，則

15、四邊形ABCD是矩形，理由為：BOEDOF，OBOD，OAOBOCOD，即BDAC，四邊形ABCD為矩形【點評】利用平行線的相關(guān)性質(zhì)找到對應(yīng)角相等，再結(jié)合已知條件來證三角形的全等，是常用的方法；矩形的判定不要忽略了對角線的判定方法，有時會比邊與角更直接簡便1(2013·聊城)如圖，四邊形ABCD中，ABCD90°，BCCD，CEAD，垂足為E.求證：AECE.證明：過點B作BFCE于F，CEAD，DDCE90°，BCD90°，BCFDCE90°，BCFD，在BCF和CDE中，BCFCDE(AAS)，BFCE，又A90°，CEAD，BF

16、CE，四邊形AEFB是矩形，AEBF，AECE菱形【例2】(2013·黃岡)如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，DHAB于H，連接OH，求證：DHODCO.證明：四邊形ABCD是菱形，ODOB，COD90°，DHAB，OHOB，OHBOBH，又ABCD，OBHODC，在RtCOD中，ODCDCO90°，在RtDHB中，DHOOHB90°，DHODCO【點評】本題考查了菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，以及等角的余角相等，熟記各性質(zhì)并理清圖中角度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵2(2014·廈門)如

17、圖，在四邊形ABCD中，ADBC，AMBC，垂足為M，ANDC，垂足為N，若BADBCD，AMAN，求證：四邊形ABCD是菱形證明：ADBC，BBAD180°，DC180°，BADBCD，BD，四邊形ABCD是平行四邊形，AMBC，ANDC，AMBAND90°，在ABM和ADN中，ABMADN(AAS)，ABAD，四邊形ABCD是菱形正方形【例3】(2013·畢節(jié))如圖，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別是DC和CB的延長線上的點，且DEBF，連接AE，AF，EF.(1)求證：ADEABF；(2)填空：ABF可以由ADE繞旋轉(zhuǎn)中心_A_點，按順時針方向旋

18、轉(zhuǎn)_90_度得到；(3)若BC8，DE6，求AEF的面積(1)證明：四邊形ABCD是正方形，ADAB，DABC90°，而F是CB的延長線上的點，ABF90°，在ADE和ABF中ADEABF(SAS)(2)A；90解析：ADEABF，BAFDAE，而DAEEAB90°，BAFEAB90°，即FAE90°，ABF可以由ADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90度得到，故答案為：A，90(3)解：BC8，AD8，在RtADE中，DE6，AD8，AE10，ABF可以由ADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點，按順時針方向旋轉(zhuǎn)90度得到，AEAF，EAF90°，A

19、EF的面積AE2×10050【點評】正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形及菱形的一切性質(zhì)，它們之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，其各自的性質(zhì)和判定是中考的熱點3(2014·揚州)如圖，已知RtABC中，ABC90°，先把ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°至DBE后，再把ABC沿射線平移至FEG，DE，F(xiàn)G相交于點H.(1)判斷線段DE，F(xiàn)G的位置關(guān)系，并說明理由；(2)連接CG，求證：四邊形CBEG是正方形解：(1)FGED.理由如下：ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°至DBE后，DEBACB，把ABC沿射線平移至FEG，GFEA，ABC90°，AACB90&

20、#176;，DEBGFE90°，F(xiàn)HE90°，F(xiàn)GED(2)證明：根據(jù)旋轉(zhuǎn)和平移可得GEF90°，CBE90°，CGEB，CBBE，CGEB，BCGCBE180°，BCG90°，四邊形BCGE是矩形，CBBE，四邊形CBEG是正方形特殊平行四邊形綜合題【例4】(2014·牡丹江)如圖，在RtABC中，ACB90°，過點C的直線MNAB，D為AB邊上一點，過點D作DEBC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD，BE.(1)求證：CEAD；(2)當D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；(3)若D為

21、AB中點，則當A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由(1)證明：DEBC，DFB90°，ACB90°，ACBDFB，ACDE，MNAB，即CEAD，四邊形ADEC是平行四邊形，CEAD(2)解：四邊形BECD是菱形，理由是：D為AB中點，ADBD，CEAD，BDCE，BDCE，四邊形BECD是平行四邊形，ACB90°，D為AB中點，CDBD，四邊形BECD是菱形(3)當A45°時，四邊形BECD是正方形，理由是：ACB90°，A45°，ABCA45°，ACBC，D為BA中點，CDAB，CDB90°，四邊形BECD是菱形，四邊形BECD是正方形，即當A45°時，四邊形BECD是正方形【點評】在判定矩形、菱形或正方形時，要弄清是在“四邊形”，還是在“平行四邊形”的基礎(chǔ)上來求證的，要熟悉各判定定理之間的聯(lián)系與區(qū)別，解答此類問題要認真審題，通過對已知條件的分析、綜合，確定一種解決問題的方法4(2014·隨州)如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD，BC的中點，E，F(xiàn)分別是線段BM，CM的中點(1)求證：ABMDCM；(2)填空：當ABAD_12_時，四邊形MENF是正方形(1)證明：四邊形ABCD是矩形，