北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系

1、15:011王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系J15:0121.我們應(yīng)該繼承人類優(yōu)秀的文化遺產(chǎn)；2.對歷史的研究必須借助文獻(xiàn)資料；3.每個(gè)人的陳述應(yīng)該有論據(jù)支持；4.論據(jù)或者是歷史的或者是實(shí)證的。15:013 空間認(rèn)識(shí)對于解釋、理解和欣賞我們周圍的幾何世界是空間認(rèn)識(shí)對于解釋、理解和欣賞我們周圍的幾何世界是必要的（必要的（NCTM） 幾何就是把握空間幾何就是把握空間那是兒童生活、呼吸和運(yùn)動(dòng)的空那是兒童生活、呼吸和運(yùn)動(dòng)的空間。為了更好地在這個(gè)空間里生活、呼吸和運(yùn)動(dòng)，兒童必須間。為了更好地在這個(gè)空間里生活、呼吸和運(yùn)動(dòng)，兒童必須學(xué)習(xí)了解、探究和征服空間（學(xué)習(xí)了解、探究和征服空間（Fre

2、udenthal） 由于實(shí)踐活動(dòng)和人類描述自己周圍環(huán)境的需要便產(chǎn)生了由于實(shí)踐活動(dòng)和人類描述自己周圍環(huán)境的需要便產(chǎn)生了幾何形式，并在它們具有了自己特有的抽象意義時(shí)慢慢地被幾何形式，并在它們具有了自己特有的抽象意義時(shí)慢慢地被概念化。如來自地球測量實(shí)踐的理論就發(fā)展了一系列關(guān)系和概念化。如來自地球測量實(shí)踐的理論就發(fā)展了一系列關(guān)系和定理，在歐幾里得原理中對所有這些知識(shí)進(jìn)行的收集、綜合定理，在歐幾里得原理中對所有這些知識(shí)進(jìn)行的收集、綜合和詳盡闡述，達(dá)到了這種理論的頂點(diǎn)（和詳盡闡述，達(dá)到了這種理論的頂點(diǎn)（Fehr） 方程正是數(shù)學(xué)中令人厭煩的部分，我設(shè)法用幾何來理解方程正是數(shù)學(xué)中令人厭煩的部分，我設(shè)法用幾何來

3、理解事物（事物（Hawking） 陳省身：幾何學(xué)將是陳省身：幾何學(xué)將是2121世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的前沿陣地之一世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的前沿陣地之一 姜伯駒：幾何學(xué)正在迎來一個(gè)新的高潮姜伯駒：幾何學(xué)正在迎來一個(gè)新的高潮王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:014主要話題王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:015多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維是二元對立，還是多元多維1.幾何課程應(yīng)該關(guān)注幾何科學(xué)的發(fā)展幾何課程應(yīng)該關(guān)注幾何科學(xué)的發(fā)展2.幾何課程應(yīng)該關(guān)注學(xué)生未來的發(fā)展幾何課程應(yīng)該關(guān)注學(xué)生未來的發(fā)展3.幾何課程應(yīng)該關(guān)注中國本土文化的傳承幾何課程應(yīng)該關(guān)注中國本土文化的傳

4、承與發(fā)展與發(fā)展4.主要結(jié)論主要結(jié)論王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:016多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維是二元對立，還是多元多維1.幾何課程應(yīng)該關(guān)注幾何科學(xué)的發(fā)展幾何課程應(yīng)該關(guān)注幾何科學(xué)的發(fā)展（1）古典幾何的地位、價(jià)值與不足；（2）幾何學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)；（3）幾何學(xué)是重要的學(xué)科王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:017多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維是二元對立，還是多元多維1.幾何課程應(yīng)該關(guān)注幾何科學(xué)的發(fā)展幾何課程應(yīng)該關(guān)注幾何科學(xué)的發(fā)展（1）古典幾何的地位、價(jià)值與不足；l古希臘幾何和幾何原本對人類文明和科學(xué)發(fā)展的歷史地位是怎么估計(jì)

