2017北京市海淀區(qū)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)(理)試卷

1、2017北京市海淀區(qū)高二下學(xué)期 期中數(shù)學(xué)（理）試卷2017海淀區(qū)高二（下）期中數(shù)學(xué)（理科）選擇題：本大題共8小題，每小題4分，共32分.1 . （4分）復(fù)數(shù)1-代i的虛部為（）A. 6 B. 1 C 仍 D.-近2. （4分）j Jxdx=（）4 0A. 0B. C 1D.223. （4分）若復(fù)數(shù)z% Z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，且Z1=1+i ,則Z1?Z2=（）A. - 2 B , 2 C. - 2iD. 2i4. （4分）若a, b, c均為正實數(shù)，則三個數(shù)a+, b+ , c+L這三個數(shù)中不小于2的數(shù)（）b c aA,可以不存在B .至少有1個C .至少有2個D .至多有2個5

2、. （4分）定義在R上的函數(shù)f （x）和g （x）,其各自導(dǎo)函數(shù)f' （x） f和g' （x）的圖象如圖所示，則函數(shù)F （x） =f （x） - g （x）極值點的情況是（）A.B.CD.8. (4分)為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校在高中三個年級中抽取甲、乙、丙三名同學(xué)進行問卷調(diào)查.調(diào) 查結(jié)果顯示這三名同學(xué)來自不同的年級，加入了不同的三個社團：“楹聯(lián)社”、“書法社”、“漢 服社”，還滿足如下條件：(1)甲同學(xué)沒有加入“楹聯(lián)社”；(2)乙同學(xué)沒有加入“漢服社”；(3)加入“楹聯(lián)社”的那名同學(xué)不在高二年級；(4)加入“漢服社”的那名同學(xué)在高一年級；(5)乙同學(xué)不在高三年級.試問：內(nèi)同學(xué)所

3、在的社團是()A.楹聯(lián)社B.書法社C.漢服社 D.條件不足無法判斷二.填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.9. (4分)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 與對應(yīng)的點的坐標為 .110. (4分)設(shè)函數(shù)f (x), g (x)在區(qū)間(0, 5)內(nèi)導(dǎo)數(shù)存在，且有以下數(shù)據(jù)：x1234f (x)2341f' (x)3421g (x)3142g'(x)2413則曲線f (x)在點(1, f (1)處的切線方程是 ;函數(shù)f (g (x)在x=2處的導(dǎo)數(shù)值是 第3頁共11頁12. (4分)如圖, 二,v”填空：11. (4分)如圖，f (x) =1+sinx ,則陰影部分面積是函數(shù)f (x)的圖象

4、經(jīng)過(0, 0), (4, 8), (8, 0), (12, 8)四個點，試用”>,第9頁共11頁(1) 一：一2(2) f ' (6)fC12)-f(83 一 4 f' (10).13. (4分)已知平面向量a= (x1, yO,l'= (>2y2),那么七?司=乂+丫1丫2；空間向量之二(x八 y1，Z1),b= (x2, y2. Z2),那么方？b=x1x2+y1y2+Z1Z2.由止匕隹廣至U n維向量:a= (a1，a2,，an),b= (b1,b2,，bn),那么 a?b=14. (4分)函數(shù)f (x) =ex- alnx (其中aCR, e為自然

5、常數(shù))？ aC R,使得直線 對？ a<0,函數(shù)fy=ex為函數(shù)f (x)的一條切線; (x)的導(dǎo)函數(shù)f' (x)無零點;對？ a<0,函數(shù)f 則上述結(jié)論正確的是(x)總存在零點；.(寫出所有正確的結(jié)論的序號).解答題：本大題共4小題，共44分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15. (10 分)已知函數(shù) f (x) =x3 - 3x2- 9x+2(I)求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間;(H)求函數(shù)f (x)在區(qū)間-2, 2上的最小值.16. (10分)已知數(shù)列an滿足 a二1, an+1+an=Vn+1 - h/n-1 , nCN*.(I )求 a2, a3, a4；(

