第九章-自旋-zl-new

1、第9章 自旋 Quantum Mechanics第九章第九章 自旋自旋教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容第1頁(yè)1 電子自旋態(tài)與自旋算符2 總角動(dòng)量的本征態(tài)3 堿金屬原子光譜雙線結(jié)構(gòu)、反常Zeeman效應(yīng)4 自旋單態(tài)與三重態(tài)，自旋糾纏態(tài)第9章 自旋 Quantum Mechanics1 電子自旋態(tài)與自旋算符電子自旋態(tài)與自旋算符電子自旋存在的實(shí)驗(yàn)事實(shí)電子自旋存在的實(shí)驗(yàn)事實(shí)第2頁(yè)在討論電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)電子具有軌道磁矩如有外場(chǎng)存在，則這一軌道磁矩所帶來的附加能量為如磁場(chǎng)方向在z方向顯然V是量子化的，它取(2l+1)個(gè)值.在較強(qiáng)的磁場(chǎng)(105Gs），發(fā)現(xiàn)一些類氫離子或堿金屬原子有正常塞曼效應(yīng)的現(xiàn)象，而軌道磁矩的

2、存在，能很好地解釋它。但是，當(dāng)這些原子或離子置入弱磁場(chǎng)的環(huán)境中，或光譜分辨率提高后，發(fā)現(xiàn)問題并不是那么簡(jiǎn)單，這就要求人們進(jìn)一步探索。第9章 自旋 Quantum MechanicsStern-Gerlach實(shí)驗(yàn)（1922年）第3頁(yè)（1）實(shí)驗(yàn)描述（2）結(jié)論:I.I.銀原子有磁矩銀原子有磁矩. .因在非均勻磁場(chǎng)因在非均勻磁場(chǎng)中發(fā)生偏轉(zhuǎn)中發(fā)生偏轉(zhuǎn); ;II.II.銀原子磁矩只有兩種取向銀原子磁矩只有兩種取向, ,即空即空間量子化的間量子化的. . S 態(tài)的銀原子束流，經(jīng)非均勻磁場(chǎng)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，在感光板上呈現(xiàn)兩條分立線。（3）討論當(dāng)一狹窄的原子束通過非均勻磁場(chǎng)時(shí)，如果原子無磁矩，它將不偏轉(zhuǎn)；而當(dāng)原子具有磁

3、矩，那在磁場(chǎng)中的附加能量為Z處于處于 S S 態(tài)的態(tài)的原子原子NS第9章 自旋 Quantum Mechanics第4頁(yè)cos.UBBB 其中，原子磁矩為 ，外磁場(chǎng)為cosdBFUdz 如果經(jīng)過的路徑上，磁場(chǎng)在Z方向上有梯度即不均勻，則受力 從經(jīng)典觀點(diǎn)看cos取值（從 -1+1）,因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同，而連續(xù)取值。感光板將呈現(xiàn)連續(xù)帶。但是實(shí)驗(yàn)結(jié)果是：出現(xiàn)的兩條分立線，處于 S 態(tài)的原子 =0，沒有軌道磁矩，所以原子磁矩來自于電子的固有磁矩，即自旋磁矩。與自旋磁矩相聯(lián)系的角動(dòng)量稱為電子自旋，它是電子的一個(gè)新物理量，也是一新的動(dòng)力學(xué)變量。第9章 自旋 Quantum Mechan

4、ics電子自旋存在的其他證據(jù)A堿金屬光譜的雙線結(jié)構(gòu)第5頁(yè)鈉原子光譜中有一譜線，波長(zhǎng)為5893。但精細(xì)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，實(shí)際上，這是由兩條譜線組成 D1=5895.93 , D2=5889.95 其他原子光譜中也可以發(fā)現(xiàn)這種譜線由更細(xì)的一些線組成的現(xiàn)象，稱之為光譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)。該現(xiàn)象只有考慮了電子的自旋才能得到解釋.3p3s58933p3/23p1/23s1/2D1D258965890這一事實(shí)，從電子具有三個(gè)自由度是無論如何不能解釋 。鈉D1和D2的兩條光譜線，在弱磁場(chǎng)中分裂為4條和6條。這種現(xiàn)象稱為反常塞曼效應(yīng)。B反常塞曼效應(yīng)（Anomalous Zeeman effect）第9章 自旋 Quantu

