§7.3.1平面和直線ppt課件

1、有下述關(guān)系與三元方程若曲面0),( zyxFS： （1）上的點(diǎn)的坐標(biāo)曲面S 都滿足方程0),(zyxF； （2）不在上的點(diǎn)的坐標(biāo)曲面S 都不滿足方程0),(zyxF， 則方程SzyxF 0),(稱為曲面的方方程程，稱為方而曲面 S 程0),(zyxF的圖圖形形。 空間的曲面和曲線可以看作是滿足一定條件的點(diǎn)的軌跡。 7.37.3平面與直線平面與直線 MM 作向量，nMM 則， 7 7. .3 3. .1 1 平平面面的的方方程程（一一）平平面面的的點(diǎn)點(diǎn)法法式式方方程程與平面垂直的非零向量稱為該平面的法法向向量量。即MMn0。pMMn解：上的任一點(diǎn)為平面設(shè) ),(pzyxM， 一、平面的方程一、平

2、面的方程 ),( zyxM過(guò)點(diǎn)設(shè)平面p， , , CBAn法向量為， 的方程求平面 p。 MM,zzyyxx， , ,CBAn， 0)()()(zzCyyBxxA， 方程的稱為平面 p點(diǎn)點(diǎn)法法式式方方程程。 例 1求過(guò)點(diǎn)) 1 , 1 , 2(且垂直于向量kji32的平面方程。解：取3 2, , 132kjin為法向量，即0732zyx。 由平面的點(diǎn)法式方程，得所求平面的方程為： 0) 1(3) 1(2)2(1zyx， 例 2求xoy坐標(biāo)平面的方程。 解：面垂直于向量xoyk ， 故取1 0, , 0k為法向量， 又xoy面過(guò)原點(diǎn))0 , 0 , 0(，所求方程為 0)0(1)0(0)0(0z

3、yx， 即 xoy面的方程為0z； 同理， yoz面的方程為0 x； xoz面的方程為0y。 （二二）平平面面的的一一般般方方程程反之，CBA , , 當(dāng)不全為零時(shí)，方程一定表示一個(gè)平面。 將方程0)()()(zzCyyBxxA展開(kāi)得： 0)(CzByAxCzByAx， 令DCzByAx)(，則有 0DCzByAx。 這是的一次 , zyx方程，所以平面可用的一次 , zyx 方 程 來(lái) 表 示 ； 取方程的一組解),(zyx，則有 方程 0DCzByAx 稱為平面的一一般般方方程程。 在在平平面面解解析析幾幾何何中中，一一次次方方程程表表示示一一條條直直線線； 在在空空間間解解析析幾幾何何中

4、中，一一次次方方程程則則表表示示一一個(gè)個(gè)平平面面。留意：留意： -得：0)()()(zzCyyBxxA， 它表示過(guò)點(diǎn)),(zyx，且以 , ,CBAn為法向量的平面。 0DCzByAx 下面討論方程的特殊情況。1 1通通過(guò)過(guò)原原點(diǎn)點(diǎn)的的平平面面當(dāng)0D時(shí)，方程0CzByAx表示通過(guò)原點(diǎn)的平面；2 2平平行行于于坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸的的平平面面當(dāng)0A時(shí)，方程0DCzBy軸的平面表示平行于 x； 平面的法向量為, 0CB與0 , 0 , 1i垂直， 方程0DCzBy軸的平面表示平行于 x。 當(dāng)0B時(shí)，方程0DCzAx軸的平面表示平行于 y； 當(dāng)0C時(shí)，方程0DByAx軸的平面表示平行于 z。 3 3通通過(guò)過(guò)