6、n)猜想數(shù)列an的通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.17. (12 分)已知函數(shù) f (x) =x- (a+1) Inx -旦，其中 a R. £(I)求證：當a=1時，函數(shù)y=f (x)沒有極值點；(H)求函數(shù)y=f (x)的單調(diào)增區(qū)間.18. (12 分)設(shè) f (x) =etxT-tlnx , (t>0)(I )若t=1 ,證明x=1是函數(shù)f (x)的極小值點;(n)求證：f (x) > 0.參考答案與試題解析一.選擇題：本大題共8小題，每小題4分，共32分.1 【解答】復(fù)數(shù)1-Jji的虛部為-73.故選：D.2 .【解答】X !xdx=Lx故至少有 !=上J 02 口

7、 2故選：BZ1=1+i,3 【解答】二復(fù)數(shù)zi、Z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱, Z2= - 1+ . Zi?Z2= (1+i) (1-i) = - 2.故選：Aa+b+b+b+1c1c假設(shè)<6ab+, c+3這三個數(shù)都小于2+c+= (a+) + (+ (> 2+2+2=6,這與假設(shè)矛盾,個不小于故選：B5 .【解答】F' (x) =f' (x) - g' (x), 由圖象得f ' (x)和g' (x)有3個交點， 從左到右分分別令為a, b, c,故 xC (-8, a)時，f' (x) <0, F (x)遞減, xC

8、 (a, b)時，F(xiàn)' (x) >0, F (x)遞增，xC (b, c)時，F(xiàn)' (x) <0, F (x)遞減, xC (c, +oo)時，F(xiàn) (x) >0, F (x)遞增, 故函數(shù)F (x)有一個極大值點，兩個極小值點，故選：C.6 .【解答】由題意，f' (x)J，g' (x) =2ax,:函數(shù)f (x) =lnx與函數(shù)g (x) =ax2- a的圖象在點(1,0)的切線相同,故選C.7 .【解答】y' =ex (2x-1) +2ex=ex (2x+1),令v =0得x=- 當 x< L時，y' <0,當

9、x>W 時，y' >0,+ 8)上單調(diào)遞增,y=ex (2x - 1)在(-8, 一 -jk)上單調(diào)遞減，在(-當x=0時，y=e° (0T) =-1,函數(shù)圖象與y軸交于點(0, - 1);令 y=ex (2x - 1)=0 得 x-,. f (x)只有1個零點當 x<£時，y=ex(2x1) <0,當 x>時，y=ex (2xT) >0,綜上，函數(shù)圖象為A.故選A.3),可得乙加8 .【解答】假設(shè)乙在高一，則加入“漢服社”，與(2)矛盾，所以乙在高二，根據(jù)( 入“書法社”，根據(jù)(1)甲同學(xué)沒有加入“楹聯(lián)社”，可得丙同學(xué)所在的社團

10、是楹聯(lián)社, 故選A.二.填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分.9.【解答】復(fù)數(shù)4=(1一；" =-1 - i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(-1, - 1).1 I i故答案為：(-1, - 1) .10【解答】f' (1) =3, f (1) =2,曲線f (x)在點(1, f (1)處的切線方程是y=3x-1,f(g(x)'=f' (g(x)g'(x),x=2 時，f' (g(2)g'(2)=3X4=12,故答案為y=3x - 1； 1211.【解答】 由圖象可得 S= j ； (1+sinx) dx=(x cosx) | = =

11、tt - costt - (0cos0) =2+冗，故答案為：+ +212 【解答】(1)由函數(shù)圖象可知F; * *二3,_844二2,上是增函數(shù),故答案為：.三.解答題：本大題共4小題，共44分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.【解答】(I) f' (x) =3x2 6x 9=3 (x+1) (x3),令 f' (x) =0,得 x=-1 或 x=3,當x變化時，f' (x), f (x)在區(qū)間R上的變化狀態(tài)如下：x (-oo- - 1(T, 3)3(3,+oo)1)f' (x)+0-0+f (x)/ 極大 極小 /所以f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間是

