線性代數(shù)B期末試卷及答案

1、第二學(xué)期線性代數(shù)B»試卷一二三四五六總分仔分、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）100 0，則A =1.設(shè)A2. A為n階方陣，AAT = E且A 0,則A E :123.設(shè)方陣A 4 t3123 , B為三階非零矩陣，且AB=O,則t14 .設(shè)向量組1, 2, , m線性無關(guān)，向量 不能由它們線性表示，則向量組 1, 2, m, 的秩為：5 .設(shè)A為實(shí)對稱陣，且|A|w0,則二次型f =xTA x化為f =yTA-1 y的線 性變換是x=.T_6 .設(shè) R3 的兩組基為為 1,1,1 , a21,0, 1 , a31,0,1；1(1,2,1,)T,22,3,4 , 33,4

2、,3 ，則由基 212自到基 1, 2, 3的過渡矩陣為精品文檔歡迎下載23.P1, P2,.單項(xiàng)選擇題(共6小題，每小題3分，滿分18分)1 .設(shè)Dn為n階行列式，則Dn = 0的必要條件是.(A) Dn中有兩行元素對應(yīng)成比例；(B) Dn中各行元素之和為零；(C) Dn中有一行元素全為零；(D)以Dn為系數(shù)行列式的齊次線性方程組有非零解.2 .若向量組，線性無關(guān)，線性相關(guān)，則(A)必可由，線性表示；(B)必可由，線性表示；(C)必可由，線性表示；(D)必可由，線性表示.3 .設(shè)3階方陣A有特征值0, -1, 1,其對應(yīng)的特征向量為P3,令 P=(P1, P2, P3),則 P 1AP=.1

3、00000(A) 01 0 ;(B) 01 0 ;000001000100(C) 0 10 ;(D) 0 0 0 .00-100-14 .設(shè)a,吟03線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是(A) 0C1, 02, 03- 0C1 ；(B) 00 , 0C1+ 02, 0C1+ 03；(C) 01 +02,02+03,0(3+ai ；(D)0(,1-02,02-0(3,03-Od.5 .若矩陣A3X4有一個(gè)3階子式不為0,則A的秩R(A )=.(A) 1；(B)2;(C) 3;(D)4.6 f實(shí)二次型f = xTAx為正定的充分必要條件是.(A) A的特征值全大于零；(B) A的負(fù)慣性指數(shù)為零；(C

4、) |A| > 0 ；(D) R(A) = n .三、解答題（共5小題，每道題8分，滿分40分）1.求D1 h 01 1 匕b2011 b200100b3的值.1 b32 .求向量組 i (1,1,1,4), 2(2,1,3,5), 3 (1, 1,3,2), 4 (3,1,5,6)的一個(gè)極大無關(guān)組，并把其余的向量用該極大無關(guān)組線性表出.00 ,若P=(見02,01 03 .設(shè)A、P均為3階矩陣，且PTAP= 0 10 0Q = ( 0(1+02, 02, 03)，求 Q AQ .4 .設(shè)A是n階實(shí)對稱矩陣，A2 2A O ,若R(A) k (0 k n),求A 3E .23ai X3

5、ai ,23a2 X3a212323X3a?，23a4X3a4.(1)若ai, a2, a3, a4兩兩不等，問方程組是否有解，為什么？四、（本題滿分i0分）對線性方程組XiXiXiXiaiX2a2X2a3X2a，X22 2 05.設(shè)矩陣A= 82 a相似于對角矩陣,求a00 6若aia3b, a2a,b (b 0),且已知方程的兩個(gè)解i (1,1, 1)T,2 ( Ulf,試給出方程組的通解.五、(本題滿分8分)設(shè)二次曲面方程axy 2xz2byz 1 (a 0)、b的值及正交矩x經(jīng)正交變換y Q ,化成22 2 2 1 ,求az陣Q.六、（本題滿分6分）設(shè)A為n階實(shí)矩陣，a為A的對應(yīng)于實(shí)

