概率論期末復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)

1、占八、第一章隨機(jī)事件與概率本章重點(diǎn)：隨機(jī)事件的概率計(jì)算.1. *事件的關(guān)系及運(yùn)算AU B(或 B 二 A).nI lA和事件:A.B ； Al. A2 512 An (簡(jiǎn)記為).nn A積事件：AB， AlCA2Cj|cAn (簡(jiǎn)記為 A1A2川 An或互不相容:若事件A和B不能同時(shí)發(fā)生，即 AB =*(5)對(duì)立事件差事件：若事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生，記作 A B (或AB).德U摩根(De Morgan )法則：對(duì)任意事件 A和B有AuB=AcB, AcB=AcB.2. *古典概率的定義 古典概型：A 中所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)P(A) = 0中所含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)幾何概率A的長(zhǎng)度(或面積、體積)()=

2、樣本空間的的長(zhǎng)度(或面積、體積)3. *概率的性質(zhì)(1) P(幻=0 .侑限可加性)設(shè)n個(gè)事件AA2, illA兩兩互不相容，則有nP(AiA25l2An)=送 P(Ai)i P (A)=1- P(A)(4)若事件A, B滿足AU B，則有P(B -A) =P(B)-P(A)P(A)< P(B).(5) P(A)Q.(6) (加法公式)對(duì)于任意兩個(gè)事件 A，B，有P(A. B) = P(A) + P(B) - P(AB)對(duì)于任意n個(gè)事件AAJII'An，有nnp(UaTi 4i z1P( AA Z1<< <P(iAAt ZRiAjAkAI + 尸 1)1HP(

3、A n A)1 <<j 逹 <4. *條件概率與乘法公式P(A|B)儲(chǔ)乘法公式:P(AB) = P(A)P(B |A) = P(B)P(A| B)5. *隨機(jī)事件的相互獨(dú)立性事件A與B相互獨(dú)立的充分必要條件一:P(AB) =P(A)P(B),事件A與B相互獨(dú)立的充分必要條件二:P(A| B) = P(A)對(duì)于任意n個(gè)事件AA2, i 11, Al相互獨(dú)立性定義如下：對(duì)任意一個(gè)k = 2川I，n，任意的1蘭il V川ik S，若事件A1,A2I，An總滿足P(AHIAk)= P(Ai)川 P(Ak)5則稱事件4,人2,川，宀相互獨(dú)立這里實(shí)際上包含了2n -n-1個(gè)等式.6 .

4、*貝努里概型與二項(xiàng)概率設(shè)在每次試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A發(fā)生的概率P(A) = P(0 c pc1)，則在n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，事件A恰發(fā)生k次的概率為7 . *全概率公式與貝葉斯公式貝葉斯公式：如果事件fn'PnS丿pk(1-p)n°,k = 0,1,lll,nAA,川，人兩兩互不相容，且i#nUa =0，p(Ai)>0，i =12HI,n，則P(Ak) P(B|Ak)P(Ak|B)=,k=12 川，n2 P(Ai)P(B|A)i =1第二章一維隨機(jī)變量及其分布本章重點(diǎn)：離散型和連續(xù)性隨機(jī)變量的分布及其概率計(jì)算 概率論主要研究隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，也稱這個(gè)統(tǒng)計(jì)規(guī)律為隨機(jī)變量的分布

5、.1. *離散型隨機(jī)變量及其分布律分布律也可用下列表格形式表示：2. *概率函數(shù)的性質(zhì)(1)Pi n， i =12HI,n,il|;cZ Pi =173. *常用離散型隨機(jī)變量的分布0 1分布B(1, P)，它的概率函數(shù)為P(X=i) = pZ-p)1 丄其中，i=0或 1, 0 cp <1.二項(xiàng)分布B(n, P)，它的概率函數(shù)為$(1- P)n其中，i=0,1,2川|, n ， 0cpc1.(4 )*泊松分布P(Q，它的概率函數(shù)為i人 -JP( X =i)= 尹i!其中，i =0,1,2,|, n,HI, A >0 .4. *二維離散型隨機(jī)變量及聯(lián)合概率二維離散型隨機(jī)變量 (X,

