概率論與數(shù)理統(tǒng)計：連續(xù)型隨機變量及其概率密度PPT精選文檔

1、一、連續(xù)型隨機變量的概念一、連續(xù)型隨機變量的概念二、常見連續(xù)型隨機變量的分布二、常見連續(xù)型隨機變量的分布三、小結三、小結第四節(jié)連續(xù)型隨機變量及其概率第四節(jié)連續(xù)型隨機變量及其概率密度密度定義定義 設設 X X 是一隨機變量，若存在一個非負是一隨機變量，若存在一個非負 可積函數(shù)可積函數(shù) f f ( ( x x ), ), 使得使得xttfxFxd)()(其中其中F F ( ( x x ) )是它的分布函數(shù)是它的分布函數(shù)則稱則稱 X X 是是連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量，f f ( ( x x ) )是它的是它的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)( p.d.f. )( p.d.f. )，簡稱為，簡稱為密度函數(shù)

2、密度函數(shù)或或概率密度概率密度一、連續(xù)型隨機變量的概念一、連續(xù)型隨機變量的概念-10-550.020.040.060.08x xf f ( ( x x) )x xF F ( ( x x ) )分布函數(shù)分布函數(shù)F F ( ( x x ) )與密度函數(shù)與密度函數(shù) f f ( ( x x ) )的幾何意義的幾何意義)(xfy p.d.f. p.d.f. f f ( ( x x ) )的性質的性質1 1、0)(xf2 2、1)(d)(Fxxf常利用這兩個性質檢驗一個函數(shù)能否作為連常利用這兩個性質檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機變量的密度函數(shù)，或求其續(xù)性隨機變量的密度函數(shù)，或求其中的未知參數(shù)中的未知參數(shù)3

3、3、在在 f f ( ( x x ) ) 的連續(xù)點處，的連續(xù)點處，)()(xFxff f ( ( x x ) ) 描述了描述了X X 在在 x x 附近單位長度的區(qū)間內附近單位長度的區(qū)間內取值的概率取值的概率4 4 對于任意可能值對于任意可能值 a ,連續(xù)型隨機變量取連續(xù)型隨機變量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即. 0 aXP)(aX )(aXxa0 x事實上事實上)()(0aXxaPaXPaxaxxfd)(axaxxxfaXPd)(lim)(0000)(aXP由此可得：由此可得：)(bXaP)(bXaP)(bXaP)(bXaP)()(d)(aFbFxxfbab bx xf f ( (

4、x x) )-10-550.020.040.060.08a a連續(xù)型隨機變量取值落在某一連續(xù)型隨機變量取值落在某一區(qū)間的概率與區(qū)間的開閉無關區(qū)間的概率與區(qū)間的開閉無關)()()(bFbXPbXP)(1)()(aFaXPaXPxf ( x)-10-550.020.040.060.08a. 0 aXP若若X是連續(xù)型隨機變量，是連續(xù)型隨機變量， X=a 是不是不可能事件，則有可能事件，則有, 0 aXP若若是不可能事件是不可能事件aX . 0 aXP若若 X 為離散型隨機變量為離散型隨機變量, （3 3）連連續(xù)續(xù)型型離離散散型型是是不不可可能能事事件件則則不不能能確確定定aX .271)3(;)2(

5、;)1(., 0, 43,22, 30,)( XPXkxxxkxxfX求求的分布函數(shù)的分布函數(shù)求求確定常數(shù)確定常數(shù)其它其它具有概率密度具有概率密度隨機變量隨機變量設設解解, 1d)()1( xxf由由例例1的的概概率率密密度度為為知知由由Xk61)2( ., 0, 43,22, 30,6)(其它其它xxxxxf, 1d)22(d3043 xxxkx得得.61 k解之得解之得 . 4, 1, 43,d)22(d6, 30,d6, 0, 0)(3030 xxxxxxxxxxxFxx得得由由 xxxfxFd)()( . 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxF即即