5、都不過分的數(shù)學(xué)意義上的證明（泰勒斯、柏拉圖、亞里士多德為首創(chuàng)DP40）、公理化（歐多克斯、歐幾里德）l古希臘幾何不存在函數(shù)QP37：古希臘幾何主要是靜止的幾何，“運(yùn)動(dòng)派”占少數(shù)；他們不需要計(jì)算分?jǐn)?shù)從“數(shù)量之間的相對關(guān)系”出發(fā)認(rèn)識(shí)，他們通過幾何對象的“比”來定義“度量”。觀點(diǎn)：古典幾何沒有分?jǐn)?shù)，只有比和比例；不太關(guān)注應(yīng)用，更關(guān)注精神與理性思辨；古典幾何課程在科學(xué)和數(shù)學(xué)教育上的價(jià)值，在今天看來，遠(yuǎn)遠(yuǎn)要大于它們在“數(shù)學(xué)”發(fā)展上的價(jià)值。王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:018多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維是二元對立，還是多元多維1.幾何課程應(yīng)該關(guān)注幾何科學(xué)的發(fā)展幾何

6、課程應(yīng)該關(guān)注幾何科學(xué)的發(fā)展（2）幾何學(xué)的發(fā)展脈絡(luò)l幾何學(xué)的幾個(gè)階段（項(xiàng)武義P2)：實(shí)驗(yàn)幾何、推理幾何、坐標(biāo)解析幾何、向量幾何l現(xiàn)代幾何的發(fā)展脈絡(luò) （陳省身.tw/articles/sm/sm_18_06_1/index.html）：歐氏幾何、非歐幾何 、坐標(biāo)幾何、群的幾何、古典微分幾何、現(xiàn)代微分幾何、拓?fù)鋷缀蝜主要?dú)v史事件：王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:019幾何學(xué)的發(fā)展大事記幾何學(xué)的發(fā)展大事記 歐幾里德：公元前歐幾里德：公元前300年，年，幾何原本幾何原本和原始公理化和原始公理化思想思想笛卡爾解析幾何：笛卡爾解析幾

7、何：15961650年，幾何與代數(shù)結(jié)合年，幾何與代數(shù)結(jié)合非歐幾何：第五公設(shè)問題，普雷菲（非歐幾何：第五公設(shè)問題，普雷菲（1795），薩開里），薩開里（1697），勒讓德（），勒讓德（1794），高斯（），高斯（1817），鮑耶），鮑耶（1823），羅巴切夫斯基（），羅巴切夫斯基（1829）黎曼幾何：黎曼幾何：黎曼黎曼（1854） 距離距離s和和ds2就是幾何就是幾何-局部幾何局部幾何王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0110幾何學(xué)的發(fā)展大事記幾何學(xué)的發(fā)展大事記 群幾何觀：彭賽列（群幾何觀：彭賽列（Poncelet17881867）射影幾何，）射影幾何， 克萊恩（克萊恩（

8、F. Klein18491925） Erlangen 剛領(lǐng)：變換群下的不變量剛領(lǐng)：變換群下的不變量拓?fù)鋵W(xué)：歐拉和哥尼斯堡七橋問題（拓?fù)鋵W(xué)：歐拉和哥尼斯堡七橋問題（1736） 歐拉公式，凱利（歐拉公式，凱利（1872）四色問題，）四色問題， 吳示性類吳示性類微分幾何：歐拉、蒙日、高斯、黎曼、微分幾何：歐拉、蒙日、高斯、黎曼、E.Cartan、 陳省身陳省身1942、1945“陳示性類陳示性類”代數(shù)幾何、分形幾何代數(shù)幾何、分形幾何王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0111多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維是二元對立，還是多元多維1.幾何課程應(yīng)該關(guān)注幾何科學(xué)的發(fā)展幾何

