【聚焦中考】（陜西）2015中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第23講 特殊的平行四邊形教學(xué)案

1、第23講特殊的平行四邊形陜西中考說明陜西20122014年中考試題分析考點(diǎn)歸納考試要求年份題型題號(hào)分值考查內(nèi)容分值比重考點(diǎn)1矩形1.掌握矩形的概念和性質(zhì)；2.掌握并探索矩形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是矩形的條件2014解答題2512矩形、圓、正方形、三角形結(jié)合的綜合探究題2013選擇題93矩形與菱形的性質(zhì)應(yīng)用4.2%考點(diǎn)2菱形1.掌握菱形的概念和性質(zhì)；2.掌握并探索菱形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是菱形的條件2014選擇題93菱形的性質(zhì)2012選擇題73利用菱形的性質(zhì)求角度數(shù)1.7%考點(diǎn)3正方形3.掌握正方形的概念和性質(zhì)；2.掌握并探索正方形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是正方形的條件2013解答題2512圓、正方形、三角

2、形的性質(zhì)等探究綜合題2012解答題2512以三角形與正方形為基礎(chǔ)圖形，以問題探究的形式綜合考查尺規(guī)作圖、正方形性質(zhì)及最值問題6.7%在近幾年的陜西中考試題中，特殊的平行四邊形是考查的重點(diǎn)，一般考查的是與特殊平行四邊形有關(guān)的開放性、探索性問題，或是與三角形全等和相似、圓、函數(shù)等知識(shí)結(jié)合構(gòu)建的綜合題，每年都會(huì)在選擇(填空)和解答題中對(duì)本節(jié)內(nèi)容考查預(yù)計(jì)2015年對(duì)此部分的考查仍會(huì)是一個(gè)重點(diǎn)，可能會(huì)在選擇或填空題中考查特殊四邊形相關(guān)計(jì)算，在解答題中結(jié)合開放性問題來考查1有一個(gè)角是_直角_的平行四邊形是矩形矩形的四個(gè)角都是_直角_，對(duì)角線_相等且互相平分_；既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，有_兩_條對(duì)

3、稱軸矩形的判定方法：(1)有三個(gè)角是_直角_的四邊形；(2)是平行四邊形且有一個(gè)角是_直角_；(3)_對(duì)角線相等_的平行四邊形；(4)_對(duì)角線相等且互相平分_的四邊形2有一組_鄰邊相等_的平行四邊形叫做菱形菱形的四條邊都_相等_，對(duì)角線_互相垂直平分_，且每一條對(duì)角線_平分一組對(duì)角_；既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，有_兩_條對(duì)稱軸菱形的判定方法：(1)四條邊都_相等_；(2)有一組_鄰邊相等_的平行四邊形；(3)對(duì)角線_互相垂直_的平行四邊形；(4)對(duì)角線_互相垂直平分_的四邊形3有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形正方形的四個(gè)角都是_直角_，四條邊都_相等_，兩條對(duì)角線_

4、相等_，并且_互相垂直平分_，每一條對(duì)角線_平分一組對(duì)角_；既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，有_四_條對(duì)稱軸正方形的判定方法：(1)鄰邊相等的_矩形_；(2)有一角是直角的_菱形_一個(gè)防范在判定矩形、菱形或正方形時(shí)，要明確是在“四邊形”還是在“平行四邊形”的基礎(chǔ)之上來求證的要熟悉各判定定理的聯(lián)系和區(qū)別，解題時(shí)要認(rèn)真審題，通過對(duì)已知條件的分析、綜合，最后確定用哪一種判定方法三種聯(lián)系(1)平行四邊形與矩形的聯(lián)系：在平行四邊形的基礎(chǔ)上，增加“一個(gè)角是直角”或“對(duì)角線相等”的條件可為矩形；若在四邊形的基礎(chǔ)上，則需有三個(gè)角是直角(第四個(gè)角必是直角)則可判定為矩形(2)平行四邊形與菱形的聯(lián)系：在平行四邊

