二項(xiàng)式定理題型與方法

1、二項(xiàng)式定理題型與方法求（x+y）n展開(kāi)特定項(xiàng)例1：（1+3X）11（其中n£N*且n26）的展開(kāi)式中X5與x6的系數(shù)相等，則n=（）A.6B.7C.8D.9解：由條件得C5=W6,%！(n-5)!=6!(n-6)!*，3(n-5)=6,n=7.故選B.例2：（2014大綱）信一用8的展開(kāi)式中/的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）1=,、33=(-1)Csx8-pyp-4,所以展開(kāi)式中Wy2的系數(shù)為（-1）七=70.故填70.解：島一甩8展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為令8-3=2,解得r=4,此時(shí)3-4=2,求(a+b)m+(x+y)”展開(kāi)特定項(xiàng)例1：在(l-x)5+(l-x)6+(lx)7+(l-x)3的展

2、開(kāi)式中，含X3的項(xiàng)的系數(shù)是()A.74B.121C.-74D.-121解析展開(kāi)式中含x3項(xiàng)的系數(shù)為cj(-1)3+d(-1)3+cf(-i)3+d(-i)3=-i2i.求(a+b)m.(x+y展開(kāi)特定項(xiàng)例L(2013,全國(guó)課標(biāo)卷H)已知Q+ax)(l+x)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為5,貝lja=()A.-4B.-3C.-2D.-l解：(1+ax)(l+x)5的展開(kāi)式中x2項(xiàng)為C5X2+ax-C5X=lOx2+5ax?=(10+5a)/.丁/的系數(shù)為5,-MO+5a=5,a=-1.故選D.例2：(2014浙江卷)在(l+x)6(l+y)4的展開(kāi)式中，記丹1項(xiàng)的系數(shù)為f(m,n),則f(3,0)+K

3、2,2)+K0,3)=()A.45B.60C.120D.210解析在Q+x)6的展開(kāi)式中，e的系數(shù)為cP在(l+y)4的展開(kāi)式中，V的系數(shù)為C3,故f(m,11)=0CS.從而其3,0)=C6=20,f(2,1)=Cg-ci=60,f(l,2)=cj-ti=36,f(0,3)=44,所以郎,0)+f(2,1)+即,2)+f(0,3)=120,故選C.例3：已知數(shù)列aj是等差數(shù)列，且a6+a7=10,則在(x-ai)(x-aQ(x-aQ的展開(kāi)式中，/的系數(shù)為.解：V】的系數(shù)為(a1+a?+a。=6(%+a?)=-60。求(x+y+z)n展開(kāi)特定項(xiàng)例1：求住十：十閭5(XX)的展開(kāi)式經(jīng)整理后的常數(shù)

4、項(xiàng).1/7解法一：仔+，閶在x）0時(shí)可化為（1A10-r10-2r因而1.i=Go（同（5），則r=5時(shí)為常數(shù)項(xiàng),解法二：所給的式子為三項(xiàng)式，采用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解.5分三類(lèi)：5個(gè)式子均取娘，則C?（娘）=4也；取一個(gè)看一個(gè)g三個(gè)啦，則C哨d（O=202；取兩個(gè)不，兩個(gè)一個(gè)娘，則ci仔右娘=£克.所以，常數(shù)項(xiàng)為4近+20小+I',=63.點(diǎn)撥：三項(xiàng)式的展開(kāi)式問(wèn)題，通?？捎媒夥ㄒ换癁槎?xiàng)式問(wèn)題，或者用解法二化為計(jì)數(shù)問(wèn)題.例2：若將（x+y+z嚴(yán)展開(kāi)為多項(xiàng)式，經(jīng)過(guò)合并同類(lèi)項(xiàng)后它的項(xiàng)數(shù)為（）.A.11B.33C.55D.66解：展開(kāi)后，每一項(xiàng)都形如父狀才，其中a+b+c=10,該方程

5、非負(fù)整數(shù)解的對(duì)數(shù)為G晨：!=66-例3：2015課標(biāo)全國(guó)卷IKW+x+yp的展開(kāi)式中，xY的系數(shù)為（）A.10B.20C.30D.60解析易知丁.=4（胃7產(chǎn)。，令1=2,則13=或（爐7）31,對(duì)于二項(xiàng)式（X2+x）3»由Tfi=©（力）3-父=c；x"，令t=L所以x5）的系數(shù)為C：C；=30.二項(xiàng)式展開(kāi)逆向問(wèn)題例1：(2013廣州畢業(yè)班綜合測(cè)試)若d+3d+3?東+3,2弋7+3,1=85,則n的值為()A3B.4C.5D.6解：由CL+3C+3x241+3x1=3(1+3尸-1=85,解得n=4.故選B.賦值法求系數(shù)(和)問(wèn)題例1：已知Q2乂)7=2。+6