5、m Mechanics電子自旋假定根據(jù)這一系列實(shí)驗(yàn)事實(shí)，G. Uhlenbeck（烏倫貝克）和 S.Goudsmit（古德斯密特）1925年根據(jù)上述現(xiàn)象提出了電子自旋假設(shè)第6頁(yè)（1）每個(gè)電子都具有自旋角動(dòng)量，它在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值：（2）每個(gè)電子都具有自旋磁矩，它與自旋角動(dòng)量的關(guān)系為：自旋磁矩，在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值：Bohr Bohr 磁子磁子第9章 自旋 Quantum Mechanics回轉(zhuǎn)磁比率第7頁(yè)（1）電子回轉(zhuǎn)磁比率2LeeLm c 軌道角動(dòng)量與軌道磁矩的關(guān)系是：S zzeeSm c （2）軌道回轉(zhuǎn)磁比率則，軌道回轉(zhuǎn)磁比率為：2eem c可見電子回轉(zhuǎn)磁

6、比率是軌道回轉(zhuǎn)磁比率的二倍以e/2mec單位，則gs=2（而gl=1）.電子自旋的存在可由Dirac提出的電子相對(duì)論性理論自然得到。第9章 自旋 Quantum Mechanics自旋算符自旋算符 已知通常的力學(xué)量都可以表示為坐標(biāo)和動(dòng)量的函數(shù)第8頁(yè)),(prFF 由于電子具有自旋，實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，它也具有內(nèi)稟磁矩而自旋角動(dòng)量則與電子的坐標(biāo)和動(dòng)量無關(guān)，它是電子內(nèi)部狀態(tài)的表征，是描寫電子狀態(tài)的第四個(gè)自由度（第四個(gè)變量）。與其他力學(xué)量一樣，自旋角動(dòng)量 也是用一個(gè)算符描寫，記為假設(shè)：自旋算符S有三個(gè)分量，并滿足角動(dòng)量所具有的對(duì)易關(guān)系:,ijijkkL LiL 對(duì)比軌道角動(dòng)量的關(guān)系第9章 自旋 Quantum

7、 Mechanics由于自旋角動(dòng)量在空間任意方向上的投影只能取 /2 兩個(gè)值第9頁(yè)所以zyxSSS的本征值都是 /2/2，其平方為 /2/22 2算符的本征值是2S2432222zyxSSSS仿照22) 1( llL2124322) 1(sssS自旋量子數(shù) s 只有一個(gè)數(shù)值第9章 自旋 Quantum Mechanics含自旋的狀態(tài)波函數(shù)含自旋的狀態(tài)波函數(shù)第10頁(yè)因?yàn)樽孕请娮觾?nèi)部運(yùn)動(dòng)自由度，所以描寫電子運(yùn)動(dòng)除了用 (x, y, z) 三個(gè)坐標(biāo)變量外，還需要一個(gè)自旋變量 (SZ），于是電子的含自旋的波函數(shù)需寫為：),(tSzyxz 由于 SZ 只取 /2 兩個(gè)值， 所以上式可寫為兩個(gè)分量：寫成

8、列矩陣若已知電子處于Sz = h/2或Sz = -h/2的自旋態(tài)，則波函數(shù)可分別寫為： ),(00),(212121trtr 旋量波函數(shù)第9章 自旋 Quantum Mechanics自旋算符的矩陣表示與自旋算符的矩陣表示與 Pauli Pauli 矩陣矩陣（1）SZ的矩陣形式第11頁(yè)選Sz作為力學(xué)量完全集，即取Sz表象，那在自身表象中的表示自然為對(duì)角矩陣，而對(duì)角元就是它的本征值11,22zS S相應(yīng)的本征矢,zsssSS mmS m第9章 自旋 Quantum Mechanics在Sz表象中Sx,Sy的矩陣表示矩陣元：只要將Sx,Sy作用于Sz的基矢并以Sz基矢展開，從展開系數(shù)來獲得第12頁(yè)

