高考數學一輪復習講義：8.7立體幾何中的向量方法(Ⅱ)求空間角與距離

1、立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法()()求空間角與距離求空間角與距離 憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點點憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點點憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點點nnab利用空間向量求空間角利用空間向量求空間角點、線、面之間的位置關系點、線、面之間的位置關系空間幾何體空間幾何體空間幾何體的結構空間幾何體的結構空間幾何體的體積、表面積空間幾何體的體積、表面積柱、錐、臺、球的結構特征柱、錐、臺、球的結構特征三視圖與直觀圖的畫法三視圖與直觀圖的畫法空間角空間角 角的范圍角的范圍圖形圖形計算公式計算公式線線角線線角線面角線面角面面角面面角sin|cos,|ba nb

2、a nba n cos|cos,|a b 0,2 (0,2 0, 12,n n 121212cos,|nnn nnn 12,n n ll法向量法法向量法 1n 1n 2n 2n 12n n ，12n n ，12n n ，12n n ，cos12cos, n ncos12cos, n n注意注意法向量的方向：一進一出，二面角等于法向量夾角；法向量的方向：一進一出，二面角等于法向量夾角；同進同出，二面角等于法向量夾角的補角同進同出，二面角等于法向量夾角的補角 將二面角轉化為二面角的兩個面的方向向量將二面角轉化為二面角的兩個面的方向向量(在在二面角的面內且垂直于二面角的棱二面角的面內且垂直于二面角的

3、棱)的夾角的夾角. ,abl abcdl cd coscos,ab cdab cdab cd dcba方向向量法：方向向量法：設二面角設二面角- -l- -的大小為的大小為，其中其中l(wèi)點點p在棱上在棱上點點p在一個半平面上在一個半平面上點點p在二面角內在二面角內pababpabop定義法定義法三垂線定理法三垂線定理法垂面法垂面法作二面角的平面角的常用方法作二面角的平面角的常用方法 l 1.定義法定義法3.垂面法垂面法2. 垂線法垂線法pabo空間角空間角圖形圖形角的范圍角的范圍計算公式計算公式線線角線線角線面角線面角面面角面面角sin|cos,|ba nba nba n cos|cos,|a

4、b 12,n n 121212cos,|n nn nnn 12,n n 0,2 (0,2 0, 求點到平面的距離求點到平面的距離定義定義:一點到它在一個平面內的正射影的距離一點到它在一個平面內的正射影的距離叫做叫做點到平面的距離點到平面的距離.即過這個點到平面的垂即過這個點到平面的垂線段的長度線段的長度. ab o方法方法2:等體積法求距離等體積法求距離. .方法方法1:利用定義先做出過這個點到平面的垂利用定義先做出過這個點到平面的垂線段線段,再計算這個垂線段的長度再計算這個垂線段的長度.| |sindpopa apo 點點p為平面外一點，點為平面外一點，點a為平面內的任一點，平為平面內的任一

5、點，平面的法向量為面的法向量為n , 過點過點p作平面作平面 的垂線的垂線po，記，記pa和和平面平面 所成的角為所成的角為 . 則點則點p到平面的距離到平面的距離|n papanpa |.|n pan n 求點到平面的距離求點到平面的距離方法方法3:向量法向量法|n padn 空間的角空間的角異面直線所成的角直線與平面所成的角二面角范范圍圍： 0 ,90 |cos| |a bab 空間的距離空間的距離點到平面的距離直線與平面所成的距離平行平面之間的距離相互之間的轉化coscos cos 直線與平面所成的角直線與平面所成的角異面直線所成的角異面直線所成的角定義法定義法法向量法法向量法方向向量法

6、方向向量法范范圍圍： (0 ,90 范范圍圍： 0 ,180 |andn 1212cos| |nnnn |sin| |a nan abcdp則則d(0,0,0), a(2,0,0), o(1,1,0), b(2,2,0), c(0,2,0), p(0,0,2)，(1)正方形正方形abcd，ocdb.pd平面平面abcd,oc平面平面abcd，pdoc.cpo為為pc與平面與平面pbd所成的角所成的角.(0,2, 2),(1,1, 2),pcpo 3cos,.2|pc popc popcpo 所以所以pc與平面與平面pbd所成的角為所成的角為300.解解: 如圖建立空間直角坐標系如圖建立空間直角

7、坐標系dxyz,pd=ad=2,又又dbpd=d, oc平面平面pbd.( , , ),nx y z (2)設平面設平面pac的法向量為的法向量為 00,00n paxzyzn pc , 即, 即令令 x=1, 則則 y=1, z=1，(1,1,1).n (2,0,0),da 又又|22 3.3|3n dadn 所以所以d到平面到平面pac的距離的距離 2 3.3(3) 假設在假設在pb上存在上存在e點，使點，使pc平面平面ade，,pepb 設設(2,2, 2),pb (2 ,2 , 2 ).pe dedppe(2 ,2 ,22 ). (22,2 ,22 ).aeappe 840,pc ae

