高考數學解題技巧-應用問題

1、.高考數學解題技巧-應用問題應用問題的“考試要求”是考查考生的應用意識和運用數學知識與方法來分析問題解決問題的能力，這個要求分解為三個要點：1、要求考生關心國家大事，了解信息社會，講究聯系實際，重視數學在生產、生活及科學中的應用，明確“數學有用，要用數學”，并積累處理實際問題的經驗。2、考查理解語言的能力，要求考生能夠從普通語言中捕捉信息，將普通語言轉化為數學語言，以數學語言為工具進行數學思維與交流。3、考查建立數學模型的初步能力，并能運用“考試說明”所規(guī)定的數學知識和方法來求解。對應用題，考生的弱點主要表現在將實際問題轉化成數學問題的能力上。實際問題轉化為數學問題，關鍵是提高閱讀能力即數學審

2、題能力，審出函數、方程、不等式、等式，要求我們讀懂材料，辨析文字敘述所反應的實際背景，領悟從背景中概括出來的數學實質，抽象其中的數量關系，將文字語言敘述轉譯成數學式符號語言，建立對應的數學模型解答?？梢哉f，解答一個應用題重點要過三關：一是事理關，即讀懂題意，需要一定的閱讀理解能力；二是文理關，即把文字語言轉化為數學的符號語言；三是數理關，即構建相應的數學模型，構建之后還需要扎實的基礎知識和較強的數理能力。求解應用題的一般步驟是（四步法）：1、讀題：讀懂和深刻理解，譯為數學語言，找出主要關系；2、建模：把主要關系近似化、形式化，抽象成數學問題；3、求解：化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數學方法求解；4

3、、評價：對結果進行驗證或評估，對錯誤加以調節(jié)，最后將結果應用于現實，作出解釋或驗證。在近幾年高考中，經常涉及的數學模型，有以下一些類型：數列模型、函數模型、不等式模型、三角模型、排列組合模型等等。、再性性題組：1.某種細菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次（一個分裂為兩個），經過3小時，這種細菌由1個可繁殖成_。(94年全國高考) A. 511個 B. 512個 C. 1023個 D. 1024個2.如圖，以墻為一邊，用籬笆圍成長方形的場地，并用平行于一邊的籬笆隔開，已知籬笆的總長為定值L，這塊場地的長為_時，場地面積最大，最大面積是_。(82年全國高考)3.圓柱軸截面的周長L為定值，那么圓柱體

4、積的最大值是_。(93年全國高考) A. () B. () C. () D. 2()4.在半徑為30m的圓形廣場中央上空，置一個照明光源，射向地面的光呈圓錐形，且其軸截面頂角為120°，若要光源恰好照亮整個廣場，則其高度應為_。(精確到0.1m) (93年全國高考)5.甲、乙、丙、丁四個公司承包8項工程，甲公司承包3項，乙公司承包1項，丙、丁公司各承包2項，共有_種承包方式。(86年全國高考)【簡解】1小題：答案B；2小題：設長x，面積Sx×()，答案：長為，最大面積；3小題：Vrr(2r)()，選A；4小題：由tg60°得h1017.3；5小題：CCC1680。

5、、示X性題組：例1某地現有耕地10000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產比現有增加22，人均糧食產量比現在提高10，如果人口年增長率為1，那么耕地每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）. （96年全國高考）（糧食單產 ； 人均糧食產量）【分析】此題以關系國計民生的耕地、人口、糧食為背景，給出兩組數據，要求考生從兩條線索抽象數列模型，然后進行比較與決策?！窘狻?.讀題：問題涉及耕地面積、糧食單產、人均糧食占有量、總人口數及三個百分率，其中人均糧食占有量P， 主要關系是：PP 。2.建模：設耕地面積平均每年至多減少x公頃，現在糧食單產為a噸公頃，現在人口數為m，則現在占有量為，10年后糧食單產為a(1

