上海市徐匯區(qū)2020屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題(含答案解析)

1、上海市徐匯區(qū) 2020 屆高考一模試卷數(shù)學(xué)一、填空題（本大題共 12 題，1-6 每題 4分， 7-12 每題 5分，共 54 分）1已知集合 Mx|x>2，集合 Nx| x1，則 MN2向量在向量 方向上的投影為 3二項(xiàng)式（ 3x1）11的二項(xiàng)展開(kāi)式中第 3 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為 4復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為 5已知 yf（x）是定義在 R上的偶函數(shù)，且它在 0 ，+）上單調(diào)遞增， 那么使得 f（ 2） f （a）成立的實(shí)數(shù) a的取值范圍是 16已知函數(shù) f （ x） arcsin （ 2x+1），則 f 1（ ） 27已知 xR，條件 p：x2<x，條件 q： a（a>0），若 p是

2、q 的充分不必要條件，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 8已知等差數(shù)列 an的公差 d 3，Sn表示 an的前 n 項(xiàng)和，若數(shù)列 Sn是遞增數(shù)列，則 a1 的取值范圍是 9數(shù)字不重復(fù)，且個(gè)位數(shù)字與千位數(shù)字之差的絕對(duì)值等于2 的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為 10過(guò)拋物線(xiàn) C：y2 2x的焦點(diǎn) F，且斜率為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn) C于點(diǎn) M（M在 x 軸的上方） ，l 為拋物線(xiàn) C的準(zhǔn)線(xiàn)，點(diǎn) N在 l 上且 MN l ，則 M到直線(xiàn) NF的距離為11已知數(shù)列 an的前 n項(xiàng)和為 Sn，對(duì)任意 n N* ，Sn（ 1）nan+ +n3 且（a1p）（a2 p）< 0，則實(shí)數(shù) p 的取值范圍是12已知函數(shù) f（x）關(guān)于 x

3、的不等式 f （ x ） mx 2m2< 0 的解集是（ x1，x2）（ x3， +），若 x 1x2x3> 0，則 x1+x2+x3的取值范圍是二. 選擇題（本大題共 4題，每題 5 分，共 20分）13過(guò)點(diǎn)（ 1， 0），且與直線(xiàn) 有相同方向向量的直線(xiàn)的方程為（ ）A 3x+5y 30B 3x+5y+30C3x+5y10D5x3y+5014一個(gè)棱錐被平行于底面的平面所截截面面積恰好是棱錐底面面積的一半，則截得的小棱錐與原棱錐的高之比是（A 1：2B 1：8C：2D ： 415若圓 C1：x2+y21 和圓 C2： x2+y26x 8yk 0 沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是

4、（）A（ 9，11）B（ 25， 9）C（， 9）（ 11， +）D（ 25， 9）（ 11，+）16設(shè) H是 ABC的垂心，且 3 +4 +5 ，則 cosBHC的值為（）ABCD三. 解答題（本大題共 5 題，共 14+14+14+16+18 76 分） 17如圖所示，圓錐 SO的底面圓半徑 | OA| 1，母線(xiàn) SA3（1）求此圓錐的體積和側(cè)面展開(kāi)圖扇形的面積；（ 2）過(guò)點(diǎn) O在圓錐底面作 OA的垂線(xiàn)交底面圓圓弧于點(diǎn) P，設(shè)線(xiàn)段 SO中點(diǎn)為 M，求異面 直線(xiàn) AM與 PS所成角的大小18設(shè)函數(shù) f（x）x2+|xa| （x R， a為實(shí)數(shù)）（1）若 f （x）為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的值；（

5、2）設(shè) a> ，求函數(shù) f （ x）的最小值（用 a 表示）19如圖，某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路a 經(jīng)過(guò)三個(gè)景點(diǎn) A、B、C，景區(qū)管委會(huì)又開(kāi)發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn) D，經(jīng)測(cè)量景點(diǎn) D 位于景點(diǎn) A的北偏東 30°方向 8km處，位于景點(diǎn) B的 正北方向，還位于景點(diǎn) C的北偏西 75°方向上，已知 AB 5km（1）景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn) D向景點(diǎn) B 修建一條筆直的公路，不考慮其他因素，求出這 條公路的長(zhǎng)；（結(jié)果精確到 0.1 km）（2）求景點(diǎn) C與景點(diǎn) D之間的距離（結(jié)果精確到 0.1 km）2016 分）給正有理數(shù)nj 不同時(shí)成立），按以下規(guī)則（i j ，i ，N*

