蒙特卡洛方法與定積分計算

1、蒙特卡洛方法與定積分計算By 鄧一碩 2010/03/08 關(guān)鍵詞：Monte-Carlo, 定積分, 模擬, 蒙特卡洛 分類：統(tǒng)計計算作者信息：來自中央財經(jīng)大學(xué);統(tǒng)計學(xué)專業(yè)。版權(quán)聲明：本文版權(quán)歸原作者所有，未經(jīng)許可不得轉(zhuǎn)載。原文可能隨時需要修改紕漏，全文復(fù)制轉(zhuǎn)載會帶來不必要的誤導(dǎo)，若您想推薦給朋友閱讀，敬請以負責(zé)的態(tài)度提供原文鏈接；點此查看如何在學(xué)術(shù)刊物中引用本文 常規(guī)引用方式鄧一碩. 蒙特卡洛方法與定積分計算. 統(tǒng)計之都, 2010.03. URL: /2010/03/monte-carlo-method-to-compute-integration/.BibT

2、eX引用ARTICLE, AUTHOR = 鄧一碩, TITLE = 蒙特卡洛方法與定積分計算, JOURNAL = 統(tǒng)計之都, YEAR = 2010, month = 03, URL = /2010/03/monte-carlo-method-to-compute-integration/,本文講述一下蒙特卡洛模擬方法與定積分計算，首先從一個題目開始：設(shè)，用蒙特卡洛模擬法求定積分的值。隨機投點法設(shè)服從正方形 上的均勻分布，則可知 分別服從0,1上的均勻分布，且相互獨立。記事件 ，則的概率為即定積分 的值 就是事件出現(xiàn)的頻率。同時，由伯努利大數(shù)定律，我們可以用重復(fù)

3、試驗中出現(xiàn)的頻率作為 的估計值。即將看成是正方形內(nèi)的隨機投點，用隨機點落在區(qū)域中的頻率作為定積分的近似值。這種方法就叫隨機投點法，具體做法如下：圖1 隨機投點法示意圖1、首先產(chǎn)生服從 上的均勻分布的 個隨機數(shù)（ 為隨機投點個數(shù)，可以取很大，如 ）并將其配對。2、對這對數(shù)據(jù) ，記錄滿足不等式的個數(shù)，這就是事件 發(fā)生的頻數(shù)，由此可得事件 發(fā)生的頻率 ，則 。舉一實例，譬如要計算，模擬次數(shù)時，R代碼如下：n=104; x=runif(n); y=runif(n); f=function(x) exp(-x2/2)/sqrt(2*pi) mu_n=sum(y<f(x); J=mu_n/n; J模

4、擬次數(shù) 時，令,其余不變。定積分的精確值和模擬值如下：表1精確值0.34134470.3420.3440.341870.3415390.341302注：精確值用integrate(f,0,1)求得擴展如果你很細心，你會發(fā)現(xiàn)這個 方法目前只適用于積分區(qū)間 ，且積分函數(shù) 在區(qū)間上的取值也位于 內(nèi)的情況。那么，對于一般區(qū)間 上的定積分 呢？一個很明顯的思路，如果我們可以將 與 建立代數(shù)關(guān)系就可以了。首先，做線性變換，令 ，此時，,。進一步如果在區(qū)間上有 ，令，則。此時，可以得到 。其中,。這說明，用隨機投點法計算定積分方法具有普遍意義。舉一個實例，求定積分 。顯然，由于在 上時單調(diào)減函數(shù)，所以 ，。

5、R中代碼為a=2; b=5; g=function(x) exp(-x2/2)/sqrt(2*pi); f=function(y) (g(a+(b-a)*y)-c)/(d-c); c=g(5);d=g(2);s_0=(b-a)*(d-c); n=104; x=runif(n);y=runif(n); mu_n=sum(y<=f(x); J=mu_n/n; J_0=s_0*J+c*(b-a);定積分 的精確值和模擬值如下：表2真實值0.022749850.023327920.023117360.022626590.022841520.02278524注：精確值用integrate(g,2,

6、5)求得)平均值法蒙特卡洛模擬法計算定積分時還有另一種方法，叫平均值法。這個原理也很簡單：設(shè)隨機變量 服從上的均勻分布，則 的數(shù)學(xué)期望為所以估計 的值就是估計 的數(shù)學(xué)期望值。由辛欽大數(shù)定律，可以用 的觀察值的均值取估計 的數(shù)學(xué)期望。具體做法：先用計算機產(chǎn)生 個服從上均勻分布的隨機數(shù)： 。對每一個 ，計算 。計算。譬如，計算 ，R中的代碼為n=104; x=runif(n); f=function(x) exp(-x2/2)/sqrt(2*pi) J=mean(f(x);其精確值和模擬值如下：表3真實值0.34134470.34058310.34107390.34144430.34140660.3413366平均值法與隨機投點法