6、271)3( XP)1()27(FF .4841 二、常見連續(xù)型隨機變量的分布二、常見連續(xù)型隨機變量的分布).,(,),(, 0,1)(baUXbaXbxaabxfX記為記為區(qū)間上服從均勻分布區(qū)間上服從均勻分布在區(qū)間在區(qū)間則稱則稱其它其它具有概率密度具有概率密度設連續(xù)型隨機變量設連續(xù)型隨機變量定義定義 1. 均勻分布均勻分布xo)(xf a b概率密度概率密度函數(shù)圖形函數(shù)圖形均勻分布概率密度函數(shù)均勻分布概率密度函數(shù)演示演示均勻分布的意義均勻分布的意義,),(Xba變量變量上服從均勻分布的隨機上服從均勻分布的隨機在區(qū)間在區(qū)間.),(性性是是相相同同的的內內的的可可能能中中任任意意等等長長度度的的

7、子子區(qū)區(qū)間間落落在在區(qū)區(qū)間間baxo)(xf a bab 1 lablp l即即 X X 的取值在的取值在( (a a, ,b b) )內任何長為內任何長為 d c d c 的小區(qū)間的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關的概率與小區(qū)間的位置無關, , 只與其長度成正只與其長度成正比比. . 這正是幾何概型的情形這正是幾何概型的情形. . ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函數(shù)分布函數(shù)xo)(xF a b 1均勻分布分布函數(shù)圖形均勻分布分布函數(shù)圖形演示演示例例3 3設隨機變量設隨機變量X X服從服從(1,6)(1,6)上的均勻分布，求上的均勻分布，求一元兩次方程一元兩次方程t t2 2+

8、Xt+Xt+1 1= =0 0有實根的概率有實根的概率. . 解解: :.01,0422有有實實根根時時因因為為當當 XttX故所求概率為故所求概率為: : )04(2XP)22( XXP或或而而X X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 : : ,0;61,51)(其其他他xxf, 0)2(,54)()2(62 XPdttfXP且且因此所求概率因此所求概率 .54)04(2 XP解解由題意由題意,R 的概率密度為的概率密度為 ., 0,1100900),9001100(1)(其其他他rrf故有故有1050950 RP. 5 . 0d20011050950 r例例3 設電阻值設電阻值 R 是一個隨機變量，

9、均勻分布在是一個隨機變量，均勻分布在 1100 求求 R 的概率密度及的概率密度及 R 落在落在900950 1050 的概率的概率 ).,(,)0(,e21)(22)(22NXXxxfXx記為記為的正態(tài)分布或高斯分布的正態(tài)分布或高斯分布服從參數(shù)為服從參數(shù)為則稱則稱為常數(shù)為常數(shù)其中其中的概率密度為的概率密度為設連續(xù)型隨機變量設連續(xù)型隨機變量定義定義 2. 正態(tài)分布正態(tài)分布(或或高斯分布高斯分布)高斯資料高斯資料正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征;)1(對對稱稱曲曲線線關關于于x ;21)(,)2(xfx取取得得最最大大值值時時當當 ; 0)(,)3(xfx時時當當;)4(處有

10、拐點處有拐點曲線在曲線在x 參數(shù)稱為位置軸作平移變換著只是沿圖形的形狀不變的大小時改變當固定xxf;,)(,)6(;)5(軸為漸近線軸為漸近線曲線以曲線以 x稱為形狀參數(shù)圖形越矮越胖越大圖形越高越瘦越小而形狀在改變不變圖形的對稱軸的大小時改變當固定xf.,)(,)7(正態(tài)分布密度函數(shù)圖形正態(tài)分布密度函數(shù)圖形演示演示正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)txFxtde21)(222)( 正態(tài)分布分布函數(shù)圖形正態(tài)分布分布函數(shù)圖形演示演示（1）正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如例如測量誤差測量誤差, 人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理特征尺寸如身高、體重等 ;正

11、常情況下生產的產品尺寸正常情況下生產的產品尺寸:直徑、長度、重量直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應用與背景正態(tài)分布的應用與背景 可以說可以說,正態(tài)分布是自然界和社會現(xiàn)象中最為常見正態(tài)分布是自然界和社會現(xiàn)象中最為常見的一種分布的一種分布, 一個變量如果受到大量微小的、獨立一個變量如果受到大量微小的、獨立的隨機因素的影響的隨機因素的影響, 那么這個變量一般是一個正態(tài)那么這個變量一般是一個正態(tài)隨機變量隨機變量.（2）正態(tài)分布還可以導出一些有用的分布。）正態(tài)分布還可以導出一些有用的分布。（3）另一方面）另一方面,有些分布有些分布(如二項分布、泊松分布如二項分