6、特征值人的特征向量，B為AT的對應(yīng)于實(shí)特征值 小的特征向量，且 任內(nèi) 證明a與0正交.2008 -2009學(xué)年第二學(xué)期線性代數(shù) B試卷參考答案2009年6月22日一二三四五六總分得分、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）100 0、010 0m1 .設(shè) A、則 A =200102 . A為n階方陣，AAT = E且A 0,則A E 0.1 223.設(shè)方陣A4 t 3 , B為三階非零矩陣，且AB=O ,則t 311-34.設(shè)向量組1, 2m線性無關(guān)，向量 不能由它們線性表示，則向量組1, 2, m, 的秩為m + 15 .設(shè)A為實(shí)對稱陣，且|A|w0,則二次型f =xTA x化為f =

7、yTA-1 y的線性變換是x=A 1y.6 .設(shè) R3的兩組基為 ai1,1,1T, a21,0, 1, a31,0,1；1(1,2,1,)T 22,3,4, 33,4,3 ，則由基&色自到基 1, 2, 3,的過渡234矩陣P= 01 0 .101、單項(xiàng)選擇題（共6小題，每小題3分，滿分18分）1 .設(shè)Dn為n階行列式，則Dn=0的必要條件是D .（A） Dn中有兩行元素對應(yīng)成比例；（B） Dn中各行元素之和為零；（C）Dn中有一行元素全為零；（D）以Dn為系數(shù)行列式的齊次線性方程組有 非零解.2 .若向量組，線性無關(guān)，線性相關(guān)，則C .（A）必可由，線性表示.（B）必可由，線性表示

8、.（C）必可由，線性表示.（D）必可由，線性表示.3 .設(shè)3階方陣A有特征值0, 1, 1,其對應(yīng)的特征向量為P1, P2,P3,令 P=(Pi, P2, P3),則 P 1AP= B .100000000100(A)01 0; (B)010; (C)010； (D)0 0 0.0 0 000100-10 0 -14 .設(shè)1,8線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是D .(A)0d,02,03 -0C1；(B)0C1, oa+02,01+ 0(3；(C) 0C1+02,02+ %, 03+a；(D)oa-o(2,e-03,g- 於.5 .若矩陣A3 4有一個(gè)3階子式不為0,則C .(A)R(A)=

9、1; (B) R(A)=2; (C) R(A)=3; (D) R (A )=46 .實(shí)二次型f = xAx為正定的充分必要條件是A .（A） A的特征值全大于零；（B） A的負(fù)慣性指數(shù)為零;(C)|A| > 0 ；(D) R(A) = n.三、解答題（共5小題，每道題8分，滿分40分）1.求D解：D1 h1 1 b10100b21 b20b311 b31bl000 1b2001 1 b2b30 011t3的值1 b10 10 00 000b201b31 1 b311bl001b200100000 b311.2 .求向量組 i (1,1,1,4), 2(2,1,3,5), 3 (1, 1,

10、3,2), 4 (3,1,5,6)的一個(gè)極大無關(guān)組，并把其余的向量用該極大無關(guān)組線性表出解：極大無關(guān)組 1,2,32231,42 211 0 03 .設(shè)A、P均為3階矩陣，且PTAP= 0 1 0 ,若0 0 0P=( 0C1, 02, 0(3),Q = ( 0(1+ 02, 02, 03)，求 Q AQ .解：由于1 0 01 0 0Q=( 0C1+ 02, 02, 03)= ( 0C1, 02, 03)1100 0 10 0 1于是QTAQ=T1 0 0P 1 1 00 0 11001A P110000101010010PTAP1100100110 0 10 00 10 1100 0 0

11、0 0 14.設(shè)A是n階實(shí)對稱矩陣,A2 2A 。，若 R(A) k (0 k n),求A 3E .解：由A2 2A O知，A的特征值-2或0,又R( A) k(0 kn),且A是2On階實(shí)對稱矩陣，則A2(k個(gè)-2),故0O0A 3E 3n k .2205.設(shè)矩陣A=82a相似于對角矩陣，求a.006解：由|A-汨=0 ,得A的三個(gè)特征值入='=6 , %= -2.由于A相似于對角矩陣，R (A-6E) =1 ,即84 a 0 0 a ,00 00 0 0顯然，當(dāng)a=0時(shí),R (A-6E) =1, A的二重特征值6對應(yīng)兩個(gè)線性(本題滿分10分)無關(guān)的特征向量.*2a X33a1，23