9、,zxySSSSSiS ,(),(1),zszsssS SS mSSS mmSS m,1ssSS mS m,1ssSS mA S mS+|S,ms和S+|S,ms 標(biāo)積,sssSS mS mSS m S2 ,ssS m S SS mA第9章 自旋 Quantum Mechanics第13頁(yè)22222(1),xyzxyzSSSSS SSSi S同理可得同理可得 22222222 ,(1)()(1)ssszzsssssAS m S SS mS m SSSS mS SmmSmSm,1ssSS mA S m()(1)ssASmSm即第9章 自旋 Quantum Mechanics第14頁(yè)()2xabS

10、cd令1 1112 22 22xS111 1222 2 2xS1 1112 22 22111 1222 2 2yyiSiS 第9章 自旋 Quantum Mechanics第15頁(yè)sincossinsincosnxyzSSSS對(duì)于 S 在 n(,) 方向上的分量為 cossin2 sincosinieSecos2,2sin2nimesin2,2cos2inem 則本征矢第9章 自旋 Quantum MechanicsReviewReviewStern-Gerlach實(shí)驗(yàn), 堿金屬光譜的雙線結(jié)構(gòu), 反常塞曼效應(yīng)第16頁(yè)G. Uhlenbeck（烏倫貝克）和 S.Goudsmit（古德斯密特）電子

11、自旋假設(shè)每個(gè)電子都具有自旋角動(dòng)量，它在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值; 每個(gè)電子都具有自旋磁矩，它與自旋角動(dòng)量的關(guān)系為自旋是電子內(nèi)稟屬性，無經(jīng)典對(duì)應(yīng)，是一個(gè)新的自由度。旋量波函數(shù)，自旋算符。第9章 自旋 Quantum MechanicsPauli算符第17頁(yè)(I) Pauli 算符的引進(jìn)2S 令 zzyyxxSSS 222分量分量形式形式2SSi Si對(duì) 易 關(guān) 系 ：因?yàn)镾x, Sy, Sz的本征值都是/2， 所以x,y,z的本征值都是1； x2,y2,Z2 的本征值都是1。即：即：2221xyz222xyyxzyzzyxzxxzyiii 分 量 形 式 ：第9章 自旋 Quantum

12、 Mechanics第18頁(yè) 000zxxzyzzyxyyx 基于的對(duì)易關(guān)系，可以證明 各分量之間滿足反對(duì)易關(guān)系:反對(duì)易關(guān)系證：xyzzyi2xyyzyzyyi 2 xyyzyzyi 22 yxyzyzyi 22 yxzyzyi 2 xyyzyzi 2 0 xyyx xyyx 由對(duì)易關(guān)系和反對(duì)易關(guān)系還可以得到關(guān)于 Pauli 算符的如下非常有用性質(zhì)： yzxxzxyzzyzxyyxiii 第9章 自旋 Quantum MechanicsPauli算符的矩陣形式第19頁(yè)xabcd令zxxz10100101a ba bc dc d aba bcdc d 即00ad有00 xbc*000000 xx

13、bbcccb 0000*2ccccx 22|00|ccI1|2 c令：c = exp-i (為實(shí)），則 00*ccx 第9章 自旋 Quantum Mechanics第20頁(yè) yzxyzxii 由出發(fā)習(xí)慣上取= 0， 于是得到Pauli算符的矩陣形式為：0101010001xyzii從自旋算符與 Pauli 矩陣的關(guān)系自然得到自旋算符的矩陣表示：0101010001222xyziSSSi第9章 自旋 Quantum Mechanics課本練習(xí)：1. 證明第21頁(yè)其中A, B是與對(duì)易的任何兩個(gè)矢量。利用此式證明2. 設(shè)算符A和對(duì)易，證明第9章 自旋 Quantum Mechanics例例: :求