6、，mi，ni，mj，njN*，且 mimj 和 niP排列：若 mi+ni <mj +nj ，則 排在前面；若 mi +ni an （例如： ， ，mj+nj，且 ni<nj，則 排在 的前面， 按此規(guī)則排列得到數(shù)列1）依次寫(xiě)出數(shù)列 an的前 10 項(xiàng)；2）對(duì)數(shù)列 an中小于 1的各項(xiàng)，按以下規(guī)則 Q排列：各項(xiàng)不做化簡(jiǎn)運(yùn)算；分母小的項(xiàng)排在前面；分母相同的兩項(xiàng)，分子小的項(xiàng)排在前面，得到數(shù)列 bn ，求數(shù)列 bn的前 10 項(xiàng)的和 S10 ，前 2019 項(xiàng)的和 S2019；（3）對(duì)數(shù)列 an中所有整數(shù)項(xiàng)，由小到大取前 2019 個(gè)互不相等的整數(shù)項(xiàng)構(gòu)成集合Ac1，c2，c3， c201

7、9 ， A的子集 B滿(mǎn)足：對(duì)任意的 x，yB，有 x+y?B，求集合 B中元素個(gè) 數(shù)的最大值21（ 18 分）已知橢圓： 上異于 A 點(diǎn)的任一點(diǎn)，若 則稱(chēng)此橢圓為“圓橢圓”，+ 1（ a> b> 0），點(diǎn) A為橢圓短軸的上端點(diǎn)， P為橢圓P 點(diǎn)到 A點(diǎn)距離的最大值僅在 P 點(diǎn)為短軸的另一端點(diǎn)時(shí)取到， 已知 b21）若 a ，判斷橢圓是否為“圓橢圓”； （2）若橢圓是“圓橢圓”，求 a 的取值范圍；（3）若橢圓是“圓橢圓”，且 a 取最大值， Q為 P 關(guān)于原點(diǎn) O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)， Q也異于 A 點(diǎn)，直線(xiàn) AP、AQ分別與 x 軸交于 M、N 兩點(diǎn)，試問(wèn)以線(xiàn)段 MN為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)？證

8、明你的結(jié)論上海市 2020 屆徐匯區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析、填空題（本大題共 12 題，1-6 每題 4分， 7-12 每題 5分，共 54 分）1已知集合 Mx|x>2，集合 Nx|x1，則 MN x| x1或 x>2 【解答】 解： Mx|x>2，Nx| x1，MNx|x1或 x>2故答案為： x|x1或 x>22向量在向量 方向上的投影為 3【解答】 解：向量 在向量 ，cos（ ， ） ，向量 在向量 方向上的投影為： cos（ ， ） 5× 3，故答案為 3；3二項(xiàng)式（ 3x1）11的二項(xiàng)展開(kāi)式中第 3 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為 55 解答

9、】 解：二項(xiàng)式（ 3x1）11的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式 Tr+1?（3x）11r?（ 1）令 r 2，可得中第 3 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為 55，故答案為： 554復(fù)數(shù)【解答】 解：【解答】 解：故答案為：5已知 yf（x）是定義在 R上的偶函數(shù)，且它在 0 ，+）上單調(diào)遞增， 那么使得 f（ 2）f （a）成立的實(shí)數(shù) a的取值范圍是a2或 a2 【解答】 解：函數(shù) f （x）是定義在 R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間 0 ，+）上單調(diào)遞增不等式 f（2）f （a）等價(jià)為 f（2）f （|a|），即 2 | a| ，a2或 a2， 故答案為： a2或 a26已知函數(shù) f （ x） arcsin （ 2x+1），

