定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用課件

1、定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用五、五、 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積四、已知平行截面面積函數(shù)的四、已知平行截面面積函數(shù)的 立體體積立體體積二、二、 平面圖形的面積平面圖形的面積三、三、 平面曲線的弧長平面曲線的弧長 一、一、 定積分的元素法定積分的元素法定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用表示為niiixfU10)(lim1、什么問題可以用定積分解決、什么問題可以用定積分解決 ? 1) 所求量 U 是與區(qū)間a , b上的某分布 f (x) 有關(guān)的2) U 對區(qū)間 a , b 具有可加性 , 即可通過“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 取極限取極限

2、”baxxfd)(niiixf10)(lim定積分定義一個整體量 ;一、定積分的元素法一、定積分的元素法定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用2 、如何應(yīng)用定積分解決問題、如何應(yīng)用定積分解決問題 ?第一步第一步 利用“化整為零 , 以常代變” 求出局部量的微分表達(dá)式xxfUd)(d第二步第二步 利用“ 積零為整 , 無限累加 ” 求出整體量的積分表達(dá)式Uxxfbad)(這種分析方法稱為元素法元素法 (或微元分析法微元分析法)元素的幾何形狀常取為: 條, 帶, 段, 環(huán), 扇, 片, 殼 等近似值精確值定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用二、平面圖形的面積二、平面圖形的面積1. 直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線)0()(xfy

3、與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲則xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面積為 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用例例1. 計算兩條拋物線22,xyxy在第一象限所圍所圍圖形的面積 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由xy 22xy 得交點) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用xxy22oy4 xy例例2. 計算拋物線xy22與直線的面積 . 解解: 由xy224 xy得交點

4、)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所圍圖形)2,2(221yy442361y為簡便計算, 選取 y 作積分變量,則有yyyd42A定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用abxoyx例例3. 求橢圓12222byax解解: 利用對稱性 , xyAdd所圍圖形的面積 . 有axyA0d4利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax應(yīng)用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當(dāng) a = b 時得圓面積公式xxd定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用oyxababoyx一般地 , 當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程 )()(tytx給出時, 按順

5、時針方向規(guī)定起點和終點的參數(shù)值21,tt則曲邊梯形面積21d)()(tttttA)(1axt對應(yīng))(1bxt對應(yīng)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用2. 極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形,0)(, ,)(C設(shè)求由曲線)(r及,射線圍成的曲邊扇形的面積 .)(r x d在區(qū)間,上任取小區(qū)間d,則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2A所求曲邊扇形的面積為d)(212A 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用對應(yīng) 從 0 變例例4. 計算阿基米德螺線解解:)0( aarxa 2o dd)(212a20A22a331022334a點擊圖片任意處點擊圖片任意處播放開始或暫停播放開始或暫停到 2 所圍圖形面積 . 定積分在幾何學(xué)上的

6、應(yīng)用ttadcos82042例例5. 計算心形線所圍圖形的面積 . 解解:)0()cos1 (aarxa2o dd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用對稱性)2t令28a43212223a定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用oxya心形線心形線(外擺線的一種)2222yxaxayx即)cos1 ( ar點擊圖中任意點動畫開始或暫停 尖點:)0,0( 面積:223a 弧長:a8參數(shù)的幾何意義定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用三三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在則對應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為xxAVd)(

7、d因此所求立體體積為xxAVbad)(xabxxxd)(xA上連續(xù),定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用xyoabxyoab)(xfy 特別 , 當(dāng)考慮連續(xù)曲線段2)(xf軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時, 有軸繞xbxaxfy)()(xdbaV當(dāng)考慮連續(xù)曲線段)()(dycyx繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用ayxb例例6. 計算由橢圓12222byax所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解解: 方法方法1 利用直角坐標(biāo)方程)(22axaxaaby則xxaabad)(220222(利用對稱性)3222312xxaab0a234abo

8、aV02xy d2x定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用方法方法2 利用橢圓參數(shù)方程tbytaxsincos則xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特別當(dāng)b = a 時, 就得半徑為a 的球體的體積.343a定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用xyoa2例例7. 計算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱與 y0所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積 .解解: 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為xyVaxd202利用對稱性利用對稱性2022)cos1 (tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin32206

9、3332 a6543212325aay)2(tu 令定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用xyoa2a繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a)(1yxx 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用分部積分對稱關(guān)于2注注202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)( tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零”)0dsin4uuu

10、02dsin4uu24uudsin820222184226定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用a2柱殼體積說明說明: xxxdy也可按柱殼法求出yVyx2柱面面積xyxd2)cos1 ()sin(tayttaxxyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用偶函數(shù)yVttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2 uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇奇函數(shù)336a定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用例例8. 一平面經(jīng)過半徑為R 的圓柱體的底圓中心 ,并與底面交成 角,2

11、22Ryx解解: 如圖所示取坐標(biāo)系, 則圓的方程為垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用對稱性計算該平面截圓柱體所得立體的體積 .oRxyx定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用oRxy思考思考: 可否選擇 y 作積分變量 ?此時截面面積函數(shù)是什么 ?如何用定積分表示體積 ?),(yx)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用四、平面曲線的弧長四、平面曲線的弧長定義定義: 若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線 ,0M1iMiMnMAByox

12、當(dāng)折線段的最大邊長 0 時, 折線的長度趨向于一個確定的極限 ,此極限為曲線弧 AB 的弧長 , 即并稱此曲線弧為可求長的.iiMM1定理定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)ni 10lims則稱定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用sdyxabo(1) 曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:)()(bxaxfy)(xfy 弧長元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧長xysbad12xxfbad)(12(P168)22)(d)(ddyxs定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用(2) 曲線弧由參數(shù)方程給出:)()()(ttytx弧長元素(弧微分) :因此所求弧長tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(dd

13、yxs定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用(3) 曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧長d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr則得sd弧長元素(弧微分) :(自己驗證)定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用)ch(cxccxccsh1例例9. 兩根電線桿之間的電線, 由于其本身的重量,)(chbxbcxcy成懸鏈線 .求這一段弧長 . 解解:xysd1d2xcxdsh12xcxdchbxcxs0dch2cxc sh20bcbcsh22chxxeex )(chx2shxxeex )(sh xxshxchcxbboy下垂懸鏈線方程為定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用例例10.

14、 計算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20(t的弧長 .解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyoa2定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用d222aa例例11. 求阿基米德螺線相應(yīng)于 02一段的弧長 . 解解:)0( aarxa2oar d)()(22rrsdd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aa定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2. 平面曲線的弧長曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐標(biāo)方程上下限按順時針方向確定直角坐標(biāo)方程注意注意: 求弧長時積分上下限必須上大下小21d)()(tttttAd)(212A定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用3. 已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積baxxAVd)(旋