9、課程應(yīng)該關(guān)注幾何科學(xué)的發(fā)展（2）幾何學(xué)的發(fā)展脈絡(luò) 觀點(diǎn)：幾何學(xué)經(jīng)歷了一個(gè)由靜態(tài)幾何到動(dòng)態(tài)幾何的發(fā)展過程；幾何學(xué)經(jīng)歷了一個(gè)由綜合幾何到代數(shù)與幾何結(jié)合的過程，并最終走向幾何代數(shù)化、幾何機(jī)械化的過程；幾何學(xué)經(jīng)歷了一個(gè)由物質(zhì)世界的觀察（古埃及與古巴比倫幾何）到理性幾何，再應(yīng)用于物理學(xué)（特別是牛頓的微積分和力學(xué)），到與現(xiàn)代理論物理和宇宙理論相結(jié)合的過程。l動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)l代數(shù)化代數(shù)化l物理世界物理世界王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0112多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維是二元對立，還是多元多維1.幾何課程應(yīng)該關(guān)注幾何科學(xué)的發(fā)展幾何課程應(yīng)該關(guān)注幾何科學(xué)的發(fā)展（3）幾何學(xué)是重

10、要的學(xué)科（數(shù)學(xué)中幾個(gè)重要的發(fā)展階段都與幾何學(xué)有直接或間接的關(guān)系）l 無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)不可公度量、輾轉(zhuǎn)相除法、極限思想、實(shí)數(shù)理論的原始模型l坐標(biāo)解析幾何代數(shù)進(jìn)入幾何對象的研究，一直指引著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究范式，數(shù)形結(jié)合；現(xiàn)代函數(shù)思想的產(chǎn)生l非歐幾何的產(chǎn)生導(dǎo)致對元數(shù)學(xué)的研究、現(xiàn)代公理化的催產(chǎn)者l現(xiàn)代微分幾何相對論的搖籃 觀點(diǎn)： 在數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)中幾何只能得到加強(qiáng)，也只會(huì)得到加強(qiáng)，比如特別典型的是世界各國的高中課程。王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0113多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維是二元對立，還是多元多維2.幾何課程應(yīng)該關(guān)注學(xué)生未來的發(fā)展幾何課程應(yīng)該關(guān)注學(xué)生未來的發(fā)展

11、我國義務(wù)階段幾何課程我國義務(wù)階段幾何課程l圖形的認(rèn)識(shí)：點(diǎn)、線、面、三角形、四邊形、圓、作圖與視圖l圖形與變換：三種基本變換和相似變換l圖形與坐標(biāo)：位置和方位的確定l圖形與證明：三角形、四邊形基本性質(zhì)的證明王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0114多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維是二元對立，還是多元多維2.幾何課程應(yīng)該關(guān)注學(xué)生未來的發(fā)展幾何課程應(yīng)該關(guān)注學(xué)生未來的發(fā)展 我國高中階段幾何課程我國高中階段幾何課程l圖形的認(rèn)識(shí)：立體幾何、球面幾何、解三角形立體幾何、球面幾何、解三角形 l圖形與變換：歐拉公式與閉曲面分類、對稱與歐拉公式與閉曲面分類、對稱與群、矩陣與變換群

12、、矩陣與變換l圖形與坐標(biāo)：平面解析幾何、平面向量、圓錐平面解析幾何、平面向量、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何、坐標(biāo)系與曲線與方程、空間向量與立體幾何、坐標(biāo)系與參數(shù)方程參數(shù)方程l圖形與證明：幾何證明選講、三等分角與數(shù)域幾何證明選講、三等分角與數(shù)域擴(kuò)充擴(kuò)充 王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0115多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維是二元對立，還是多元多維2.幾何課程應(yīng)該關(guān)注學(xué)生未來的發(fā)展幾何課程應(yīng)該關(guān)注學(xué)生未來的發(fā)展 多元多維的幾何課程，包括古典幾何、網(wǎng)格多元多維的幾何課程，包括古典幾何、網(wǎng)格幾何、坐標(biāo)幾何（包括仿射幾何）、向量幾何、幾何、坐標(biāo)幾何（包括仿射幾

13、何）、向量幾何、變換幾何、幾何與其它學(xué)科的聯(lián)系（如物理學(xué)、變換幾何、幾何與其它學(xué)科的聯(lián)系（如物理學(xué)、建筑和藝術(shù)等）、幾何問題解決、直觀幾何建筑和藝術(shù)等）、幾何問題解決、直觀幾何（如簡單圖論和直觀拓?fù)涞龋┖蛶缀蔚男掳l(fā)展（如簡單圖論和直觀拓?fù)涞龋┖蛶缀蔚男掳l(fā)展（如分形幾何）。多元多維的幾何觀既關(guān)注了（如分形幾何）。多元多維的幾何觀既關(guān)注了幾何學(xué)科的科學(xué)發(fā)展，同時(shí)也關(guān)注了學(xué)生個(gè)性幾何學(xué)科的科學(xué)發(fā)展，同時(shí)也關(guān)注了學(xué)生個(gè)性的發(fā)展。的發(fā)展。王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0116多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維是二元對立，還是多元多維3. 幾何課程應(yīng)該關(guān)注中國本土文化的