6、丫)的分布可用下列聯(lián)合概率函數(shù)來(lái)表示:Pj >0, i, j =1,2j(h Z S Pij =1其中，i j5. *二維離散型隨機(jī)變量的邊緣概率設(shè)(X'Y)為二維離散型隨機(jī)變量，Pij為其聯(lián)合概率(i'j =12lll)，稱概率P (X二1,2")為隨機(jī)變量 X的邊緣分布律，記為pU并有Pi. = P(X = ai)pj, i = 1,2, lilj稱概率P（丫 =bj）（j 9 2川）為隨機(jī)變量丫的邊緣分布率，記為P.j，并有p.j = P(丫 7)=送Pij, j =1,2,1116. 隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性設(shè)（X，丫）為二維離散型隨機(jī)變量,X與Y相互獨(dú)立的

7、充分必要條件為多維隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性可類似定義.即多維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性有與二維相應(yīng)的結(jié)論.7. *隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，g（X）是一個(gè)已知函數(shù)，丫 = g（X）是隨機(jī)變量X的函數(shù)，它也是一個(gè)隨機(jī)變量.對(duì)離散型隨機(jī)變量 X，下面來(lái)求這個(gè)新的隨機(jī)變量丫的分布.設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的概率函數(shù)為則隨機(jī)變量函數(shù) Y = g（x）的概率函數(shù)可由下表求得但要注意，若g（ai）的值中有相等的，則應(yīng)把那些相等的值分別合并，同時(shí)把對(duì)應(yīng)的概率Pi相加.第三章連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布本章重點(diǎn)：一維及二維隨機(jī)變量的分布及其概率計(jì)算，邊緣分布和獨(dú)立性計(jì)算1. *分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布可以用其分布函數(shù)

8、來(lái)表示,F(x) = P(X ex).2 .分布函數(shù)F(x)的性質(zhì)(1)0<F(x)2; limF(x0，limF(x) 1由已知隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)F（x），可算得X落在任意區(qū)間（a,b內(nèi)的概率P(a 蘭 X vb) = F(b)-F(a)3 .聯(lián)合分布函數(shù)二維隨機(jī)變量（X,丫）的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y) = P(X <.x,Y V x)4. 聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)(1)0<F(x,y)蘭 1 ；lim F(x,y) =0y嚴(yán)0l,i m F x=yI +處;P(X1 < X <X2, % <Y <y2)=F(X2, y2) F(X2, yj Fg,

9、y?) + F(X1, yj5 . *連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度設(shè)隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為 F(x)，如果存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)f(x)，使得對(duì)于任一實(shí)數(shù) x，有成立，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，函數(shù)f(x)稱為連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度.6. *概率密度f(wàn)(x)及連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì)f(x)工0;(2)Lc f(x)dx=1 ；P(X =c)=0 ；(3) F'(x)=f(x)；(4)設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，則對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)c，(5)設(shè)f(x)是連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度，則有二維正態(tài)分布N （已，#2 , W , CT；,P)bJ f (x)dxa7. *常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布(1)均

10、勻分布R(a，b)，它的概率密度為其中,<a cb 邑).指數(shù)分布Eg，它的概率密度為 其中,2(3)正態(tài)分布N (卩,c )，它的概率密度為其中,f(X)島(x-h2-=c <k <+=c >0，當(dāng)卩=0,b =1 時(shí)，稱N(0,1)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，它的概率密度為f(x) +72兀一處 < x < +=c標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)記作(X)，即1 edt當(dāng)岀x>0時(shí)， （X）可查表得到；當(dāng)xcO時(shí)，（X）可由下面性質(zhì)得到e（_x）=1-（X）.2設(shè) X N(4,cr )，則有X _ AF(x)q O'P(a cX <b)=(匸58. *二維