12、布、泊松分布)的極限分布是正態(tài)分布的極限分布是正態(tài)分布.所以所以,無論在實踐中無論在實踐中,還是在還是在理論上理論上,正態(tài)分布是概率論中最重要的一種分布正態(tài)分布是概率論中最重要的一種分布.二項分布向正態(tài)分布的轉換二項分布向正態(tài)分布的轉換).1, 0(,1, 0),(2NN記記為為態(tài)態(tài)分分布布的的正正態(tài)態(tài)分分布布稱稱為為標標準準正正這這樣樣時時中中的的當當正正態(tài)態(tài)分分布布 標準正態(tài)分布的概率密度表示為標準正態(tài)分布的概率密度表示為,e21)(22 xxx 標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標準正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為.,de21)(22 xtxxt標準正態(tài)分布的圖形標準正態(tài)分布的

13、圖形標準正態(tài)分布的計算：.)(,值由此可得態(tài)分布表教科書上都附有標準正x5 . 0)0()(1)(xx1)(2)|(|aaXP5 . 0)0(-3-2-11230.10.20.30.4-xx)(1)(xx1)(2)|(|aaXP-3-2-11230.10.20.30.4對一般的正態(tài)分布對一般的正態(tài)分布 ：X N X N ( ( , , 2 2) ) 其分布函數(shù)其分布函數(shù)xttexFd21)(222)(作變量代換作變量代換tsxxF)(abaFbFbXaP)()()(aaFaXP1)(1)(例例6 6 已知),2(2NX且 P( 2 X 4 ) = 0.3,求 P ( X 3 3所以至少要進行所

14、以至少要進行 4 4 次獨立測量才能滿足要求次獨立測量才能滿足要求. . 3 3 指數(shù)分布指數(shù)分布若若 X X 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為其他, 00,)(xexfx則稱則稱 X X 服從服從 參數(shù)為參數(shù)為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布)(EX記作記作X X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為0,10, 0)(xexxFx 0 0 為常數(shù)為常數(shù)對于任意的對于任意的 0 0 a a b b, , babaxeeaFbFxebXaP)()(d)(應用場合應用場合用指數(shù)分布描述的實例有：用指數(shù)分布描述的實例有：隨機服務系統(tǒng)中的服務時間隨機服務系統(tǒng)中的服務時間電話問題中的通話時間電話問題中的通話時間無線電元件的壽命無線電

15、元件的壽命動物的壽命動物的壽命指數(shù)分布常作為各種指數(shù)分布常作為各種“壽命壽命”分布的近似分布的近似分分鐘鐘之之間間的的概概率率分分鐘鐘到到用用電電話話間間，求求你你需需等等待待面面走走進進公公如如果果某某人人剛剛好好在在你你前前為為參參數(shù)數(shù)的的指指數(shù)數(shù)隨隨機機變變量量（單單位位：分分鐘鐘）是是以以間間設設打打一一次次電電話話所所用用的的時時2010101 X解：解：的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為X 00010110 xxexfx例例4 4 2010 XPBP則則令：令：B B= = 等待時間為等待時間為10201020分鐘分鐘 201010101dxex201010 xe 21 ee2325. 0

16、(4) (4) 伽瑪分布伽瑪分布 設隨機變量設隨機變量X X，若，若X X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 , 0, 0,0, 00,)()(1 xxexxfx則稱則稱X X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的伽瑪（的伽瑪（GammaGamma）分布）分布, ,簡稱為簡稱為 分布，分布， ,),( GX記記為為為伽瑪函數(shù)為伽瑪函數(shù)其中其中)( . 0,)(01 dxexx注注: :伽瑪函數(shù)具有性質：伽瑪函數(shù)具有性質： )()1(. 1 )2/1(, 1)1(. 20dxex(5) (5) 威布爾分布威布爾分布 ( (自學自學) )(6) (6) 截尾分布截尾分布( (自學自學) ) 分布函數(shù)分布函數(shù)概率密度概率密

