三角函數(shù)常用結(jié)論歸納

1、三角函數(shù)常用結(jié)論總結(jié)1、角的概念的推廣：平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所的圖形。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角，一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，稱它形成一個(gè)零角。射線的起始位置稱為始邊，終止位置稱為終邊。2、象限角的概念：在直角坐標(biāo)系中，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限的角。如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限。3.終邊相同的角的表示：(1)終邊與終邊相同(的終邊在終邊所在射線上)2k(kZ),注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等.如與角1825的終邊相同，

2、且絕對(duì)值最小的角的度數(shù)是,合.5弧度。(答：25;一)一36(2) 終邊與終邊共線(k(kZ).(3) 終邊與終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(4) 終邊與終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(5) 終邊與終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(6) 終邊在x軸上的角可表小為：示為：k,kZ;終邊在坐標(biāo)軸2的終邊在終邊所在直線上)2k(kZ).2k(kZ).2k(kZ).k,kZ;終邊在y軸上的角可表.k.上的角可表小為：,kZ.如的2終邊與丁勺終邊關(guān)于直線yx對(duì)稱，則:。一答：2k?kZ)4 、與萬的終邊關(guān)系：由“兩等分各象限、一二三四”確定.如若是第二象限角，則一是第象限角(答：一、三)25 .弧長(zhǎng)公式：|R,扇形面積公式：S1IR：|R2,1弧

3、度(1rad)57.3：.如已知扇形AOB的周長(zhǎng)是6cm，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積。(答：2cm2)6、任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)是任意一個(gè)角，P(x,y)是的終邊上的任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn))，它與原點(diǎn)的距離是r&_y20,那么yxyxrsin,cos一，tan,x0,cot(y0),sec-x0,rrxyxcscy如(1)已知角7、門-)；(2)設(shè)13y0。三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(5,12),則sincos的值為是第三、四象限角，sin2mf,則m的取值范圍是4m/3、f、廿|sin|cos(答：(1,);(3)若112sin|c

4、os|0,試判斷cot(sin)tan(cos)的符號(hào)(答:負(fù))7.三角函數(shù)線的特征是:正弦線MP”站在x軸上(起點(diǎn)在x軸上)"、余弦線OM“躺在x軸上(起點(diǎn)是原點(diǎn))”、正切線AT”站在點(diǎn)A(1,0)處(起點(diǎn)是A)”.三角函數(shù)線的重要應(yīng)用是比較三角函數(shù)值的大小和解三角不等式。如(1)若8答：tan貝Usin,cos,tan的大小關(guān)系為義域是sin(答：sincos);(2)若tan)；(答：(2k,2k3(3)23為銳角,則,sin函數(shù)y.12cosx,tan的大小關(guān)系為lg(2sinxJ3)的定(kZ)(1)平方關(guān)系:(2)倒數(shù)關(guān)系:sinsin(3)商數(shù)關(guān)系:tan2/cos1,

5、1csc=1,cossin一,cotcos22tansecsec=1,tancossin,1cotcot22csc=1,8.特殊角的三角函數(shù)值：30045060°0°9001800270°15°750sin12旦2迎2010一1而亞4金近4cos包v2110一066226622222144tan31<30/0/2-v;32+V3cot芯1近30/02+«2-69.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的主要應(yīng)用是，已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求此角的其它三角函數(shù)值。在運(yùn)用平方關(guān)系解題時(shí)，要根據(jù)已知魚的范圍和三角函數(shù)的取值，盡可能地

6、壓縮角的范圍，以便進(jìn)行定號(hào)；在具體求三角函數(shù)值時(shí)，一般不需用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，而是先根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符1H1H號(hào)，再利用解直角三角形求出此三角函數(shù)值的絕對(duì)值。如(1)函數(shù)ysin_嘰的值的符號(hào)為_(答：大于o)；(2)若02x2,則使coscotvisln351a2a.1a2，1a2生生B>.C、D、(答：B);(6)已知f(cosx)cos3x,1a2aa則f(sin30)的值為(答：1)。k10.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式(-)的本質(zhì)是：奇變偶不變對(duì)k而百，指k取2奇數(shù)或偶數(shù))，符號(hào)看象限(看原函數(shù)，同時(shí)可把看成是銳角).誘導(dǎo)公式的應(yīng)用是求任意角的三角函數(shù)值，其一般步驟：(