12、a2x2a2 X3a2.23a3x2a3x3a?,23a4x2a4x3a4.Xi對線性方程組x1XX1(1)若a1，a2, a3, a4兩兩不等，問方程組是否有解，為什么?若a1a3b, a2a,b (b 0),且已知方程的兩個(gè)解1 (1,1, 1)T,2 ( 1,1,1)T,試給出方程組的通解.解：(1)因?yàn)閍1a2a3a,2 a1 a； a；2 a,3a13 a?3a33 a,(a2 a1)(a3 a1)(a3 a2)(a, a1)(a4 a2)(a, a3)0,故 R(AMb)R(A),無解.(2) R(A)故通解x k(&a)11 , (k1五、（本題滿分8分）設(shè)二次曲面的方程

13、axy2xz 2byz 1)a 0經(jīng)正交變換，化成2求a、b的值及正交矩陣Q.解:時(shí)，(1, 1,2)T0, A2E1 0 12時(shí)，A 2E 0 110 0 012一 、-一1故正交陣Q 21.61-62-63 ( 1,1,11131國1V3六、（本題滿分6分）設(shè)A為n階實(shí)矩陣，a為A的對應(yīng)于實(shí) 特征值人的特征向量，B為AT的對應(yīng)于實(shí)特征值 小的特征向量，且 任內(nèi) 證明a與0正交.證：依題意得A a=入a, AT田田將A a=入a的兩邊轉(zhuǎn)置得，aTAT =晨, 在上式的兩邊右乘 B得，aTATB =入即 最由人亦即（的力aT芹0, 由于后國所以a f=0 ,故a與B正交.莊子云：“人生天地之間

14、，若白駒過隙，忽然而已?！笔茄?，春秋置換，日月交替，這從指尖悄然劃過的時(shí)光，沒有一點(diǎn)聲響，沒有一刻停留，仿佛眨眼的功夫，半生已過。人活在世上，就像暫時(shí)寄宿于塵世，當(dāng)生命的列車駛到終點(diǎn)，情愿也罷，不情愿也罷，微笑也罷，苦笑也罷，都不得不向生命揮手作別。我們無法挽住時(shí)光的腳步，無法改變?nèi)松乃廾?。但我們可以拿生活的畫筆，把自己的人生涂抹成色彩靚麗的顏色。生命如此短暫，豈容隨意揮霍！只有在該辛勤耕耘的時(shí)候播灑汗水，一程風(fēng)雨后，人生的筐簍里才能裝滿碩果。就算是煙花劃過天空，也要留下短暫的絢爛。只有讓這僅有一次的生命豐盈充實(shí)，才不枉來塵世走一遭。雁過留聲，人過留名，這一趟人生旅程，總該留下點(diǎn)兒什么！生活

15、是柴米油鹽的平淡，也是行色匆匆的奔波。一粥一飯來之不易，一絲一縷物力維艱。前行的路上，有風(fēng)也有雨。有時(shí)候，風(fēng)雨撲面而來，打在臉上，很疼，可是，我們不能向生活低頭認(rèn)輸，咬牙抹去臉上的雨水，還有淚水，甩開腳步，接著向前。我們需要呈現(xiàn)最好的自己給世界，需要許諾最好的生活給家人。所以，生活再累，不能后退。即使生活賜予我們一杯不加糖的苦咖啡，皺一皺眉頭，也要飲下。人生是一場跋涉，也是一場選擇。我們能抵達(dá)哪里，能看到什么樣的風(fēng)景，能成為什么樣的人，都在于我們的選擇。如果我們選擇面朝大海，朝著陽光的方向揮手微笑，我們的世界必會(huì)收獲一片春暖花開。如果我們選擇小橋流水，在不動(dòng)聲色的日子里種籬修菊，我們的世界必會(huì)收獲 一隅靜謐恬淡。選擇臨風(fēng)起舞，我們就是歲月的勇者；選擇臨陣脫逃，我們就是生活的懦夫。沒有淌不過去的河，就看我