14、傳承與發(fā)展幾何課程應(yīng)該關(guān)注中國本土文化的傳承與發(fā)展中國文化的基本精神（中國文化的基本精神（GP68-80）：天人協(xié)調(diào)（天人合一）：天人協(xié)調(diào)（天人合一）自強(qiáng)不息；貴和尚中；矢志愛國；敬老愛幼；誠心待人；自強(qiáng)不息；貴和尚中；矢志愛國；敬老愛幼；誠心待人；勤勞節(jié)儉；慎獨(dú)自愛勤勞節(jié)儉；慎獨(dú)自愛中國文化的消極因素：因循守舊；宗法等級(jí)；重倫理輕技中國文化的消極因素：因循守舊；宗法等級(jí)；重倫理輕技術(shù)；重整體輕分析，重歸納輕演繹；術(shù)；重整體輕分析，重歸納輕演繹；觀點(diǎn)：中國的幾何課程還有將在很長的時(shí)間內(nèi)需要具有觀點(diǎn)：中國的幾何課程還有將在很長的時(shí)間內(nèi)需要具有“公理化公理化”思想的內(nèi)容，盡管思想的內(nèi)容，盡管“幾何

15、證明幾何證明”甚至甚至“數(shù)學(xué)證明數(shù)學(xué)證明”都不一都不一定是一個(gè)數(shù)學(xué)家必備的準(zhǔn)備（定是一個(gè)數(shù)學(xué)家必備的準(zhǔn)備（DP10）。）。王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0117多元多維的幾何課程是二元對立，還是多元多維是二元對立，還是多元多維4.主要結(jié)論主要結(jié)論l圖形的認(rèn)識(shí)：從直觀幾何（整體幾何、定性幾何）到半形式化幾何（局部幾何、初步定量幾何），從歐氏幾何到非歐幾何。l圖形與變換：從三種基本變換到拓?fù)渥儞Q。l圖形與坐標(biāo)：從網(wǎng)格坐標(biāo)到向量幾何。l圖形與證明：從歐氏幾何的原始公理化到數(shù)學(xué)證明的理解。王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0118多元多維的幾何課程是

16、二元對立，還是多元多維是二元對立，還是多元多維4.主要結(jié)論主要結(jié)論 從課程發(fā)展鏈看，我們的幾何課程的從課程發(fā)展鏈看，我們的幾何課程的整體設(shè)計(jì)是使學(xué)生獲得多元多維幾何整體設(shè)計(jì)是使學(xué)生獲得多元多維幾何認(rèn)識(shí)的改革。但應(yīng)該看到，具體的內(nèi)認(rèn)識(shí)的改革。但應(yīng)該看到，具體的內(nèi)容上仍然存在不斷發(fā)展的需要。容上仍然存在不斷發(fā)展的需要。 王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0119幾何直觀與幾何直覺幾何直觀幾何直觀讓我歡喜，讓我憂讓我歡喜，讓我憂（1）從）從 到到薩開里四邊形薩開里四邊形 歐氏幾何雖然更多是理性精神的產(chǎn)物，歐氏幾何雖然更多是理性精神的產(chǎn)物，但對它的理解卻必須建立在幾何直觀上，當(dāng)

17、但對它的理解卻必須建立在幾何直觀上，當(dāng)人們以它為經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生普遍直覺后，在直覺上人們以它為經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生普遍直覺后，在直覺上是不接受非歐幾何的?？梢哉f，成也直觀敗是不接受非歐幾何的?？梢哉f，成也直觀敗也直觀。也直觀。 有趣的是：有趣的是：人們理解非歐幾何的合理性，人們理解非歐幾何的合理性，反過來又要借助于歐氏幾何的合理性。反過來又要借助于歐氏幾何的合理性。2王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0120幾何直觀與幾何直覺幾何直觀幾何直觀讓我歡喜，讓我憂讓我歡喜，讓我憂（2）幾何直觀的基本含義：利用圖形幫助人們思考、幾何直觀的基本含義：利用圖形幫助人們思考、解決解決數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)問題。

