工程測量第五章(測量誤差的基本知識)

1、第第5章章 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識真誤差真誤差=觀測值觀測值真值真值（理論值理論值）粗差是錯誤，不是誤差。粗差是錯誤，不是誤差。5.1 測量誤差產(chǎn)生的來源及其分類測量誤差產(chǎn)生的來源及其分類5.1.1 測量誤差的來源測量誤差的來源導致觀測值產(chǎn)生誤差的原因，主要有三方面：導致觀測值產(chǎn)生誤差的原因，主要有三方面：測量儀器測量儀器 因測量儀器制造或校正不夠完善，給觀測因測量儀器制造或校正不夠完善，給觀測值帶來誤差。值帶來誤差。觀測者觀測者 受制于觀測者的視力、操作技能等，給觀受制于觀測者的視力、操作技能等，給觀測值帶來誤差。測值帶來誤差。施測環(huán)境施測環(huán)境 受外界環(huán)境的影響，觀測值帶有誤差

2、。受外界環(huán)境的影響，觀測值帶有誤差。 測量儀器、觀測者、施測環(huán)境三方面綜合起來稱為測量儀器、觀測者、施測環(huán)境三方面綜合起來稱為觀測條件觀測條件，在相同觀測條件下進行的各次觀測稱為等精，在相同觀測條件下進行的各次觀測稱為等精度觀測，觀測條件不同的各次觀測稱為不等精度觀測。度觀測，觀測條件不同的各次觀測稱為不等精度觀測。 5.1.2.1 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差在相同的觀測條件下，誤差保持在相同的觀測條件下，誤差保持同一數(shù)值同一數(shù)值、同一符號同一符號，或，或者者遵循一定的變化規(guī)律遵循一定的變化規(guī)律的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。比如：比如：水準尺端部磨損；水準尺端部磨損；水準尺傾斜；水準尺傾斜

3、；水準尺彎曲；水準尺彎曲；水準尺的沉降水準尺的沉降;目標傾斜目標傾斜特性：累計！特性：累計！5.1.2 測量誤差的分類測量誤差的分類根據(jù)誤差對觀測值影響的不同，可將誤差分為根據(jù)誤差對觀測值影響的不同，可將誤差分為系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差和和偶然誤差偶然誤差兩大類。兩大類。5.1.2.2 偶然誤差偶然誤差相同觀測條件下，對某對象作系列觀測，單次觀測的誤差相同觀測條件下，對某對象作系列觀測，單次觀測的誤差大小大小和和符號符號無規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差。若只含有偶無規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差。若只含有偶然誤差，若增加然誤差，若增加觀測次數(shù)多觀測次數(shù)多，誤差呈現(xiàn)出，誤差呈現(xiàn)出統(tǒng)計學統(tǒng)計學的規(guī)律。的規(guī)律。n某

4、一測區(qū)在相同條件下觀測了某一測區(qū)在相同條件下觀測了217217個三角形的全部內(nèi)角，將真誤差取誤差區(qū)個三角形的全部內(nèi)角，將真誤差取誤差區(qū)間為間為33，并按絕對值大小進行排列，分別統(tǒng)計在各區(qū)間的正負誤差出現(xiàn)的，并按絕對值大小進行排列，分別統(tǒng)計在各區(qū)間的正負誤差出現(xiàn)的頻率頻率k k217217，結(jié)果列于下表，結(jié)果列于下表 ：以表中的數(shù)據(jù)，繪制誤差直方圖。使橫軸代表誤差值，以表中的數(shù)據(jù)，繪制誤差直方圖。使橫軸代表誤差值，縱軸代表頻率，圖中直方圖的縱軸代表頻率，圖中直方圖的面積總和為面積總和為1，此直方圖可，此直方圖可以形象描述偶然誤差的規(guī)律性。當觀測條件足夠多時，直以形象描述偶然誤差的規(guī)律性。當觀測條

5、件足夠多時，直方圖中各矩形頂部就可以形成一條對稱、光滑的曲線。方圖中各矩形頂部就可以形成一條對稱、光滑的曲線。偶然誤差的規(guī)律性：偶然誤差的規(guī)律性：1、有界性有界性：偶然誤差的絕對：偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值；值不會超過一定的限值；2、大小性大小性：絕對值小的比絕：絕對值小的比絕對值大的出現(xiàn)的可能性大；對值大的出現(xiàn)的可能性大；3、對稱性對稱性：誤差出現(xiàn)正負的：誤差出現(xiàn)正負的可能性相同；可能性相同；4）抵償性抵償性：偶然誤差的算術(shù)：偶然誤差的算術(shù)平均值隨觀測次數(shù)增加而趨平均值隨觀測次數(shù)增加而趨于零；于零；5.2 衡量精度的標準衡量精度的標準5.2.1 中誤差中誤差nnmn22221觀測值的