8、 1,2 解解得得所以存在所以存在e點且點且e為為pb的中點時的中點時pc平面平面ade.【點評】這類探索問題用向量法來分析容易發(fā)現結論【點評】這類探索問題用向量法來分析容易發(fā)現結論.由由 pcae, pcde, 得得840,pc de 此時此時e(1,1,1).acdeb例例2 解解：()m( 1,0,0),de 21( ,).22adt 設平面設平面ade的法向量為的法向量為1111(, ),nx y z 110,0.n den ad 則則11110,210.22xxytz 11122,0,yzxt 令令則則12(0,2,).nt m設設, ,amab p則則, ,cmca amcaab

9、11(,0, )(,0,)22tt 11(,0,).22tt pmcm cp 211(,0,)(0,0)224tt 211(,).224tt 2211(,) (0,2,)0,224ttt 即即 ,pmadepmn 若若平平面面，則則0.pm n 22(1)0,2 12 解解之之，得得. .所以所以，設平面設平面abe的法向量為的法向量為2222(,),nx y z 220,0.n ben ba 則則（） 由（由（）得，）得，22220,210.2yxtz 22212,0,xzyt 令令則則21(2,0,).nt 45 ,ceabe由與平面所成角是22| 2|sin45|cos,|,1114(

10、)2n cet 221(0,0),( ,0, ),( 1,0).222bebat ce 3.2t 解解得得122 62 3(0,2,),(2,0,).33nn 12cos,4 2103104 203.n n 11222解解: 90 ,badadab 45adbabd . ./ /,45adbcbcd , ,90 ,.bdcbddc 即即pbdbcd 又又平平面面平平面面, ,.cdpbd 平平面面,pbpbd 平平面面.cdpb ,cdbcd 平平面面1122211222求二面角求二面角p- -bc- -d的余弦值大小；的余弦值大??；ef1,pbpd 211rt90222peefbepefpe

11、f, 在, 在中中,.,.tan2,pepfeef 3.3所以所以二面角二面角p- -bc- -d的余弦值大小是的余弦值大小是3cos,3pfe 求點求點d到平面到平面pbc的距離的距離.112221111,3232pb pd dcpb pch 6,.3pd dcpd dcpc hhpc ,c pbdd pbcvv ,pbpcd 平平面面.pcpcdpbpc 平平面面22(0 0 0)( 2 0 0),(02 0)(0).22dbcp, , , , , , , , , , , , , , , ,22(1)(02 0)(0),22cdpb , ,， , , , ,0,cd pb ,.cdpbcd

12、pb 求求證證(1):.cdpb 求二面角求二面角p- -bc- -d的余弦值大??；的余弦值大??；2222(0)(2),2222pbpc ， ， ，00,200m pbxzxyzm pc ，即即11,xzy 令令，(111).m ， ，31cos.3|13n mm nnm , ,3.3所以所以二面角二面角p- -bc- -d的余弦值是的余弦值是因為二面角因為二面角p- -bc- -d的大小是銳角的大小是銳角,求點求點d到平面到平面pbc的距離的距離.(111),m ， ，( 2 0 0),db ， ，|26.3|3db mdm abcdefabcdefabcdefabcdefh2,aeedda

13、,3.dhae dh 4 31322.33v abcdefxyzh31(, 2,).22c1,2fced 223333( , , ) ( ,0,)02222( , , ) (1,2, 3)230.n bcx y zxzn bdx y zxyz ，由由. . . .adcbm證明：證明：(1)連結連結ac1交交a1c于于e，連結，連結deaa1c1c為矩形，則為矩形，則e為為ac1的中點的中點又又d是是ab的中點，的中點，在在abc1中，中，debc1.bc1平面平面ca1d.又又de平面平面ca1d，bc1 平面平面ca1d，ee(1)證法二：證法二：(1)證法三：證法三：a1b1c1abcd

14、d1又又aa1aba，cd平面平面aa1b1b.又又cd平面平面ca1d， 平面平面ca1d平面平面aa1b1b.又又aa1平面平面abc，cd平面平面abc，aa1cd.證明：證明：(2)acbc，d為為ab的中點，的中點，在在abc中中，abcd. 【例】如右圖，四棱錐【例】如右圖，四棱錐pabcd中，底面中，底面abcd是是dab60的菱形，側面的菱形，側面pad為正三角形，其所為正三角形，其所在平面垂直于底面在平面垂直于底面abcd. (1)求證：求證：adpb； (2)若若e為為bc邊的中點，能否在棱邊的中點，能否在棱pc上找到一點上找到一點f ,使平面使平面def平面平面abcd，

15、并證明你的結論，并證明你的結論解：解：如右圖如右圖(1)取取ad的中點的中點g，連結，連結pg，bg，bd. pad為等邊三角形，為等邊三角形，pgad. 又又平面平面pad平面平面abcd， pg平面平面abcd. 在在abd中中,dab60, adab， abd為等邊三角形為等邊三角形,bgad. adpb.ad平面平面pbg.又又pb 平面平面pbg，g(2)連結連結cg，de，且，且cg與與de相交于相交于h點，點， 在在pgc中作中作hfpg,交交pc于于f點點,連結連結df.平面平面dhf平面平面abcd. pg平面平面abcd. fh平面平面abcd.又又 fh 平面平面dhf，

