高等代數(shù)§8.5 初等因子

1、5 初等因子主講主講: :向大晶向大晶5 5 初等因子初等因子一、初等因子的概念Definition 設(shè)( )A 的不變因子為 12( ),( ),( )rddd。如果 1212( )( )( )( )iiiskkkisdeee其中ijk為非負(fù)整數(shù)， 1,2, ;1,2, .ir js12( ),( ),( )seee為數(shù)域P上 互異的首1 系數(shù)的不可約多項(xiàng)式。則稱 1212( ),( ),( )iiiskkkseee為( )id的初等因子，而 為12( ),( ),( )rddd的全部 初等因子為 ( )A的初等因子(組)。 Remark 1: 初等因子與數(shù)域有關(guān) Remark 2: 初等因

2、子必須是不可約因式的方冪全體 n nAPEAA，則稱的全部初等因子為的初等因子. Remark 3:例1設(shè)域 上 矩陣 的標(biāo)準(zhǔn)形為 P( )A222421(1)(2)(1)(4)求 的初等因子 A二、初等因子與不變因子的關(guān)系1. 已知 的不變因子，可求出其初等因子( )A11112221221211221212( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )ssrsrrkkkskkkskkkrsdeeedeeedeee 則 的初等因子為( )A111222212211222111 ;( ),( ),( ),( ); ( ),( ) ,( ), ),( rsrrsskk

3、kksskkkkskeeeeeeeeeProperties2) 1) 在12( ),( ),( )nddd屬于同一個(gè)一次因式的方冪的指數(shù)有遞升的分解式中，的性質(zhì)，即12 (1,2, )jjrjkkkjs.例如：同一個(gè)不可約因式的方冪作成的初等因子中，( )rd方次最高的必定出現(xiàn)在 的分解中. 屬于同一個(gè)不可約因式的方冪的初等因子在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是唯一確定的.Conclusion 初等因子由不變因子唯一確定Proposition等價(jià)的 矩陣有相同的初等因子。Remark 該命題的逆不成立。例如： 11( )(1)(2) B( )=10(1)(2)A的初等因子相同，但它們不等價(jià)。2.

4、 已知 的秩和初等因子，可求出 的( )A( )A的不變因子二、初等因子與不變因子的關(guān)系方法：將初等因子( )je的方冪按降冪排列(當(dāng)這些方冪不足 個(gè)時(shí)，用1補(bǔ)足到 個(gè))為rr1111 0rjrjjkkkjjjrjrjjeeekkk，則1212()iiiskkkisdeee為所求Theorem它們的秩和初等因子相同.( )( )ABCorollary 1它們初等因子相同.,n nA BPEAEBCorollary 2它們的初等因子相同.,n nA BPAB相似于三、初等因子的求法Theorem 對角 矩陣的初等因子等于其對角線上諸多項(xiàng)式的不可約因式方冪的全體.Lemma 1 設(shè)多項(xiàng)式12( ),( )f xfx 與xx12 g( ),g ( )互素,則11221212( )( ),( )( )( ),( )( ),( )f x g xfx gxf xfxg x gxExampleLemma 2 設(shè)11221122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )f x g xAfx gxf x g xfx gxB且( ),( )1,1,2ijf x gxi j ,則( )( )ABCorollary 設(shè)EA在復(fù)數(shù)域上等價(jià)于一個(gè)對角陣1( )( )nhh把( )ih分解為一次因式的冪,則所有這些