14、求y y的本征值，本征矢在的本征值，本征矢在z z表象中表示。表象中表示。 z z和和y y之之間的變換矩陣。間的變換矩陣。第22頁(yè)解：解：對(duì)于兩表象變換對(duì)于兩表象變換 A B, SA B, Sbaba=。顯然，。顯然，S Sbaba ，實(shí)為，實(shí)為A A表象基表象基矢矢|a|a在在B B表象中的表示。表象中的表示。在z表象中101,1,01ssmm 在z表象中，已知y的表示為1111,1,122ssimmi 從而， z與 y表象間變換矩陣為第9章 自旋 Quantum Mechanics自旋波函數(shù)第23頁(yè)對(duì)于Sz的本征方程為 由于Sz的本征值僅取 /2, ms= 1/2 。在其自身表象 而相應(yīng)

15、本征態(tài)的表示為是Sz的本征值為+/2 的本征態(tài)在Sz表象中的表示， 是Sz的本征值為-/2 的本征態(tài)在Sz表象中的表示。顯然 ,正交，0(10)01 第9章 自旋 Quantum Mechanics第24頁(yè)若是歸一化的，則 |a1/2|2 為以 描述的電子處于Sz=/2的幾率，即自旋向上和向下的幾率。 而a1/2和a-1/2可由,與標(biāo)積獲得1/21/21/21/21/2(10)(01)aaaaa 對(duì)于任何一在Sz表象中，其表示為旋量波函數(shù)第9章 自旋 Quantum Mechanics2 總角動(dòng)量的本征態(tài)總角動(dòng)量的本征態(tài)電子自旋是一種相對(duì)論效應(yīng)第25頁(yè)可以證明，在中心力場(chǎng)V(r) 中運(yùn)動(dòng)的電子

16、的相對(duì)論波動(dòng)方程（Dirac方程），在過渡到非相對(duì)論極限時(shí)， Hamilton量中將出現(xiàn)一項(xiàng)自旋-軌道耦合項(xiàng)（Thomas項(xiàng)）2211(),()2d VrSLrcrd r為電子質(zhì)量，c為光速。在處理正常Zeeman效應(yīng)時(shí)因外加磁場(chǎng)很強(qiáng)，自旋-軌道耦合項(xiàng)相對(duì)來說是很小的，可以忽略。但當(dāng)所加磁場(chǎng)很弱，或沒有外場(chǎng)的情況，這項(xiàng)作用對(duì)能級(jí)與光譜帶來的影響（精細(xì)結(jié)構(gòu)），就不應(yīng)忽略。堿金屬元素光譜線的雙分裂及反常Zeeman效應(yīng)都與此有關(guān)。第9章 自旋 Quantum Mechanics電子的總角動(dòng)量算符當(dāng)計(jì)及自旋-軌道耦合作用之后，軌道及自旋角動(dòng)量分別都不再是守恒量，因?yàn)榈?6頁(yè) ,0 ,0L S LS

17、S L 定義矢量算符，即(, , )JLSJLSx y z則可以證明，在中心力場(chǎng)中電子總角動(dòng)量J為守恒量?？紤]到L和S分別屬于不同自由度，因此相互對(duì)易，即 , ,()xyzxyxyzzJJLLSSiLSi J,0( , , )LSx y z 類似地還可證明其余類似的對(duì)易關(guān)系，第9章 自旋 Quantum Mechanics第27頁(yè)22,0,0,0,0,0,0zzJ SLHJJSLHJLSLH L容易證明因此，在中心力場(chǎng)中電子的能量本征態(tài)可以選為守恒量完全集(H,L2 ,J2,Jz) 的共同本征態(tài)?？臻g角度部分和自旋部分的波函數(shù)可選為的(L2 ,J2,Jz)共同本征態(tài)，此共同本征態(tài)在(,Sz)

