第13章存儲論-第2節(jié)確定性存儲模型(運籌學(xué)-東北大學(xué),鐘磊鋼)

1、第第2節(jié)節(jié) 確定性存儲模型確定性存儲模型2.1 模型一：不允許缺貨，備貨時間很短模型一：不允許缺貨，備貨時間很短 假設(shè)： (1) 缺貨費用無窮大； (2) 當(dāng)存儲降至零時，可以立即得到補充(即備貨時間或拖后時間很短，可以近似地看作零)； (3) 需求是連續(xù)的、均勻的，設(shè)需求速度R(單位時間的需求量)為常數(shù)，則t時間的需求量為Rt； (4) 每次訂貨量不變，訂購費不變(每次備貨量不變，裝配費不變)； (5) 單位存儲費不變。 這些假設(shè)條件只是近似的正確， 分析模型一 其存儲量的變化 情況用圖13-3表示 假定每隔t時間補充一次存儲，那么訂貨量必須滿足t時間的需求Rt，記訂貨量為Q，Q=Rt，訂購

2、費為C3，貨物單價為K，則訂貨費為C3+KRt；t時間的平均訂貨費為 t 時間內(nèi)的平均存儲量為(此結(jié)果由圖13-3中利用幾何知識易得出，平均存儲量為三角形高的二分之一)單位時間內(nèi)單位物品的存儲費用為C1，t 時間內(nèi)所需平均存儲費用為1/2 (RtC1）。t 時間內(nèi)總的平均費用為C(t） 只需對(13-1)式利用微積分求最小值的方法可求出。0RC21tCdt) t (dC123令：)213(RC2Ct130得：經(jīng)濟批量公式因得即存儲論中著名的經(jīng)濟訂購批量(economic ordering quantity)公式。簡稱為E.O.Q公式，也稱平方根公式，或經(jīng)濟批量(economic lot siz

3、e)公式。 由于Q0、t0皆與K無關(guān)，所以此后在費用函數(shù)中略去K、R這項費用。如無特殊需要不再考慮此項費用， (13-1)式改寫為最佳費用公式將t 0代入(13-4)式得出最佳費用從費用曲線(見圖13-4)也可以求出t0，Q0，C0。費用曲線RtC211存貯費用曲線)1-13(RtC21tC) t (C13總費用曲線費用曲線費用曲線C(t)曲線的最低點(min C(t)的橫坐標(biāo)t0與存儲費用曲線、訂購費用曲線交點橫坐標(biāo)相同。即(13-2)式，(13-3)式，(13-4)式與(13-2)式，(13-3)式，(13-5)式一致。 解出t 0 ， 例例1 某廠按合同每年需提供D個產(chǎn)品，不許缺貨。假設(shè)

4、每一周期工廠需裝配費C3元，存儲費每年每單位產(chǎn)品為C1元，問全年應(yīng)分幾批供貨才能使裝配費，存儲費兩者之和最少。 解 設(shè)全年分n批供貨，每批生產(chǎn)量Q=D/n，周期為1/n年(即每隔1/n年供貨一次)。公式公式說明說明 從例1中還看到這些公式在實際應(yīng)用時還會有一點問題，因為t0(或Q0，n0)不一定是整數(shù)。假設(shè)t0=16.235(天)。很明顯，小數(shù)點后面的數(shù)字對實際訂貨間隔的時間是沒有意義的，這時可以取近似的整數(shù)。取t016或t017都可以。 為了精確起見，可以比較C(16)、C(17)的大小，再決定t0=16或t0=17。 從圖13-4也可以看到C(t)在t0附近變化平穩(wěn)，t有變化時C(t)變化

5、不大。利用數(shù)學(xué)分析方法可以證明當(dāng)t在t0點有增量t時， 總費用的增量。 即當(dāng)t0時，C是t的高階無窮小量。 (證明的方法可參考微積分臺勞公式部分)例例2 某軋鋼廠每月按計劃需產(chǎn)角鋼3000噸，每噸每月需存儲費5.3元，每次生產(chǎn)需調(diào)整機器設(shè)備等，共需準備費25000元。 若該廠每月生產(chǎn)角鋼一次，生產(chǎn)批量為3000噸。 每月需總費用 5.31/23000+25000=10450(元/月) 全年需費用 1045012=125400(元/年) 然后按E.O.Q公式計算每次生產(chǎn)批量計算批量和批次)(16825.3300025002C)(D)(C2Q130噸（存儲費）需求速度裝配費計算需要的數(shù)據(jù)計算需要的

