可分離變量型方程及其解法

1、2.1 可分離變量型方程的解法教學內(nèi)容 1. 介紹導(dǎo)數(shù)、不定積分公式表及其意義; 2.介紹求導(dǎo)和求不定積分的法則; 3. 引入齊次方程的概念及其求解方法; 4. 介紹其他可分離變量型方程及其解法. 教學重難點 重點是知道齊次方程如何引入新的因變量化為分離變量型方程，難點是如何根據(jù)方程的形式引入新的變量變換使得新方程為可分離變量型方程. 教學方法 自學1、2；講授3、4，5課堂練習 考核目標 1. 會熟記、記準導(dǎo)數(shù)公式和積分公式; 2. 知道求導(dǎo)法則和積分法則，并熟練、正確計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和不定積分; 3. 知道齊次方程的形式，并會用變換，將原方程化為變量可分離型方程; 4. 知道探照燈形狀設(shè)計問

2、題及其求解步驟和方法; 5. 知道如何將函數(shù)方程或積分方程求解問題化歸為微分方程來求解. 1. 導(dǎo)數(shù)公式和積分表的意義小學時大家熟記乘法口訣表，這是小學、中學數(shù)學乘、除運算的基礎(chǔ)，要不然，買2斤蘋果3斤梨子，都不知道該付給商販多少錢。 大學時大家關(guān)心的是函數(shù)，其中求導(dǎo)和求積分是兩個重要的運算，函數(shù)的不少性質(zhì)需要求助于這兩種運算的結(jié)果，比如單調(diào)性、凸凹性、曲線的長度等.（導(dǎo)數(shù)表參見數(shù)學分析上P101基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，積分表參見數(shù)學分析上P180 列表）練習17. （1） 合上書本，寫出基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和不定積分公式. （2）雙曲正弦，雙曲余弦，(有的教材用sinh x 和 cosh

3、x 表示). 證明：. 2. 求導(dǎo)法則和積分法則碰到的函數(shù)成千上萬，不可能記住所有這些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(積分)公式，但你要會將這些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（積分）轉(zhuǎn)化為上面基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（積分）來算，這就要知道求導(dǎo)（積分）法則.對于一元函數(shù)而言，可導(dǎo)性和可微性是等價的，導(dǎo)數(shù)也稱為微商，原因是是y的微分與x微分的商. 下面就給出求導(dǎo)、求微分、求積分法則. 設(shè)均可導(dǎo)，則, ； 相應(yīng)（1）;, ；于是相應(yīng)地有（2）;，；于是相應(yīng)地有（3）（從左往右，從右往左，不同思路,都要會）例18. 求下列積分 (a) ; (b) ; (3) 教材P32例3. 解：(1) (a) 記，將f(x)分解為簡單分式的和: , 其中，于

4、是， .(b) 記，其中 系數(shù)確定如下，取x=0(不同于-1,1)，則，解得.因此，. 例19. 求下列積分(a) ; (b) ; (c) . (2)解：(a).(b) 此路不通！.(c) 作為練習. 例20. 求下列積分(a) ; (b) .解：(a) 令于是有. (從右往左)(b) 令， 于是有. 作業(yè)18. 求下列方程的通解. (1) ; (2) ; (3) ;3. 可分離變量型方程形式、齊次方程形式及其求解方法（1）可分離變量型方程形式：，其中連續(xù). 求解方法：(1) 求出的根，常函數(shù) 也是方程的解； (2) , 分離變量. 例21. 求解下列方程：(a) ; (b) ; (c) .解

5、：(a) 令=0，得到；當時，原方程改寫為于是，為所求的通解，此外，也是方程的解. (b) 的定義域為，令=0，得到.當時，即為所求通積分，另外也是方程的一個解. (c) 令，解得.當時，于是得到 為所求的通積分，另外，也是方程的解.作業(yè)19. 求解如下方程：. (2) 齊次方程的形式及其解法稱形如為齊次方程，解法如下：令，于是新方程為，這是可分離變量型方程. 例22. 求解方程(a);(b) . 解：（a) 令 ，于是.令，解得.當時，于是. 返回原變量得到，.另外也是方程的解. (b) 改寫原方程為，這是個齊次方程. 令 ，即.當時，返回原變量得到，為所求的通積分. 另外， u=0對應(yīng)的

6、y=0也是方程的一個解. 例23. 求解方程(a) ; (b) .解：(a) 這是改寫為齊次方程，令 ，即. (i) 令，解得.(ii) 當時，于是，得到 ，返回原變量得到，原方程的通積分為為任意正實數(shù).另外，對應(yīng)兩條直線也是方程的解. (b) 通過線性變換可以將原方程化為(a)的情形. 具體做法(參見教材P38例7. )作業(yè)20. 教材P42 習題1（6）、（9）； 教材P43習題2 (3)、(7). （3）常見可經(jīng)變量替換化為可分離變量型方程例25. 求解下列方程：(a) ; (b) ; (c) .解：(a) 令，改寫原方程為，于是，.(以下略)(b) 令，新方程為. (以下略)(c) 改

7、寫方程為，令，新方程為. 注解：更多通過變換化為可分離變量型方程的例子（參見教材P38第一段，P43習題3.） 4. 應(yīng)用題例26. 探照燈反射鏡面的形狀設(shè)計問題（參見教材P41 例9）思路：（1） 將三維空間曲面約化為平面曲線；（2）建立坐標系，將曲線放在坐標系內(nèi)，討論曲線的方程；（3）根據(jù)設(shè)計要求建立曲線的微分方程；（4）方程求解參見例24.例27. 物體在空氣中下落與特技跳傘假設(shè)質(zhì)量為m的物體在空氣中下落，空氣阻力物體速度的平方成正比，比例系數(shù)為k0. 以鉛直向下直線為正向，建立坐標軸x軸，記x(t)表示時刻t時2物體的位置，則由牛頓第二定律有，引入速度，則v滿足的方程為.先考慮特技跳傘

8、問題，假設(shè)跳傘員開傘前阻尼系數(shù)為，開傘后阻尼系數(shù)為，在給定高度為落地時間，如何掌握開傘時間T使得降落時間最小且有安全的降落速度這是一個有趣的數(shù)學問題. （參見 丁同仁、李承治常微分方程教程 P27例3）例24. 求解方程. 解：(1) 當x0時，改寫為. 令 ，即.(i) 當u時，. +C于是，返回原變量得到，化簡得到(ii) 當u時，. +C， 于是，返回原變量同樣得到(iii) 當u=0時，y=0也是方程的一個解. (2) 當x0時，改寫為. 令 ，即.(i) 當u時，. +C, 于是，返回原變量得到，化簡得到(ii) 當u時，. +C， 于是，返回原變量同樣得到(iii) 當u=0時，y=0也是方程的一個解. 綜上知，原方程的通解為，其中為任意正實數(shù)，此外y