16、即即f為為pc的中點時，平面的中點時，平面def平面平面abcd.h是是cg的中點，的中點，f是是pc的中點的中點.則則d(0,0,0), a(2,0,0), o(1,1,0), b(2,2,0), c(0,2,0), p(0,0,2)，(1)正方形正方形abcd，ocdb.pd平面平面abcd,oc平面平面abcd，pdoc.cpo為為pc與平面與平面pbd所成的角所成的角.(0,2, 2),(1,1, 2),pcpo 3cos,.2|pc popc popcpo 所以所以pc與平面與平面pbd所成的角為所成的角為300.解解: 如圖建立空間直角坐標系如圖建立空間直角坐標系dxyz,pd=a

17、d=2,又又dbpd=d, oc平面平面pbd.( , , ),nx y z (2)設平面設平面pac的法向量為的法向量為 00,00n paxzyzn pc , 即, 即令令 x=1, 則則 y=1, z=1，(1,1,1).n (2,0,0),da 又又|22 3.3|3n dadn 所以所以 d 到平面到平面pac的距離的距離 2 3.3注：可用等體積法注：可用等體積法 (3) 假設在假設在pb上存在上存在e點，使點，使pc平面平面ade，,pepb 設設(2,2, 2),pb (2 ,2 , 2 ).pe dedppe(2 ,2 ,22 ). (22,2 ,22 ).aeappe 84

18、0,pc ae 1,2 解解得得所以存在所以存在e點且點且e為為pb的中點時的中點時pc平面平面ade.【點評】這類探索問題用向量法來分析容易發(fā)現結論【點評】這類探索問題用向量法來分析容易發(fā)現結論.由由 pcae, pcde, 得得840,pc de 此時此時e(1,1,1).例例6 611abbb c c 又又平平面面，1abb c ，11.b cabc p 平平面面7.例例.例例8 8269 6,12acfesx 四四邊邊形形( )0vx ，m222( 42)( 42)(6 2)2 4242 1.7 1.7212,mbbe m1243cos.2422tbbnt ， 2244(2),4tt

19、即即.22pabcabbc papbpcaba 例例1 11 1 在在三三棱棱錐錐中中, , ,若若, ,求求異異面面直直線線與與所所成成角角的的大大小小; ;(1)bcababpc 設設, ,問問 取取何何值值時時, ,此此三三棱棱錐錐的的體體積積最最大大, , 并并求求出出此此最最大大體體積積. .(2)bcxx ( (1 1) )解解: :作作平平面面于于 ,poabco apbco,papbpc oabc 為為外外心心. .又又且且,abbcabbc 為為中中點點. .oac,為坐標原點以連oob分別為、opocobzxyxyz軸軸、 軸軸、 軸軸正正向向建建立立空空間間直直角角坐坐標

20、標系系. .設設 的夾角為的夾角為,2214(0) ,(,0,0),(0,0,),222aabapa 則則， 0 0， 0 02(0).2ca， 0 022(),22abaa ，214(0).22pcaa |1cos.4| |ab pcabpc 則則abpc1 1異異面面直直線線與與所所成成角角的的余余弦弦值值為為. .4 4apbcozxyabpc 與與22(2),acxa 222222211415,242xapopaacaax 2222211 115(15)33 2212p abcabcaxavspoaxxax 2223155.1228axaxa 3 3最最大大即即時時, ,305.28x

21、ava 2 2當當且且僅僅當當時時2215,xax apbcozxy18.269 6,12acfesx 四四邊邊形形( )0vx ，m222( 42)( 42)(6 2)2 4242 1.7 1.7212,mbbe 提示：設正方形提示：設正方形abcd的邊長為的邊長為2a 要求：本題要求：本題三問三問全部用坐標法全部用坐標法 22221(2 ,2 ,) (0,2 ,0)214444aaaaaaaa4 33.33cos| ag adagad45xyz11(0,),22ef (0,1,0),dc 2cos,2ef dc ,135ef dc xyz11(2,0,0),d a (1, 1, 1),n

22、11|2 3.3|d andn 2232(2 2341)2321d 1111da bdba d dvv 2 3.3do 設設2pmpna aa2a2a2a90 npbafem2 ,2 ,pma pnb 則則,pea pfb em fn () ()pmpepnpf pm pnpm pfpe pnpe pf 22 cos60ab 2cos45a b 2 cos45ab cos0a b 0. 90 bacdefcbcffeeb 5,bc ,fc eb 3cos,.3eb fc 33 3 2 =2,2ef 2 3,cf 3 2,2be 22223 23 23 25(2 3)(2)()2 2 3cos,222cf eb 3cos,3cf eb 【2】(09浙江浙江)如下圖，在長方形如下圖，在長方形abcd中中, ab2，