正態(tài)分布教學(xué)設(shè)計

1、 正 態(tài) 分 布 貴州省修文中學(xué) 李家穎一、教學(xué)目標(biāo)1. 知識目標(biāo)：理解并掌握（標(biāo)準(zhǔn)）正態(tài)分布和正態(tài)曲線的概念、意義及性質(zhì)，并能簡單應(yīng)用。2. 能力目標(biāo)：能用正態(tài)分布、正態(tài)曲線研究有關(guān)隨機變量分布的規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察并探究規(guī)律，提高分析問題，解決問題的能力；培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法。3. 情感目標(biāo)：通過教學(xué)中一系列的探究過程使學(xué)生體驗發(fā)現(xiàn)的快樂，形成積極的情感，培養(yǎng)學(xué)生的進(jìn)取意識和科學(xué)精神。二、教學(xué)重點、難點：重點： 正態(tài)分布的概念、正態(tài)曲線的性質(zhì)和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一些簡單計算。難點： 正態(tài)分布的意義和性質(zhì)。三、教學(xué)設(shè)想【一】 導(dǎo)入新課 1、 問題引入：在2007年的高考中

2、，某省全體考生的高考平均成績是490分，標(biāo)準(zhǔn)差是80，計劃本科錄取率為0.4 ，則本科錄取分?jǐn)?shù)線可能劃在多少分？ 2、回顧樣本的頻率分布與總體分布之間的關(guān)系前面我們研究了離散新隨機變量，他們只取有限個或可列個值，我們用分布列來描述總體的統(tǒng)計規(guī)律；而許多隨機現(xiàn)象中出現(xiàn)的一些變量，如上節(jié)課研究的某產(chǎn)品的尺寸，它的取值是可以充滿整個區(qū)間或者區(qū)域的，總體分布通常不易知道，我們是用什么去估計總體分布的呢？-用樣本的頻率分布(即頻率分布直方圖)去估計總體分布回頭看上一節(jié)得出的100個產(chǎn)品尺寸的頻率分布直方圖，發(fā)現(xiàn)：橫坐標(biāo)是產(chǎn)品的尺寸；縱坐標(biāo)是頻率與組距的比值，什么才是在各組取值的頻率呢？-直方圖的面積。設(shè)

3、想：當(dāng)樣本容量無限增大，分組的組距無限的縮小時，這個頻率直方圖無限接近于一條光滑的曲線-總體密度曲線。它能夠很好的反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的概率。由概率的性質(zhì)可以知道（1）整條曲線與x軸所夾的總面積應(yīng)該是？-1（2）總體在任何一個區(qū)間內(nèi)取值的概率等于這個范圍內(nèi)面積下面，同學(xué)們一起觀察一下總體密度曲線的形狀，看它具有什么特征？“中間高，兩頭低，左右對稱”的特征。像具有這種特征的總體密度曲線一般就是或者近似的是以下函數(shù)的圖像。（板書函數(shù)、標(biāo)題）：【二】正態(tài)分布(1)正態(tài)總體的函數(shù)解析式、正態(tài)分布與正態(tài)曲線產(chǎn)品尺寸的總體密度曲線具有“中間高，兩頭低”的特征，像這種類型的總體密度曲線，一般就是或近似

4、地是以下一個函數(shù)的圖象：(板書) 這個總體是具有無限容量的抽象總體，其分布叫做正態(tài)分布，其圖像叫做正態(tài)曲線。在函數(shù)解析式中有兩個參數(shù)、：表示總體的平均數(shù)；(>0)表示總體的標(biāo)準(zhǔn)差，下面我們來研究一下這兩個參數(shù)在圖像上有怎樣的影響呢？1、表示總體的平均數(shù)（它不就是前面學(xué)習(xí)的隨機變量的？-期望，而期望是反映總體分布的？-平均水平），（回頭看頻率分布直方圖）大家思考一下，這個總體分布的平均數(shù)在什么位置呢？最高點那個位置，為什么呢？因為規(guī)定的尺寸為25.40mm，總體在它的左右取值的概率最大，尺寸過大或過小畢竟占少數(shù)，所以圖像才會呈現(xiàn)“中間高，兩頭低”的特征。下面大家看一下flash (改變的值

