專業(yè)德語-數(shù)學Mathematik

1、MathematikGliederung1) Zahlen2) Mengen3) Arithmetik4) Geometrie5) Funktionen6) Differentialrechnung7) Integralrechnung8) LineareAlgebraZahlen:nochmalzumEinstieg10,000-zehntausend100,000-einhunderttausend1,000,000-eineMillion1,000,000,000-eineMilliarde1012-eineBillion1015-eineBilliardeMengen:DieZahle

2、nmengenNattrlicheZahlen?:1,2,3,GanzeZahlenGanzeZahler?:-3,-2,-1,0,1,2,3,RationaleZahlen?:,-?,.,?，1,IrrationaleZahlenI:五,e,兀，ReelleZahlen?=?UIMengenoperationenSchnittmenge:APBVereinigung:AUBDifferenz:ABSymbolInterpretationAcBAistechteleilmengevonB(Z8AistTeilmengevonHAlistkeineTeilmengevonRAistElement

3、vonBAistkeinElementvonBArithmetik:DieGrundrechenartenAddition(Zusammenz?hlen):5+7=12Sprich:,funfplussiebenistgleichzw?lfMultiplikation(Vervielfachen):3?6=18Sprich:,dreimalsechsistgleichachtzehnSubtraktion(Abziehen):10-8=2Sprich:,zehnminusachtistgleichzweiDivision(Teilen):9:3=3Sprich:,neungeteiltdurc

4、hdreiistgleichdreiZ?hlerNennerGeometrie:GeometrischeFormenNulldimensional:PunktEindimensional:e.GeradeHalbgerade(Strahl)StreckeFunfeckParallelogrammRauteZweidimensional:PolygonDreieckViereckK7BesondereVierecke:?Dreidimensional:WrfelQuaderPyramiden2-dimFl?che二維3-dimVolumen三維Rechterwinkel直角m.Parameter

5、參數(shù)senkrecht垂直的n.QuadratMantel面（ZylinderMantelGeometrie:TrigonometriePyramidenstumpf正方形e.Ebene平面圓柱面）HypotenuseHypotenuse?TrigonometrischeFunktionen:Gegenkathete八.AnkatheteSinusa=Cosinusa=Tangensa=GegenkatheteAnkatheteAnalysis:Funktionen?Definition:EineVorschriftfdiejedemElementxeinerMengeAgenaueinEle

6、mentyauseinerMengeBzuordnethei?teineFunktionvonAinBf:2B,kf(x)bzw.y=f(x)sprich:f:AB:,fbildetabvonAnachBx-+f(x):,xwirdabgebildetauffvonxy=f(x):,ygleichfvonx?DieMengeAnenntmanDefinitionsbereichoderUrbildbereichvonfUrbildbereichvonf?DieMengeBnenntmanBildbereichvonf?DieMengeallerf(x)mitx6AnenntmanWertebe

7、reicvonf(sprichxA:,xElementvonAoder,xausA)Funktionen:einigeBeispiele?Geradengleichung:f:?,y=mx+n?Potenzfunktionen:f:?,xx2?Wurzelfunktionen:f:?+?+,y=x?TrigonometrischeFunktionen:g:?-1,1,y=sin(x)?Exponentialfunktionen:f:?+0,y=5ex?Logarithmusfunktionen:f:?+0?,y=ln(x)?Polynomfunktion:f:?,x2x+4x3+0.5,+7x

8、7?Umkehrfunktion:DiejenigeFunktion,diejedemBildeindeutigseinUrbildzuweist.Z.B.:f:?+0,y=exundf:?+0?,y=ln(x)Y-AchseX-AchseFunktionen:Eigenschaften?Achsensymmetrisch:f(-x)=f(x),z.B.f(x)=2x?Punktsymmetrisch:f(-x)=-f(x),z.B.f(x)=x?Nullstelle:allexAftrdiegiltf(x)=0Polstelle:Definitionsltcke,anderdieFunkti

9、onswertebeliebiggro?werden,f(x)=RanderStellex=0Monotonie:Fallsf(x)nf(x2)furallexiX2hei?tdieFunktionmonotonsteigendFallsf()xhei?tdieFunktionmonotonfallendFunktionen:Eigenschaften(2)?Monotonie:Fallsf()f(x2)ftrallexixhei?tdieFunktionstrengmonotonsteigendFallsf(x)X2hei?tdieFunktionstrengmonotonfallendBe

10、schr?nktheit:ObereSchranke:fralleElementeyBgilt:ya.Dannhei?tbuntereSchranke區(qū)間下限GraphderFunktion:MengeallerPunktepaare(x/f(x).WirdauchalsKurvederFunktionbezeichnet.Funktionen:Eigenschaften(3)?Funktionenschar:MengeallerKurven,derenAbbildungsvorschrift(Definition)sichummindestenseinenParameteruntersche

11、iden,z.B.:f(x)=x2+bAnalysis:Differentialrechnung?Grenzwert:Wert,demsichdieFunktionaneinerbestimmtenStelleann?hertlimf(x)=pSprich:,DerGrenzwertvonfftrxgegenxistgleichp”oder,DerLimesvonffirxgegenxistgleichp?Konvergenz:ExistiertderGrenzwert,sokonvergiertdieFunktionandieserStelle.Andernfallsdivergiertdi