18、 龐加萊（龐加萊（1899）在）在數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的創(chuàng)刊號(hào)上的創(chuàng)刊號(hào)上提出：在數(shù)學(xué)教學(xué)中除注意邏輯外，要更多地注提出：在數(shù)學(xué)教學(xué)中除注意邏輯外，要更多地注意直觀。他寫道：意直觀。他寫道：“我們是通過邏輯去證明，但我們是通過邏輯去證明，但我們是通過直觀去創(chuàng)造。我們是通過直觀去創(chuàng)造?！饼嫾尤R認(rèn)為數(shù)學(xué)創(chuàng)造龐加萊認(rèn)為數(shù)學(xué)創(chuàng)造是一種洞察的過程，他強(qiáng)調(diào)了在高度專心一段時(shí)是一種洞察的過程，他強(qiáng)調(diào)了在高度專心一段時(shí)間后會(huì)突然地出現(xiàn)的頓悟的火花。間后會(huì)突然地出現(xiàn)的頓悟的火花。 格勞斯格勞斯 數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊P12王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0121幾何直觀與幾何

19、直覺幾何直觀幾何直觀讓我歡喜，讓我憂讓我歡喜，讓我憂（2）幾何直觀的基本含義：利用圖形幫助人們思考、幾何直觀的基本含義：利用圖形幫助人們思考、解決解決數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)問題。 通過通過Hilbert公理體系，公理體系，Euclid的全部定理最終的全部定理最終都能不同圖形加以證明。都能不同圖形加以證明。 （D）當(dāng)代數(shù)學(xué)為了人類心智的榮耀當(dāng)代數(shù)學(xué)為了人類心智的榮耀P47 所有上面敘述的幾何想法，像所有上面敘述的幾何想法，像19世紀(jì)中葉之前微世紀(jì)中葉之前微積分的所有其他幾何應(yīng)用一樣，都基于關(guān)于曲線積分的所有其他幾何應(yīng)用一樣，都基于關(guān)于曲線長度、曲面面積和立體體積的未予表述的假設(shè)之長度、曲面面積和立體體積

20、的未予表述的假設(shè)之上。它們事實(shí)上是通過簡化的圖形由上。它們事實(shí)上是通過簡化的圖形由“幾何直觀幾何直觀”提示的。提示的。（D）P76 王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0122幾何直觀與幾何直覺幾何直觀幾何直觀讓我歡喜，讓我憂讓我歡喜，讓我憂（2）幾何直觀的常見形態(tài)：數(shù)形結(jié)合，可視）幾何直觀的常見形態(tài)：數(shù)形結(jié)合，可視化化 可視化是重要的，甚至是關(guān)鍵的問題?？梢暬侵匾?，甚至是關(guān)鍵的問題?？梢暬粌H是可視化不僅是“看看”，更重要的是獲得探，更重要的是獲得探索的思路，并進(jìn)行探索。索的思路，并進(jìn)行探索。王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0123幾何直觀

21、與幾何直覺（3）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？重讀沙雷金的重讀沙雷金的直觀直觀幾何幾何幾何學(xué)初步：古典幾何、拓?fù)鋵W(xué)、圖論、網(wǎng)格 幾何等問題空間與維數(shù)：什么是空間最簡單的幾何圖形：圖形的認(rèn)識(shí)由T構(gòu)成：圖形的拼補(bǔ)正方體和它的性質(zhì)：展開圖、視圖和直觀圖圖形的分割和拼接三角形：圖形的認(rèn)識(shí)、尺規(guī)作圖王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0124幾何直觀與幾何直覺（3）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？重讀沙雷金的重讀沙雷金的直觀直觀幾何幾何正多面體：拓?fù)涑醪剑W拉公式）幾何益智游戲：拼圖等長度的度量面積和體積的度量長度、面積和體積的計(jì)算：公式圓：定義、對稱