10、則 f 1（解答】 解：令 arcsin （ 2x+1）即 sin2x+1解得 x故答案為：7已知 x R，條件 p：x2<x，條件 q： a（a>0），若 p是 q 的充分不必要條件，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是0，1【解答】 解：因?yàn)?x R，條件 p：x2<x，所以 p 對(duì)應(yīng)的集合為 A（ 0，1）；因?yàn)闂l件 q： a（ a>0），所以 q 對(duì)應(yīng)的集合為 B（ 0， ；因?yàn)?p是 q 的充分不必要條件，所以 A? B，所以 ，所以 0<a 1，故答案為：（ 0， 1 8已知等差數(shù)列 an的公差 d 3，Sn表示 an的前 n 項(xiàng)和，若數(shù)列 Sn是遞增數(shù)列，則 a

11、1 的取值范圍是 （ 3， +） 【解答】 解： Snna1+數(shù)列 Sn是遞增數(shù)列， Sn+1> Sn，（ n+1）a1+×3> na1+化為： a1> 3n，對(duì)于 ? nN*都成立 a1> 3 故答案為：（ 3， +）2 的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為 8409數(shù)字不重復(fù)，且個(gè)位數(shù)字與千位數(shù)字之差的絕對(duì)值等于【解答】 解：根據(jù)題意， 0到 9十個(gè)數(shù)字中之差的絕對(duì)值等于2的情況有 8種：0與 2，1與 3，2與 4，3與 5，4與6，5與7，6與 8，7與 9分 2 種情況討論：當(dāng)個(gè)位與千位數(shù)字為 0， 2 時(shí)，只能千位為 2，個(gè)位為 0，有 A8256 種，當(dāng)個(gè)位與千位數(shù)

12、字為 1與 3，2與 4，3與 5，4與 6，5與 7，6與 8，7與 9時(shí)，先排 千位數(shù)字，再排十位數(shù)字，最后排個(gè)位與百位，有7×A8 × A2 784 種， 共 784+56 840； 故答案為： 84010過(guò)拋物線(xiàn) C：y2 2x的焦點(diǎn) F，且斜率為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn) C于點(diǎn) M（M在 x 軸的上方） ，l 為拋物線(xiàn) C的準(zhǔn)線(xiàn)，點(diǎn) N在 l 上且 MN l ，則 M到直線(xiàn) NF的距離為解答】解：拋物線(xiàn) C：y22x 的焦點(diǎn) F（ ，0），且斜率為的直線(xiàn)方程為 ，所以，整理得 9x2 15x+40，解得，所以 N（ ，時(shí)，解得 y，設(shè)點(diǎn) M（l 為拋物線(xiàn) C的準(zhǔn)線(xiàn)，點(diǎn) N在

13、 l 上且 MN l ，所以 NF的直線(xiàn)方程為，所以當(dāng)?shù)街本€(xiàn)的距離故答案為：11已知數(shù)列 an 的前 n項(xiàng)和為 Sn，對(duì)任意 n N* ，Sn（ 1）+n 3 且（a1p）（a2 p） 0，則實(shí)數(shù) p 的取值范圍是（）【解答】 解：數(shù)列 an的前 n項(xiàng)和為 Sn，對(duì)任意 n N* ， Sn（ 1）nan+ +n3，當(dāng) n 1 時(shí)，解得 ，當(dāng) n 3 時(shí)，整理得 ，當(dāng) n 4 時(shí)，整理得 ，由得： ，所以 ，整理得 ，解得 ，所以：實(shí)數(shù) p 的取值范圍是（），故答案為：（ ）12已知函數(shù) f（x）關(guān)于 x 的不等式 f （ x ） mx 2m2< 0 的解集是（ x1，x2）（ x3，+）

14、，若 x1x2x3>0，則 x1+x2+x3的取值范圍是 2 12，+） 【解答】 解：畫(huà)出函數(shù) yf （x）的圖象，x 的不等式 f （x） mx 2m 2< 0，即為 f （x）< m（ x+2） +2，作出直線(xiàn) ym（x+2）+2，其恒過(guò)定點(diǎn)（ 2， 2），由解集是（ x1， x2）（ x3，+），若 x1x2x3> 0，可得 x1<0，x2<0， x3>0，2當(dāng) x1 時(shí)，x1，x2，是方程 x 2+6x +10mx 2m2 0 的兩個(gè)實(shí)根；2即 x2+（6m）x+82m0 的兩個(gè)實(shí)根， x1+x2m6；當(dāng) x>1 時(shí)， x3是方程 4x