7、1)負(fù)角變正角，再寫成972k+,02;(2)轉(zhuǎn)化為銳角二角函數(shù)。如(1)costan(一)sin2146的值為(答：逅)；(2)已知sin(540)4,則235cos(270)，若為第二象限角，則sin(180)cos(360)43tan(180)(答：5；荷)11、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象：正弦函數(shù)ysinx和余弦函數(shù)ycosx圖3一,一一，一象的作圖方法：五點(diǎn)法：先取橫坐標(biāo)分別為0,-,2的五點(diǎn)，再用光滑22的曲線把這五點(diǎn)連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個(gè)周期內(nèi)的圖象。12、正弦函數(shù)ysinx(xR)、余弦函數(shù)ycosx(xR)的性質(zhì)：(1)定義域：都是Ro(2)值域：都是1,1,

8、對(duì)ysinx,當(dāng)x2kkZ時(shí)，y取最大值21;當(dāng)x2k£kZ時(shí)，y取取小值-1;對(duì)ycosx，當(dāng)x2kkZ時(shí),2xcos2x成立的x的取值范圍是(答：0,U43,);(3)已知sinm,cosUm()，則tan=(答：4m5m525tansin3cos.2._一)；(4)已知1,貝1=sinsincos2=12tan1sincos513a(答：y取最大值1,當(dāng)x2kkZ時(shí)，y取最小值1。如(1)若函數(shù):13):(5)已知sin200a、則tan160等于A、,a3一1.一1yabsin(3x一)的取大值為一，取小值為一，則a,b(答：a-,b16222或b1);(2)函數(shù)f(x)si

9、nxJ3cosx(x,)的值域是(答：-1,2);(3)若2，則ycos6sin的最大值和最小值分別是、(答:7;5);(4)函數(shù)f(x)2cosxsin(x)V3sin28已知f(x)sin(x)依'cos(x)為偶函數(shù)，k-(kZ)6(5)單調(diào)性：ysinx在2k,2kk2xsinxcosx的3最小值是此時(shí)x=(答：2;k(kZ);(5)己知1211sincos-,求tsincos的變化氾圍(答：0,-);(6)右22sin22sin22cos,求ysin2sin2的最大、最小值(答：ymax1,ymin222)。特別提醒：在解含有正余弦函數(shù)的問題時(shí)，你深入挖掘正余弦函數(shù)的有界性了

10、嗎？(3)周期性：ysinx、ycosx的最小正周期都是2;2,f(x)Asin(x)和f(x)Acos(x)的取小正周期都是T。如(1)右|xf(x)sin,則f(1)f(2)f(3)f(2003)=(答：0);函數(shù)3f(x)cos4x2sinxcosxsin4x的最小正周期為(答：)；(3)設(shè)函數(shù)f(x)2sin(x),若對(duì)25任意xR都有f(x1)f(x)fd)成立，則|Xix2|的最小值為(答：2)(4)奇偶性與對(duì)稱性：正弦函數(shù)ysinx(xR)是奇函數(shù)，對(duì)稱中心是k,0kZ,對(duì)稱軸是直線xk-kZ;余弦函數(shù)ycosx(xR)是偶2函數(shù)，對(duì)稱中心是k2,0kZ,對(duì)稱軸是直線xkkZ(正

11、(余)弦型函數(shù)的對(duì)稱軸為過最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于x軸的直線，對(duì)稱中心為圖象與x軸5的父點(diǎn))。如(1)函數(shù)ysin2x的奇偶性是(答：偶函數(shù))；(2)已知函數(shù)f(x)axbsin3x1(a,b為常數(shù))，且f(5)7,則f(5)(答:-(kZ);(4)的值。(答：5);(3)函數(shù)y2cosx(sinxcosx)的圖象的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸分別是,2k上單調(diào)遞增，在、(答：(一一,1)(kZ)、x32k-,2kkZ單調(diào)遞減；ycosx在2k,2kkZ上單調(diào)遞22減，在2k,2k2kZ上單調(diào)遞增。特別提醒,別忘了kZ!13、形如yAsin(x)的函數(shù)：1.、(1)幾個(gè)物理量：A一振幅；f-頻率(周期的倒數(shù)

