二次函數(shù)與相似三角形

1、方法點(diǎn)析方法點(diǎn)析相似三角形圖形千變?nèi)f化， 蘊(yùn)涵豐富的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，我們從圖形變換的觀點(diǎn)歸納相似的基本圖形： 二次函數(shù)與相似三角形二次函數(shù)與相似三角形 初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)（蘇科版）（蘇科版）122xy如圖，已知拋物線如圖，已知拋物線 的圖像與的圖像與x x軸交于軸交于A A、B B 兩點(diǎn)（點(diǎn)兩點(diǎn)（點(diǎn)A A在點(diǎn)在點(diǎn)B B左側(cè)），與左側(cè)），與y y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C.C.試判斷試判斷AOCAOC與與COBCOB是否相似是否相似; ;若點(diǎn)若點(diǎn)D D是拋物線的頂點(diǎn)，是拋物線的頂點(diǎn)，DHDH垂直于垂直于x x軸，垂足為軸，垂足為H H，試判斷直角三角形試判斷直角三角形DHADHA與

2、直角三角形與直角三角形COBCOB是否相似？是否相似？說(shuō)明理由說(shuō)明理由例題選講例題選講 若點(diǎn)M在拋物線上且在x軸上方，過(guò)點(diǎn)M作MG垂直于x軸，垂足為點(diǎn)G，是否存在M，使得AMG與AOC相似變式變式1 1：展示討論展示討論 變式變式2 2：若點(diǎn)若點(diǎn)D D是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)M M在拋物線上且在在拋物線上且在x x軸上方，軸上方，過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M M做做x x軸的垂線，垂足為點(diǎn)軸的垂線，垂足為點(diǎn)G G，是否存在，是否存在M M，使得使得AMGAMG與與DCBDCB相似相似展示討論展示討論 （20142014鎮(zhèn)江）如圖鎮(zhèn)江）如圖1 1，在平面直角坐標(biāo)系，在平面直角坐標(biāo)系xOyxOy中，點(diǎn)中

3、，點(diǎn)M M為拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)（為拋物線的頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)（0 0，4 4）作作x x軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)P P、Q Q（點(diǎn)（點(diǎn)P P在在Q Q的左側(cè)），的左側(cè)），PQ=4PQ=4（1 1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出點(diǎn)）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出點(diǎn)P P的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；（2 2）小麗發(fā)現(xiàn)：將拋物線繞著點(diǎn)）小麗發(fā)現(xiàn)：將拋物線繞著點(diǎn)P P旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)180180，所得新拋物線的頂點(diǎn)恰為坐標(biāo)原點(diǎn)，所得新拋物線的頂點(diǎn)恰為坐標(biāo)原點(diǎn)O O，你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；你認(rèn)為正確嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3 3）如圖）如圖2 2，已知點(diǎn)，已知點(diǎn)A A（1 1，0 0），以），以PAPA為邊作矩形

4、為邊作矩形PABCPABC（點(diǎn)（點(diǎn)P P、A A、B B、C C按順時(shí)針的方按順時(shí)針的方向排列），向排列）， 寫(xiě)出寫(xiě)出C C點(diǎn)的坐標(biāo)：點(diǎn)的坐標(biāo)：C C（ ， ）（坐標(biāo)用含有）（坐標(biāo)用含有t t的代數(shù)式表示）；的代數(shù)式表示）；若點(diǎn)若點(diǎn)C C在題（在題（2 2）中旋轉(zhuǎn)后的新拋物線上，求）中旋轉(zhuǎn)后的新拋物線上，求t t的值的值tPBPA12yaxbxc 如圖如圖, ,已知已知ABCABC中，中，ACBACB9090以以ABAB所在直線為所在直線為x x軸軸過(guò)過(guò)c c 點(diǎn)的直點(diǎn)的直線為線為y y 軸建立平面直角坐標(biāo)系此時(shí)，軸建立平面直角坐標(biāo)系此時(shí)，A A 點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0-1,0），）， B