15、 +1 mx 2m 2 0的實(shí)根；結(jié)合圖象可得 m< 0，當(dāng)直線(xiàn) ym（x+2）+2經(jīng)過(guò)（ 0， 1）時(shí)，可得 2m+21，解得 m ；當(dāng)直線(xiàn) ym（x+2）+2與直線(xiàn) y14x 平行時(shí)，m 4由直線(xiàn) ym（x+2）+2在 yf （ x）的上方，可得4<m<m+4>0，12212； x1+x2+x3 m 6+m+4+ 122當(dāng)且僅當(dāng) m+4時(shí)，即 m 4+ 時(shí)取等號(hào)；A 3x+5y 3 0B 3x+5y+3 0C 3x+5y1 0D5x)3y+5 0【解答】 解：由 可得， 由題意可知所求直線(xiàn)的斜率率 k 3x+5y+80，即直線(xiàn)的斜率，故所求的直線(xiàn)方程為x 1)即 3

16、x+5y+30則截得的小棱：4故選： B14一個(gè)棱錐被平行于底面的平面所截截面面積恰好是棱錐底面面積的一半，錐與原棱錐的高之比是（ ）A 1：2B 1：8C ：2D【解答】 解：在棱錐中，平行于底面的平面截棱錐所得的截面與底面相似，相似比等于截得的小棱錐與原棱錐對(duì)應(yīng)棱長(zhǎng)之比又一個(gè)棱錐被平行于底面的平面所截截面面積恰好是棱錐底面面積的一半，相似比為 1： ： 2則截得的小棱錐與原棱錐的高之比是： 2故選： C15若圓 C1：x2+y21 和圓 C2： x2+y26x 8yk 0 沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是（）A（ 9，11）B（ 25， 9）C（， 9）（ 11， +）D（ 25， 9

17、）（ 11，+）【解答】 解：化圓 C2： x2+y2 6x 8y k 0 為（ x3）2+（y4）2 25+k，則 k> 25，圓心坐標(biāo)為（ 3，4），半徑為，圓 C1：x2+y2 1 的圓心坐標(biāo)為（ 0， 0），半徑為 12 2 2 2要使圓 C1： x2+y21 和圓 C2： x2+y26x8yk 0 沒(méi)有公共點(diǎn)，則| C1C2|或| C1C2| <，即 5 > 或 5 ，解得 25< k< 9或 k>11實(shí)數(shù) k的取值范圍是（ 25， 9）（ 11，+）故選： D16設(shè) H是 ABC的垂心，且 3 +4 +5 ，則 cosBHC的值為（）ABCD【解

18、答】解： 由三角形垂心性質(zhì)可得， ，不妨設(shè)x， 3 +4 +5 ，同理可求得故選： D. 解答題（本大題共 5 題，共 14+14+14+16+18 76 分）17如圖所示，圓錐 SO的底面圓半徑 | OA| 1，母線(xiàn) SA3（1）求此圓錐的體積和側(cè)面展開(kāi)圖扇形的面積；（ 2）過(guò)點(diǎn) O在圓錐底面作 OA的垂線(xiàn)交底面圓圓弧于點(diǎn) P，設(shè)線(xiàn)段 SO中點(diǎn)為 M，求異面直線(xiàn) AM與 PS所成角的大小解答】 解：（ 1）圓錐 SO的底面圓半徑 | OA| 1，母線(xiàn) SA 3所以圓錐的高為 h所以， S圓錐側(cè) ?1?3 32）如圖所示：在圓錐中，作 MN SP，交 OP于 N，則異面直線(xiàn) AM與 PS所成的