5、形的基礎(chǔ)上，增加“一組鄰邊相等”或“對(duì)角線互相垂直”的條件可為菱形；若在四邊形的基礎(chǔ)上，需有四邊相等則可判定為菱形(3)菱形、矩形與正方形的聯(lián)系：正方形的判定可簡(jiǎn)記為：菱形矩形正方形，其證明思路有兩個(gè)：先證四邊形是菱形，再證明它有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等(即矩形)；或先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直(即菱形)總結(jié)：平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系歸納如下：注：學(xué)好本部分內(nèi)容的方法是：弄清楚平行四邊形，矩形、菱形和正方形之間的聯(lián)系和區(qū)別，以整體的的觀點(diǎn)看待本部分內(nèi)容1(2014·陜西)如圖，在菱形ABCD中，AB5，對(duì)角線AC6.若過點(diǎn)A作AEBC ，垂

6、足為E，則AE的長(zhǎng)為( C )A4B.C.D5,第1題圖),第2題圖)2(2013·陜西)如圖，在矩形ABCD中，AD2AB，點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上，連接BM，DN，若四邊形MBND是菱形，則等于( C )A. B. C. D.3(2012·陜西)如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，OEAB，垂足為E，若ADC130°，則AOE的大小為( B )A75°B65°C55°D50°4(2014·陜西)問題探究(1)如圖，在矩形ABCD中，AB3，BC4，如果BC邊上存在點(diǎn)P，使APD為等腰三角形，

7、那么請(qǐng)畫出滿足條件的一個(gè)等腰三角形APD，并求出此時(shí)BP的長(zhǎng)；(2)如圖，在ABC中，ABC60°，BC12，AD是BC邊上的高，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，當(dāng)AD6時(shí)，BC邊上存在一點(diǎn)Q，使EQF90°，求此時(shí)BQ的長(zhǎng)；問題解決(3)有一山莊，它的平面圖為如圖的五邊形ABCDE，山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點(diǎn)M安裝監(jiān)控裝置，用來監(jiān)視邊AB，現(xiàn)只要使AMB大約為60°，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳，已知AED90°，AB270 m，AE400 m，ED285 m，CD340 m，問在線段CD上是否存在點(diǎn)M，使AMB60°？若存在，請(qǐng)求出

8、符合條件的DM的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)作AD的垂直平分線交BC于點(diǎn)P，如圖，則PAPD.PAD是等腰三角形四邊形ABCD是矩形，ABDC，BC90°.PAPD，ABDC，RtABPRtDCP(HL)BPCP.BC4，BPCP2以點(diǎn)D為圓心，AD為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)P，如圖，則DADP.PAD是 等腰三角形四邊形ABCD是矩形，ADBC，ABDC，C90°.AB3，BC4，DC3，DP4.CP.BP4.點(diǎn)A為圓心，AD為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)P，如圖，則ADAP.PAD是等腰三角形同理可得：BP.綜上所述：在等腰三角形ADP中，若PAPD，則BP2；若DPDA，則

9、BP4；若APAD，則BP(2)E，F(xiàn)分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，EFBC，EFBC.BC12，EF6.以EF為直徑作O，過點(diǎn)O作OQBC，垂足為Q，連接EQ、FQ，如圖.ADBC，AD6，EF與BC之間的距離為3.OQ3OQOE3.O與BC相切，切點(diǎn)為Q.EF為O的直徑，EQF90°.過點(diǎn)E作EGBC，垂足為G，如圖.EGBC，OQBC，EGOQ.EOGQ，EGOQ，EGQ90°，OEOQ，四邊形OEGQ是正方形GQEO3，EGOQ3.B60°，EGB90°，EG3，BG.BQGQBG3.當(dāng)EQF90°時(shí)，BQ的長(zhǎng)為3(3)在線段CD上存在點(diǎn)M

10、，使AMB60°.理由如下：以AB為邊，在AB的右側(cè)作等邊三角形ABG，作GPAB，垂足為P，作AKBG，垂足為K.設(shè)GP與AK交于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作O，過點(diǎn)O作OHCD，垂足為H，如圖.則O是ABG的外接圓，ABG是等邊三角形，GPAB，APPBAB.AB270，AP135.ED285，OH285135150.ABG是等邊三角形，AKBG，BAKGAK30°.OPAP·tan30°135×45.OA2OP90.OHOA.O與CD相交，設(shè)交點(diǎn)為M，連接MA、MB，如圖.AMBAGB60°，OMOA90.OHCD，OH15