6、數(shù)據(jù) 兩次生產(chǎn)相隔的時間t0=（365/21.4）17(天) 17天的單位存儲費(5.3/30)17=3.00(元/噸)， 共需費用5.3/30171682+25005025(元)。 按全年生產(chǎn)21.5次(兩年生產(chǎn)43次)計算，全年共需費用502521.5=108037(元/年)。 兩者相比較，該廠在利用E.O.Q公式求出經(jīng)濟批量進行生產(chǎn)即可每年節(jié)約資金 125400 108037=17363(元)2.2 模型二：不允許缺貨，生產(chǎn)需一定時間模型二：不允許缺貨，生產(chǎn)需一定時間 本模型的假設(shè)條件，除生產(chǎn)需要一定時間的條件外，其余皆與模型一的相同。 設(shè)生產(chǎn)批量為Q，所需生產(chǎn)時間為T，則生產(chǎn)速度為P=

7、Q/T。 已知需求速度為R，(RP)。生產(chǎn)的產(chǎn)品一部分滿足需求，剩余部分才作為存儲，這時存儲變化如圖13-5所示。圖圖13-5 在0，T區(qū)間內(nèi)，存儲以(P-R)速度增加，在T，t區(qū)間內(nèi)存儲以速度R減少。 T與t皆為待定數(shù)。從圖13-5易知(P-R)T=R(t-T)，即PT=Rt(等式表示以速度P生產(chǎn)T時間的產(chǎn)品等于t時間內(nèi)的需求)，并求出 公式公式公式公式公式例例3 某廠每月需甲產(chǎn)品100件，每月生產(chǎn)率為500件，每批裝配費為50元，每月每件產(chǎn)品存儲費為4元，求E.O.Q及最低費用。 解解 已知C3=50，C1=4，P=500，R=100，將各值代入公式(13-7)及(13-8)得例例4 某商

8、店經(jīng)售甲商品成本單價某商店經(jīng)售甲商品成本單價500元，年存元，年存儲費用為成本的儲費用為成本的20%，年需求量，年需求量365件，需求件，需求速度為常數(shù)。甲商品的定購費為速度為常數(shù)。甲商品的定購費為20元，提前元，提前期為期為10天，求天，求E.O.Q及最低費用。及最低費用。 解解 此例題從表面上看，似乎應(yīng)按模型二處理。因為拖后時間似乎與生產(chǎn)需一定時間意義差不多。其實不然，現(xiàn)將本題存儲變化情況用圖表示之(見圖13-6)，并與模型一、模型二的圖相比較，可看到與模型一完全相同。本題只需在存儲降至零時提前10天訂貨即可保證需求。圖圖13-6計算訂貨點訂貨點 由于提前期為t1=0天，10天內(nèi)的需求為1

9、0單位甲商品，因此只要當(dāng)存儲降至10單位時，就要訂貨。一般設(shè)t1為提前期，R為需求速度，當(dāng)存儲降至L=Rt1的時候即要訂貨。 L稱為“訂購點”(或稱訂貨點)。 確定多少時間訂一次貨，雖可以用E.O.Q除以R得出to(to=Qo/R)，但求解的過程中并沒有求出to，只求出訂貨點L即可，這時存儲策略是：不考慮to，只要存儲降至L即訂貨，訂貨量為Qo，稱這種存儲策略為定點定點定貨定貨。相對地每隔to時間訂貨一次稱為定時訂貨定時訂貨，每次訂貨量不變則稱為定量訂貨定量訂貨。2.3 模型三：允許缺貨，備貨時間很短模型三：允許缺貨，備貨時間很短 模型一、模型二是在不允許缺貨的情況下推導(dǎo)出來的。本模型是允許缺