6、中誤差。即用觀測值的改正數(shù)求又由：所有式子相加，整理得等式平方得：整理得：令對應(yīng)式子相加得：改正數(shù)為，真誤差為相應(yīng)的平均值為的一系列觀測值設(shè)真值為11)(2122)(102222:,2223121222312122221222321222222222222221221212211221122112211nVVnmVVnnnnVVnnnnnnnnnXlXnlXLnVVnVnVnVVnVVVVVVVVVXLXLVXLVXLVlLVlLVlLVXlXlXlVLlXnnnnnnnnnnnniii例：例：n某水平角用經(jīng)緯儀進行某水平角用經(jīng)緯儀進行6 6次等精度丈量，其結(jié)果如下表，次等精度丈量，其結(jié)果如下

7、表，試計算該角度觀測值中誤差。試計算該角度觀測值中誤差。n解：部分計算如表中所示，觀測值中誤差為（白賽爾公解：部分計算如表中所示，觀測值中誤差為（白賽爾公式）：式）：序號序號觀測值觀測值l lv vvvvv1 1252523202320-2-24 42 2252523172317+1+11 13 32525231823180 00 04 4252523202320-2-24 45 5252523162316+2+24 46 6252523172317+1+11 1= 25= 2523182318v=0v=0vv=14vv=147 . 116141mnvv5.2.2 允許誤差允許誤差mf）（允3

8、2偶然誤差的有界性特性說明其絕對值不會超過一定的限值。偶然誤差的有界性特性說明其絕對值不會超過一定的限值。偶然誤差的分布規(guī)律實質(zhì)為服從偶然誤差的分布規(guī)律實質(zhì)為服從數(shù)學期望數(shù)學期望為零的正態(tài)分布，為零的正態(tài)分布，根據(jù)正態(tài)分布的概率計算可知真誤差大于中誤差出現(xiàn)的可根據(jù)正態(tài)分布的概率計算可知真誤差大于中誤差出現(xiàn)的可能性約為能性約為32%，大于兩倍中誤差的可能性約為，大于兩倍中誤差的可能性約為5%，大于，大于三倍中誤差的可能性為三倍中誤差的可能性為3。實際測量工作中常取。實際測量工作中常取23倍倍中誤差作為誤差的限值，即：中誤差作為誤差的限值，即：在測量規(guī)范中，依據(jù)控制網(wǎng)等級、采用的測量儀器，對觀在測

9、量規(guī)范中，依據(jù)控制網(wǎng)等級、采用的測量儀器，對觀測值規(guī)定了相應(yīng)的限差，其依據(jù)就是測值規(guī)定了相應(yīng)的限差，其依據(jù)就是允許誤差允許誤差。當測量值。當測量值超限，要進行檢查，甚至于重測。超限，要進行檢查，甚至于重測。5.2.3 相對誤差相對誤差)/(1mDDmk相對誤差相對誤差不能用于不能用于衡量角度測量的精度。衡量角度測量的精度。5.3 誤差傳播定律誤差傳播定律 有些未知量是由一些直接觀測值通過函數(shù)運算而得。有些未知量是由一些直接觀測值通過函數(shù)運算而得。由于觀測值存在誤差，由其計算的結(jié)果自然也就存在誤由于觀測值存在誤差，由其計算的結(jié)果自然也就存在誤差。描述這種函數(shù)的中誤差與觀測值的中誤差的關(guān)系的差。描

10、述這種函數(shù)的中誤差與觀測值的中誤差的關(guān)系的定律稱為定律稱為誤差傳播定律誤差傳播定律。5.3.1 線性函數(shù)的中誤差線性函數(shù)的中誤差5.3.1.1 倍函數(shù)的中誤差倍函數(shù)的中誤差xyxyxxxyyyxxyyxxyyxnynxyxyxnynxyxyxyxykmmmkmnmnmnknknkkkkkkkxkykxy222222222222222212212211；由中誤差的定義可得：個式子相加得得則可得）（則設(shè)倍函數(shù)5.3.1.2 觀測值的和、差函數(shù)的中誤差觀測值的和、差函數(shù)的中誤差222222222y2211, 2, 1212121210lim2nnixxxFxxxyjiniixyyjiiniiinnm