22、、曲線、面積、畫圓、圖案、等分、正多邊形幾何訓(xùn)練：觀察圖形、圖形中的規(guī)律拓?fù)鋵?shí)驗(yàn)：莫比烏斯帶、七橋問題與一筆畫王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0125幾何直觀與幾何直覺（3）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？重讀沙雷金的重讀沙雷金的直觀直觀幾何幾何火柴問題：拼圖密碼通信：旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用問題、謎語、游戲由正方體及其部分構(gòu)成的圖形：三視圖平行和垂直：定義、性質(zhì)、作圖、從平面到空間平行四邊形等：定義、性質(zhì)、黃金分割坐標(biāo)、坐標(biāo)、坐標(biāo)：地理坐標(biāo)、平面直角坐標(biāo)系、平面極坐標(biāo)、空間坐標(biāo)王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0126幾何直觀與幾何直覺（3）

23、如何培養(yǎng)幾何直觀能力？）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？重讀沙雷金的重讀沙雷金的直觀直觀幾何幾何折紙折紙美妙的曲線：圓錐曲線、阿基米德螺線、正弦美妙的曲線：圓錐曲線、阿基米德螺線、正弦曲線、心臟線、擺線等曲線、心臟線、擺線等龍形曲線：分維與分形幾何龍形曲線：分維與分形幾何迷宮迷宮網(wǎng)格紙幾何：利用網(wǎng)格作圖網(wǎng)格紙幾何：利用網(wǎng)格作圖鏡像：鏡面對稱鏡像：鏡面對稱對稱：軸對稱、中心對稱對稱：軸對稱、中心對稱王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0127幾何直觀與幾何直覺（3）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？重讀沙雷金的重讀沙雷金的直觀幾何直觀幾何鑲邊：利用變換作圖鑲邊：利用變換作

24、圖裝飾圖：密鋪裝飾圖：密鋪用對稱性解題：利用對稱證明用對稱性解題：利用對稱證明圓的一個(gè)重要性質(zhì)：圓周角與圓心角的關(guān)圓的一個(gè)重要性質(zhì)：圓周角與圓心角的關(guān)系系問題、謎語、游戲問題、謎語、游戲王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0128幾何直觀與幾何直覺（3）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？）如何培養(yǎng)幾何直觀能力？ 重讀沙雷金的重讀沙雷金的直觀幾何直觀幾何的主要體會(huì)的主要體會(huì)幾何學(xué)習(xí)的可以從直觀切入，也應(yīng)該從直觀切幾何學(xué)習(xí)的可以從直觀切入，也應(yīng)該從直觀切入；入；從直觀出發(fā)學(xué)習(xí)幾何，可以讓學(xué)生對幾何整體從直觀出發(fā)學(xué)習(xí)幾何，可以讓學(xué)生對幾何整體的發(fā)展有一個(gè)基本認(rèn)識(shí)，以便學(xué)生在學(xué)習(xí)的過的發(fā)展有

25、一個(gè)基本認(rèn)識(shí)，以便學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中（潛在地）做出選擇；程中（潛在地）做出選擇；是否存在一種可能性，既走直觀入手是否存在一種可能性，既走直觀入手理性公理性公理理幾何直覺建構(gòu)的課程方案。幾何直覺建構(gòu)的課程方案。王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0129幾何直觀與幾何直覺 不難把形狀的教學(xué)作為開發(fā)可視化能力的重不難把形狀的教學(xué)作為開發(fā)可視化能力的重要的第一步。教學(xué)生可視化的最簡單的方法是要的第一步。教學(xué)生可視化的最簡單的方法是給他們提供豐富的背景知識(shí)，從許多種形狀中給他們提供豐富的背景知識(shí)，從許多種形狀中獲得親身實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)。獲得親身實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)。 斯蒂恩斯蒂恩站在巨人的肩膀上