5、 B 點(diǎn)坐標(biāo)為（點(diǎn)坐標(biāo)為（4,04,0） （1 1）試求點(diǎn)）試求點(diǎn)C C 的坐標(biāo)的坐標(biāo)（2 2）若拋物線）若拋物線 過(guò)過(guò)ABCABC的三個(gè)頂點(diǎn)，求拋物線的解析式的三個(gè)頂點(diǎn)，求拋物線的解析式（3 3）點(diǎn)）點(diǎn)D D（ 1 1，m m ）在拋物線上，過(guò)點(diǎn)）在拋物線上，過(guò)點(diǎn)A A的直線的直線y=y=x x1 1 交（交（2 2）中的拋物線于）中的拋物線于點(diǎn)點(diǎn)E E，那么在，那么在x x軸上點(diǎn)軸上點(diǎn)B B 的左側(cè)是否存在的左側(cè)是否存在點(diǎn)點(diǎn)P P，使以，使以P P、B B、D D為頂點(diǎn)的三角形與為頂點(diǎn)的三角形與ABE ABE 相似？若存在，求出相似？若存在，求出P P點(diǎn)坐標(biāo)；點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由若不

6、存在，說(shuō)明理由. .cbxxy2已知已知: :如圖如圖, ,拋物線拋物線 與與x x軸、軸、y y軸分別相交于軸分別相交于點(diǎn)點(diǎn)A A（-1-1，0 0）、）、B B（0 0，3 3）兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為）兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D.D.(1)(1)求該拋物線的解析式；求該拋物線的解析式； (2)(2)若該拋物線與若該拋物線與x x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E,E,求四邊形求四邊形 ABDEABDE的面積；的面積；(3)(3)AOBAOB與與BDEBDE是否相似？如果相似，請(qǐng)予以證明；是否相似？如果相似，請(qǐng)予以證明；如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由. .練習(xí)練習(xí) 如圖，四邊形如圖，四邊形ABC

7、DABCD是平行四邊形，是平行四邊形，AB=4AB=4，OB=2OB=2，拋物線過(guò)拋物線過(guò)A A、B B、C C三點(diǎn)，與三點(diǎn)，與x x軸交于另一點(diǎn)軸交于另一點(diǎn)D D一動(dòng)點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)P P以每秒以每秒1 1個(gè)個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從單位長(zhǎng)度的速度從B B點(diǎn)出發(fā)沿點(diǎn)出發(fā)沿BABA向點(diǎn)向點(diǎn)A A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A A停止，同停止，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)時(shí)一動(dòng)點(diǎn)Q Q從點(diǎn)從點(diǎn)D D出發(fā)，以每秒出發(fā)，以每秒3 3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿DCDC向點(diǎn)向點(diǎn)C C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)，與點(diǎn)與點(diǎn)P P同時(shí)停止同時(shí)停止（1 1）求拋物線的解析式；）求拋物線的解析式；（2 2）當(dāng)）當(dāng)t t為何值時(shí)，以為何值時(shí)，以P P、B

8、 B、O O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q Q、B B、O O為為頂點(diǎn)的三角形相似？頂點(diǎn)的三角形相似？1.1.已知拋物線已知拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-1)(4,-1)，與與y y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)C(0,3)C(0,3)，O O是原點(diǎn)是原點(diǎn). .（1 1）求這條拋物線的解析式；）求這條拋物線的解析式；（2 2）設(shè)此拋物線與）設(shè)此拋物線與x x軸的交點(diǎn)為軸的交點(diǎn)為A A，B B（A A在在B B的左邊），的左邊），問(wèn)在問(wèn)在y y軸上是否存在點(diǎn)軸上是否存在點(diǎn)P P，使以，使以O(shè) O，B B，P P為頂點(diǎn)的三角形為頂點(diǎn)的三角形與與AOCAOC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P P的坐標(biāo)：的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. .展示討論展示討論 2.2.如圖如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)為，已知拋物線的頂點(diǎn)為A A(2(2，1)1)，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O O，與與x x軸的另一交點(diǎn)為軸的另一交點(diǎn)為B.B.(1)(1)求拋物線的解析式；求拋物線的解析式；(2)(2)若點(diǎn)若點(diǎn)C C在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)D D在拋物線上，在拋物線上，且以且以O(shè) O、C C、D D、B B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求求D D點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)