11、mmmmmmmnxxnxxmnmnxxnxxnxxnyynnxxxynxxxyxxxy；：由誤差的定義及特性知，得：、除以個式子分別平方、求和次觀測，則進行了得則設(shè)函數(shù)5.3.1.3 線性函數(shù)的中誤差線性函數(shù)的中誤差22222221212211xnnxxFnnmkmkmkmxkxkxkF其函數(shù)中誤差公式為：線性函數(shù)：5.3.2 非線性函數(shù)的中誤差非線性函數(shù)的中誤差2222222122222221221221121)()()()()()(),(212121nnnxnxxyxnxxyxnxxFnnnmxFmxFmxFmymxFmxFmxFmxFxFxFdxxFdxxFdxxFdyxxxFy的中誤差

12、為：得函數(shù)則：為一線性表達式則真誤差關(guān)系式為：取全微分：設(shè)非線性函數(shù)例：由例：由A點放樣點放樣B點，距離為點，距離為D=200.0000.005m，方，方位角位角=45152010，計算放樣，計算放樣B點點位中誤差。點點位中誤差。sincosDyyyyDxxxxAABABAABAB2222222222cossinsincos mDmmmDmmDyDx22222222222222cossinsincos mDmmDmmDmmmmDDDyxBmmmDmmDB0 .1120626510000.200005. 0222222 解：解：B點坐標為：點坐標為：由誤差傳播定律公式得：由誤差傳播定律公式得：B

13、點的點位中誤差點的點位中誤差將已知數(shù)據(jù)代入上式，可得：將已知數(shù)據(jù)代入上式，可得：5.3.3 水準測量精度分析水準測量精度分析5.3.3.1 一個數(shù)的中誤差一個數(shù)的中誤差影響一個讀數(shù)的因素水準儀整平、瞄準、讀數(shù)誤差。影響一個讀數(shù)的因素水準儀整平、瞄準、讀數(shù)誤差。水準儀置平的誤差水準儀置平的誤差 由于受人視覺限制，氣泡偏離中由于受人視覺限制，氣泡偏離中點的誤差為分劃值的點的誤差為分劃值的0.15倍，其影響讀數(shù)：倍，其影響讀數(shù)：Sm15.01瞄準誤差瞄準誤差 人眼把兩點的視角小于人眼把兩點的視角小于1的情況看做為的情況看做為一點。用放大倍數(shù)為一點。用放大倍數(shù)為v的望遠鏡照準目標，照準精度為：的望遠鏡

14、照準目標，照準精度為：vv30260照準精度在水準尺上的影響為：照準精度在水準尺上的影響為：vSm302讀數(shù)誤差讀數(shù)誤差 讀數(shù)誤差與水準尺分劃有關(guān)，對分劃讀數(shù)誤差與水準尺分劃有關(guān)，對分劃1cm的水準尺，讀數(shù)誤差約為的水準尺，讀數(shù)誤差約為1.5mm，讀數(shù)影響為：，讀數(shù)影響為：mmm5 . 13綜上所述，水準尺上讀取一個數(shù)的中誤差為：綜上所述，水準尺上讀取一個數(shù)的中誤差為：232221mmmm讀四等水準測量中，四等水準測量中，=20，v=25倍，倍，S最大為最大為100m，相應(yīng)，相應(yīng)水準尺上讀取一個數(shù)的中誤差為水準尺上讀取一個數(shù)的中誤差為m讀讀=2.1mm。5.3.3.2 一測站高差的中誤差一測站

15、高差的中誤差黑、紅面測得高差為后視讀數(shù)減前視讀數(shù)，則黑紅面高差黑、紅面測得高差為后視讀數(shù)減前視讀數(shù)，則黑紅面高差中誤差為：中誤差為：mm1 . 223mm2黑、紅mmh5.3.3.3 水準路線的高差中誤差及允許誤差水準路線的高差中誤差及允許誤差四等水準測量規(guī)定了視線的長度，四等水準測量規(guī)定了視線的長度，1km設(shè)置設(shè)置16站完全可滿站完全可滿足，其足，其1km水準路線的高差中誤差為水準路線的高差中誤差為mmnmmhkm4.8161.2三、四等水準測量要求黑、紅面觀測，取黑、紅面高差平三、四等水準測量要求黑、紅面觀測，取黑、紅面高差平均值為一站高差，則一測站高差中誤差為：均值為一站高差，則一測站高

16、差中誤差為：3mm2讀黑、紅mm取取2倍中誤差為允許值：倍中誤差為允許值：mmmmmmkmkm8.1624.82允mmLmh20允規(guī)范取定為規(guī)范取定為20mm，則，則5.3.4 角度測量精度分析角度測量精度分析5.3.4.1水平角的中誤差及允許誤差水平角的中誤差及允許誤差DJ6觀測一個方向的一個測回的中誤差為觀測一個方向的一個測回的中誤差為6，則照準，則照準一個方向的半測回的中誤差為：一個方向的半測回的中誤差為：5.862方m一個水平角的半測回中誤差：一個水平角的半測回中誤差：125 . 822方半mm上下半測回較差中誤差：上下半測回較差中誤差：171222半mm取取2倍作為允許誤差：倍作為允