10、貨，并把缺貨損失定量化來加以研究。由于允許缺貨，所以企業(yè)可以在存儲降至零后，還可以再等一段時間然后訂貨。這就意味著企業(yè)可以少付幾次訂貨的固定費用，少支付一些存儲費用。一般地說當(dāng)顧客遇到缺貨時不受損失，或損失很小，而企業(yè)除支付少量的缺貨費外也無其他損失，這時發(fā)生缺貨現(xiàn)象可能對企業(yè)是有利的。本模型的假設(shè)條件除允許缺貨外，其余條件皆與模型一相同。 設(shè)設(shè) 單位時間單位物品存儲費用為C1，每次訂購費為C3，缺貨費為C2(單位缺貨損失)，R為需求速度。求最佳存儲策略，使平均總費用最小(見圖13-7)。假設(shè)最初存儲量為S 公式公式公式公式公式將(13-10)式，(13-11)式代入C(t,S)由于模型三中允

11、許缺貨由于模型三中允許缺貨在允許缺貨情況下，存儲量只需達到S0即可，顯然Q0S0，它們的差值表示在to時間內(nèi)的最大缺貨量。)CC(CC2RC)CC(CCC2RCCCCCCCC2RC)CC(CC2RCCCCC2RCSQ21231212113212221132113222113oo說明說明 在允 許缺貨條件下，經(jīng)過研究而得出的存儲策略是 ：每隔to時間訂貨一次，訂貨量為Qo，用Qo中的一部分補足所缺貨物，剩余部分So進入存儲。很明顯，在相同的時間段落里，允許缺貨的訂貨次數(shù)比不允許缺貨時訂貨次數(shù)減少了。例例5 已知需求速度已知需求速度R=100件，件，C1=4元，元，C2=1.5元，元，C3=50元

12、，求元，求S0及及C0。 解解 利用(13-12)式，(13-13)式即可計算模型一、二、三存儲策略之間的差別模型一、二、三存儲策略之間的差別 可以看到不允許缺貨生產(chǎn)需要時間很短條件下可以看到不允許缺貨生產(chǎn)需要時間很短條件下得出的存儲策略：最大存儲量得出的存儲策略：最大存儲量S0=Q0在不允許缺貨、生產(chǎn)需一定時間條件下，在不允許缺貨、生產(chǎn)需一定時間條件下，得出存儲策略得出存儲策略式見最大存貯量)913(PRPCR2CS13o在允許缺貨、生產(chǎn)需時間很短條件在允許缺貨、生產(chǎn)需時間很短條件下，得出存儲策略下，得出存儲策略式可見最大存貯量)1213(CCCCR2CS21213o模型二、三只是以模型一的

13、存儲策略乘上相應(yīng)的因子，這樣可以便于記憶，再有都是同一個數(shù)值，這樣就得出它們之間的差別與內(nèi)在聯(lián)系。 2.4 模型四：允許缺貨模型四：允許缺貨(需補足缺貨需補足缺貨)、生產(chǎn)需一定時間生產(chǎn)需一定時間 假設(shè)條件除允許缺貨生產(chǎn)需一定時間外，其余條件皆與模型一相同，其存儲變化如圖13-8所示 分析圖分析圖13-8 取0，t為一個周期，設(shè)t1時刻開始生產(chǎn)。 0,t2時間內(nèi)存儲為零，B表示最大缺貨量。 t1,t2時間內(nèi)除滿足需求外，補足0,t1時間內(nèi)的缺貨。 t2,t3時間內(nèi)滿足需求后的產(chǎn)品進入存儲，存儲量以(P-R)速度增加。 S表示存儲量，t3時刻存儲量達到最大，t3時刻停止生產(chǎn)。 t3,t時間存儲量以

14、需求速度 R 減少。由圖由圖13-8易知：易知： 最大缺貨量最大缺貨量B=Rt1，或，或 B=(P-R)(t2-t1)；即；即Rt1=(P-R)(t2-t1)，得，得)1513(tPRPt21最大存儲量 S=(P-R)(t3 - t2)，或S=R(t - t3)即(P-R)(t3 - t2)=R(t - t3)，得在在0，t時間內(nèi)所需費用：時間內(nèi)所需費用： 存儲費：存儲費：將(13-16)式代入消去t 3，得 222tPR-PRC21在在0，t時間內(nèi)所需費用：時間內(nèi)所需費用： 缺貨費： 將(13-15)式代入消去t 1，得 在在0，t時間內(nèi)所需費用：時間內(nèi)所需費用：裝配費：裝配費：C3 在在0

