軍隊文職考試數學考試大綱總結

1、1、初等函數、基本初等函數：我們最常用的有五種基本初等函數，分別是：指數函數、對數函數、募函數、三角函數及反三角函數。下面我們用表格來把它們總結一下：函數名稱函數的記號函數的圖形函數的性質指數函數a):不論x為何值,y總為正數；b):當x=0時,y=1.對數函數a):其圖形總位于y軸右側，并過(1,0)點b):當a>1時，在區(qū)間(0,1)的值為負；在區(qū)間(-,+x)的值為正；在定義域內單調增.募函'=-a為任意實數令a=m/na):當m為偶數n為奇數數這里只畫出部分函數圖形的TS分。時,y是偶函數；b):當m,n都是奇數時,y是奇函數；c):當m奇n偶時,y在(-°&#

2、176;,0)無意義.三角函數1y二加工(正弦函數)這里只寫出了正弦函數a):正弦函數是以2冗為周期的周期函數b):正弦函數是奇函數且|sina<1反三角函數y=W(反正弦函數)這里只寫出了反正弦函數a):由于此函數為多值函數，因此我們此函數值限制在-九/2,冗上，并稱其為反正弦函數的主值.、初等函數：由基本初等函數與常數經過有限次的有理運算及有限次的函數復合所產生并且能用一個解析式表出的函數稱為初等函數.例題：刀=2例*干十的網是初等函數。2.極限的性質唯一性有界性局部保號性3.函數極限的運算規(guī)則前面已經學習了數列極限的運算規(guī)則，我們知道數列可作為一類特殊的函數，故函數極限的運算規(guī)則與

3、數列極限的運算規(guī)則相似。、函數極限的運算規(guī)則若已知X7X0（或X7°°）時，八工）rT'.hni丁士式初二八土B=AB則：L-Llimk=Kjk為常數）lim（制為正整數）推論：u''在求函數的極限時，利用上述規(guī)則就可把一個復雜的函數化為若干個簡單的函數來求極限。3m，+K1例題：求24/+產-工十3覆.2,1lim3j3+limrlim1oii2麗介+.l】=ah="I=£wfi4k*十五'一五十3lim4/3+lim/"履i為十lim34+11十37解答：,，,二,婷4/+2例題：求十5/一3此題如果像上題那

4、樣求解，則會發(fā)現此函數的極限不存在.我們通過觀察可以發(fā)現此分式的分子和分母都沒有極限，像這種情況怎么辦呢下面我們把它解出來。,才4/+2r37,73hn=hm-1_展=-7/+齊_3,jf537解答：一八4函數極限的存在準則準則一：對于點X0的某一鄰域內的一切x,X0點本身可以除外（或絕對值大于某一正數的一切X）有gw/，且蹙g（x）=H,現J3=Wrlim-工）一，一那末存在，且等于A注：此準則也就是夾逼準則.準則二：單調有界的函數必有極限.無窮小量的比較定義：設a,B都是兀77時的無窮小量，且B在X。的去心領域內不為零，lim-=0a）:如果1犯尸，則稱a是B的高階無窮小或B是a的低階無窮

5、小；lim=c0b）:如果i產，則稱a和B是同階無窮?。籰im=1C）:如果e-尸,則稱a和B是等價無窮小，記作：asB（口與B等價）5閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質閉區(qū)間上的連續(xù)函數則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點右連續(xù)，右端點左連續(xù).對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數有幾條重要的性質，下面我們來學習一下：最大值最小值定理：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數一定有最大值和最小值。（在此不作證明）介值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數一定取得介于區(qū)間兩端點的函數值間的任何值。即：（厘）=儀醫(yī)在口、b之間，則在a,b間一定有一個丁使,©二"推論：在閉區(qū)間連續(xù)的函數必取得介于最大值最小值之間的任何值。6等價無窮小量和兩個重要的極