18、表象中可表示為12( , )( , ,2)( , ,)( , )( , ,2)zS 如何求解該態(tài)呢？如何求解該態(tài)呢？第9章 自旋 Quantum Mechanics中心力場(chǎng)中電子的能量本征態(tài)(L2 ,J2,Jz) 的共同本征態(tài)。此共同本征態(tài)在(,Sz) 表象中可表示為第28頁(yè)12( , )( , ,2)( , ,)( , )( , ,2)zS （1）要求是L2 的本征態(tài)，即2112222,LCLCLC所以，1與2 都應(yīng)是L2的本征態(tài)，但對(duì)應(yīng)相同本征值。（2）要求為 Jz 的本征態(tài)111112222210,012zzzzJjLj1122() ,()22zzzzLjLj所以，1與2 都應(yīng)是Lz的本

19、征態(tài)，但對(duì)應(yīng)本征值相差。1( , ,)lmzlmaYSbY 這樣就保證了它是L2 與Jz的共同的本征態(tài)，本征值分別為l(l+1) 2和(m+1/2)。第9章 自旋 Quantum Mechanics第29頁(yè)（3）J2的本征態(tài)。1( , ,)lmzlmaYSbY 2222223()2()4xxyyzzJLSLSS LLLLL 22223434ZxyZLLLLLiLLLL2211lmlmlmlmaYaYJbYbY1()(1)lmlmL Ylm lmY代入本征方程：代入本征方程：1113 (1)()(1)43()(1) (1)(1)4lmlmlmlmlmlml lm aYlm lmbYaYlm lm

20、aYl lmbYbY3 (1)()(1)043()(1) (1)(1)04l lmal m l mbl m l mal lmb 上式兩邊分別乘以Y*lm,Y*lm+1 對(duì)(,)積分后得第9章 自旋 Quantum Mechanics第30頁(yè)這是確定a和b的線形齊次方程，有非平庸解的充要條件是 3(1)()(1)403()(1)(1)14l lmlm lmlm lml lm 3 (1)()(1)043()(1) (1)(1)04l lmalm lmblm lmal lmb解出的兩個(gè)根得求出本征值后，再求本征矢(1) ()1 2,almlmbjl對(duì)() (1)1 2,jlalmlmb 對(duì)22112

21、2|()|(1)21(1)|1()()lmlmlmlmaYa Yb YabbYlmlbblmlm 21121bl - mlalml第9章 自旋 Quantum Mechanics第31頁(yè)1111( , ,)2121211lmzlmlmlmlmYlmlmSYYllllmY 11111( , ,)212121lmzlmlmlmlmYlmlmSYYllllmY (a) 對(duì)于j=l+1/2情況，(b)對(duì)于j=l-1/2情況（l0）2222(1),(1),(1 2)(,1 2,1 2 (),0)jzl lj jmmjlllL JJ 它們是的共同本征態(tài) 相應(yīng)的本其中征值分別為-第9章 自旋 Quantum

22、 Mechanics第32頁(yè)mj的可能取值：A. j=l+1/2: mmax=l, mmin=-(l+1)，所以m的 可能取值為1,2,.,1,llll B. j=l-1/2: l0, mmax=l-1（當(dāng)m=l時(shí)，=0 ）, mmin=-l（當(dāng)m=-l-1時(shí)，=0）, 所以m的可能取值為1 2,3 2,.,3 2,1 2,1,.,1(2,1)jllllmj jjjj 即共個(gè)可能取值。而mj=m+1/2相應(yīng)的可能取值為： m = m = l, l-1, , 0, , -(l+1）mmj j = m+1/2 = = m+1/2 = l+1/2, l-1/2, , 1/2, , -(l+1/2)