6、0.22)，人口數為m(10.01)，耕地面積為（1010x）。 （10.1）即 1.22（1010x）1.1×10×（10.01）3.求解： x10×10×（10.01） （10.01）1C×0.01C×0.01C×0.011.1046 x10995.94（公頃）4.評價：答案x4公頃符合控制耕地減少的國情，又驗算無破，故可作答。（答略）【另解】1.讀題：糧食總產量單產×耕地面積； 糧食總占有量人均占有量×總人口數；而主要關系是： 糧食總產量糧食總占有量2.建模：設耕地面積平均每年至多減少x公頃，現在糧

7、食單產為a噸公頃，現在人口數為m，則現在占有量為，10年后糧食單產為a(10.22)，人口數為m(10.01)，耕地面積為（1010x）。 a(10.22)×(1O10x)×(10.1)×m(10.01)3.求解： x10×10×（10.01） （10.01）1C×0.01C×0.01C×0.011.1046 x10995.94（公頃）4.評價：答案x4公頃符合控制耕地減少的國情，又驗算無破，故可作答。（答略）【注】本題主要是抓住各量之間的關系，注重3個百分率。其中耕地面積為等差數列，總人口數為等比數列模型，問題用

8、不等式模型求解。本題兩種解法，雖都是建立不等式模型，但建立時所用的意義不同，這要求靈活掌握，還要求對指數函數、不等式、增長率、二項式定理應用于近似計算等知識熟練。此種解法可以解決有關統(tǒng)籌安排、最佳決策、最優(yōu)化等問題。此種題型屬于不等式模型，也可以把它作為數列模型，相比之下，主要求解過程是建立不等式模型后解出不等式。在解答應用問題時，我們強調“評價”這一步不可少！它是解題者的自我調節(jié)，比如本題求解過程中若令1.011,算得結果為x98公頃，自然會問：耕地減少這么多，符合國家保持耕地的政策嗎.于是進行調控，檢查發(fā)現是錯在1.01的近似計算上。例2已知某市1990年底人口為100萬，人均住房面積為5

9、m，如果該市每年人口平均增長率為2，每年平均新建住房面積為10萬m，試求到2000年底該市人均住房面積（精確到0.01）.（91年XX高考）【分析】城市每年人口數成等比數列，每年住房總面積成等比數列，分別寫出2000年后的人口數、住房總面積，從而計算人均住房面積?！窘狻?.讀題：主要關系：人均住房面積2.建模：2000年底人均住房面積為3.求解：化簡上式， 1.021C×0.02C×0.02C×0.021.219 人均住房面積為4.924.評價：答案4.92符合城市實際情況，驗算正確，所以到2000年底該市人均住房面積為4.92m。【注】一般地，涉及到利率、產量、

10、降價、繁殖等與增長率有關的實際問題，可通過觀察、分析、歸納出數據成等差數列還是等比數列，然后用兩個基礎數列的知識進行解答。此種題型屬于應用問題中的數列模型。例3甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米時，已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v（千米時）的平方成正比，比例系數為b；固定部分為a元。 把全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米時）的函數，并指出函數的定義域； 為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛. （97年全國高考）【分析】幾個變量（運輸成本、速度、固定部分）有相互的關聯，抽象出其中的函數關系，并求函數的最

11、小值?！窘狻浚ㄗx題）由主要關系：運輸總成本每小時運輸成本×時間，（建模）有y(abv)（解題）所以全程運輸成本y（元）表示為速度v（千米時）的函數關系式是：yS(bv)，其中函數的定義域是v(0,c。整理函數有yS(bv)S(v)，由函數yx (k>0)的單調性而得：當<c時，則v時，y取最小值；當c時，則vc時，y取最小值。綜上所述，為使全程成本y最小，當<c時，行駛速度應為v；當c時，行駛速度應為vc?！咀ⅰ繉τ趯嶋H應用問題，可以通過建立目標函數，然后運用解（證）不等式的方法求出函數的最大值或最小值，其中要特別注意蘊涵的制約關系，如本題中速度v的X圍，一旦忽視，