6、+2/+動(dòng)(.求：(1)町+2+a7；(2)ai+33+35+37：(3)30+32+34+36；(4)|ao|+|3i|+|a2|+,*+|a7|.解：令x=1,則a。+的+a2+a3+JU+as+a6+a7=-1.令X=-1,J51ao-31+32-33+34-35+36-37=37.®(1)Vao=C?=1,ai+32+33+a7=-2.-1-37(2)(-)-2,得a1+a?+as+a7=-1094.-1+37(3)(+尸2,得a0+a2+a4+a6=；=1093.®2/7(4),.,(1-2x)7的展開(kāi)式中，a。，a?,a.ra6大于零，而船，a$,a)小于零，|

7、so|+同|+|a?|+|ay|=(ao+a；+山+ag)(ai+a3+as+a7)，.所求即為應(yīng))-(亦即)，其值為2187.點(diǎn)撥：“賦值法”普遍運(yùn)用于恒等式，是一種處理二項(xiàng)式相關(guān)問(wèn)題比較常用的方法.對(duì)形如(ax+b)，(af+bx+c)m(a,b,c£R)的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x=l即可：對(duì)形如(ax+by)n(a,b£R)的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x=y=l即可.若f(x)=ao+aix+a2W+工，則Rx)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(l),奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為20+22+24+=,(1)7T)偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和為a1+a3+as+=,(1)一；(一】)

8、,例2：設(shè)惇+x=ao+aix+a2X2H則(ao+az+a4HFa2n)*(ai+as+a5HHa2n-i)2=，解：設(shè)財(cái)=惇+乂，則(a。+a：；+4+a2nJ2(ai+33+85+a2n-i)*=Go+a?+例3：已知(x+lf(x+2嚴(yán)4=ao+ai(x+2)+aKx+2)2dFa2oi6(x+2)2016,則:+爭(zhēng)+翳HF舞II的值為.解：依題意令X=-1,得(_,+1312014亍W=a。+ai(-號(hào)+2)+a2(-:+2)+2016(：+22016,令x=-2得a0=0,則工+?+a2016m2016平移后系數(shù)問(wèn)題例1：若將函數(shù)其x)=x'表示為Rx)=ao+ai(l+x

9、)+a2(l+x)2dFasQ+x)'，其中ao,ai，a?，等為實(shí)數(shù)，則a3=.解法：令x+l=y,(yI)，=刖+a»+a?/+asy5,故3=Y(一以=10.,5=1，解法二：由等式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等.即：SC535+a4=0,解得3=10.品5+品4+3=0,解法三：對(duì)等式：f(x)=(=a。+的(1+X)+2(1+X)2+*(1+x)5兩邊連續(xù)對(duì)X求導(dǎo)三次得：6OX2=6a3+24a4(l+x)+60a5(l+x)2,再運(yùn)用賦值法，令x=-l得：60=6a3,即a?=10.故填10.二項(xiàng)式系數(shù)、系數(shù)最大值問(wèn)題例1：(5+/)n的展開(kāi)式中第五項(xiàng)和第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大

10、，則第四項(xiàng)為解析由已知條件第五項(xiàng)和第六項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，得n=9,(5+白夕展開(kāi)式的第四項(xiàng)3/7為T(mén)4=或(5)6.出=y.例2：把Q-x)9的展開(kāi)式按x的升靠排列，系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng)()A.4B.5C.6D.7解析(l-x)9展開(kāi)式中第r+1項(xiàng)的系數(shù)為0(-1),易知當(dāng)r=4時(shí)，系數(shù)最大，即第5項(xiàng)系數(shù)最大，選B.例3：(l+2x)n的展開(kāi)式中第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng).解：T6=d(2x)5,T7=Ci(2x)6,依題意有&2$=d2,，解得n=8.所以(1+2x)8的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)s=8-(2x)4=1120x4設(shè)第T+1

11、項(xiàng)系數(shù)最大，則有解得546.所以1=5或1=6,所以系數(shù)最大的項(xiàng)為&=1792X5或0=1792X6.點(diǎn)撥：Q)求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)：如果n是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)(第T+1項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)最大：如果n是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)(第上署項(xiàng)與第粵4+1項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大.(2)求展開(kāi)式系數(shù)最大項(xiàng)：如求(a+bx(a,b£K)的展開(kāi)式系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，列出不等式組佇:廣“'從而解出r,即得展開(kāi)式系數(shù)最大的項(xiàng).ianA+i，兩邊求導(dǎo)法求特定數(shù)列和例1：若(2xBynao+aix+azW+asd+adX4+asX5,貝ija1+2a2+3a3+4a4+5a5=解析原

12、等式兩邊求導(dǎo)得5(2x-3)4-(2x-3)z=ai2a?x+33胃+4a4+5a5X4,令上式中x=1,得a+2a2+3a3+4a4+5a5=10.兩邊積分法求特定數(shù)列和例1：若等式(女-fy1-+x+3+21/對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則3qH!a、+-4a、(的值為.213-2015-解:.(改一1)蚪=/+，"十叼1十.十，0141014,.£N一1)=(Q。+=anai+一al11a二口A20152320154/7整除問(wèn)題例1：設(shè)a£Z,且0Wa<13,若5J°i2+a能被口整除，則a=()A.0B.1C.11D.12VC?on-52-ol2-