11、連續(xù)型隨機(jī)變量及聯(lián)合概率密度對(duì)于二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)F（X, y），如果存在一個(gè)二元非負(fù)函數(shù)f（X,y），使得對(duì)于任意一對(duì)實(shí)數(shù)(X, y)有成立，則9.*二維連續(xù)型隨機(jī)變量及聯(lián)合概率密度的性質(zhì)(1)f(X, y) >0, -處 <x, y 吒七；（X，丫）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，f（X, y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度.J J f(x,y)dxdy = 1.,-CC；在f（X, y）的連續(xù)點(diǎn)處有空皿f(x,y)exey設(shè)（X ,Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則對(duì)平面上任一區(qū)域D有P(X,丫嚴(yán) D) = JJf(x,y)dxdyD10,*二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X, 丫）的

12、邊緣概率密度設(shè)f （x, y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度，則X的邊緣概率密度為-befx(x) = J f(X, y)dyY的邊緣概率密度為fY(y) = ；f (X, y)dx11常用的二維連續(xù)型隨機(jī)變量（1）均勻分布如果（X ,丫）在二維平面上某個(gè)區(qū)域G上服從均勻分布，則它的聯(lián)合概率密度為2如果（x，Y）的聯(lián)合概率密度f(wàn)(x, y)=2w2Ex牛莎詁于3*：士） +晉學(xué)則稱（X'Y）服從二維正態(tài)分布，并記為(X,Y )N(4i卍2,w2,b；,P)2 2 2 2如果（X"） N（叮焉耳02, P），則XN（叮6 ），YN（42Q2 ），即二維正態(tài)分布的邊 緣分布還

13、是正態(tài)分布.12. *隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性F(x, y) = Fx(x)FY(y),對(duì)一切乂 c x, y v 址，那么，稱隨機(jī)變量 X與Y相互獨(dú)立.設(shè)（X,Y）為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則X與Y相互獨(dú)立的充分必要條件為女保（X,Y）N（片足&二擄，P）那么，X與Y相互獨(dú)立的充分必要條件是P = 0第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征本章重點(diǎn)：隨機(jī)變量的期望。方差的計(jì)算1. *數(shù)學(xué)期望設(shè)X是離散型的隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為 則定義X的數(shù)學(xué)期望為E(X)aiPii設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為 f（X），則定義X的數(shù)學(xué)期望為E(X) = J xf(x)dx2. *隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)X為離散型隨機(jī)

14、變量，其概率函數(shù) 則X的函數(shù)g（X）的數(shù)學(xué)期望為設(shè)（X,Y）為二維離散型隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率函數(shù)則（X, Y）的函數(shù)g（X, Y）的數(shù)學(xué)期望為Eg(X, Y)=2S g(ai,bj) Pijj i3. *數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（1） E（c） =c （其中c為常數(shù)）； E(kX +b)=kE(X)+b (k,b 為常數(shù))； E(X +Y) =E(X)+E(Y)；(4)如果X與相互獨(dú)立，則E(X Y)=E(X)E( Y).4 . *方差與標(biāo)準(zhǔn)差隨機(jī)變量X的方差定義為2D(X)=EX-E(X).計(jì)算方差常用下列公式:2 2D(X)=E(X )-E(X)'當(dāng)X為離散型隨機(jī)變量，其概率函數(shù)為 則X的方差為D(X)=S 佝-E(X)2 Pii當(dāng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f(X)，則X的方差為乂2D(X)= C(x-E(x)2f(x)dx隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差定義為方差 D(X)的算術(shù)平方根 Jd(X)5. *方差的性質(zhì)(1) D(c) =0 (c是常數(shù))；2 D(kX)=k D(X) (k為常數(shù))；如果X與Y獨(dú)立，則D(X± Y)=D(X) + D( Y).6.原點(diǎn)矩與中心矩隨機(jī)變量X的k階原點(diǎn)矩定義為 E(X )；k隨機(jī)變量X的k階中心矩定義為