5、，肯定學(xué)生的回答，得出1、2、3條性質(zhì))用幾何畫板畫出三條正態(tài)曲線：即=-1，=0.5；=0，=1；=1，=2，其圖象如下圖所示：得出正態(tài)曲線的前四條性質(zhì)：曲線在x軸的上方，與x軸不相交。曲線關(guān)于直線x=對稱，且在x=時位于最高點。當(dāng)x<時，曲線上升；當(dāng)x>時，曲線下降。并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近。以上便是參數(shù)對正態(tài)曲線的影響2、下面我們再分析若 是定值，即對稱軸一定，決定著曲線的什么？(>0)是總體的標(biāo)準(zhǔn)差(總體標(biāo)準(zhǔn)差是衡量總體波動大小的特征數(shù)，反映了總體分布的集中與離散程度)（再用幾何畫板改變的值，讓學(xué)生總結(jié)規(guī)律，得出正態(tài)曲線的第五條性

6、質(zhì)）越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中，那集中在什么位置？-平均數(shù)附近，同理： 若越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，越遠(yuǎn)離平均數(shù)； 當(dāng)一定時，曲線的形狀由改變的值確定。越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散；越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中。結(jié)論：正態(tài)分布由、唯一確定，因此記為：N（，s2）（利用圖像、性質(zhì)解題）【例1】 （2007全國2理14）在某項測量中，測量結(jié)果x服從正態(tài)分布N（1，s2）（s>0），若x在（0，1）內(nèi)取值的概率為0.4，則x在（0，2）內(nèi)取值的概率為 。解在某項測量中，測量結(jié)果x服從正態(tài)分布N（1，s2）（s>0），正態(tài)分布圖

7、象的對稱軸為x=1，x在（0，1）內(nèi)取值的概率為0.4，可知，隨機變量在(1，2)內(nèi)取值的概率于x在(0，1)內(nèi)取值的概率相同，也為0.4，這樣隨機變量在(0，2)內(nèi)取值的概率為0.8。 （5）當(dāng)=0，=1時，相應(yīng)的函數(shù)解析式大大的簡化了：。其圖像也簡單了，關(guān)于y軸對稱，我們把這樣的正態(tài)總體稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體，相應(yīng)的曲線稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線。由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N(0，1)在正態(tài)總體研究中有非常重要的作用，人們專門制定了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表以供查用（P65）（在課件上，調(diào)出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，教學(xué)生查閱）1、在這個表中，相應(yīng)于 x0 的值(x0)是指總體取值小于x0 的概率即(x0)=p(x<x0)。 2、

8、利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線的對稱性說明等式(x0)=1-(-x0)3、 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在任一區(qū)間(x1，x2)內(nèi)取值概率p=(x0)-(x1)的幾何意義?！纠?】 求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體在(-1，2)內(nèi)取值的概率。解：利用等式p=(x0)-(x1)有p=(2)-(-1)= (2)-1-（1）【三】 課堂練習(xí)1（2007湖南卷）設(shè)隨機變量服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，已知，則=（ C ）A0.025B0.050C0.950D0.975【分析】服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， 【五】新的問題，激發(fā)興趣我們通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線的對稱性以及標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，可以求出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N(0，1)在任一區(qū)間(x1，x2)內(nèi)取值的概率P=(x0)-(x1)我們知