15、,t時間內(nèi)總平時間內(nèi)總平均費用為：均費用為：為了得到最佳公式，分別求偏導(dǎo)數(shù)：為了得到最佳公式，分別求偏導(dǎo)數(shù)： )1713(tC)tt)(CC(CPR)RP(21t)t , t (C232222112)1813(tt)CC(22C-PR)RP(21t)t , t (C221122推導(dǎo) 由(13-18)式得 ，由(13-17)式得 推導(dǎo)：將推導(dǎo)：將(13-19)式代入上式消去式代入上式消去t2得得由由(13-19)有有公式)2013(RPPCCCRC2Ct22113o)2113(RPPCCCCR2CRtQ22113ooS0(最大存儲量最大存儲量)B0(最大缺貨量最大缺貨量)2313(PRP)CC(

16、CRC2CtP)RP(RRtB221211o最小費用：最小費用： )2413(PRPCCCRC2CC)t ,t (Cmin2131o2o2.5 價格有折扣的存儲問題價格有折扣的存儲問題 現(xiàn)在介紹貨物單價隨訂購(或生產(chǎn))數(shù)量而變化時的存儲策略。常見到一種商品有所謂零售價、批發(fā)價和出廠價，購買同一種商品的數(shù)量不同，商品單價也不同。一般情況下購買數(shù)量越多，商品單價越低。在少數(shù)情況下，某種商品限額供應(yīng)，超過限額部分的商品單價要提高。 除去貨物單價隨訂購數(shù)量而變化外，其余條件皆與模型一的假設(shè)相同時，應(yīng)如何制定相應(yīng)的存儲策略? 。設(shè)貨物單價為K(Q)，K(Q)按三個數(shù)量等級變化(見圖13-9)當(dāng)訂購量為當(dāng)

17、訂購量為Q時，一個周期內(nèi)所需費用時，一個周期內(nèi)所需費用為：為：平均每單位貨物所需費用平均每單位貨物所需費用C(Q)(見圖見圖13-10)Q, 0(QKQCRQC21)Q(C1131I)Q,Q(QKQCRQC21)Q(C21231II2331IIIQQKQCRQC21)Q(C 如果不考慮C(Q)、C(Q)、C(Q)的定義域，它們之間只差一個常數(shù)，因此它們的導(dǎo)函數(shù)相同。為求極小，令導(dǎo)數(shù)為零，解得Q0，Q0落在哪一個區(qū)間，事先難以預(yù)計。假設(shè)Q1Q0Q2，這也不能肯定C(Q0)最小。圖13-10的直觀感覺啟發(fā)我們考慮：是否C(Q2)的費用更小?設(shè)最佳訂購批量為Q*，在給出價格有折扣情況下，求解步驟如下

18、 (1) 對C(Q)(不考慮定義域)求得極值點為Q0 (2) 若Q0Q1，計算： 由minC(Q0)，C(Q1)，C(Q2)得到單位貨物最小費用的訂購批量Q*。 例如min C(Q0)，C(Q1)，C(Q2) = C(Q1) ，則取Q*=Q1 (3) 若Q1Q0Q2，計算C(Q1)，C(Q2) 由min C(Q1)，C(Q2) 決定Q* (4) 若Q2 Q0，則取Q*=Q0。以上步驟易于推廣到單價折扣分以上步驟易于推廣到單價折扣分m個等個等級的情況。級的情況。 比如說訂購量為比如說訂購量為Q，其單價其單價K(Q)：對應(yīng)的平均單位貨物所需費用為：對應(yīng)的平均單位貨物所需費用為： 對C1(Q)求得極值點為Q0， 若Qj-1 Q0Qj，求minCj(Q0),Cj+1(Qi)，Cm(Qm-1)， 設(shè)從此式得到的最小值為Cl(Ql-1)， 則取Q*=Ql-1例例6 某廠每年需某種元件某廠每年需某種元件5000個，每次個，每次訂購費訂購費C3=500元，保管費每件每年元，保管費每件每年C1=10元，不允許缺貨。元件單價元，不允許缺貨。元件單價K隨采隨采購數(shù)量不同而有變化。購數(shù)量不同而有變化。解解 利用利用E.O.Q公式計算，：公式計算，：