17、許誤差：）（規(guī)范取允3634172f一測回水平角為上、下半測回的平均值，則其中誤差一測回水平角為上、下半測回的平均值，則其中誤差5.82122半mm測回差的中誤差：測回差的中誤差：1225 . 82mm測回間取取2倍作為允許誤差：倍作為允許誤差：24122測回間允f5.3.4.2 菲羅列公式菲羅列公式設(shè)以同精度觀測一系列三角形的三內(nèi)角，即：設(shè)以同精度觀測一系列三角形的三內(nèi)角，即：iiicbammmm三角形的閉合差的計算關(guān)系式為：三角形的閉合差的計算關(guān)系式為：180iiiicbaf由誤差傳播定律得：由誤差傳播定律得：3322ffmmmm由中誤差的定義得三角形閉合差的中誤差為：由中誤差的定義得三角

18、形閉合差的中誤差為：nffnmf可推導出測角中誤差：可推導出測角中誤差：nffm35.4 同精度觀測同精度觀測設(shè)在相同條件下對設(shè)在相同條件下對X觀測了觀測了n次：次：XLnXLnlLnXnlnnXlnXlXlXlnnnnlim0lim2211得由誤差的抵償性：得令得個式子相加：算術(shù)平均值接近于真值，是測量對象的可靠結(jié)果，又稱為算術(shù)平均值接近于真值，是測量對象的可靠結(jié)果，又稱為最或是值最或是值。5.4.1 同精度觀測值的最或是值同精度觀測值的最或是值5.4.2 最或是值的中誤差最或是值的中誤差均值的中誤差即用改正數(shù)計算算術(shù)平為：的中誤差算術(shù)平均值則有誤差傳播定律可得式為：算術(shù)平均值的函數(shù)表達)

19、1()1()1()1(22221nnVVMnmMmnmnmnMMLnlnlnlnlLn由公式可見，增加觀測次數(shù)，由公式可見，增加觀測次數(shù)，可提高算術(shù)平均值的精度，但可提高算術(shù)平均值的精度，但實際觀測中不可能完全依靠增實際觀測中不可能完全依靠增加觀測次數(shù)來提高算術(shù)平均值加觀測次數(shù)來提高算術(shù)平均值的精度。的精度。例：例：5.5 不同精度觀測不同精度觀測 由于在測量過程中，可能采用不同的測量儀器、不同由于在測量過程中，可能采用不同的測量儀器、不同的觀測方式，因此所得到的觀測數(shù)據(jù)精度就不一致，如何的觀測方式，因此所得到的觀測數(shù)據(jù)精度就不一致，如何由不同觀測精度的測量數(shù)據(jù)計算觀測對象的由不同觀測精度的測

20、量數(shù)據(jù)計算觀測對象的最或是值最或是值，就，就必須考慮各觀測值的可靠程度，即考慮必須考慮各觀測值的可靠程度，即考慮觀測值的權(quán)觀測值的權(quán)。5.5.1 權(quán)權(quán)測量中的權(quán)，就是表示觀測數(shù)據(jù)可靠程度的測量中的權(quán)，就是表示觀測數(shù)據(jù)可靠程度的相對性相對性數(shù)值，數(shù)值，用用P表示，為任意一正數(shù)與觀測值中誤差的平方之比。表示，為任意一正數(shù)與觀測值中誤差的平方之比。不同不同C的取值，并不影響各觀測值的權(quán)的比值：的取值，并不影響各觀測值的權(quán)的比值：2222ijjijimmmCmCPP：2mCP 權(quán)的特性：權(quán)的特性：權(quán)始終是一個正值；權(quán)始終是一個正值；權(quán)越大，表示觀測值越可靠，精度越高；權(quán)越大，表示觀測值越可靠，精度越高；權(quán)具有相對的特性，對單獨一個觀測值無意義；權(quán)具有相對的特性，對單獨一個觀測值無意義；任意正數(shù)的取值不影響觀測值的相對可靠程度。任意正數(shù)的取值不影響觀測值的相對可靠程度。實際測量計算中，按照實際測量計算中，按照方便計算方便計算為原則取定為原則取定C值。值。水準測量中，設(shè)每水準測量中，設(shè)每km的觀測路線的高差為的觀測路線的高差為mo，則不同長，則不同長度水準路線的高