12、(-8, 1), (3, +8)；單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,3);(H)因為 f ( 2) =0, f (2) =-20,再結(jié)合f (x)的單調(diào)性可知，函數(shù)f (x)在區(qū)間-2, 2上的最小值為-20.16.【解答】(I)由題意 a1=1, a2+a1二6, aa+a2=73 - 1, a4+a3=2 - 71解得：a2='"2. 1, a3= 7 3 - 2, a4=2 (H)猜想：對任意的 nCN*, an=Vn- Vn-l|,當n=1時，由a1=1=VI- Vl-1,猜想成立. 一 、 、 * - . 一假設(shè)當n=k (kCN)時，猜想成立，即ak=Jk-l則由 ak+1+

13、ak=五+1 - h/k-1,得 ak+1=Mk+l - Vk,即當n=k+1時，猜想成立,由、可知,對任意的nCN*,猜想成立，即數(shù)列a n的通項公式為an=Vri- J ml.17【解答】(I)證明：函數(shù)f (x)的定義域是(0, +8).當 a=1 時，f (x) =x2lnx一1，函數(shù) f' ( x) =3?>0,所以函數(shù)f (x)在定義域(0, +oo)上單調(diào)遞增，所以當a=1時，函數(shù)y=f (x)沒有極值點；(H ) f ' ( x) =1 -包比+-= "T), x (0, +oo)x X2X2令 f' (x) =0,得 x=1, x2=a

14、,a0 0時，由f' (x) >0可得x>1,所以函數(shù)f (x)的增區(qū)間是(1, +8)；當 0<a< 1 時，由 f' (x) >0,可得 0<x<a,或 x>1,所以函數(shù)f (x)的增區(qū)間是(0, a), (1, +°0)；當a>1時，由f' (x) >0可得0Vx<1,或x>a,所以函數(shù)f (x)的增區(qū)間是(0, 1), (a, +00)；當a=1時，由(I )可知函數(shù)f (x)在定義域(0, +oo)上單調(diào)遞增.綜上所述，當a< 0時，函數(shù)y=f (x)的增區(qū)間是(1, +0

15、0)；當0<a<1時，所以函數(shù)f (x)的增區(qū)間是(0, a), (1, +8)；當a=1時，函數(shù)f (x)在定義域(0, +00)上單調(diào)遞增；當a>1時，所以函數(shù)f (x)的增區(qū)間是(0, 1), (a, +8).18【解答】證明：(I)函數(shù)f (x)的定義域為(0, +8),(1分)若 t=1 ,則 f (x) =ex 1 - lnx , f" 3二 ex-1 (2 分)戈因為f ' (1) =0,(3分)且 0Vx<1 時，口= 1<L,即 f ' (x) <0,x>1 時，ex_1>e°=l>l,

16、即 f' (x) >0,所以f (x)在(1, +8)上單調(diào)遞增；(5分)第13頁共11頁所以x=1是函數(shù)f (x)的極小值點;(6分)(H)函數(shù)f (x)的定義域為(0, +°°), t >0. f (k)二七小一二七)；(7分)令式力二£區(qū)川 工,則g" (x)=t et(x-1)+4r>0,故g (x)單調(diào)遞增.(8分)又 g (1) =0,(9分)當x>1時，g (x) >0,因而f(x) >0, f (x)單增,即f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1, +8)；當 0Vx<1 時，g(x)<0,

17、因而 f'(x)<0,f(x)單減,即f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0, 1).(11分)所以 xC (0, +oo)時，f (x) >f (1) =110 成立.(12 分)A.只有三個極大值點，無極小值點B.有兩個極大值點，一個極小值點C.有一個極大值點，兩個極小值點D.無極大值點，只有三個極小值點6. （4分）函數(shù)f （x） =lnx與函數(shù)g （x） =ax2 * * * 6 7- a的圖象在點（1, 0）的切線相同，則實數(shù) a的值為（）A-1 B - C 旨 D 147. （4分）函數(shù)y=ex （2x-1）的大致圖象是（(2) vf (x)在(4, 8)上是減函數(shù)，在(8, 12) f ' (6) <0, f ' (10) >0, f' (6) <f' (10).故答案為(1) >, (2) <.13.【解答】由題意可知；a?b=a1b1+a2b2+a3b3+abn.故答案為：a1b1+a2 b2+a3b3+anbn.14.【解答】對于，函數(shù)f (x) =ex - alnx的導(dǎo)數(shù)為f' ( x