26、站在巨人的肩膀上P197 觀點(diǎn)：觀點(diǎn)：（1）數(shù)學(xué)直觀是個(gè)性化的，也是不數(shù)學(xué)直觀是個(gè)性化的，也是不斷發(fā)展的；（斷發(fā)展的；（2）幾何直觀和幾何直覺是空間觀）幾何直觀和幾何直覺是空間觀念的重要組成；（念的重要組成；（3）培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，）培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，發(fā)展學(xué)生的幾何直覺是幾何課程永恒的主題之發(fā)展學(xué)生的幾何直覺是幾何課程永恒的主題之一。一。 王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0130幾何直觀與幾何直覺幾何直覺（洞察力）幾何直覺（洞察力）經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上的先驗(yàn)的，經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上的先驗(yàn)的，往往是幾何直觀能力的自然發(fā)展。往往是幾何直觀能力的自然發(fā)展。 數(shù)學(xué)家所說的數(shù)學(xué)家所

27、說的“直覺直覺”，是一種難以言傳，是一種難以言傳的完全個(gè)性化的心理體驗(yàn)；而且有充分理由認(rèn)的完全個(gè)性化的心理體驗(yàn)；而且有充分理由認(rèn)為兩位數(shù)學(xué)家的為兩位數(shù)學(xué)家的“直覺直覺”往往大相徑庭。往往大相徑庭。（D）當(dāng)代數(shù)學(xué)為了人類心智的榮耀當(dāng)代數(shù)學(xué)為了人類心智的榮耀P193王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0131例子：如圖，作一個(gè)圓使其與兩條直線相切，例子：如圖，作一個(gè)圓使其與兩條直線相切，且點(diǎn)且點(diǎn)P為該圓與其中一條直線的切點(diǎn)。為該圓與其中一條直線的切點(diǎn)。 歐幾里得幾何顯然是一種形式游戲；人們在運(yùn)用歐幾里得幾何顯然是一種形式游戲；人們在運(yùn)用規(guī)則作圖時(shí)，必須輔以非形式的理解。規(guī)則作

28、圖時(shí)，必須輔以非形式的理解。 格勞斯格勞斯 數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊P377 解構(gòu)教育形態(tài)的幾何證明P幾何直觀與幾何直覺王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0132 總的來說，雖未總體上作駁斥，拓?fù)涫孜坏睦碚摽偟膩碚f，雖未總體上作駁斥，拓?fù)涫孜坏睦碚摬⒉皇堑玫街С值?，這可能是兒童不是首先構(gòu)造拓?fù)洳⒉皇堑玫街С值?，這可能是兒童不是首先構(gòu)造拓?fù)渌枷?，然后才?gòu)造射影和歐幾里得思想，而思想，然后才構(gòu)造射影和歐幾里得思想，而可能是各可能是各類思想同時(shí)得到發(fā)展，并不斷整合和綜合類思想同時(shí)得到發(fā)展，并不斷整合和綜合。這些思想。這些思想在建造、畫圖和理解等行為的基礎(chǔ)上形成原始

29、直覺。在建造、畫圖和理解等行為的基礎(chǔ)上形成原始直覺。 格勞斯格勞斯數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊 觀點(diǎn)：多元多維的幾何課程是對原始幾何直覺的有觀點(diǎn)：多元多維的幾何課程是對原始幾何直覺的有力支持。力支持。幾何直觀與幾何直覺王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0133古典幾何與幾何證明大幾何觀大幾何觀古典幾何主要研究的內(nèi)容古典幾何主要研究的內(nèi)容（1）對稱性（合同性）對稱性（合同性）-絕對幾何絕對幾何（2）平直性（平行性）平直性（平行性）定性幾何：為定量幾何做準(zhǔn)備，并為幾何向多定性幾何：為定量幾何做準(zhǔn)備，并為幾何向多元多維方向發(fā)展提供大量的直觀儲(chǔ)備。元多維方向發(fā)展提供大量

30、的直觀儲(chǔ)備。定量幾何：主要有兩個(gè)結(jié)論定量幾何：主要有兩個(gè)結(jié)論勾股定理和三角勾股定理和三角形內(nèi)角和定理形內(nèi)角和定理王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0134古典幾何與幾何證明大幾何觀大幾何觀古典幾何主要研究的內(nèi)容古典幾何主要研究的內(nèi)容義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課標(biāo)的幾何公理義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課標(biāo)的幾何公理 一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等（平行公理）一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等（平行公理）絕對幾何絕對幾何 兩條直線被第三條直線所截，若同位角相等，那么這兩條兩條直線被第三條直線所截，若同位角相等，那么這兩條直線平行。直線平行。 若兩個(gè)三角形的兩邊及其夾角若兩個(gè)三角形的兩