12、將出現解答不完整。此種應用問題既屬于函數模型，也可屬于不等式模型。 A M C D B 例4如圖，假設河的一條岸邊為直線MN，ACMN于C，點B、D在MN上，現將貨物從A地經陸地AD于水陸B(tài)D運往B地，已知AC10km，BC30km，又陸地單位距離的運價是水陸單位距離運價的2倍，為使運費最少，D點應選在距C點多遠處.【分析】設ADC后，將AD、BC用表示，進而將運費表示成的函數是，再求運費最小值等?！窘狻吭OADC，則AD，BD3010ctg，設水路每km的運費為1，則運費y(3010ctg)2×10(3)10(3)設t，即t×sincos2,有sin()2,2即t。當t時，

13、2cossin即sincos1, sin(30°)1,即60°。 CD10ctgkm綜上所述，D點應選在距C點km時運費最少?！咀ⅰ孔鳛楣ぞ邔W科的三角，跨學科的應用是它的特點，不少物理學、工程測量、航海航空等應用題都可以轉化為三角函數來解決，或者運用解三角形中的基本知識和手段進行解答，此種題型屬于應用問題中的三角模型。在解答應用問題中，最常見的是以上的幾種模型，即：函數模型、不等式模型、數列模型、三角模型。此外，其它的幾種應用問題模型有：與排列組合有關的應用問題，特征比較明顯，屬于排列組合模型，解答時一定要分清楚是分類還是分步，是排列還是組合，是否有重復和遺漏；與光學、力學

14、、軌跡等有關方面的應用問題，可通過建立適當的坐標系，運用曲線的知識來建立數學模型來解答，且曲線研究主要是二次曲線，所以可稱之為二次曲線模型。、鞏固性題組：1.某商品降價10后，欲恢復原價，則應提價為_。 A. 10 B. 9 C. 11 D. 112.某工廠去年12月的月廠值為a，已知月平均增長率為P，則今年12月廠值比去年同期增加的倍數是_。 A. (1P)1 B. (1P) C. (1P) D. 12P3.將一半徑為R的木球加工成一正方形木塊，則木塊的最大體積為_。 A. R B. R C. R D. R4.在北緯45°圈上有甲、乙兩地，它們分別在東經50°與140&#

15、176;的圈上，設地球半徑為R，則甲、乙兩地的球面距離為_。 A. R B. R C. R D. R5.某種商品分兩次提價，有三種提價方案，方案甲是：第一次提價p，第二次提價q；方案乙是：第一次提價q，第二次提價p；方案丙是：第一次提價，第二次提價，已知p>q>0，則上述三個方案中_。 A.方案甲提價最多 B.方案乙提價最多 C.方案丙提價最多 D.以上都不對6.假設國家收購某種農產品的價格是120元擔，其中征稅標準為每100元征8元（叫稅率8個百分點，即8），計劃可收購m萬擔。為了減輕農民負擔，決定把稅率降低x個百分點，預計收購量可增加2x個百分點。 寫出稅收y（萬元）與x的函數

16、關系式； 要使此項稅收在稅率調節(jié)后不低于原計劃的78，試確定x的X圍。7.某單位用分期付款的方式為職工購買40套住房，共需1150萬元。購買當天先付150萬元，以后每月的這一天都交付50萬元，并加付欠款利息，月利率為1。若交付150萬元后的第一個月開始算分期付款的第一個月，問分期付款的第10個月應該付多少錢.全部貨款付清后，買這40套住房實際花了多少錢. A O 水面8.公園要建造一個圓形的噴水池，在水池中央垂直于水面安裝一個花形柱子OA，O恰在水面中心，OA1.25米，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上拋物線路徑如圖所示，為使水流形狀較為漂亮，設計成水流在到OA的距離為1米處達到距水面最大高度2.25米，如果不計其他因素，那么水池的半徑至少要多少米，才能使噴出的水流不致落到池外