6、限求極限，一cc,a,ctrumlim=1ihl設立s或“sj且6存在，則£夕.注：這個性質表明：求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來代替，因此我們可以利用這個性質來簡化求極限問題。sinaxhm例題：1.求儂必解答:當x0時，sinaxsax,tanbxsbx,故:rsitiax.axhm=hm=iotanH%i。1工.tanx-sirx一皿z例題:2.求I。tan匕工tanxsinxtanz(lcosx)lim；=hm-解答:tan33xtan33x1-cosx=2finco2-C=注：一：一兩個重要的極限lim(1+)*二日一人注：其中e為無理數，它的值為：e

7、=1注：在此我們對這兩個重要極限不加以證明第二章一元函數微分學導數的四則運算法則函數的和、差求導法則函數的和差求導法則法則：兩個可導函數的和（差）的導數等于這兩個函數的導數的和（差）.用公式可寫為：例士F）f=/±W。其中u、V為可導函數。例題：已知工，求了解答：'''函數的積商求導法則常數與函數的積的求導法則法則：在求一個常數與一個可導函數的乘積的導數時，常數因子可以提到求導記號外面去。用公式可寫成：.一例題：已知x三九加工+公求產解答：一.，i，：.函數的積的求導法則法則：兩個可導函數乘積的導數等于第一個因子的導數乘第二個因子，加上第一個因子乘第二個因子的

8、導數。用公式可寫成：,例題：已知/（工）=«知天，求（工）j(x)r=(J7)'sinx+走)=sin工十五cosx解答：一,注：若是三個函數相乘，則先把其中的兩個看成一項。函數的商的求導法則法則：兩個可導函數之商的導數等于分子的導數與分母導數乘積減去分母導數Uf_u'v-wvf與分子導數的乘積，在除以分母導數的平方。用公式可寫成：1:例題：已知/5)=由求”a解答：復合函數的求導法則規(guī)則：兩個可導函數復合而成的復合函數的導數等于函數對中間變量的導數乘dy_dydu.上中間變量對自變量的導數。用公式表示為：心九五，其中u為中間變量例題：已知，二必加工，求去/61rpe

9、OS嘉=Qllsinjc)=smjQ=cotx解答：一>-二L基本初等函數的導數公式基本初等函數的微分公式由于函數微分的表達式為:用洛必達法則求未定式極限當x-a（或x-x）時，函數/W,式工）都趨于零或無窮大，在點a的某個去心鄰域內（或當|x|>N）時，/與g'5）都存在，口岫萼手0,且:二】且存在則：；二；這種通過分子分母求導再來求極限來確定未定式的方法，就是所謂的洛必達法則a”-hblim例題：求入土/十d解答：此題為未定式中的型求解問題，利用羅彼塔法則來求解2ax+山加Kalim=lim二C7T+dx加工c?；?0另外，若遇到O-m、88、r、0。、等型，通常是轉化

10、為6B型后，在利用法則求解。用導數判斷函數單調性判定方法：設函數在a,b上連續(xù)，在（a,b）內可導.a）：如果在（a,b）內尸也）0,那末函數"/在a,b上單調增加；b）:如果在（a,b）內丁'（k）v0,那末函數”/在a,b上單調減少.例題：確定函數=/tT的增減區(qū)間.解答：容易確定此函數的定義域為（x,+x）其導數為：，二屋-1,因此可以判出：當x0時，/（冷0,故它的單調增區(qū)間為（0,+°°）;當XV0時，f"）V0,故它的單調減區(qū)間為（-oo,0）；求函數極值函數極值的定義設函數/在區(qū)間（a,b）內有定義，X。是（a,b）內一點.若存在著

11、X0點的一個鄰域，對于這個鄰域內任何點X（X0點除外），/V/品)均成立，則說了(麗)是函數/(外的一個極大值；若存在著X0點的一個鄰域，對于這個鄰域內任何點X(X0點除外)，均成立,則說,(孫)是函數/的一個極小值.函數的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數的極值，使函數取得極值的點稱為極值點。用方法一求極值的一般步驟是：a)：求，,.b)：求/'(工口)二°的全部的解一一駐點；c):判斷/'G)在駐點兩側的變化規(guī)律，即可判斷出函數的極值。例題：求/=("2)"”以極值點解答：先求導數/f(x)=2(j+2Xx-1)3+(x+2)a3(J-1)a=2)0-1