31、邊及其夾角(或兩角及其夾邊，或三邊或兩角及其夾邊，或三邊)分別相等，則這兩個(gè)三角形全分別相等，則這兩個(gè)三角形全 等。等。 全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等。全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等。王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0135古典幾何與幾何證明平行公理的常見等價(jià)命題平行公理的常見等價(jià)命題1、 通過直線外一點(diǎn)只能引唯一直線和它平行2、 兩條平行線被第三線所截，同位角相等3、在已知直線同側(cè)與它有同樣距離的點(diǎn)組成一直線4、從兩平行線中一條上的點(diǎn)到另一線的距離都相等5、 三角形的內(nèi)角和等于兩直角6、 相似三角形存在7、 一直線的垂線和斜線總相交8、平面上存在一個(gè)內(nèi)角和

32、為平角的三角形9、勾股定理成立。 王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0136古典幾何與幾何證明什么是幾何證明？什么是幾何證明？ 數(shù)學(xué)證明的一個(gè)主要任務(wù)是先要說服自己，然數(shù)學(xué)證明的一個(gè)主要任務(wù)是先要說服自己，然后再說服別人。后再說服別人。 數(shù)學(xué)家懷特說：數(shù)學(xué)家懷特說：“所謂證明不只在不同的文所謂證明不只在不同的文化有不同的含義，就連在不同的時(shí)代也有不同的含化有不同的含義，就連在不同的時(shí)代也有不同的含義很明顯，我們不會(huì)擁有而且極可能永遠(yuǎn)不會(huì)有義很明顯，我們不會(huì)擁有而且極可能永遠(yuǎn)不會(huì)有一個(gè)這樣的證明標(biāo)準(zhǔn)獨(dú)立于時(shí)代，獨(dú)立于所要證明一個(gè)這樣的證明標(biāo)準(zhǔn)獨(dú)立于時(shí)代，獨(dú)立于所要證明的東

33、西，并且獨(dú)立于使用它的個(gè)人或某個(gè)思想學(xué)的東西，并且獨(dú)立于使用它的個(gè)人或某個(gè)思想學(xué)派派” 數(shù)學(xué)家哈代說：數(shù)學(xué)家哈代說：“嚴(yán)格說起來根本沒有所謂數(shù)嚴(yán)格說起來根本沒有所謂數(shù)學(xué)證明學(xué)證明，歸根到底我們只是指出一些要點(diǎn)，歸根到底我們只是指出一些要點(diǎn)，”王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0137l 什么是教育形態(tài)下的幾何證明 鄭毓信先生在從初中“完全廢除”證明談起兼論數(shù)學(xué)課程的深入發(fā)展一文中的提法很具有啟發(fā)：數(shù)學(xué)家們并不是為了證明（驗(yàn)證）而去從事證明的，這也就是說，他們所關(guān)注的并不只是結(jié)論的對或錯(cuò)，也不只是如何去獲得具體的解答，而主要是為了獲得真正的理解，以及求得進(jìn)一步的發(fā)展。同時(shí)，數(shù)學(xué)家也肯定了在嚴(yán)格的證明與非嚴(yán)格的論證之間存在著相互促進(jìn)、互相依賴的重要聯(lián)系，并認(rèn)為數(shù)學(xué)的進(jìn)步并不在于已獲得證明的定理在數(shù)量上的增長，而是要獲得更為深刻的理解。 摘自數(shù)學(xué)教育：從理論到實(shí)踐，鄭毓信著，上海教育出版社，2001。古典幾何與幾何證明王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0138古典幾何與幾何證明王建明王建明 北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)系 15:0139 公理體系的觀點(diǎn)可以描述如下：在一個(gè)演繹體系中，證明一公理體系的觀點(diǎn)可以描述如下：在一個(gè)演繹體系中，證明一個(gè)定理就是表明這個(gè)定理是某些先前業(yè)已證明過的命題的必然邏個(gè)定理就是表明這個(gè)定理