12、)；x相位；一初相；(2)函數(shù)yAsin(x由圖象上的f(x)Asin(x)(A0,則f(x)=(答：f(x)(3)函數(shù)yAsin(x)表達(dá)式的確定：A由最值確定；由周期確定;特殊點(diǎn)確定，如0,|)的圖象如圖所示，2152sin(x-);23)圖象的畫法：“五點(diǎn)法”談：x,令X3_=0'2,=,2求出相應(yīng)的x值,計(jì)算得出五點(diǎn)的坐標(biāo),描點(diǎn)后得出圖象；圖象變換法：這是作函數(shù)簡(jiǎn)圖常用方法。(4)函數(shù)yAsin(x)k的圖象與ysinx圖象間的關(guān)系：函數(shù)ysinx的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左(>0)或向右(<0)平移|個(gè)單位得ysinx的圖象；函數(shù)ysinx圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)

13、變?yōu)橐?，?原來的一，得到函數(shù)ysinx的圖象；函數(shù)ysinx圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到函數(shù)yAsin(x)的圖象；函數(shù)yAsin(x)圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)向上(k0)或向下(k0),得到y(tǒng)Asinxk的圖象。要特別注意，若由ysinx得到y(tǒng)sinx的圖象，則向左或向右平移應(yīng)平移|一|個(gè)單位，如(1)函數(shù)y2sin(2x)1的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到y(tǒng)sinx的圖象？(答：4y2sin(2x)1向上平移1個(gè)單位得y2sin(2x)的圖象，再向左平移一448個(gè)單位得y2sin2x的圖象，橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍得y2sinx的圖象，最11后將縱坐標(biāo)縮小到原來的-即得ysin

14、x的圖象)；(2)要得到函數(shù)2ycos(x)的圖象，只需把函數(shù)ysin*的圖象向平移個(gè)單位(答：242.7左；一)；(3)將函數(shù)y2sin(2x一)1圖像，按向量a平移后得到的函數(shù)圖像23關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這樣的向量是否唯一？若唯一，求出a;若不唯一，求出模最小的向量(答：存在但不唯一，模最小的向量a(一，1)；(4)若函數(shù)6fxcosxsinxx0,2的圖象與直線yk有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是(答：1,72)(5)研究函數(shù)yAsin(x)性質(zhì)的方法：類比于研究ysinx的性質(zhì)，只需將yAsin(x)中的x看成ysinx中的x,但在求yAsin(x)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要特別注意A和的符號(hào)

15、，通過誘導(dǎo)公式先將化正。如(1)5函數(shù)ysin(2x)的遞減區(qū)間是,k(kZ)；(2)31212x33ylog1cos(-一)的遞減區(qū)間是(答：6k,6k一(kZ)；23444(3)設(shè)函數(shù)f(x)Asin(x)(A0,0,)的圖象關(guān)于直線x2-對(duì)223.152.一稱，它的周期是，則A、f(x)的圖象過點(diǎn)(0,-)B、"*)在區(qū)間,上是2123減函數(shù)C、f(x)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是(5-0)D、f(x)的最大值是A(答：12C);(4)對(duì)于函數(shù)fx2sin2x給出下列結(jié)論：圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心3對(duì)稱；圖象關(guān)于直線x一成軸對(duì)稱；圖象可由函數(shù)y2sin2x的圖像向左12平移一個(gè)單位得到；圖