12、)3+4)再求出駐點：當/二0時,x=-2、1、-4/5判定函數的極值，如下圖所示搬大-2C-2-4/5）-4/51（l+«）函數最大值和最小值的求法及其應用函數的極值是局部的。要求/G）在a,b上的最大值、最小值時，可求出開區(qū)間（a,b）內全部的極值點，加上端點的值，從中取得最大值、最小值即為所求。例題：求函數，=工+3在區(qū)間-3,3/2的最大值、最小值。解答：八幻在此區(qū)間處處可導，先來求函數的極值,（幻二3工一3=Q,故x=±1,再來比較端點與極值點的函數值，取出最大值與最小值即為所求。因為m）="-3）=75,/（-1）=5；故函數的最大值為函數的最小值為，

13、（-3）=-15。求平面曲線的切線方程和法線方程分段函數的導數隱函數和參數方程所確定的函數以及反函數的導數用導數判斷函數圖形的凹凸性定義：對區(qū)間i的曲線戶二義工）作切線，如果曲線弧在所有切線的下面，則稱曲線在區(qū)間i下凹，如果曲線在切線的上面，稱曲線在區(qū)間i上凹。曲線凹向的判定定理定理一：設函數在區(qū)間（a,b）上可導，它對應曲線是向上凹（或向下凹）的充分必要條件是：導數f在區(qū)間（a,b）上是單調增（或單調減）。定理二：設函數，=/（工）在區(qū)間（a,b）上可導，并且具有一階導數和二階導數；那末：若在（a,b）內，/”（方0,則，=/匕）在自對應的曲線是下凹的；若在（a,b）內，方V0,則V在a,b

14、對應的曲線是上凹的；例題：判斷函數v=的凹向解答：我們根據定理二來判定。因為工1,所以在函數y=lnX的定義域（0,+X）內，VV0,故函數所對應的曲線時下凹的。求函數圖形的拐點拐點的定義連續(xù)函數上，上凹弧與下凹弧的分界點稱為此曲線上的拐點拐定的判定方法如果"二了在區(qū)間(a,b)內具有二階導數，我們可按下列步驟來判定，"的拐點。(1):求二；(2):令/=0,解出此方程在區(qū)間(a,b)內實根；(3):對于(2)中解出的每一個實根x。，檢查一在X。左、右兩側鄰近的符號，若符號相反，則此點是拐點，若相同，則不是拐點。例題：求曲線外才一分41的拐點。解答：由9=36-24=36x

15、(#-)3，令h=0,彳#x=。，2/3判斷“在。，2/3左、右兩側鄰近的符號，可知此兩點皆是曲線的拐點。以及水平和鉛直漸近線第三章一元函數積分學不定積分的基本公式1. kdxkxC(k是常數)n12. xndxC(n1)n1dx-3. In|x|C4.dx1x2arctanxC5.dx,：2,1xarcsinxC6.cosxdxsinxC7.sinxdxcosxC8.dx2-cosxsec2xdxtanxC9.dx一一2sinxcsc2xdxcotx10.secxtanxdxsecxC11.cscxcotxdxcscxC12.exdxexC13.xaxdxClna14.tanxdxln|cosx|C15.cotxdxln|sinx|16.secxdxln|secxtanx|17.cscxdxln|cscxcotx|18.dx22ax1arctan-C19.dx1xa函1n廣1c20.1jr22,ax21.dx,x2a2In|x,x2a2|Cxdxarcsin一Ca22.1dxaxb1-In|axb|Ca23.-dx,x24.-ydxX不定積分和定積分的性質定積分中值定理不定積分和定積分的換元積分法和分部積分法牛頓-萊布尼茲公式求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分第四章多元函數微分學多元函數偏導數和全微分的計算方法多元復合函數一階和二階偏導數的求法多元函數極值存在的