9、道任何一對不同的，就有一個不同的正態(tài)總體，對于一般的正態(tài)總體N(，2)，在任一區(qū)間(a,b)內(nèi)的取值概率如何進(jìn)行計算呢?可否也通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表來求出它呢?- 回答是肯定的，否則制定了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表就失去了它的意義。 2.正態(tài)總體N(，2)在任一區(qū)間取值的概率計算(點撥思路，計算應(yīng)用)。一般的正態(tài)總體N(，2)均可以化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N(0，1)進(jìn)行研究可以證明，對任一正態(tài)總體N(，2)，取值小于x的概率F()=P(x<)轉(zhuǎn)化公式為： 向?qū)W生指出，等式的嚴(yán)格證明要用到積分變換的知識，它有待在今后的學(xué)習(xí)中解決。 最后，可向?qū)W生展示公式的應(yīng)用?！纠?】 已知正態(tài)總體N(1，4)，求F(|x|

10、<3)。(4)學(xué)習(xí)正態(tài)分布有什么意義？ 服從正態(tài)分布的總體特征一般地，當(dāng)一隨機變量是大量微小的獨立隨機因素共同作用的結(jié)果，而每一種因素都不能起到壓倒其他因素的作用時，這個隨機變量就被認(rèn)為服從正態(tài)分布像產(chǎn)品尺寸這一類典型總體，它的特征是：生產(chǎn)條件正常穩(wěn)定，即工藝、設(shè)備、技術(shù)、操作、原料、環(huán)境等可以控制的條件都相對穩(wěn)定，而且不存在產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的明顯因素所以它服從正態(tài)分布下面，大家一起來找找實際生活中那些現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布？生產(chǎn)中，在正常生產(chǎn)條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)、測量的誤差（如電子管的使用壽命、零件的尺寸等）在生物學(xué)中，同一群體的某種特征（如08年廣西區(qū)高考考生體檢的身高、體重、

11、肺活量），在一定條件下生長某農(nóng)作物的產(chǎn)量等，在氣象中，梧州今年五月份的平均氣溫、平均降雨量等，兩江的水位等在生活中，某一時間段的車流量、人流量，同學(xué)的考試成績，喝的飲料等總之：正態(tài)分布廣泛存在于各個領(lǐng)域當(dāng)中，在概率和統(tǒng)計中都占有重要地位【五】課堂小結(jié)1.本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了正態(tài)分布的若干性質(zhì)，服從正態(tài)分布的總體的特征，如何使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，要求同學(xué)們能知道正態(tài)曲線的大致形狀以及從圖象上直觀得到正態(tài)分布的性質(zhì)，并能利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表及相關(guān)等式進(jìn)行計算。2.本節(jié)課介紹了如何利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表計算一般正態(tài)分布在任一區(qū)間取值的概率的方法。這種方法體現(xiàn)了化歸的思想方法。對公式，應(yīng)在理解的基礎(chǔ)上加以運用

12、?！救?課堂練習(xí)1、設(shè)隨即變量服從正態(tài)分布， 求。（參考數(shù)據(jù)： ， ）2、 在2007年的高考中，某省全體考生的考試成績服從正態(tài)分布N（490，80，若該省計劃本科錄取率為0.4 ，則本科錄取分?jǐn)?shù)線可能劃在多少分？ （參考數(shù)據(jù)：）A500分B505分C510分D515分【六】布置作業(yè)：1、（2007浙江卷5）已知隨機變量服從正態(tài)分布， ，則（ A ）ABC D，2.（2006年湖北卷）在某校舉行的數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績近似服從正態(tài)分布.已知成績在90分以上（含90分）的學(xué)生有12名.（）試問此次參賽的學(xué)生總數(shù)約為多少人？（）若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學(xué)生，試問設(shè)獎的分?jǐn)?shù)線約為多少分？16 點評：本小題主要考查正態(tài)分布，對獨立事件的概念和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查閱，考查運用概率統(tǒng)計知識解決實際問題的能力。解：（）設(shè)參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為，因為N(70，100)，由條件知，P(90)1P（<90）1F(90)11(2)10.97720.228.這說明成績在90分以上（含9