19、角為 AMN依題意： AM， MN， AN所以所以面直線(xiàn) AM與 PS所成角的大小18設(shè)函數(shù)f（x）x2+|xa| （x R， a為實(shí)數(shù)）1）若 f （x）為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的值；2）設(shè) a> ，求函數(shù) f （ x）的最小值（用 a 表示）解答】 解：（ 1）若函數(shù) f （ x）為偶函數(shù)，則 f（ x） f （ x）對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立即：x2+|xa|x2+|xa|，所以 |x+a|xa| 恒成立，即 a0（2）在的基礎(chǔ)上，討論 xa 的符號(hào)，當(dāng) xa 時(shí)，f（ x） x2 +x a，所以函數(shù) f（ x）的對(duì)稱(chēng)軸為 x ，此時(shí) 當(dāng) x<a 時(shí)，f（ x） x2+x a，所以函數(shù)

20、 f（ x ）的對(duì)稱(chēng)軸為 x ，此時(shí) 又由于 a 時(shí)， ，所以函數(shù) f （ x）的最小值為19如圖，某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路a 經(jīng)過(guò)三個(gè)景點(diǎn) A、B、C，景區(qū)管委會(huì)又開(kāi)發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn) D，經(jīng)測(cè)量景點(diǎn) D 位于景點(diǎn) A的北偏東 30°方向 8km處，位于景點(diǎn) B的 正北方向，還位于景點(diǎn) C的北偏西 75°方向上，已知 AB 5km（1）景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn) D向景點(diǎn) B 修建一條筆直的公路，不考慮其他因素，求出這 條公路的長(zhǎng)；（結(jié)果精確到 0.1 km）0.1 km）解答】 解：（ 1）如圖，過(guò)點(diǎn) D作 DE AC于點(diǎn) E，過(guò)點(diǎn) A作 AF DB，交 DB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)

21、F在 Rt DAF 中 ， ADF 30AF AD ×84，DF在 Rt ABF中， BF3， BDDFBF4 3sin ABF ABF DBE， sin DBE，在 Rt DBE中， 3.1 （ km）景點(diǎn) D向公路 a 修建的這條公路的長(zhǎng)約是 3.1 km；（ 2）由題意可知 CDB75°，由（ 1）可知 sin DBE 0.8 ，所以 DBE53DCB180°75°53° 52在RtDCE中，sin DCE ，DC4（km）景點(diǎn) C 與景點(diǎn) D 之間的距離約為 4km2016 分）給正有理數(shù)i j ， i ，N*，mi，ni，mj，njN

22、*，且 mimj 和 ni前依題意按規(guī)則 Q排列后得： ，+5；10 項(xiàng)和為： S10nj 不同時(shí)成立） ，按以下規(guī)則 P排列：若 mi+ni <mj +nj ，則 排在 前面；若 mi+nimj+nj，且 ni <nj ，則排在的前面， 按此規(guī)則排列得到數(shù)列 an （例如： ，）1）依次寫(xiě)出數(shù)列 an的前 10 項(xiàng)；2）對(duì)數(shù)列 an中小于 1的各項(xiàng)，按以下規(guī)則 Q排列：各項(xiàng)不做化簡(jiǎn)運(yùn)算；分母小 bn ，求數(shù)列 bn的項(xiàng)排在前面；分母相同的兩項(xiàng)，分子小的項(xiàng)排在前面，得到數(shù)列 的前 10 項(xiàng)的和 S10 ，前 2019 項(xiàng)的和 S2019；3）對(duì)數(shù)列 an中所有整數(shù)項(xiàng)，由小到大取前

23、2019 個(gè)互不相等的整數(shù)項(xiàng)構(gòu)成集合 Ac1， c2，c3， c2019 ， A的子集 B滿(mǎn)足：對(duì)任意的 x，yB，有 x+y?B，求集合 B中元素個(gè)數(shù)的最大值解答】 解：（ 1）依題意，數(shù)列 an的前 10 項(xiàng)為：求前2019 項(xiàng)的和 S2019時(shí)，先確定最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的值， 令 2019 1+2+3+ +n 即2019， n（ 63， 64），數(shù)列分母取慢 2 64 時(shí)，共有2016 項(xiàng)，所有分母為 65的還有 3 項(xiàng)，即：數(shù)列 bn前 2019項(xiàng)為：，當(dāng) n2 ，64 時(shí)，對(duì)分母為 n 的小段求和：S+ +當(dāng) n2 ，64時(shí)，對(duì) 63個(gè)小段相加求和：S + + + + ? 1008，S2019S +1008 ，3）依題意： A1，2，3， 2