13、c|oi252.°n+C5給X52.(-1)2011能被13整除.221A1Aoo(-1)+a=l+a也能被13整除.例2：已知m是一個(gè)給定的正整數(shù)，如果兩個(gè)整數(shù)a,b除以m所得的余數(shù)相同，則稱(chēng)a與b對(duì)模m同余，記作a三b(niodni),例如：5=13(mod4).:22015=r(mod7),則r可能等于()A.2013B.2014C.2015D.2016解:22015=22X23x671=4X8671=4(7+I)671=4(7671+4+d劭+1).因此22°除以7的余數(shù)為4.經(jīng)驗(yàn)證，只有2013除以7所得的奉數(shù)為4.故選A.習(xí)題薈萃1、(2013青島一檢)“n=5

14、”是“(n£N*)的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件解：因?yàn)镈.既不充分也不必要條件口的展開(kāi)式的通項(xiàng)Tl=C2nr.*含有常數(shù)項(xiàng)時(shí)滿足一此時(shí)若含有常數(shù)項(xiàng)，則n=5k(k£N*),故“n=5”是(I、“2/x+(n£N)的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)”的充分不必要條件.故選A.2、己知C：+2d+22c：+23Y+2=729,則cg+cg+Y+C：等于()A.63B.64C.31D.32解析逆用二項(xiàng)式定理得Cn+2Cn+23C+23d+-2nCi=(1+2)n=3n=729,即3n=36,所以n=6,所以+/+以+筑=26-(=64-

15、1=63.故選慶.3、組合式C：-2dl+4C：-8C：+(2)，«的值等于()A.(l)nB.1C.3nD.3n-l解析在Q+X)n=C+CX+cl2+中，令X=-2,得原式二(12)n=(_l)n.4、若(1+x+x2)6=ao+aix+a?x3HFax12,則2+4-1Fai2=.5/736+l解析令x=1,則a。+ai，a?+a12=36,令x=-1,則a。-ai+a?-+a2=1，ao+a2+=36+1令x=0,則a。=1,/.a2+34+an=z-1=364.5、已知(l+x)i°=ao+ai(lx)+a：j(lxfdFaio(l-x)10,則a§=(

16、)A.-180B.180C.45D.-45解析因?yàn)?1+x)10=a0+ai(l-x)+a2(l-x)2+a10(l-x)10,所以2(1x)。=a。+ai(l-x)+a2(l-x)2+aio(l-x)10,所以as=C：022(-I)8=180.6、(l+2x)3(l-x)4展開(kāi)式中x項(xiàng)的系數(shù)為()A.10B.-10C.2D.-2解析(l+2x尸Q-x)”展開(kāi)式中的x項(xiàng)的系數(shù)為兩個(gè)因式相乘而得到，即第一個(gè)因式的常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)分別乘以第二個(gè)因式的一次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)，它為d(2x)°cic-xZ+cWdl4(-x)°,其系數(shù)為C§C；(-1)+C；2=-4+6=2.7、

17、(l+x)8(l+y)4的展開(kāi)式中W/的系數(shù)是.解析(l+x)8的通項(xiàng)為其d,(l+y)4的通項(xiàng)為C9,.(1+x)“l(fā)+y)4的通項(xiàng)為cK/y,令k=2,t=2,得fy2的系數(shù)為=168.8、在(l+x)3+Q+x)4+Q+X)50的展開(kāi)式中，X3的系數(shù)為()A.C；iB.C：C.CjD.Cj解：c；+c：+c；+.+c1=c；9、在(x+l)(2x+l)(nx+l)(n£N)的展開(kāi)式中一次項(xiàng)系數(shù)為()解析1+2+3+11="1)=Cqh-10、(2015安徽合肥二檢)(W-x+l)i°展開(kāi)式中X3項(xiàng)的系數(shù)為()A.-210B,210C.30D.一30解析由題意

18、，得($-乂+1尸=區(qū)區(qū)-1)+1產(chǎn)=C?ox(x-1)°I10+Ciox(x-I)119+Ciox(x-1)31S+Ciox(x-1)317+Ciox(x-1)101°=C10+CioX(X-1)+Ci(pr(x-1)2+CioX3(x-I)3+C1§X1O(X-I)10,x3出現(xiàn)在CiOx3(x-I)2+cfoxx-I)3=CioCx2-2x+1)+CJo/G-3+3xT)中,所以6/7X3前的系數(shù)為C?o(-2)+Cio(-1)=-90-120=-210,故選A.11、若(l+，Z)5=a+s/I(a,b為有理數(shù))，則a+b等于()A.45B.55C.70D.80解析：由二項(xiàng)式定理得(1+啦f=1+CyV2+C5(2)2+Cy(V2)3+Cy(2)4+Cyfyfl)5=1+5啦+20+20*+20+4啦=41+29鏡，即a=41,b=29,所以a+b=70.12、設(shè)(13x)9=a°+aix+a2WdFag胃，則|ao|+|ai|+E|HHaJ的值為()A.25B.49C.39D.59解析：判斷刖,32，8為正，ai，打，35，,ag為負(fù)，故令x=T即可.故選B.13、在（、氏一（，的展開(kāi)式中，（1）系數(shù)的絕對(duì)