12、eFunktion.?Stetigkeit:EineFunktionhei?tstetiganderStellex,wennlimf(x=limf(x)=f(xA%XqAnalysis:Differentialrechnung(2)?Asymptote:N?hertsichderGrapheinerFunktionf(x)frxeinerGeradeng(x)an,sohei?tdiexeinerGeradeng(x)an,sohei?tdieAsymptote+=plusunendlich-=minusunendlichDifferenzenquotient:EntsprichtderSte

13、igungderSekanten:f(x0+Ax)-f(xQ)(Ax)Mxj+AxJ-flxJ?Differentialquotient:EntsprichtderTangentensteigunglim(x)Analysis:Differentialrechnung(3)?Differenzierbarkeit:EineFunktionhei?tdifferenzierbaranderStelle為,wennfolgenderGrenzwertexistiert:limA0fk+Ax)-f(x0)(x)EineFunktionhei?tdifferenzierbar,wennftrallex

14、o6DderobigeGrenzwertexistiert?DiesenGrenzwertnennenwirdieersteAbleitungvonfanderStellexundbezeichnenihnalsf(x)(lies:,fStrichvon刈)?Extremstelle:HateineFunktionaneinerStellexeinenExtremwert(MinimumoderMaximum),soistMinimum極小值f(x0)=0globalMax最大值A(chǔ)nalysis:Differentialrechnung(4)?H?hereAbleitungen:DieAble

15、itungvonf0)nen能nwirdiezweiteAbleitunganderStellex0f0)(lieS:(XzweiStrichanderStellex)?DiezweiteAbleitungbeschreibtdieKrummungderFunktionf0X0：linksgekrundgibtAussageuberExtremwerte:f0)x=0undf0)0:(Tiefpunkt(Minimum)?Wendepunkt:1stf0)”=x0bezeichnetmanxalsWendepunkt,dasichhierdieKrummung?ndert?Sattelpunk

16、t:f(攵。)=0,f&0)=0undf(x0)0f(x)=fStrichvonxf(x)=fzweiStrichvonxS3tteipunkrAnalysis:Integralrechnung?IntegralentsprichtanschaulichderFl?cheunterderFunktion,eskanndurchSummenangen?hertwerden,z.B.Untersumme:bjf(x)dxasprich:,IntegralfvonxdxindenGrenzenvonabisb?Stammfunktion:JedeFunktionFfurdiegiltFf?x)lle

17、f(x)DnennenwireineStammfunktionvonfinDaF(x)=Jf(x)dxLineareAlgebra:LineareGleichungssystemeUnbekannte未知數(shù)?LinearesGleichungssystem:hierdreiUnbekannteunddreiGleichungen3x.+2x9-x7=1IkJ2x1-2x2+4x3=2-x-x3=0?Matrix-/Vektorschreibweise:dieSpaltedieZeile一2-2LineareAlgebra:e.Rechenoperationen?Skalarprodukt:ab

18、=|a|b|cos(Gr)sprich:,Skalarproduktvonaundbaxh=c?Vektorprodukt:Q,.V=(axb)-c?Spatprodukt:L?ngedesVektors:LineareAlgebra:EbenenundGeraden?Parameterform:Gerade:G:1二%+加Ebene:t：一43一1VNormalform:stelltin2DeineGeradeundin3DeineEbenedar_.；_。LineareAlgebra:LagebeziehungenvonEbenenundGeraden?Geraden:Schnittpun

19、ktEbenenLineareAlgebra:LagebeziehungenvonEbenenundGeraden(2)EbeneundGerade:Schnittpunkte.Richtung方向e=Exponentialfunktion2 =Wurzelzwei3 =6teWurzelaus3(=KlammeraufSchnittgeradeparallel兀=Pi106=zehnhochsechsln(4)=logarithmusaus4hoch6mal6/6teWurzelausevonx)=Klammerzu|x|=BetragvonxI加ieiFakultatvonnFakulta

20、t1Summe(aulieredirekteSumme)derModuln(跖%SymbolInterpretationistgleichungleich/nichtgleichfastgleich/ungefahrgleich/gerundet為nichtfastgleichkongruentwnichtkongruentiscmorph/ungefahrgleich寧ungefahr,abernichtgenaugleich華nichtisomorph/wederungefahrnochgenaugleichrwasymptotischgleich金entsprichtSymbolInte

21、rpretationgrofteralsnichtgroBeralskleinergleichalskleinerabernichtgleichalswederkleinernochgleichalsgrowergleichalsgrolierabernichtgleichalswedergroBernochgleichalsvielkleineralsysehrvielkleineralsAvielgroBeralssehrvielgroweralsSymbolInterpretationklBetragvonxsignQ)nimmtdenWert-1an,falls”vo0,falls”=0undl1fallsx0sgn(句eg)nimmtdenWert1an3falls。sonst00cnimmtdenWertc,fallsx=0fsonst0(x)8yKronecker-DeltaCharakteristischeFunktion(auchlndikatorfunktiongenannt)117f(x)=4xFurdieZuordnungeinesFun