23、= j, j-1, , 1/2, , -j 共2j+1個(gè)可能取值。第9章 自旋 Quantum Mechanics第33頁(yè)(2) (2) j=l-1/2(l(l00) )情況，情況，mj=m+1/2注意：l=0 時(shí)，不存在自旋軌道耦合，總角動(dòng)量就是自旋角動(dòng)量，j=S=1/2,mj=ms=1/2 。波函數(shù)可表示為(1)(1) j=l+1/2情況，情況，mj=m+1/2第9章 自旋 Quantum Mechanics課本練習(xí)1. 證明 是 的本征態(tài)，并求出本征值。提示： 利用可求得第34頁(yè)2. 求 在 態(tài)下的平均值。第9章 自旋 Quantum Mechanics3 堿金屬原子光譜雙線結(jié)構(gòu)、反常堿

24、金屬原子光譜雙線結(jié)構(gòu)、反常Zeeman效應(yīng)效應(yīng)堿金屬原子光譜的雙線結(jié)構(gòu)Hamilton 量第35頁(yè)考慮自旋軌道耦合SLrSLdrdVrcH )(12122 SLrrVHHH )()(2220 由于 H 中包含有自旋-軌道耦合項(xiàng)，所以 Lz, Sz與 H 不再對(duì)易。二者不再是守恒量. H的本征態(tài)可以選為對(duì)易守恒量完全集（H, L2, J2, Jz ）的共同本征態(tài)，因?yàn)槠湎鄳?yīng)的力學(xué)量算符 L2, J2, Jz 都與 H 對(duì)易的緣故。堿金屬原子有一個(gè)價(jià)電子，原子核及內(nèi)層滿殼電子對(duì)它的作用，可近似用一個(gè)屏蔽庫(kù)侖場(chǎng)V( r )描述。堿金屬原子的低激發(fā)能級(jí)是由價(jià)電子激發(fā)而來。第9章 自旋 Quantum

25、Mechanics第36頁(yè)薛定諤方程守恒量的完全集可選為 ( H,L2,J2,Jz)。利用上節(jié)的結(jié)果，角度部分及自旋部分波函數(shù)可選為 ( L2,J2,Jz ) 的共同本征態(tài) ljmj 。令( , , ,)( )( , ,)jzljmzrSR rS 代入薛定諤方程2222221()( )2( )LrV rErrrrr S L 第9章 自旋 Quantum Mechanics第37頁(yè)利用利用2221,322 (1)(1)241(1),22jjjjljmljmljmljmljlS Lj jl lljl (1)l 薛定諤方程化為：222222(11(/21)( ) ()(2,)22ddl lrV rR

26、 rER rr drrrlljdr 對(duì)222222(1)( )21(1)( ) ( )( )1/222,ddl lrV rR rER rr ddrllrrjr 對(duì)當(dāng)V( r )給定后(r) 也就給定，可以求解上列方程，得到能量本征值，它與量子數(shù)(n,l,j) 有關(guān)，記為Enlj ，能級(jí)是(2j+1)重簡(jiǎn)并。第9章 自旋 Quantum Mechanics第38頁(yè)在原子中， V(r)0 ，所以(r)0 ，因此1 21 2nljlnljlEE 即 j=l+1/2 能級(jí)略高于j=l-1/2 能級(jí)，但是由于自旋軌道耦合項(xiàng)較小，所以，兩條能級(jí)很靠近，這就是堿金屬雙線結(jié)構(gòu)的由來。1 21 2nljlnlj