5、坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸的的平平面面4 4平平行行于于坐坐標(biāo)標(biāo)平平面面的的平平面面時(shí)當(dāng) 0 DA，方程0CzBy軸的平面表示通過(guò) x； 時(shí)當(dāng) 0 DB，方程0CzAx軸的平面表示通過(guò) y； 時(shí)當(dāng) 0 DC，方程0ByAx軸的平面表示通過(guò) z。 時(shí)當(dāng) 0 BA，方程0DCz面的平面表示平行于 xoy； 平面的法向量軸軸和同時(shí)垂直 , 0 , 0yxC， 方程0DCz面的平面表示平行于 xoy。 時(shí)當(dāng) 0 CA，方程0DBy面的平面表示平行于 xoz； 時(shí)當(dāng) 0 CB，方程0DAx面的平面表示平行于 yoz。 則有0 DAa，0 DBb，0 DCc， 0DzcDybDxaD， aDA，bDB，cDC。 化簡(jiǎn)得

6、 1czbyax。 方程稱為平面的截截距距式式方方程程。（三三）平平面面的的截截距距式式方方程程設(shè)平面方程為0DCzByAx，xyzoPQR 設(shè)平面與坐標(biāo)軸分別交于)0 , 0 ,(aP，)0 , , 0(bQ，) , 0 , 0(cR三點(diǎn)，其中0cba。求平面的方程。 法向量為 ,1CBAn ，的平面 2p法向量為 1 1, , 12n。 有0DCBA，0DCB，的方程故平面 1p為02CzCyCx，即02zyx。 例 3) 1 , 1 , 0( ),1 , 1 , 1 ( 211pMM過(guò)點(diǎn)平面，且與平面 2p：垂直 0zyx，的方程求平面 1p。 解：方法方法 1：設(shè)0 1pDCzByAx

7、的方程為平面，其 上在平面和點(diǎn) 121pMM， 21pp，21nn， 021nn，即0CBA， 0D，CB ，CA2。 上在平面 121pMM，21MM=2 0, , 1， 1n2n，1n21MM， 1 1, , 22011112121kjiMMnn， 取定點(diǎn)為) 1 , 1 , 1 (1M代入點(diǎn)法式，的方程得平面 1p： 0) 1() 1() 1(2zyx，即02zyx。 方方法法 2：設(shè)11 n的法向量為平面p， 的法向量為平面 2p1 1, , 12n。 解：方方法法 1：設(shè)所求平面的方程為0CzBy， 其法向量為 , , 01CBn ， 平面03245zyx的法向量為2 4, , 52

8、n， 1n2n， 1n2n024CB，BC2， 02 BzBy，02 zy即為所求的平面方程。 例 403245 zyxx軸且垂直于平面求通過(guò)的 平 面 方 程 。 方法方法 2：設(shè)所求平面的1 n法向量為， 平面03245zyx的法向量為2 4, , 52n， in 1， 21nn，可取1n=2n i4 2, , 042001245kjkji，取定點(diǎn)為)0 , 0 , 0(，代入點(diǎn)法式，得所求平面的方程：0)0(4)0(2)0(0zyx，即02 zy。（四四）平平面面的的三三點(diǎn)點(diǎn)式式方方程程 已知平面上不共線的三點(diǎn)),(1111zyxM，),(2222zyxM， ),(3333zyxM，求平

9、面方程。 解：設(shè)),(zyxM為平面上任一點(diǎn)，作向量MM1，21MM，31MM，則0)(31211MMMMMM，即0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx.設(shè)兩平面為1p：01111DzCyBxA， 2p：02222DzCyBxA，法向量分別為, 1111CBAn ， ,2222CBAn ，二二、兩兩平平面面的的夾夾角角兩平面法向量的夾角（通常指銳角）稱為兩平面的夾角。1p2p1n2n.cos2222222121212121212111CBACBACCBBAAnnnn例 5求兩平面032zyx與052zyx的夾角。解：2 , 1 , 11n、1 , 1 , 22n，211122) 1(1212cos2222122，3p。0212121CCBBAA212121CCBBAA三三、點(diǎn)點(diǎn)到到平平面面的的距距離離 設(shè)),(zyxP是平面0DCzByAx外的一點(diǎn)， 求dP 到這平面的距離點(diǎn)。 cos 11PPnPPn