11、0，OM90，HM30.AE400，OP45，DH40045.若點(diǎn)M在點(diǎn)H的左邊，則DMDHHM4004530.4004530340，DMCD.點(diǎn)M不在線段CD上，應(yīng)舍去若點(diǎn)M在點(diǎn)H的右邊，則DMDHHM4004530.4004530340，DMCD.點(diǎn)M在線段CD上綜上所述：在線段CD上存在唯一的點(diǎn)M，使AMB60°，此時(shí)DM的長(zhǎng)為(4004530)米5(2013·陜西)問題探究(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出兩條直線，使它們將圓面積四等分；(2)如圖，M是正方形ABCD內(nèi)一定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中作出兩條直線(要求其中一條直線必須過點(diǎn)M)使它們將正方形ABCD的面積四等分，并說明理由問題解決(

12、3)如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，ABCDBC，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，如果ABa，CDb，且ba，那么在邊BC上是否存在一點(diǎn)Q，使PQ所在直線將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分？如若存在，求出BQ的長(zhǎng)；若不存在，說明理由 解：(1)如圖1所示(2)連接AC，BD交于O，作直線OM，分別交AD于P，交BC于Q，過O作EFOM交DC于F，交AB于E，則直線EF、OM將正方形的面積四等份，理由是：點(diǎn)O是正方形ABCD的對(duì)稱中心，APCQ，EBDF，在AOP和EOB中，AOP90°AOE，BOE90°AOE，AOPBOE，OAOB，OAPEBO45°，AOPEOB，

13、APBEDFCQ，設(shè)O到正方形ABCD一邊的距離是d，則(APAE)d(BEBQ)d(CQCF)d(PDDF)d, S四邊形AEOPS四邊形BEOQS四邊形CQOFS四邊形DPOF，直線EF，OM將正方形ABCD面積四等份(3)存在，當(dāng)BQCDb時(shí)，PQ將四邊形ABCD的面積二等份，理由是：如圖，連接BP并延長(zhǎng)交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，ABCD，AEDP，在ABP和DEP中，ABPDEP(ASA)，BPEP，連接CP，BPC的邊BP和EPC的邊EP上的高相等，又BPEP，SBPCSEPC，作PFCD，PGBC，則BCABCDDECDCE，由三角形面積公式得：PFPG，在CB上截取CQDEABa，則

14、SCQPSDEPSABP，SBPCSCQPSABPSCPESDEPSCQP，即：S四邊形ABQPS四邊形CDPQ，BCABCDab，BQb，當(dāng)BQb時(shí)，直線PQ將四邊形ABCD的面積分成相等的兩部分矩形【例1】(2014·棗莊)如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，已知O是AC的中點(diǎn)，AECF，DFBE.(1)求證：BOEDOF；(2)若ODAC，則四邊形ABCD是什么特殊四邊形？請(qǐng)證明你的結(jié)論證明：(1)DFBE，F(xiàn)DOEBO，DFOBEO，O為AC的中點(diǎn)，即OAOC，又AECF，OAAEOCCF，即OEOF，在BOE和DOF中，BOEDOF(AAS)(2)若ODAC，則

15、四邊形ABCD是矩形，理由為：BOEDOF，OBOD，OAOBOCOD，即BDAC，四邊形ABCD為矩形【點(diǎn)評(píng)】利用平行線的相關(guān)性質(zhì)找到對(duì)應(yīng)角相等，再結(jié)合已知條件來證三角形的全等，是常用的方法；矩形的判定不要忽略了對(duì)角線的判定方法，有時(shí)會(huì)比邊與角更直接簡(jiǎn)便1(2013·聊城)如圖，四邊形ABCD中，ABCD90°，BCCD，CEAD，垂足為E.求證：AECE.證明：過點(diǎn)B作BFCE于F，CEAD，DDCE90°，BCD90°，BCFDCE90°，BCFD，在BCF和CDE中，BCFCDE(AAS)，BFCE，又A90°，CEAD，BF

16、CE，四邊形AEFB是矩形，AEBF，AECE菱形【例2】(2013·黃岡)如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，DHAB于H，連接OH，求證：DHODCO.證明：四邊形ABCD是菱形，ODOB，COD90°，DHAB，OHOB，OHBOBH，又ABCD，OBHODC，在RtCOD中，ODCDCO90°，在RtDHB中，DHOOHB90°，DHODCO【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，以及等角的余角相等，熟記各性質(zhì)并理清圖中角度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵2(2014·廈門)如