27、lEEE 計(jì)算結(jié)果表明，自旋軌道耦合造成的分裂,隨原子序數(shù)Z增大而增大。對(duì)于堿金屬原子，鋰(Z=3)的雙線分裂就很小,不易測(cè)出。從鈉原子(Z=11)開始就比較顯著.第9章 自旋 Quantum Mechanics第39頁(yè)第9章 自旋 Quantum Mechanics反常塞曼效應(yīng)（一）實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象第40頁(yè)塞曼效應(yīng)：氫原子和類氫原子在外磁場(chǎng)中，其光譜線發(fā)生分裂的現(xiàn)象。 （1 1）正常塞曼效應(yīng)正常塞曼效應(yīng)：在強(qiáng)磁場(chǎng)作用下，光譜線的分裂為三條的現(xiàn)象。在強(qiáng)磁場(chǎng)作用下，光譜線的分裂為三條的現(xiàn)象。 （2 2）反常塞曼效應(yīng)：反常塞曼效應(yīng)：當(dāng)外磁場(chǎng)較弱，軌道當(dāng)外磁場(chǎng)較弱，軌道- -自旋相互作用不能忽略時(shí)，將產(chǎn)自旋

28、相互作用不能忽略時(shí)，將產(chǎn)生反常塞曼效應(yīng)。生反常塞曼效應(yīng)。（二）氫、類氫原子在外場(chǎng)中的附加能取外磁場(chǎng)方向沿 Z 向，則磁場(chǎng)引起的附加能為：第9章 自旋 Quantum Mechanics第41頁(yè)考慮強(qiáng)磁場(chǎng), 忽略自旋-軌道相互作用，體系薛定諤方程：22( )(2)22zzeBVrLSEc 已知沒有自旋-軌道相互作用的波函數(shù)可寫成：1122112200 或代入S方程2112( )(2)0022zzeBV rLSEc11002zS2112( )()0022zeBV rLEc 最后得 1 滿足的方程2211( )()22zeBV rLEc 同理得 2 滿足的方程2222( )()22zeBV rLEc

29、 第9章 自旋 Quantum Mechanics第42頁(yè)（1） 當(dāng) B=0 時(shí)（無外場(chǎng)），是中心力場(chǎng)問題，方程退化為不考慮自旋時(shí)的情況。),()(21 lmnlnlmYrR I. 對(duì)氫原子情況II.對(duì)類氫原子情況如 Li，Na，等堿金屬原子，核外電子對(duì)核庫(kù)侖場(chǎng)有屏蔽作用，此時(shí)能級(jí)不僅與 n 有關(guān)，而且與l 有關(guān)，記為E nl求解薛定諤方程22( )2nlmnlmV rE 第9章 自旋 Quantum Mechanics第43頁(yè)( )( , )( )( , )( )( , )znlmznllmnlz lmnllmnlmLL Rr YRr LYm Rr Ym （2） 當(dāng) B 0 時(shí)（有外場(chǎng)）時(shí)所

30、以在外磁場(chǎng)下，n m 仍為方程的解，此時(shí)22( )()22znlmnlmeBV rLEc 22( )()22nlmnlmnlmeBV rmEc (1)2nlnlmnlmnlme BEmEc(1)22nlze BEEmSc對(duì)同理(1)22nlze BEEmSc對(duì)正常塞曼效應(yīng)(1)22(1)22nlznlmnlze BEmScEe BEmSc 對(duì)對(duì)第9章 自旋 Quantum Mechanics第44頁(yè)（1）在外磁場(chǎng)下，能級(jí)與 n, l, m 有關(guān)。原來 m 不同，能量相同的簡(jiǎn)并現(xiàn)象被外磁場(chǎng)消除了。（2）外磁場(chǎng)存在時(shí)，能量與自旋狀態(tài)有關(guān)。當(dāng)原子處于 S 態(tài)時(shí)， l = 0, m = 0 的原能級(jí)

31、En l 分裂為二。 )2(2)2(20000znznnnlmScBeEScBeEEE 這對(duì)應(yīng)著 SternGerlach 實(shí)驗(yàn)所觀察到的現(xiàn)象。討論：第9章 自旋 Quantum Mechanics第45頁(yè)在強(qiáng)磁場(chǎng)中，原子光譜發(fā)生分裂（一般為3條）稱為正常Zeeman效應(yīng)。對(duì)于正常Zeeman效應(yīng)，不必考慮電子自旋就能說明。設(shè)外加磁場(chǎng)方向取為z軸方向，按照前面的討論，堿金屬原子中價(jià)電子的Hamilton量為2( )22zpeBHV rLc202( ),( ,)( )(,)(,.2,1, )nl20znlmnnllnlmlmHpVrEH,L ,LrRr YHmllleBEEmc 設(shè)對(duì) 應(yīng) 的 能