17、度三、小結三、小結2. 常見連續(xù)型隨機變量的分布常見連續(xù)型隨機變量的分布 xttfxFd)()(. 1 連連續(xù)續(xù)型型隨隨機機變變量量均勻分布均勻分布正態(tài)分布正態(tài)分布(或高斯分布或高斯分布)指數(shù)分布指數(shù)分布 Born: 30 Apr. 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany)Died: 23 Feb. 1855 in Gttingen, Hanover (now Germany)Carl Friedrich Gauss高斯資料高斯資料一、離散型隨機變量函數(shù)的分布一、離散型隨機變量函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機變量

18、函數(shù)的分布三、小結三、小結第五節(jié)第五節(jié) 隨機變量的分布隨機變量的分布).(,)(,)(XfYXYxfyxXYxXxf 記作記作的函數(shù)的函數(shù)變量變量為隨機為隨機則稱隨機變量則稱隨機變量的值的值的值而取的值而取取值取值隨著隨著若隨機變量若隨機變量的集合上的函數(shù)的集合上的函數(shù)的一切可能值的一切可能值是定義在隨機變量是定義在隨機變量設設問題問題?)(的的分分布布分分布布求求得得隨隨機機變變量量的的量量如如何何根根據(jù)據(jù)已已知知的的隨隨機機變變XfYX 一、離散型隨機變量的函數(shù)的分布一、離散型隨機變量的函數(shù)的分布 Y 的可能值為的可能值為 ;2,1,0,)1(2222 即即 0, 1, 4.解解0002

19、XPXPYP,41 .2的分布律的分布律求求的分布律為的分布律為設設XYX Xp2101 41414141例例1)1()1(112 XXPXPYP11 XPXP,214141 2442 XPXPYP,41 故故 Y 的分布律為的分布律為Yp410412141由此歸納出離散型隨機變量函數(shù)的分布的求法由此歸納出離散型隨機變量函數(shù)的分布的求法.離散型隨機變量的函數(shù)的分布離散型隨機變量的函數(shù)的分布的的分分布布律律為為若若也也是是離離散散型型隨隨機機變變量量其其函函數(shù)數(shù)是是離離散散型型隨隨機機變變量量如如果果XXgYX.)(, Xkpkxxx21kppp21的分布律為的分布律為則則)(XgY kp)(X

20、gY kppp21)()()(21kxgxgxg.,)(合合并并應應將將相相應應的的中中有有值值相相同同的的若若kkpxgY 的分布律為的分布律為Yp4 1 2121Xkp211 616263例例2 設設.52的分布律的分布律求求 XY解解 第一步第一步 先求先求Y=2X+8 的分布函數(shù)的分布函數(shù)).(yFY)(yYPyFY 82yXP 解解二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布.82., 0, 40,8)(的的概概率率密密度度求求隨隨機機變變量量其其他他的的概概率率密密度度為為設設隨隨機機變變量量 XYxxxfXX例例3)()(yFyfyY xxfyXd)(28 28 yX

21、P,)28)(28( yyfX第二步第二步 由分布函數(shù)求概率密度由分布函數(shù)求概率密度.d)(28 xxfyX).()()()()(,)()()()(xxfxxfxFdttfxFxx 則則如如果果本例用到變本例用到變限的定積分限的定積分的求導公式的求導公式 ., 0, 4280,21)28(81)(其其他他所所以以yyyfY ., 0,168,328其他其他yy)(yYPyFY 2yXP yXyP )()(yFyFXX .32. 0,e, 0, 0)(232的概率密度的概率密度和和求隨機變量求隨機變量的概率密度為的概率密度為設隨機變量設隨機變量 XYXYxxxxfXxX解解,2分分布布函函數(shù)數(shù)先先求求隨隨機機變變量量XY 例例4.d)(d)(xxfxxfyXyX )()(yFyfYY )()(yyfyyfXXyyyy210e)(212)(3 . 0, 0, 0,2eyyyy再由分布函數(shù)求概率密度再由分布函數(shù)求概率密度.當當 Y=2X+3 時時,有有32 xy,23 yxd)()()(23 yXyYxxfyFyf . 3, 0, 3,)23(e)23(2)23(3yyyyy.函數(shù)的概率密度的方法函數(shù)的概率密度的方法的的出計算連續(xù)型隨機變量出計算連續(xù)型隨機變量由上述例題可歸納由上述例題可歸納 . 3, 0, 3,e)23(212