17、圖，在四邊形ABCD中，ADBC，AMBC，垂足為M，ANDC，垂足為N，若BADBCD，AMAN，求證：四邊形ABCD是菱形證明：ADBC，BBAD180°，DC180°，BADBCD，BD，四邊形ABCD是平行四邊形，AMBC，ANDC，AMBAND90°，在ABM和ADN中，ABMADN(AAS)，ABAD，四邊形ABCD是菱形正方形【例3】(2013·畢節(jié))如圖，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別是DC和CB的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DEBF，連接AE，AF，EF.(1)求證：ADEABF；(2)填空：ABF可以由ADE繞旋轉(zhuǎn)中心_A_點(diǎn)，按順時(shí)針方向旋

18、轉(zhuǎn)_90_度得到；(3)若BC8，DE6，求AEF的面積(1)證明：四邊形ABCD是正方形，ADAB，DABC90°，而F是CB的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，ABF90°，在ADE和ABF中ADEABF(SAS)(2)A；90解析：ADEABF，BAFDAE，而DAEEAB90°，BAFEAB90°，即FAE90°，ABF可以由ADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點(diǎn)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90度得到，故答案為：A，90(3)解：BC8，AD8，在RtADE中，DE6，AD8，AE10，ABF可以由ADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點(diǎn)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90度得到，AEAF，EAF90°，A

19、EF的面積AE2×10050【點(diǎn)評(píng)】正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形及菱形的一切性質(zhì)，它們之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，其各自的性質(zhì)和判定是中考的熱點(diǎn)3(2014·揚(yáng)州)如圖，已知RtABC中，ABC90°，先把ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DBE后，再把ABC沿射線平移至FEG，DE，F(xiàn)G相交于點(diǎn)H.(1)判斷線段DE，F(xiàn)G的位置關(guān)系，并說明理由；(2)連接CG，求證：四邊形CBEG是正方形解：(1)FGED.理由如下：ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DBE后，DEBACB，把ABC沿射線平移至FEG，GFEA，ABC90°，AACB90&

20、#176;，DEBGFE90°，F(xiàn)HE90°，F(xiàn)GED(2)證明：根據(jù)旋轉(zhuǎn)和平移可得GEF90°，CBE90°，CGEB，CBBE，CGEB，BCGCBE180°，BCG90°，四邊形BCGE是矩形，CBBE，四邊形CBEG是正方形特殊平行四邊形綜合題【例4】(2014·牡丹江)如圖，在RtABC中，ACB90°，過點(diǎn)C的直線MNAB，D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DEBC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD，BE.(1)求證：CEAD；(2)當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；(3)若D為

21、AB中點(diǎn)，則當(dāng)A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECD是正方形？請(qǐng)說明你的理由(1)證明：DEBC，DFB90°，ACB90°，ACBDFB，ACDE，MNAB，即CEAD，四邊形ADEC是平行四邊形，CEAD(2)解：四邊形BECD是菱形，理由是：D為AB中點(diǎn)，ADBD，CEAD，BDCE，BDCE，四邊形BECD是平行四邊形，ACB90°，D為AB中點(diǎn)，CDBD，四邊形BECD是菱形(3)當(dāng)A45°時(shí)，四邊形BECD是正方形，理由是：ACB90°，A45°，ABCA45°，ACBC，D為BA中點(diǎn)，CDAB，CDB90°，四邊形BECD是菱形，四邊形BECD是正方形，即當(dāng)A45°時(shí)，四邊形BECD是正方形【點(diǎn)評(píng)】在判定矩形、菱形或正方形時(shí)，要弄清是在“四邊形”，還是在“平行四邊形”的基礎(chǔ)上來求證的，要熟悉各判定定理之間的聯(lián)系與區(qū)別，解答此類問題要認(rèn)真審題，通過對(duì)已知條件的分析、綜合，確定一種解決問題的方法4(2014·隨州)如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是線段BM，CM的中點(diǎn)(1)求證：ABMDCM；(2)填空：當(dāng)ABAD_12_時(shí)，四邊形MENF是正方形(1)證明：四邊形ABCD是矩形，