32、 量 本 征 值 為本 征 態(tài) 為 ()的共 同 本 征 態(tài) :則的 本 征 值 為2( )(2)22zzpeBHV rLSc(12 )(2)2(1)2ssn lm mn lsn lme BEEmmce BEmc 考慮到光輻射躍遷定則，ms=0,躍遷只能分別在ms=+1/2及ms=-1/2兩組能級(jí)內(nèi)部進(jìn)行，因此盡管能級(jí)有所改變，對(duì)譜線分裂卻沒有影響。第9章 自旋 Quantum Mechanics第46頁(yè)電子從 En 到 En 的躍遷的譜線頻率為： 0nln lEEB 0 有外磁場(chǎng)時(shí)根據(jù)選擇定則可知，0,1(1)ml 所以譜線角頻率可取三值：一條譜線被分裂成三條譜線第9章 自旋 Quantum

33、 Mechanics3p3sL- L+ L+ L- 0-1+10-100未加外磁場(chǎng)B加外磁場(chǎng)sm =1/2sm =-1/2正常正常ZeemanZeeman分裂分裂第9章 自旋 Quantum Mechanics第48頁(yè)反常塞曼效應(yīng)當(dāng)所加外磁場(chǎng)很弱，自旋軌道耦合并不比外磁場(chǎng)作用小，則需加以考慮，即Hamilton量應(yīng)取為2 (2)( )(2)2zzeBHpV rr S LLSc 2 ( )2( )22zzr SeBeBpcLV rJSc 要嚴(yán)格處理上式最后一項(xiàng)，是很麻煩的，J2,Sz 0 。為此先不考慮最后一項(xiàng)，則H本征值問題與處理堿金屬光譜線雙分裂相同。此時(shí) （L2,J2,Jz）仍為守恒量，H

34、的本征態(tài)仍然可以表示成相應(yīng)的能量本征值為,2jnljmnljjLLeBEEmc無外磁場(chǎng)時(shí)（B=0，即L=0），能級(jí)為(2j+1) 重簡(jiǎn)并。而在有磁場(chǎng)的情況下，它將分裂成 (2j+1)條能級(jí) , 能級(jí)簡(jiǎn)并完全解除(mj=j,j-1,.,-j) 。注意(2j+1)為偶數(shù)，這就可以解釋反常塞曼效應(yīng)的特點(diǎn)（光譜線分裂偶數(shù)條），考慮上式最后一項(xiàng)后，所得出的能級(jí)分布變化并不明顯，反常塞曼分裂的特征不變；但能量本征函數(shù)復(fù)雜的多。第9章 自旋 Quantum Mechanics3p3s058933p3/ 21/ 23p058961D2D3s1 21/ 21/ 21/ 21/ 21/ 21/ 23/ 23/ 205890jm鈉黃線的反常鈉黃線的反常ZeemanZeeman分裂分裂躍遷選擇定則：躍遷選擇定則：1,0, 1,0, 1jljm 第9章 自旋 Quantum Mechanics4 自旋單態(tài)與三重態(tài)，自旋糾纏態(tài)自旋單態(tài)與三重態(tài)，自旋糾纏態(tài)中性氦原子有兩個(gè)電子，研究氦原子狀態(tài)，就涉及兩個(gè)電子組成體系的自旋態(tài)。設(shè)兩個(gè)電子的自旋為s s1, s s2， 令S = s1+ s2表示兩個(gè)電子自旋之和。 s1, s2， 屬于不同電子，涉及不同自由度s1, s2=0, ,=x, y,