16、像向左平移一個(gè)單位，即得到函數(shù)y2cos2x的圖像。312其中正確結(jié)論是(答：)；(5)已知函數(shù)f(x)2sin(x)圖象與直線y1的交點(diǎn)中、距離最近兩點(diǎn)間的距離為一、那么此函數(shù)的周期是3(答：)14、正切函數(shù)Vtanx的圖象和性質(zhì)：(1)定義域：x|xk,kZ。遇到有關(guān)正切函數(shù)問題時(shí)，你注意到2正切函數(shù)的定義域了嗎？(2)值域是R,在上面定義域上無最大值也無最小值；(3)周期性：是周期函數(shù)且周期是，它與直線ya的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離是一個(gè)周期。絕對(duì)值或平方對(duì)三角函數(shù)周期性的影響：一般說來，某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方，其周期性是：弦減半、切不變.既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)

17、值，其周期性不變，其它不定。如ysin2x,ysinx的周期都是，但ysinx一1，cosx的周期為一，而y12sin(3x)|,y12sin(3x-)2|,y|tanx|的2626周期不變;，一.,.,一.,一.一k(4)奇偶性與對(duì)稱性：是奇函數(shù)，對(duì)稱中心是,0kZ,特別提醒：2正(余)切型函數(shù)的對(duì)稱中心有兩類：一類是圖象與x軸的交點(diǎn)，另一類是漸近線與x軸的交點(diǎn)，但無對(duì)稱軸，這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處。(5)單調(diào)性：正切函數(shù)在開區(qū)間一k,kkZ內(nèi)都是增函數(shù)。2 2但要注意在整個(gè)定義域上不具有單調(diào)性。如下圖：y-小in(s+©無務(wù)對(duì)等中心.由產(chǎn)。4st無番對(duì)林物：由產(chǎn)A*丈V上阜

18、中心昆一工|=772,二中初歸r=772息力廿馳中由r由乎=0或了時(shí)森兒曜文,牛漸近需國(guó)汨卜丁*對(duì)理和傳總廣蚓4*的重篤片正切名戴圖象卻相丸JL茄隼兩成戈的罩力砧一個(gè)周期！15、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式sinsincoscossinsin22sincoscoscoscos不sinsincos22costantantan1不tantan2cos2cos1+cos2sin2112sin2tan22tan1tan2(1)下列各式中，值為的是.2sinA、2cos12.2sin一12C、tan22.51tan222.5D、P:tan(AB)0,充分不必要條件(3)已知sin(2_1c

19、os22«,sin15cos15B、1cos302(答：C);(2)命題命題Q:tanAtanB0,則P是Q的A、充要條件B、C、必要不充分條件D、既不充分也不必要條件(答：C);)coscos(3)sin一，那么cos2的值為5"看意”值是(答：4);(5)已知tan110°a,求tan50°的值（用a表示）甲求得的結(jié)果是得的結(jié)果的正確性你的判斷是73,乙求得的結(jié)果是1.3a（答：甲、乙都對(duì)）1a22a,對(duì)甲、乙求16.三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、計(jì)算、證明的恒等變形的基本思路構(gòu)。即首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變式，數(shù)變換的核心！第二看函數(shù)名稱之間的

20、關(guān)系，通?！扒谢摇钡慕Y(jié)構(gòu)特點(diǎn)?；镜募记捎校菏牵阂唤嵌Y(jié)角的變換是三角函；第三觀察代數(shù)式（1）巧變角（已知角與特殊角的變換、角的變換、兩角與其和差角的變換.如已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍)(),2()(),2-等），如（1）已知tan（2"I-'2,一，tan(5么tan(的值是3.答：一；2已知022cos(2)，sin（2）3,求cos（）的值（答：播）；（3）已知，3為銳角，sinx,cosy,cos()3,則y與x的函數(shù)關(guān)系為5x(x1)55三角函數(shù)名互化（切割化弦），如（1）求值sin50,（1百tan10"）（答：1）;(2)已知sin8s1,tan(1cos2(3)公式變形使用(tantan23，tan1求tan（2）的值（答：-）1+tantan。如（1）已知A、B為銳角,且滿足tanAtanBtanAtanB1,貝Ucos(AB)=.（答:季;由V3tanAtanB,sinAcosA1cos2一與2(，|)，化形是一三角形（答：等邊）（4）三角函數(shù)次數(shù)的降升（降幕公式：cos21cos2,sin22開幕公式：1cos22cos2,1cos22sin2）。如（1）若簡(jiǎn)一cos2為2（答：sin）；